Résonateurs. Chapitre Circuits résonants série et parallèle Circuit résonant série

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1 Chapitre 4 Résonateurs Les résonateurs hyperfréquences sont utilisés dans plusieurs applications, comme les filtres, oscillateurs, appareils de mesure de fréquence et amplificateurs. L opération des résonateurs hyperfréquences est très semblable à celle des résonateurs des circuits électriques. Ce chapitre commence avec une révision des concepts des circuits résonants RLC série et parallèle, puis quelques implantations à hautes fréquences seront étudiés. 4. Circuits résonants série et parallèle À la résonance, un circuit hyperfréquences peut généralement être modélisé par un circuit RLC série ou parallèle. Les propriétés de base de ce type de circuit est étudié ici. 4.. Circuit résonant série La figure 4. montre un circuit RLC série. L impédance d entrée de ce circuit est : Z in = R + jωl j ωc (4.)

2 et la puissance complexe fournie au résonateur est : P in = 2 VI = 2 Z in I 2 = 2 Z V 2 in Z in = ( 2 I 2 R + jωl j ) (4.2) ωc + V R I L C Z in Figure 4. Circuit RLC série La puissance dissipée par la résistance est et l énergie magnétique emmagasinée dans l inductance est : et l énergie électrique emmagasinée dans la capacitance est : où V c est la tension aux bornes du condensateur. P pertes = 2 R I 2 (4.3) W m = 4 L I 2 (4.4) W e = 4 C V c 2 = 4 ω 2 C I 2 (4.5) L équation de la puissance complexe peut alors être ré-écrite : et l impédance d entrée devient : P in = P pertes + 2jω(W m W e ) (4.6) Z in = 2P in I 2 = P pertes + 2jω(W m W e ) (4.7) 2 I 2 La résonance a lieu lorsque W m = W e, ce qui donne une impédance d entrée à la résonance de Z in = P pertes = R (4.8) I 2 2 Gabriel Cormier 2 GELE5222

3 ce qui est purement réel. La fréquence à la résonance est : ω 0 = LC (4.9) Un paramètre important des résonateurs est le facteur de qualité Q, qui est définit par : Q = ωénergie moyenne emmagasinée Énergie perdue / seconde = ω W m + W e P pertes (4.0) Le facteur de qualité est une indication des pertes dans un circuit : un facteur de qualité plus élevé implique moins de pertes. Pour le circuit série, le facteur de qualité donne : Q = ω 0 2W m P pertes = ω 0L R = ω 0 RC (4.) ce qui montre que Q augmente si R diminue Perturbation On considère maintenant le comportement de l impédance d entrée du résonateur près de la fréquence de résonance. Soit ω = ω 0 + ω, où ω est petit. L impédance d entrée peut être écrite sous une autre forme, ( ) Z in = R + jωl ω 2 LC ( ω 2 ω 2 ) (4.2) 0 = R + jωl ω 2 puisque ω0 2 = /LC. Alors, ω 2 ω 2 0 = (ω ω 0)(ω + ω 0 ) = ω(2ω ω) 2ω ω (4.3) si ω est petit. L impédance d entrée devient : Z in R + j2l ω R + j 2RQ ω ω 0 (4.4) Cette forme sera utile pour identifier les circuits équivalents de certains résonateurs. Gabriel Cormier 3 GELE5222

4 On peut aussi modéliser un résonateur ayant des pertes comme un résonateur sans pertes ayant une fréquence de résonance complexe : ( ω 0 ω 0 + j ) (4.5) 2Q On peut démontrer l équivalence si on considère l impédance d entrée d un résonateur sans pertes (R = 0), Z in = j2l(ω ω 0 ) (4.6) puis en substituant la fréquence complexe : ( Z in = j2l ω ω 0 j ω ) 0 2Q = ω 0L Q + j2l(ω ω 0) = R + j2l ω (4.7) ce qui est équivalent à l équation 4.4. Cette technique est utile puisque les pertes des résonateurs sont généralement faibles, et donc Q peut être calculé par la méthode de perturbation en commençant par la solution pour le cas sans pertes. L effet des pertes peut ensuite être ajouté en remplaçant la fréquence de résonance par une fréquence de résonance complexe donnée par l équation 4.5. On peut maintenant calculer la largeur de bande du résonateur. La largeur de bande est la région où la puissance est la moitié de celle à la résonance. La figure 4.2 montre la variation de l amplitude de Z in en fonction de la fréquence. À la fréquence où Z in 2 = 2R 2, la puissance moyenne fournie au circuit est la moitié de celle fournie à la résonance. Z in (ω) R BW R 0 ω ω 0 Figure 4.2 Réponse en fréquence d un circuit RLC série Si BW est la largeur de bande, alors ω/ω 0 = BW /2. On obtient alors : R + jrq(bw ) 2 = 2R 2 (4.8) ou BW = Q (4.9) Gabriel Cormier 4 GELE5222

