ECONOMIE DE LA DECISION EXERCICES CORRIGES

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1 ECONOMIE DE L DECISION EXERCICES CORRIGES Laurence BDIE - LICTIONS SSURNCE Exercice Soit un individu dont la onction d'utilité est la suivante: U (W) (W) a où W est la richesse de l'individu. Cet agent a une richesse initiale de qu'il investit entièrement dans un studio à la montagne. Devant renouveler son assurance incendie pour l'année à venir, cet individu a estimé que la probabilité d'un incendie est égale à 0% (Lors d'un incendie, le studio est entièrement détruit). Une compagnie d'assurance lui propose un contrat qui lui ore comme indemnité I a X en cas de sinistre + λ E X où : contre paiement d une prime ( ) ( ) X le montant de la perte λ le acteur de chargement appliqué par la compagnie d'assurance la part de la perte prise en charge par la compagnie d'assurance avec 0 Question : Quelle est la prime d'assurance maximale que l'individu est prêt à payer pour une couverture complète? Quelle relation existe-t-il entre cette prime maximale et la notion de prime de risque? Evaluer ces primes pour a0., a 0.5 et a. Commentez les valeurs obtenues. rime maximale prime qu il est prêt à payer pour proiter d une couverture complète Elle vériie donc: Eu(assurance complète) Eu(sans assurance) Eu w pu w X ) + ( p) u( Sans assurance : ( ) ) ( 0 w0 w pu( w0 X + X ) + ( p) u( w0 ) u( w0 u w max Eu w vec assurance complète : Eu( ) ). La prime maximale qu il est prêt à payer est donc telle que : ( ) ( ) notion de prix de vente!!! On aura donc p v - max et donc max E( X ) + Π sinistre et Π la prime de risque. 0, c est donc l inverse de la où E(X) est l espérance de Lorsqu il court le risque de perdre avec proba 0., l agent a comme espérance d utilité : Eu w 0,9u ,u 0 0, ( ) ( ) ( ) ( ) a u w max max De la même açon, ( ) ( ) a max max a a max / a Donc, u( w ) Eu( w ) ( ) 0,9( 00000) 00000( 0, ) 0 9 insi pour a0, : max ( 0,9 5 ) La relation entre la prime de risque et la prime maximale est max E( X ) + Π, donc comme E ( X ) 0,* ,

2 Π La prime de risque de l agent est alors positive, il est donc averse au risque. insi pour a/ : max ( 0,9 ) Donc Π La prime de risque de l agent est positive, il est donc averse au risque. RMQ : le coeicient d aversion pour le risque est a(w)(-a)w -, pour a 0. il vaut 0.8w - et pour a 0.5 il vaut 0.5w -. lus a est aible, plus il est averse au risque. insi pour a : max ( 0,9 ) Donc, Π La prime de risque de l agent est alors nulle, il est donc neutre au risque. Question : Si la compagnie d assurance ne prélève aucun rais de gestion, quel seront le taux de couverture choisi par notre agent et le montant de sa prime d assurance pour a0.5? pour a 0.? Lorsque le taux de chargement est nul, quel que soit son degré d aversion au risque, un agent averse au risque choisira toujours de s assurer complètement! Donc 00 %, I en cas de perte, % sinon et ( ) 000 Question 3 : Mêmes questions si à présent le acteur de chargement λ 50%. Dans ce cas là la richesse inale dans les diérents états de la nature s écrit : Si pas de perte (avec proba 0,9) : ( ) w , Si perte (avec proba 0,) : L + I , w Donc son espérance d utilité s écrit : EU deu deu ( ) 0,9( ) a + 0,( ) a w ( w ) d ( w ) d ( ) qui est maximum pour tel que : 0,9 a a ( 30000) a( ) + 0,70000 ( ) a( ) 0 a ( ) 7000( a ) : On peut simpliier des deux côtés : deu ( w ) d : a ( ) 7( a ) Les valeurs du contrat d assurance vont varier en onction de l aversion pour le risque de l agent. On montre que l agent choisira de ne s assurer que partiellement, et plus son aversion/risque est importante, plus il choisira une couverture élevée (mais tjs < puisqu'il n'est jamais optimal pour lui de s'assurer totalement). our a0., la CN s'écrit: ,5-6 85,87, ce qui nous donne alors * On a donc *60,04%, * 8 0 et I* our a0.5, la CN s'écrit: ,69 893a, ce qui nous donne alors * On a donc *43,59% et * 4 565,7 et I* 87 79,50. Question 4 : Supposons à présent que l individu possède en plus de son studio un place ment monétaire de Cela modiie-t-il les résultats obtenus aux ques tions précédentes? Commentez. Il s'agit de regarder comment se modiie la décision d'assurance lorsque la richesse initiale de l'individu s'accroît. Il apparaît alors que notre agent, devenu plus riche, optera pour un contrat d'assurance lui orant

