Les probabilités conditionnelles

Transcription

1 Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2017/2018

2 1 Notion de probabilité conditionnelle Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples 2 Conventions Exemples Propriétés des arbres pondérés 3 Propriété préliminaire Exercice 4 Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices

3 Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples I) Notion de probabilité conditionnelle a) Activité de découverte On veut savoir si le fait de fumer joue un rôle aggravant dans une maladie, la probacytose. On a effectué une étude statistique sur une population de personnes. Voici les chiffres obtenus : 400 personnes sont à la fois fumeurs et malades 600 personnes sont non fumeurs et malades personnes sont fumeurs et sains personnes sont non fumeurs et sains

4 Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples I) Notion de probabilité conditionnelle a) Activité de découverte On veut savoir si le fait de fumer joue un rôle aggravant dans une maladie, la probacytose. On a effectué une étude statistique sur une population de personnes. Voici les chiffres obtenus : 400 personnes sont à la fois fumeurs et malades 600 personnes sont non fumeurs et malades personnes sont fumeurs et sains personnes sont non fumeurs et sains 1 Placer ces données dans un tableau à double entrée. 2 On choisit une personne au hasard dans cette population. Quelle est la probabilité que : Cette personne soit un fumeur? Un non fumeur? Malade? Saine

5 Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples I) Notion de probabilité conditionnelle a) Activité de découverte On veut savoir si le fait de fumer joue un rôle aggravant dans une maladie, la probacytose. On a effectué une étude statistique sur une population de personnes. Voici les chiffres obtenus : 400 personnes sont à la fois fumeurs et malades 600 personnes sont non fumeurs et malades personnes sont fumeurs et sains personnes sont non fumeurs et sains 1 Placer ces données dans un tableau à double entrée. 2 On choisit une personne au hasard dans cette population. Quelle est la probabilité que : Cette personne soit un fumeur? Un non fumeur? Malade? Saine 3 On va définir p M (F) qui se lira «probabilité de F sachant M». Pour cela, on imagine une nouvelle expérience: on choisit une personne au hasard parmi les malades et on cherche la probabilité qu elle fume? Donc p M (F)= =... Calculer de même p M (F)=...

6 b) Probabilités conditionnelles Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples On va définir p M (F) qui se lira «probabilité de F sachant M». Pour cela, on imagine une nouvelle expérience, celle dont les issues possibles sont celles réalisant M et parmi celles ci, les issues favorables à F. Donc p M (F)= =...

7 b) Probabilités conditionnelles Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples On va définir p M (F) qui se lira «probabilité de F sachant M». Pour cela, on imagine une nouvelle expérience, celle dont les issues possibles sont celles réalisant M et parmi celles ci, les issues favorables à F. Donc p M (F)= =... Calculer de même p M (F)=...

8 Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples c) Formule générale A et B sont deux événements d un même universωde probabilité non nulle. Lorsqu il y a équiprobabilité on peut écrire nombre d issues de A B p A (B)= nombre d issues de A

9 c) Formule générale Notion de probabilité conditionnelle Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples A et B sont deux événements d un même universωde probabilité non nulle. Lorsqu il y a équiprobabilité on peut écrire nombre d issues de A B p A (B)= nombre d issues de A nombre d issues de A B = nombre d issues deω nombre d issues deω nombre d issues de A

10 c) Formule générale Notion de probabilité conditionnelle Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples A et B sont deux événements d un même universωde probabilité non nulle. Lorsqu il y a équiprobabilité on peut écrire nombre d issues de A B p A (B)= nombre d issues de A nombre d issues de A B = nombre d issues deω nombre d issues deω nombre d issues de A =......

11 Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples Définition Soit A un événement de probabilité non nulle et B un événement quelconque du même univers. On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, le quotient p A (B)= p(a B). p(a)

12 d) Exemples Expérience 1 Notion de probabilité conditionnelle Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples On revient sur l étude statistique concernant une population de personnes Calculer p F (M) et p F (M). Malades Sains Fumeurs Non fumeurs

13 Expérience 2 Notion de probabilité conditionnelle Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples Dans un jeu de 32 cartes, on extrait au hasard une carte. Déterminer la probabilité que la carte tirée soit une dame, sachant que c est une figure. Déterminer la probabilité que la carte tirée soit le roi de carreau, sachant qu elle est rouge.