5 4..3 Circuit résonant parallèle Le circuit RLC parallèle de la figure 4.3 est le dual du circuit RLC série. L impédance d entrée est : ( Z in = R + ) jωl + jωc (4.20) et la puissance complexe fournie au résonateur est : P in = 2 VI = 2 Z in I 2 = 2 V 2 Z in = 2 V 2 ( R + j ωl jωc ) (4.2) I + V R L C Z in Figure 4.3 Circuit RLC parallèle La puissance dissipée par la résistance est P pertes = V 2 2 R et l énergie électrique emmagasinée dans la capacitance est : (4.22) W e = 4 C V 2 (4.23) et l énergie magnétique emmagasinée dans l inductance est : où I L est le courant dans l inductance. W m = 4 L I L 2 = 4 V 2 ω 2 L (4.24) La puissance complexe est : P in = P pertes + 2jω(W m W e ) (4.25) ce qui est identique à l équation 4.6. De façon similaire, l impédance d entrée est : Z in = 2P in I 2 = P pertes + 2jω(W m W e ) (4.26) 2 I 2 Gabriel Cormier 5 GELE5222

6 La résonance a lieu lorsque W m = W e, ce qui donne comme dans le cas série. La fréquence de résonance est la même, Z in = R (4.27) ω 0 = LC (4.28) Le facteur de qualité, pour le cas parallèle, est : 2W Q = ω m 0 = R P pertes ω 0 L = ω 0RC (4.29) Dans ce cas-ci, le facteur de qualité augmente si la résistance augmente. Près de la résonance, l impédance d entrée peut être simplifié en utilisant l approximation x + (4.30) + x Si on définit ω = ω 0 + ω, où ω est petit, l impédance d entrée peut être écrite selon : ( Z in R + ω/ω 0 + jω jω 0 L 0 C + j ωc R + 2j ωrc = R + 2jQ ω/ω 0 ) (4.3) en utilisant le fait que ω0 2 = /LC. Lorsque R =, l équation devient Z in = j2c(ω ω 0 ) (4.32) Comme dans le cas série, l effet des pertes peut être considéré en utilisant une fréquence complexe : ( ω 0 ω 0 + j ) (4.33) 2Q La figure 4.4 montre la réponse en fréquence d un circuit RLC parallèle. Lorsque Z 2 in = R 2 /2, la puissance est la moitié de celle à la résonance. À ces fréquences, ω/ω 0 = BW /2, ce qui donne la même chose que le cas série. BW = Q (4.34) Gabriel Cormier 6 GELE5222

7 Z in (ω) R 0.707R BW 0 ω ω 0 Figure 4.4 Réponse en fréquence d un circuit RLC parallèle 4..4 Charge externe Le Q définit dans les sections précédentes s applique seulement au circuit résonant lui-même, en l absence de circuit externe (charge). On appelle ceci Q sans charge, ou le facteur de qualité de circuit ouvert. De façon pratique, le résonateur sera branché à une charge qui aura pour effet de réduire le facteur de qualité total, Q L, du circuit. La figure 4.5 montre un résonateur branché à une résistance externe R L. Si on définit le facteur de qualité externe comme Q e, ω 0 L Q e = R L R L ω 0 L alors le facteur de qualité total (avec charge) est : circuit série circuit parallèle (4.35) Q L = Q e + Q (4.36) Circuit résonant Q R L Figure 4.5 Circuit résonant branché à une charge externe Gabriel Cormier 7 GELE5222

8 4.2 Résonateurs à ligne de transmission Les éléments localisés (condensateur et inductance) sont souvent beaucoup trop gros pour être utilisés aux fréquences micro-ondes. On utilise plutôt des éléments distribués (lignes de transmission) pour créer des résonateurs. Puisqu on s intéresse au facteur de qualité des résonateurs, on va considérer des lignes avec pertes Ligne λ/2 court-circuitée On considère en premier une ligne λ/2, terminée par un court-circuit, comme à la figure 4.6. La ligne a une impédance caractéristique Z 0, une constante de propagation β, et une atténuation α. Z 0, β, α Z in l Figure 4.6 Ligne λ/2 terminée par un court-circuit À une fréquence ω = ω 0, la longueur de la ligne est l = λ/2, où λ = 2π/β. L impédance d entrée est : Z in = Z 0 tanh[(α + jβ)l] (4.37) qu on peut transformer, à l aide d identité trigonométrique, à : Z in = Z 0 tanh(αl) + j tan(βl) + j tan(βl)tanh(αl) (4.38) Noter qu on retrouve le résultat Z in = jz 0 tan(βl) si α = 0. Puisque les lignes ont généralement des faibles pertes, on peut simplifier l équation 4.38 en supposant que αl, et donc tanh(αl) αl. On suppose aussi que ω = ω 0 + ω, où ω est petit. Si on suppose que la ligne supporte un mode TEM, βl = ωl = ω 0l + ωl (4.39) v p v p v p où v p est la vitesse de phase sur la ligne. Puisque l = λ/2 = πv p /ω 0, on obtient βl = π + ωπ ω 0 (4.40) Gabriel Cormier 8 GELE5222