3 une couverture moins importante (ce qui est en général observé dès lors que les préérences d'un tel agent sont DR). a0. a0.5 a Π 8444 Π 483 Π 0 a0.5 a et 3. et I et 096 et I7307 Exercice Un armateur, dont la onction d utilité est u( w) ln( w) possède une lottille évaluée à , souhaite assurer un navire évalué à La probabilité pour que son navire soit détruit est de %. Une compagnie d'assurance lui propose de l'assurer contre ce risque de sinistre. Question : Comment l'assureur détermine-t-il la prime actuarielle correspondant à une couverture totale du risque? Quel sera ici son montant? our une assurance totale, l'assureur versera une indemnité I L et percevra une prime qui doit lui permettre au moins de couvrir l'indemnité espérée. Le proit réalisé par l'assureur sur la couverture du sinistre est ainsi égal à pl. La prime qui lui permet tout juste de couvrir l'indemnité espérée vaut donc pl, c'est la prime actuarielle telle que son proit est nul. Cette prime représente donc le «juste» prix du risque. Elle vaut ici Question : Quelle est la prime maximale de pleine assurance que l armateur serait prêt à payer pour se garantir totalement contre la perte de son navire? Si l'armateur n'assure pas son risque, alors son espérance d'utilité sera ( ) w + % ( ) 8, 40 Eu( w ) 99% u 0 u Si l'armateur achète à un prix une assurance totale, sa richesse inale sera la même quel que soit l état de la nature qui se réalisera : ~ W w Il serait prêt à payer un prix max pour être totalement couvert, tel que son utilité avec cette assurance soit au moins égale à celle qu il aurait sans, soit u( max ) 8,40. Il nous aut donc résoudre ln( max ) 8,40, soit ce qui nous donne max 68 05,3. Question 3 : En déduire le montant de la prime de risque de l armateur pour la perte de son navire. Commentez la relation entre la prime d'assurance maximale et cette prime de risque, et en déduire le taux de chargement maximal que la compagnie pourrait ixer pour cet armateur. La prime maximale qu'est prêt à payer l'armateur est égale à la prime actuarielle + la prime de risque: max a + : cela signiie que l'armateur est prêt à payer au-delà du juste prix du risque pour bénéicier d'une couverture complète. Ce supplément correspond précisément à la prime de risque. Dans notre cas, la prime de risque est ainsi égale à 68 05, ,3. Cela signiie que l'assureur pourrait au maximum appliquer un taux de chargement λ 8 05,3, soit λ 36,0%! La compagnie d assurance propose à l armateur un contrat de co-assurance avec un taux de chargement de %. Question 4 : Déterminez, en expliquant votre démarche, le contrat d'assurance optimal qui sera choisi par l'armateur. Quel sera alors avec ce contrat son espérance d'utilité? L'armateur a-t-il choisi un taux de couverture de 00%? ourquoi? 3

4 Dès lors que la prime d'assurance est chargée, l'armateur ne choisira jamais un contrat de pleine assurance. Celui qui maximise son utilité est celui qui maximise son espérance d'utilité. Un contrat d'assurance sera caractérisé par une indemnité proportionnelle au sinistre I en cas de sinistre et une prime chargée ( + λ) E( L) soit : (,0) Si pas de perte (avec proba 0,99) : Si perte (avec proba 0,0) : w Donc son espérance d utilité s écrit : EU w ( ) 99 % ln( ) + % ( ) w qui est maximum pour tel que : deu d En simpliiant, on obtient donc: ( w ) 99% ( 5000) ( ) 75,5 5,45 %( ) % 5 %(4949) 50, , , ,4 ( ,949 ) 49,49( 00 0,5 ) Et donc notre armateur choisira une taux de couverture