14 Expérience 3 Notion de probabilité conditionnelle Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes Un jeu consiste à tirer deux boules au hasard successivement et sans remise On gagne si la deuxième boule tirée est rouge

15 Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples Expérience 3 Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes Un jeu consiste à tirer deux boules au hasard successivement et sans remise On gagne si la deuxième boule tirée est rouge 1 Blaise tire une première boule : elle est rouge. Est-il en droit de se réjouir? 2 Simon tire une première boule : elle est verte. Est-il en doit de se réjouir?

16 Expérience 3 Notion de probabilité conditionnelle Activité de découverte Probabilités conditionnelles Formule générale Exemples Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes Un jeu consiste à tirer deux boules au hasard successivement et sans remise On gagne si la deuxième boule tirée est rouge 1 Blaise tire une première boule : elle est rouge. Est-il en droit de se réjouir? 2 Simon tire une première boule : elle est verte. Est-il en doit de se réjouir? R 1 : «la 1ère boule tirée est rouge» R 2 : «la 2ème boule tirée est rouge» Calcul de p R1 (R 2 ): On a tiré une boule rouge dans l urne, il reste alors 4 boules et parmi elles 2 rouges donc p R1 (R 2 )= 2 4 = 1 2 Calcul de p R1 (R 2 ): On a tiré une boule verte dans l urne, il reste alors... boules et parmi elles... rouges donc p R1 (R 2 )=......

17 Conventions Exemples Propriétés des arbres pondérés II) a) Conventions On peut représenter une épreuve par un arbre de probabilité, en indiquant sur les branches de premier niveau les probabilités de A et A, puis sur les branches de deuxième niveau les probabilités conditionnelles.

18 Conventions Exemples Propriétés des arbres pondérés Expérience 3 1 Faire un arbre de probabilité correspondant à l expérience 3 du paragraphe I. 2 Calculer la probabilité de l événement E : «tirer une boule rouge puis une boule verte» 3 Comment à l aide de l arbre pourrait-on calculer la probabilité de l événement F : «tirer deux boules de couleurs différentes»

19 Conventions Exemples Propriétés des arbres pondérés b) Propriétés des arbres pondérés Propriétés On retiendra les propriétés des arbres de probabilité:

20 Conventions Exemples Propriétés des arbres pondérés b) Propriétés des arbres pondérés Propriétés n retiendra les propriétés des arbres de probabilité: La somme des probabilités affectées aux branches issues d un même nœud est 1;

21 Conventions Exemples Propriétés des arbres pondérés b) Propriétés des arbres pondérés Propriétés n retiendra les propriétés des arbres de probabilité: La somme des probabilités affectées aux branches issues d un même nœud est 1; Un chemin A B correspond à l événement A B et P(A B) est le produit des probabilités affectées à chacune des branches qui le constituent;

22 Conventions Exemples Propriétés des arbres pondérés b) Propriétés des arbres pondérés Propriétés n retiendra les propriétés des arbres de probabilité: La somme des probabilités affectées aux branches issues d un même nœud est 1; Un chemin A B correspond à l événement A B et P(A B) est le produit des probabilités affectées à chacune des branches qui le constituent; La probabilité d un événement correspondant à plusieurs chemins de l arbre est la somme des probabilités de ces chemins.

23 Conventions Exemples Propriétés des arbres pondérés b) Propriétés des arbres pondérés Propriétés n retiendra les propriétés des arbres de probabilité: La somme des probabilités affectées aux branches issues d un même nœud est 1; Un chemin A B correspond à l événement A B et P(A B) est le produit des probabilités affectées à chacune des branches qui le constituent; La probabilité d un événement correspondant à plusieurs chemins de l arbre est la somme des probabilités de ces chemins. Ne pas confondre p(a B) et p A (B).

24 Propriété préliminaire Exercice III) a) Propriété préliminaire Propriété préliminaire Soit les événements B, B 1,B 2 et B 3 qui vérifient : Si la réunion des évènements B 1,B 2 et B 3 correspond à B. Si les évènements B 1,B 2 et B 3 sont disjoints deux à deux (c est à dire qu ils n ont aucune issue en commun) On dit alors que B 1,B 2 et B 3 forment une partition de B Dans ces conditions p(b)=p(b 1 )+p(b 2 )+p(b 3 )

25 Propriété préliminaire Exercice b) Propriété Si les événements B 1,B 2 et B 3 forment une partition de l univers et A est un événement alors p(a)=p(a B 1 )+p(a B 2 )+p(a B 3 ) p(a)=p(b 1 ) p B1 (A)+p(B 2 ) p B2 (A)+p(B 3 ) p B3 (A)

26 Propriété préliminaire Exercice b) Propriété Si les événements B 1,B 2 et B 3 forment une partition de l univers et A est un événement alors p(a)=p(a B 1 )+p(a B 2 )+p(a B 3 ) p(a)=p(b 1 ) p B1 (A)+p(B 2 ) p B2 (A)+p(B 3 ) p B3 (A) Remarque: Si B est un événement quelconque, les événements B et B forme une partition de l univers.