9 et donc ( tan(βl) = tan π + ωπ ) ( ) ωπ = tan ω 0 ω 0 ωπ ω 0 (4.4) On combine ces résultats pour obtenir : Z in Z 0 αl + j( ωπ/ω 0 ) + j( ωπ/ω 0 )αl Z 0 ( αl + j ωπ ω 0 ) (4.42) puisque ωαl/ω 0. L équation 4.42 est de la même forme que l équation 4.4, et donc cette ligne de transmission se comporte comme un résonateur RLC série. La résistance série équivalente est : R = Z 0 αl (4.43) et l inductance série est et la capacitance série est L = Z 0π 2ω 0 (4.44) C = ω 2 0 L (4.45) À la résonance, ω = 0, et Z in = R = Z 0 αl. La résonance a aussi lieu pour des multiples de λ/2. Le facteur de qualité pour ce résonateur est : Q = ω 0L R = π 2αl = β 2α (4.46) Exemple Un résonateur λ/2 est fabriqué à l aide d un câble coaxial en cuivre, avec un conducteur interne de rayon mm, et un conducteur externe de rayon 4mm. Si la fréquence de résonance est 5GHz, comparer Q du résonateur si le diélectrique est de l air, et si le diélectrique est du Teflon. On doit calculer l atténuation de la ligne coaxiale en premier. La conductivité du cuivre est σ = S/m. La résistance de surface est : ωµ0 R = 2σ = Ω Gabriel Cormier 9 GELE5222

10 et l atténuation due au conducteur pour le cas de l air est : ( R α c = s 2η ln(b/a) a + ) b ( = 2(377) ln(0.004/0.00) ) = Np/m Pour le Teflon, ɛ r = 2.08 et tanδ = , donc l atténuation due au conducteur est : α c = ( (377) ln(0.004/0.00) ) = Np/m Quant à l atténuation due au diélectrique, elle est nulle pour le cas de l air, et pour le cas du Teflon, α d = k 0 ɛr 2 tanδ = (04.7) 2.08(0.0004) 2 On peut maintenant calculer les facteurs de qualité : Q air = β 2α = (0.022) = 2380 = Np/m Q T ef lon = β 2α = ( ) = 28 Le facteur de qualité est bien meilleur avec de l air qu avec le Teflon Ligne λ/4 court-circuitée Un résonateur peut aussi être créé avec une ligne λ/4 terminée par un court-circuit. Dans ce cas-ci, on crée un résonateur parallèle. L impédance d entrée d une ligne λ/4 terminée par un court-circuit est : Z in = Z 0 tanh[(α + jβ)l] = Z 0 tanh(αl) + j tan(βl) + j tan(βl)tanh(αl) = Z 0 j tanh(αl)cot(βl) tanh(αl) j cot(βl) (4.47) Gabriel Cormier 0 GELE5222

11 où on obtient le dernier résultat en multipliant le numérateur et le dénominateur par j cot(βl). Si l = λ/4 à une fréquence ω = ω 0, et que ω = ω 0 + ω, on obtient, pour une ligne TEM, et donc, βl = ω 0l v p + ωl v p ( π cot(βl) = cot 2 + π ω ) ( ) π ω = tan 2ω 0 2ω 0 = π 2 + π ω 2ω 0 (4.48) π ω 2ω 0 (4.49) Puisque αl, tanh(αl) αl. On peut donc simplifier l équation de Z in, Z in = Z 0 + jαlπ ω/2ω 0 αl + jπ ω/2ω 0 Z 0 αl + jπ ω/2ω 0 (4.50) puisque αlπ ω/2ω 0. Ce résultat est de la même forme que l équation 4.3, Z i n = (/R) + 2j ωc (4.5) La résistance équivalente du résonateur est : R = Z 0 αl (4.52) et la capacitance équivalente est et l inductance équivalente, C = π 4ω 0 Z 0 (4.53) L = ω 2 0 C (4.54) À la résonance, Z in = R = Z 0 /αl. Le facteur de qualité pour ce résonateur est : Q = ω 0 RC = π 4αl = β αl (4.55) Ligne λ/2 ouverte Un résonateur souvent utilisé est une ligne de transmission λ/2 terminée par un circuit ouvert, comme à la figure 4.7. Ce résonateur se comportera comme un circuit RLC parallèle. Gabriel Cormier GELE5222