optimal : * 55,4% L'armateur ne s'est donc pas assuré à 00%, mais a opté pour un contrat d'assurance l'indemnisant à hauteur de I* pour une prime d'assurance de * 8 60,73. vec un tel contrat, son espérance d'utilité vaut alors..., ce qui plus que ce qu'il aurait pu avoir en ne s'assurant pas. - LICTIONS CHOIX DE ORTEFEUILLE Exercice Vous êtes le manager d un onds d investissement. Ce ond a une espérance de rentabilité de 7% et un écart type de 7%. Il est également possible pour un investisseur de placer son argent dans des obligations du Trésor et de réaliser ainsi un placement au taux sans risque de 7%. Question - L un de vos clients est une compagnie d assurance. Cette compagnie vous a conié un porteeuille de milliard d. En moyenne la compagnie doit aire ace à des versements nets pour un montant annuel de 00 millions d. Comment devriez vous répartir les actis dans le ond et dans l acti sans risque pour aire ace en moyenne aux besoins en cash de votre client? Il aut que le placement de ce client ait un rendement de 00 pour 000, soit 0% ( aléatoire donc en espérance). L espérance d un p composé en proportion d acti risqué et en proportion (-) d acti sans risque est : E()7%+(-)7% 0,+0,07 sera de 0% si 30%. Il aut donc lui proposer un p composé à 30% d acti risqué et 70% d acti sans risque. Question - Un autre de vos clients est une caisse de pension. Les statuts de la caisse limitent cette dernière dans son exposition au risque. u maximum elle peut avoir une exposition au risque de 0%. quelle espérance de rentabilité ce client peut-il s attendre? Ce client là accepte au maximum un risque de 0 %. L écart-type d un p vaut σ σ x 7% qui doit donc être égal à 0%, soit le manager peut donc lui proposer un p composé à 74,07% d acti risqué et 35,93% d acti sans risque, qui lui rapportera un rendement moyen de E() 4,4 % Question 3- uis il y a Gaston, un autre client qui maximise son utilité. Celle-ci est donnée par U(x) E(x) 0,5 kσ où k 3,5. Que représente le paramètre k? Quelle proportion de sa richesse devrait il investir dans votre onds? Expliquez bien les étapes de votre raisonnement, vos calculs et le résultat obtenu. 4

5 k représente l aversion pour le risque de l individu. S il investit une part de sa richesse initiale dans l acti risqué et le reste dans l acti sans risque, il E w w et comme variance : aura comme richesse inale : ( ) 0 σ ( w ) Var( r ) (7%) B L agent a une onction d utilité de type Markowitz, donc, l utilité de la richesse inale de l agent est : u w w k ( ) ² Le maximum est atteint pour du w k 0soit d k (c est plus intelligent de ne pas ixer k puisqu il va changer à la question 6). Mais pour le moment, k 3,5 et donc (9,60%) Question 4- ourquoi le porteeuille optimal de Gaston ne dépend-t-il pas de son niveau de richesse initial? Car la richesse initiale n est pas aléatoire et n inlue pas directement (si l on raisonne en part de la richesse investie) sur la variance du porteeuille. Son utilité espérée est donc déinie à une constante (w 0) près : le montant investi sera donc identique. Question 5- Comment se modiie le choix optimal de Gaston si à présent on suppose que k 4,5? Commentez. our k4.5 on a 0.54 soit 5,4% Son aversion pour le risque augmente, il diminue donc la part qu'il va investir dans l'acti risqué! Question 6- On suppose maintenant que votre onds est composé de trois actis élémentaires dont les parts relatives (proportions) sont : action : 7%, action B: 33%, action C: 40%. Considérez encore l investisseur de la question 3, Gaston. Quelles sont les proportions en, B et C dans son porteeuille? Si sa richesse est de 000 quelle somme aura-t-il placé dans, B, C et dans l acti sans risque? Exercice Un investisseur est caractérisé par une onction d utilité de type Markovitz. Il désire investir son argent dans des actis risqués, et s intéresse plus particulièrement aux deux actis et B dont les