27 Propriété préliminaire Exercice c)exercice Au pays des Mathix, le docteur Gynéco, malgré les progrès de l échographie, fait des erreurs sur le sexe des enfants à naître.

28 Propriété préliminaire Exercice c)exercice Au pays des Mathix, le docteur Gynéco, malgré les progrès de l échographie, fait des erreurs sur le sexe des enfants à naître. Il se trompe une fois sur vingt si c est un garçon et une fois sur dix si c est une fille.

29 Propriété préliminaire Exercice c)exercice Au pays des Mathix, le docteur Gynéco, malgré les progrès de l échographie, fait des erreurs sur le sexe des enfants à naître. Il se trompe une fois sur vingt si c est un garçon et une fois sur dix si c est une fille. Il vient de dire à Madame Bertrand qu elle attendait une fille. Quelle est la probabilité que ce soit vrai?

30 Propriété préliminaire Exercice c)exercice Au pays des Mathix, le docteur Gynéco, malgré les progrès de l échographie, fait des erreurs sur le sexe des enfants à naître. Il se trompe une fois sur vingt si c est un garçon et une fois sur dix si c est une fille. Il vient de dire à Madame Bertrand qu elle attendait une fille. Quelle est la probabilité que ce soit vrai? On utilisera un arbre et les notations suivantes : F : «l enfant à naître est une fille» G : «l enfant à naître est un garçon» A : «le docteur annonce un garçon» B : «le docteur annonce une fille».

31 IV) a) Schema de Bernoulli Notion de probabilité conditionnelle Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices Définition Un schéma de Bernoulli est une expérience au cours de laquelle on répète de façon identique et indépendante n épreuves ne comportant que deux issues dont une est appelée Succès. Remarque: Une épreuve ne comportant que deux issues est appelée une épreuve de Bernoulli

32 Exemple 1 Notion de probabilité conditionnelle Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices On étudie la fiabilité du matériel d une entreprise et on note S l événement «le matériel est défectueux».

33 Exemple 1 Notion de probabilité conditionnelle Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices On étudie la fiabilité du matériel d une entreprise et on note S l événement «le matériel est défectueux». On prélève un objet, il est défectueux ou il ne l est pas. C est donc une épreuve de Bernoulli.

34 Exemple 1 Notion de probabilité conditionnelle Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices On étudie la fiabilité du matériel d une entreprise et on note S l événement «le matériel est défectueux». On prélève un objet, il est défectueux ou il ne l est pas. C est donc une épreuve de Bernoulli. Maintenant on prélève au hasard 4 objets de l entreprise, si le nombre d objets dans l entreprise est très important on peut assimiler cette expérience à un tirage avec remise

35 Exemple 1 Notion de probabilité conditionnelle Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices On étudie la fiabilité du matériel d une entreprise et on note S l événement «le matériel est défectueux». On prélève un objet, il est défectueux ou il ne l est pas. C est donc une épreuve de Bernoulli. Maintenant on prélève au hasard 4 objets de l entreprise, si le nombre d objets dans l entreprise est très important on peut assimiler cette expérience à un tirage avec remise L expérience est un schéma de Bernoulli puisqu on répète la même épreuve de Bernoulli de façon identique et indépendante.

36 Exemple 2 Notion de probabilité conditionnelle page I Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices On considère l expérience aléatoire consistant tirer une carte d un jeu de 32 cartes, à noter sa couleur puis à la remettre dans le jeu. On appelle "succès" l événement S : «On obtient un cœur». On répète trois fois cette expérience. 1 Quelle est la probabilité de S? 2 Les tirages sont-ils indépendants? En déduire la probabilité d obtenir 3 succès successifs, puis d aucun succès. 3 Compléter l arbre suivant:

37 Exemple 2 Notion de probabilité conditionnelle page II Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices... S... S S S S S S... S... S S S S S...