12 Z 0, β, α Z in l Figure 4.7 Ligne λ/2 terminée par un circuit ouvert L impédance d entrée est : Z in = Z 0 coth[(α + jβ)l] = Z 0 + j tan(βl)tanh(αl) tanh(αl) + j tan(βl) (4.56) Comme dans les autres cas, l = λ/2 à ω = ω 0, et ω = ω 0 + ω, où ω est petit. Alors, βl = ωl = ω 0l + ωl v p v p v p = π + ωπ ω 0 (4.57) et ce qui donne ( tan(βl) = tan π + ωπ ) ( ) ωπ = tan ω 0 ω 0 Z in = ωπ ω 0 (4.58) Z 0 αl + jπ ω/2ω 0 (4.59) En comparant avec l équation 4.3, on trouve que et et l inductance équivalente, avec un facteur de qualité puisque l = π/β à la résonance. C = R = Z 0 αl Q = ω 0 RC = (4.60) π 2ω 0 Z 0 (4.6) L = ω 2 0 C (4.62) π 2αl = β 2α (4.63) Gabriel Cormier 2 GELE5222

13 Exemple 2 Soit un résonateur micro-ruban construit à partir d une ligne λ/2 de 50Ω terminée par un circuit ouvert. Le substrat est en Teflon (ɛ r = 2.08, tanδ = ), 0.59cm d épaisseur. Les conducteurs sont en cuivre. Calculer la longueur de la ligne pour avoir la résonance à 5GHz, et calculer le facteur de qualité du résonateur. Selon les paramètres donnés de la ligne de transmission, et à l aide des équations du Chapitre 2, on trouve que la largeur de la ligne est : w = 0.508cm et la permittivité effective est : ɛ e =.80 La longueur à la résonance est : l = λ 2 = v p 2f = La constante de propagation est c 2f ɛ e = (5 0 9 ).08 = 2.24cm β = 2πf v p = 2πf c ɛe = 5.0 rad/s L atténuation due au conducteur est : L atténuation due au diélectrique est : α c = R s = = Np/m Z 0 w 50( ) α d = k 0ɛ r (ɛ e )tanδ 2 ɛ e (ɛ r ) = (04.7)(2.08)(0.80)(0.0004) 2.80(.08 = Np/m Le facteur de qualité est donc : Q = β 2α = 5.0 2( ) = 783 Gabriel Cormier 3 GELE5222

14 4.3 Résonateurs en guide rectangulaire Des résonateurs peuvent aussi être créés en utilisant des sections de guide rectangulaire. Afin d éviter les pertes dues aux extrémités d un guide terminé par un circuit ouvert, les résonateurs en guide rectangulaire sont terminés par des court-circuits, formant ainsi une boîte fermée. L énergie électrique et magnétique est stockée dans la cavité, et une petite ouverture permet d extraire cette énergie. De la puissance peut être dissipée dans les conducteurs qui forment la paroi de la cavité, ou dans le diélectrique. On commence en premier en dérivant les équations générales pour un mode TE ou TM résonant (il n y a pas de mode TEM dans un guide rectangulaire), puis on calculera le facteur de qualité du mode TE 0l. L analyse pour les autres modes dépasse le cadre de ce texte Fréquences résonantes La figure montre la géométrie d une cavité rectangulaire. Il s agit d une section de guide rectangulaire de longueur d, terminée aux deux bouts (z = 0 et z = d) par un court-circuit. On va calculer la fréquence de résonance de cette cavité en supposant que la cavité est sans pertes, puis on appliquera la méthode de perturbation pour calculer le facteur de qualité. b y 0 a x z d Figure 4.8 Cavité résonante rectangulaire Les champs électriques transverses (E x, E y ) des modes TE mn ou TM mn du guide rectangulaire sont : E t (x,y,z) = ē(x,y)[a + e jβ mnz + A e jβ mnz ] (4.64) où ē(x,y) est la variation transversale du mode, et A + et A sont des amplitudes arbitraires Gabriel Cormier 4 GELE5222