caractéristiques sont les suivantes : Espérance de Rendement Variance cti 7%,00% cti B 0% 30,00% De plus la corrélation entre les actis risqués est notée ρ. Question - Est-il possible de construire un porteeuille composé de ces deux actis risqués dont le rendement soit supérieur à 0%? Justiiez votre réponse. Question - our les 3 cas de igure suivants : ρ, ρ 0, ρ 0.5 et ρ -, quel est le porteeuille le moins risqué que l on puisse composer à partir de ces deux actis? Quelle est alors la variance de ce porteeuille et son espérance de rendement? Question 3- Représentez graphiquement l ensemble des porteeuilles possibles correspondant aux 4 cas (approximativement) et commentez. Question 4- Supposons à présent qu il existe un acti sans risque et limitons-nous dans tout ce qui va suivre au cas où seul l acti risqué B est retenu pour constituer un porteeuille avec l acti sans risque. Le rendement de l acti sans risque est i 5%. Quels seront les porteeuilles ( notés et ) choisis par deux investisseurs dont les onctions d utilité sont respectivement : U E( r ) 0,5 ( r ) et U σ E( r ) σ ( r )? roposez une représentation graphique détaillée permettant d illustrer le choix optimal de chacun des ces investisseurs. 5

6 Correction : On suppose que les ventes/achats à découvert ne sont pas autorisés Un porteeuille constitué de ces actis dans des proportions Α et Β (avec Β (- Α)) s écrit : Α E + Β Β. Son espérance de rendement est r ) E( r ) + ( ) E( ) soit [ E( r ) E( r )] ( r E( r ) E( rb ) + B et son risque est mesuré par la variance du rendement : σ ( r ) ( ) σ ( r ) + ( ) ο ( r ) + ( ) ρσ ( r ) σ ( r ) B B Question - ar construction, l espérance de rendement du porteeuille est linéaire, et vaudra 0 % si le porteeuille est constitué à 00% de l acti B. Elle ne pourra pas être supérieure à partir du moment où il n est pas possible de vendre/acheter un des titres à découvert. Question - Le porteeuille le moins risqué qu il est possible de constituer à partir de deux actis risqués est appelé p de variance minimale. Question 3- pour aire plus lisible, je n'ai mis que 3 cas. E 0% 8,38% min 8,7% ρ - ρ 0 min min ρ B 7% 0%,70% % 30% σ 6

7 Sur ce graphique, sont représentés, pour chaque niveau de corrélation entre les titres, les ensembles de porteeuilles réalisables. lus la corrélation entre les titres se rapprochent de -, plus il est possible d obtenir des porteeuilles de moins en moins risqués. our chaque cas, la variance du porteeuille est toujours inérieure ou égale à la variance des actis pris séparément (notamment du moins risqué d entre eux!) et même que la somme pondérée des risques des deux actis! ar exemple, pour ρ 0, il est possible d obtenir plusieurs porteeuilles dont le risque est plus aible que l acti le moins risqué! (en eet, prenons par exemple min dont le risque global est de,70% <%!!). insi, pour que la diversiication produise ses eets, il n est pas nécessaire d avoir une corrélation négative (comme intuitivement on pourrait le penser), elle doit seulement être diérente de. Enin, la diversiication d un porteeuille est d autant plus eicace que la corrélation entre les titres est aible. Question 4 - Ces deux investisseurs ont des onctions d utilité de type Markowitz, où le seul paramètre qui les diérencie est le coeicient d aversion pour le risque. Il vaut k0,5 pour l agent et k pour l agent. L utilité d un agent est donc du type : U E( r ) kσ ( ). r Un porteeuille composé d acti sans risque et de l acti B a pour rendement moyen et variance : E( r ) E( rb ) + ( ) i 5% + (0% 5%) 5% + 5% et σ ( r ) σ B 30%. L investisseur ne tient compte que de l espérance de rendement du porteeuille et de son risque. Un agent dont les préérences peuvent être représentées par le critère de choix de Markowitz va donc choisir solution de : maxu E( r ) kσ soit maxu 5% + 5% 30% k. Le maximum est atteint pour du 5% 60% k 0 soit d * 4k insi, pour l