38 Exemple 2 Notion de probabilité conditionnelle page III Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices 4 Déterminer les probabilités d avoir: 2 succès ; 1 succès.

39 b) Définition d une loi binomiale Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices Définition Considérons un schéma de Bernoulli, qui est la répétition de façon identiques et indépendantes de n épreuves ne comportant que deux issues et dont le succès a pour probabilité p. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès à l issue de ces n épreuves suit une loi binomiale de paramètre n et p, notée B(n,p).

40 c) Espérance et écart-type Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices Espérance et écart-type Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p). Pour une loi binomiale de paramètres n et p, on a : E(X)=np V (X)=np(1 p)

41 d) Calcul des probabilités Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices Les probabilités seront toujours calculées à l aide de la calculatrice

42 d) Calcul des probabilités Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices Sur TI83 : Si on veut calculer p(x = k) dans la loi binomiale B(n ; p) On appuie sur la touche DIST ( 2nd VARS ) on choisit binomfdp si la calculatrice est en anglais on choisit binompdf Puis on ajoute les paramètres binomfdp(n,p,k) permet de calculer p(x = k) dans la loi binomiale B(n ; p) binomfdp(10,0.2,2) permet de calculer p(x = 2) dans la loi binomiale B(10 ; 0,2)

43 d) Calcul des probabilités Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices Sur TI83 : Si on veut calculer p(x = k) dans la loi binomiale B(n ; p) On appuie sur la touche DIST ( 2nd VARS ) on choisit binomfdp si la calculatrice est en anglais on choisit binompdf Puis on ajoute les paramètres binomfdp(n,p,k) permet de calculer p(x = k) dans la loi binomiale B(n ; p) binomfdp(10,0.2,2) permet de calculer p(x = 2) dans la loi binomiale B(10 ; 0,2) Si on veut calculer p(x k) dans la loi binomiale B(n ; p) On appuie sur la touche DIST ( 2nd VARS ) on choisit binomfrep si la calculatrice est en anglais on choisit binomcdf puis on ajoute les paramètres: en premier le nombre de de répétition, puis la probabilité du succès et enfin le nombre succès binomfrep(n,p,k) permet de calculer p(x k) dans la loi binomiale B(n ; p) binomfrep(12,0.4,5) permet de calculer p(x 5) dans la loi binomiale B(12 ; 0,4)

44 Calcul des probabilités Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices Sur CASIO Graph 35: Dans le menu, on choisit STAT puis DIST et BINM puis enfin Bpd ou Bcd ou bien Dans l écran de calcul, on appuie sur la touche OPTN puis on choisit STAT puis DIST et BINM puis enfin Bpd ou Bcd. On obtient: Il faut rentrer les paramètres: en premier le nombre de succès, puis le nombre de répétition et enfin la probabilité du succès BinomialPD(2,10,0.2) permet de calculer p(x = 2) dans la loi binomiale B(10 ; 0,2)

45 Exercice 4 Notion de probabilité conditionnelle page I Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices Dans un jeu vidéo, le héros Mario veut atteindre, en sautant, un trésor qui se trouve sur un nuage. S il touche le trésor, il peut obtenir : Aucune pièce d or et voir sortir un monstre avec une probabilité p 0 = 0,4. une pièce d or avec la probabilité p 1 = 0,3. deux pièces avec la probabilité p 2. trois pièces avec la probabilité p 3 = 0,1. 1 Calculer p 2. 2 Mario ne fait qu un seul saut. On note G la variable aléatoire égale au nombre de pièces d or de Mario. 1 Donner la loi de probabilité de G. 2 Calculer l espérance de G : interpréter le résultat obtenu.

46 Exercice 4 Notion de probabilité conditionnelle page II Schema de Bernoulli Définition d une loi binomiale Espérance et écart-type Calcul des probabilités Exercices 3 Mario saute 6 fois de suite. Chaque saut est indépendant du précédent. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de sauts où le monstre est apparu. 1 Montrer que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramétres. 2 Calculer la probabilité que le monstre n apparaisse pas. 3 Calculer la probabilité que le monstre apparaisse exactement deux fois. 4 Calculer la probabilité que le monstre apparaisse au moins deux fois. 5 Calculer p(2 X 4). 6 Calculer l espérance de X et en donner une interprétation.