15 des ondes avant et arrière. La constante de propagation du mode mn TE ou TM est : ( ) mπ 2 ( ) nπ 2 β mn = k 2 + (4.65) a b où k = ω µɛ, et µ et ɛ sont la perméabilité et la permittivité du matériau qui rempli la cavité. On applique la condition E t = 0 à z = 0, et donc A + = A. La condition que E t = 0 à z = d donne l équation : La seule solution non triviale (A + 0) a lieu lorsque E t (x,y,d) = ē(x,y)a + 2j sin(β mn d) = 0 (4.66) β mn d = lπ, l =,2,3,... (4.67) ce qui veut dire que la longueur du guide doit être un multiple de λ/2. Un nombre d onde à la résonance peut être définit : (mπ ) 2 ( nπ k mnl = + a b ) 2 + ( lπ d ) 2 (4.68) On peut ensuite faire référence au mode résonant TE mnl ou TM mnl, où m, n et l indiquent le nombre de variations dans les champs dans la direction x, y et z. La fréquence de résonance du mode TE mnl ou TM mnl est : f mnl = ck mnl 2π µ r ɛ r = (mπ ) c 2 ( nπ 2π + µ r ɛ r a b ) 2 + ( lπ d ) 2 (4.69) Si b < a < d, le mode dominant est le mode TE 0, qui correspond au mode TE 0 dans un guide de longueur λ/2. Le mode dominant TM est TM Q du mode TE 0l Pour calculer le facteur de qualité du mode TE 0l, il faut en premier calculer les champs électriques et magnétiques dans la cavité, pour ensuite calculer l énergie emmagasinée. Par la suite, on calcule la puissance perdue à cause des conducteurs et du diélectrique. Gabriel Cormier 5 GELE5222

16 Les expressions des champs sont : ( πx E y = E 0 sin a H x = je 0 Z T E sin ) sin ( πx a H z = jπe ( 0 πx kηa cos a ( ) lπz d ) ( ) lπz cos ) sin d ( ) lπz d (4.70) (4.7) (4.72) L énergie électrique dans la cavité est : W e = ɛ E 4 y Eydv = ɛabd 6 E2 0 (4.73) et l énergie magnétique est : W m = µ (H 4 x Hx + H z Hz)dv = µabd ( V 6 E2 0 V Z 2 T E ) + π2 k 2 η 2 a 2 = ɛabd 6 E2 0 (4.74) en effectuant les simplifications appropriées, ce qui montre que W m = W e. Pour des faibles pertes, on peut appliquer la méthode de perturbations pour trouver la puissance dissipée dans les conducteurs. La puissance perdue est : P c = R s 2 H t 2 ds = R se0 2λ2 murs 8η 2 ( l 2 ab en appliquant les conditions aux frontières appropriées. Le facteur de qualité dû au conducteur est : d 2 + bd a 2 + l2 a 2d + d ) 2a (4.75) Q c = 2ω 0W e P c = (kad)3 bη 2π 2 R s 2l 2 a 3 b + 2bd 3 + l 2 a 3 d + ad 3 (4.76) La puissance perdue due au diélectrique est : P d = J Ē dv = abdωɛ E V (4.77) Le facteur de qualité dû au diélectrique est : Q d = 2ωW e P d = ɛ ɛ = tanδ (4.78) Gabriel Cormier 6 GELE5222

17 Lorsque les deux types de pertes sont présentes, le facteur de qualité total est : ( Q = + ) (4.79) Q c Q d Exemple 3 Une cavité rectangulaire est créée à partir d un morceau de cuivre WR-87 dans la bande H, avec a = cm et b = 2.25 cm. La cavité est remplie de polyéthylène (ɛ r = 2.25, tanδ = ). Si la résonance doit avoir lieu à f = 5GHz, calculer la longueur d nécessaire, et le facteur de qualité pour les modes résonants l = et l = 2. Le nombre d onde est : k = 2πf ɛ r c = 57.08m (4.80) On peut calculer la longueur d nécessaire à partir de l équation 4.69, puisque m = et n = 0, d = pour l =, d = pour l = 2, lπ k 2 (π/a) 2 π = 2.20 cm (57.08) 2 (π/ ) 2 d = 2(2.20) = 4.40 cm L impédance intrinsèque du diélectrique est : η = 377 ɛr = 25.3Ω La résistance de surface du cuivre à 5GHz est R s = Ω, selon l exemple. À l aide de l équation 4.76, on obtient pour l =, Q c = 8403 pour l = 2, Q c = 898 Le facteur de qualité dû au diélectrique est le même pour l = et l = 2, Q d = tanδ = 2500 Gabriel Cormier 7 GELE5222

18 Le facteur de qualité total est : ( pour l =, Q = ) = ( pour l = 2, Q = ) = Les pertes dues au diélectrique sont les pertes dominantes. Un facteur de qualité plus élevé serait obtenu en utilisant de l air au lieu du polyéthylène. 4.4 Cavité cylindrique Un résonateur cylindrique peut être créé à partir d une section d un guide cylindrique court-circuité aux deux bouts, de façon semblable à la cavité rectangulaire. Puisque le mode dominant du guide cylindrique est le mode TE, le mode dominant de la cavité cylindrique est le mode TE. On va définir les expressions des fréquences de résonance des modes TE nml et TM nml, et l équation du facteur de qualité du mode TE nml. Les cavités cylindriques sont souvent utilisées pour mesurer des fréquences. La cavité est construite avec une paroi mobile qui permet de modifier la fréquence résonance. De l énergie est couplée dans la cavité à la résonance ; cette absorption peut être observée avec un appareil de mesure ailleurs dans le circuit. On utilise généralement le mode TE 0 pour mesurer la fréquence, puisque ce mode a un facteur de qualité plus élevé que le mode dominant Fréquences de résonance La géométrie d une cavité cylindrique est donnée à la figure 4.9. On commence avec les solutions aux équations des modes du guide cylindrique, puis on applique les conditions aux frontières nécessaires. Le champ électrique transversal du mode TE nm ou TM nm du guide circulaire est : E t (ρ,φ,z) = ē(ρ,φ)[a + e jβ mnz + A e jβ mnz ] (4.8) où ē(ρ,φ) représentes la variation transversale du mode, et A + et A sont des amplitudes arbitraires des ondes avant et arrière. La constante de propagation du mode TE mn : ( ) p 2 β nm = k 2 nm (4.82) a Gabriel Cormier 8 GELE5222

19 z a d φ x Figure 4.9 Cavité résonante cylindrique et la constante de propagation du mode TM nm est où k = ω µɛ. ou β nm = k 2 ( pnm a ) 2 (4.83) Pour que E t = 0 à z = 0, il faut que A + = A, et pour que E t = 0 à z = d, il faut que A + sin(β nm d) = 0 (4.84) β nm d = lπ, l = 0,,2,3,... (4.85) ce qui veut dire qu il faut que la longueur du guide soit un multiple de λ/2. La fréquence de résonance du mode TE nml est c f mnl = 2π µ r ɛ r et la fréquence de résonance du mode TM nml est (p ) 2 nm + a ( ) 2 lπ (4.86) d c f mnl = 2π µ r ɛ r (pnm a ) 2 + ( lπ d ) 2 (4.87) Le mode dominant TE est le mode TE, et le mode dominant TM est TM 0. La figure 4.0 montre le graphique des modes résonants pour une cavité cylindrique. Ce graphique est important parce qu il montre quels modes sont déclenchés à quelle fréquence, pour une taille donnée de cavité. Gabriel Cormier 9 GELE5222

20 (2af ) 2 (GHz-cm) 2 2,000,500, TM 2 TE 22 TM 02 TE 2 TE 0, TM TE 2 TM 0 TE TM 0 TM (2a/d) 2 Figure 4.0 Graphique des modes résonants d une cavité cylindrique Facteur de qualité du mode TE nml Le facteur de qualité du mode TE mnl est obtenu de la façon que le facteur de qualité du guide rectangulaire. À partir des équations des champs électriques et magnétiques, on peut calculer l énergie électrique et magnétique emmagasinée dans la cavité, et calculer la puissance perdue dans les conducteurs et le diélectrique. À la résonance, l énergie électrique est égale à l énergie magnétique, et on a : W = 2W e = ɛ 2 d z=0 = ɛk2 η 2 a 2 H 2 0 πd 8(p nm) 2 2π a φ=0 ( n p nm ( E ρ 2 + E φ 2 )ρdρdφdz ρ=0 ) 2 J 2 n(p nm) (4.88) La puissance perdue dans les murs (conducteurs) est : P c = R s H 2 tan 2 ds S = R ( ) 2 ( ) s 2 πh2 0 J2 n(p nm) da βan βa 2 2 ( 2 ) + (p nm) 2 + n2 (p nm) 2 p nm (4.89) Gabriel Cormier 20 GELE5222

21 Le facteur de qualité dû aux conducteur est : Q c = ω 0W P c ( = (ka)3 ηad 4(p nm) 2 R ( ) 2 ] s da βan 2 [ + (p nm) + 2 n p nm ) 2 ( βa 2 p nm ) 2 ( n2 (p nm) 2 ) (4.90) Les seuls termes dans l équation 4.90 qui dépendent de la fréquence sont k et R s. Le facteur de qualité a donc une dépendance / f sur la fréquence. La figure 4. montre le facteur de qualité normalisé pour quelques modes. Noter que le mode TE 0 a un facteur de qualité significativement plus élevé que les modes d ordre inférieur TE et TM QR s /πη TE 02 TE 0 TE TM a/d Figure 4. Graphique des modes résonants d une cavité cylindrique Pour calculer Q d, on doit calculer la puissance perdue dans le diélectrique : P d = 2 V J E dv = ωɛ k 2 η 2 a 4 H 2 0 8(p nm) 2 ( ) 2 n p nm Jn(p 2 nm) (4.9) avec le résultat que Q d = ωw P d = tanδ (4.92) Exemple 4 Une cavité résonante cylindrique ayant d = 2a doit résonner à 5GHz au mode TE 0. Si la cavité est construite de cuivre et remplie de Teflon, trouver ses dimensions et calculer le Gabriel Cormier 2 GELE5222

22 facteur de qualité. Le nombre d onde est : k = 2πf 0 c ɛr = 2π(5 09 ) = 5.0 m On sait que la fréquence de résonance est : (p c f 0 = 2π ɛ r avec p 0 = Puisque d = 2a, 2πf 0 ɛr c = k = 0 a (p 0 a ) 2 ( ) π 2 + d ) 2 ( π 2 + 2a) On résout l équation précédent pour trouver a : (p a = 0 ) 2 + (π/2) 2 (3.832) 2 + (π/2) 2 = = 2.74 cm k 5.0 et d = 5.48cm. La résistance de surface du cuivre à 5GHz est R s = 0.084Ω. Avec n = 0, m = et l =, on obtient, avec d = 2a, pour le facteur de qualité, Q c = (ka)3 ηad 4(p nm) 2 R s [ad/2 + (βa 2 /p 0 )2 ] = kaη 2R s = Le facteur de qualité dû au diélectrique est : Q d = tanδ = = 2500 et le facteur de qualité total est : ( Q = + ) = 2300 Q c Q d 4.5 Couplage des résonateurs Pour coupler de l énergie d une source externe à un résonateur, il faut un circuit externe. De façon générale, la méthode de couplage dépend du type de résonateur. Quelques exemples sont donnés à la figure 4.2. Gabriel Cormier 22 GELE5222

23 Ligne microruban Ligne résonante Couplage capacitif a) Couplage par ligne microruban Cavité résonante Cavité résonante Guide d onde ouverture b) Couplage par ouverture dans un guide d onde c) Couplage par câble coaxial Figure 4.2 Circuits de couplage 4.5. Couplage : résonateur ligne de transmission à un générateur Il y a plusieurs applications où on doit forcer la fréquence d oscillation d un générateur à une valeur spécifique ; on peut forcer cette fréquence en couplant la source à un résonateur. Si le facteur de qualité Q chargé est assez élevé, la fréquence d opération ne variera pas. Une première approche est de coupler directement le résonateur au générateur, comme à la figure 4.3. Si le résonateur est une ligne de transmission terminée par un circuit ouvert, et que la longueur de la ligne est : l = (2n ) λ g 4 n =,2, (4.93) Gabriel Cormier 23 GELE5222

24 R g l V g R G Z 0 faibles pertes α Générateur Ligne de sortie Résonateur Figure 4.3 Résonateur couplé par ligne de transmission on peut modéliser le circuit équivalent du résonateur comme un circuit RLC série, où R = αlz 0 = 2n αλ 4 g Z 0 (4.94) L = Q rr = 2n π Z ω r 4 ω 0 r (4.95) C = ω 2 r L = La résistance R représente les pertes (faibles) du résonateur. Le circuit équivalent montré à la figure (2n )πω r Z 0 (4.96) + R G R L V g C Générateur Figure 4.4 Circuit équivalent du résonateur couplé par ligne de transmission Le facteur de qualité du circuit avec charge est : Q L = ω rl R = ω rl R + R G (4.97) Typiquement, la résistance du générateur est R G = 50Ω, et R < Ω (faibles pertes), et le facteur de qualité est : Q L ω rl (2n )π Z = 0 (4.98) R G 4 R G Gabriel Cormier 24 GELE5222

25 Pour avoir un résonateur le plus court possible, n =, et puisque Z 0 /R G, Q L π 4 < (4.99) ce qui n est pas très utile en pratique. La plupart des applications pratiques nécessitent Q L 0 afin d avoir une largeur de bande d au plus 0%. Les seules options possibles pour augmenter le facteur de qualité du sont de réduire R G, augmenter Z 0 ou augmenter n; ce sont trois options qui ne sont pas pratiques. Une approche commune est d ajouter une capacitance C g entre le générateur et le résonateur, comme à la figure 4.5. R g C g l V g R G Z 0 Générateur Ligne de sortie Z in = jx Résonateur Figure 4.5 Résonateur couplé par ligne de transmission et condensateur Si la résistance R est faible, le facteur de qualité sans charge Q r du résonateur sera élevé. Il faut vérifier si l ajout du condensateur C g va modifier le facteur de qualité externe Q e de la combinaison condensateur-résonateur. Puisque : Q L = Q r + Q e (4.00) et que Q r est élevé, on obtient Q L Q e. On peut donc dire que le résonateur est sans pertes. Essentiellement, l impédance Z in appliquée au générateur est purement réactive : ( Z in = jx = j ) Z ωc 0 cot(βl) (4.0) g La résonance a lieu lorsque X = 0, c est-à-dire lorsque : ωc g = Z 0 cot(βl) (4.02) Lorsque C g est présent dans le circuit, le résonateur n a plus une longueur donnée par : l = 2n λ 4 g (4.03) Gabriel Cormier 25 GELE5222

26 Il faut trouver la longueur appropriée pour obtenir la résonance, étant donné C g, Z 0 et ω r à l aide de l équation Le terme cot(βl) est une fonction non-linéaire de fréquence : le résonateur ne peut pas être modélisé par une inductance indépendante de la fréquence. Il va falloir calculer Q e à partir d équations de base. Soit L i et C i l inductance et la capacitance par unité de longueur du résonateur. L énergie moyenne magnétique et électrique emmagasinée dans le résonateur est : W m = 4 W e = 4 0 l 0 La tension et le courant du résonateur sont : l I(z)I (z)l i dz (4.04) V (z)v (z)c i dz (4.05) V (z) = 2V + 0 cos(βz) (4.06) I(z) = j2 V + 0 Z 0 sin(βz) (4.07) Puisque Z 0 = L i /C i, C i = L i /Z0 2, et on peut simplifier et calculer l énergie totale : W m + W e = L i 4 = l L i 4 2V 0 + Z 0 2V + 0 Z l (sin 2 (βz) + cos 2 (βz)dz (4.08) La chute de tension aux bornes du condensateur est : V cg = I(z = l) jωc g (4.09) et donc l énergie moyenne emmagasinée dans le condensateur est : et la puissance perdue dans R g est : W g = 4 V cg 2 C g = 2V Z 0 2 ω 2 r C g sin 2 (βl) (4.0) P l = 2 I(z = l)i (z = l)r g = 2 R 2V g sin 2 (βl) Z 0 (4.) Gabriel Cormier 26 GELE5222

27 ce qui donne : où W = l énergie moyenne totale emmagasinée : et donc : W = W m + W e +W g = 2V 0 + } {{ } 4 Z 0 résonateur Q e = ω r W P l (4.2) 2 ll i + ωr 2 sin 2 (βl) (4.3) C g Q e = ω r ll i + ω 2 r C g sin 2 (βl) 2R g sin 2 (βl) = ω r C g + ω r ll i csc 2 (βl) 2R g = Z [ 0 ( + ω 2R g ω r C g Z r ll i + cot 2 (β 0 Z r l) ) ] 0 (4.4) On peut simplifier un peu plus, puisque β r = ω r Li C i = ω r L i /Z 0. En utilisant la condition de résonance (équation 4.02), et les simplifications précédentes, on obtient : Q e = Z 0 2R + β g ω r C g Z r l 0 ( + ω r C g Z 0 ) 2 (4.5) On peut donc choisir une valeur de C g qui est suffisament petite pour que Q e soit plus grand que 0. Exemple 5 Un générateur ayant une résistance interne R g = 50Ω, adapté à une ligne de transmission Z 0g = 50Ω, est couplé à un résonateur ligne de transmission à l aide d un condensateur de.4pf. Le résonateur est de longueur l et d impédance Z 0r = 40Ω. La longueur de la ligne est choisie de sorte que la fréquence de résonance soit GHz. La ligne de sortie et le résonateur sont construit en microruban, et le condensateur est créé en ajoutant un faible espace dans la ligne de transmission. Calculer l/λ r et Q e. À l aide des données du problème, ) β r l = cot ( = rad ω r C g Z 0r Gabriel Cormier 27 GELE5222

28 et le rapport l/λ r est : l = β rl λ r 2π = On peut ensuite trouver le facteur de qualité : Q e = Z 0 2R + β g ω r C g Z r l 0 ( + ω r C g Z 0 ) 2 =.32 On peut tracer le graphe du facteur de qualité en fonction du condensateur de couplage. Un condensateur plus petit donne un meilleur facteur de qualité Q e C g (pf) Figure 4.6 Facteur de qualité vs C g pour l exemple 5 Gabriel Cormier 28 GELE5222