agent ( coeicient d R 0,5) le porteeuille optimal est le porteeuille composé à * 50% d acti risqué B et pour l autre moitié d acti sans risque. our l agent ( coeicient d R ), le porteeuille optimal est le porteeuille composé à * 5% d acti risqué B et à 75% d acti sans risque. La proportion de l acti risqué dans le porteeuille est d autant plus aible que l individu a plus d aversion pour le risque ( agent B / agent ). Le porteeuille de l agent procure un rendement espéré E( r ) 50% + 50% 75% pour une variance ( ) 5% Exercice 3 σ. r Le directeur inancier de la société X dispose d un excédent de trésorerie de qu il désire placer sur les marchés inanciers. Le choix du directeur inancier a porté sur deux titres risqués a et a, et un acti sans risque a 0. Le tableau ci-dessous résume les caractéristiques inancières des trois titres : a a a 0 Taux de rendement espéré (%) Ecart-type (%) La corrélation entre les actis risqués est supposée nulle ( ρ 0), tout comme celle entre l'acti sans risque et chacun des deux actis risqués. On suppose de plus que l'utilité du directeur inancier peut être représentée par une onction d'utilité de type Markowitz qui a la orme suivante: u(x) E(x)- kσ x Question : Le directeur inancier aura-t-il intérêt à diversiier ses placements ou bien doit-il plutôt choisir d'investir dans un seul de ces 3 titres? Justiiez bien votre réponse. Le directeur inancier aura intérêt à placer une part non nulle de son revenu dans au moins un acti risqué car chacun de ces actis ore une espérance de rendement supérieure à l acti sans risque : E(r )0% >i4% et E(r )5% >i 4%. De plus, la corrélation entre les titres risqués est nulle, il sera donc possible de diminuer le risque du porteeuille global en diversiiant ses placements, i.e en investissant dans les deux actis risqués. Quant à l'arbitrage entre ces actis risqués et l'acti sans risque, on ne peut pas savoir (sans aire de calculs supplémentaires) s'il sera ou non optimal pour lui d'investir une part non nullle dans l'acti sans risque. 7

8 Question : Qu'appelle-t-on la rontière des porteeuille d'actis risqués eicients (FE)? Déterminez son équation en expliquant votre démarche (attention, pour l'instant, on ne tient pas compte de l'acti sans risque) L ensemble des porteeuilles eicients (FE) regroupe les porteeuilles les plus rentables associés à chaque niveau de risque ( ou de la même açon, ceux qui ont le risque minimum pour un rendement espéré donné). partir du moment où l investisseur est rationnel, il choisira toujours un porteeuille appartenant à la rontière des porteeuilles eicients. Tout porteeuille composé des deux actis risqués en proportion (pour l'acti ) et (-) (pour l'acti ) est caractérisé par son espérance de rendement E ( ) 0% + 9% et son risque mesuré par sa variance: σ ( r ) 6% ( ) + 4%( ) 0% 8% + 4% De, E ( ) 0% + 9% on peut en déduire que r l expression de la variance : σ ( r E( r ) 0% ) 0% 9% 4,69E( r ),33E ( r ) + 4,78 r E( r ) 0% 9% E( r ) 0% 8% + 4% 9% et donc en remplaçant dans Ceci est l équation de la FE, qui est délimitée par le porteeuille de variance minimale min que nous allons calculer ci-dessous. Question 3 : Quel est le porteeuille le moins risqué pouvant être constitué avec les seuls actis risqués et? Vous donnerez notamment sa composition, son espérance de rendement ainsi qu'une évaluation de son risque. ourquoi n'est-il pas possible d'obtenir un porteeuille de variance nulle? Le porteeuille le moins risqué qu il est possible de constituer à partir de deux actis risqués est appelé p de variance minimale : min. C'est donc celui qui minimise la variance du porteeuille d'actis risqués, soit minσ ( r ) 0% 8% + 4% qui est solution de dσ ( r ). Le porteeuille de variance minimale est composé à 0% d'acti risqué et donc à 80% d'acti risqué. Ce porteeuille a une espérance 40% 8% 0 0% d de r rendement E ( min ) 0% + 9% 0%,8% et un risque (qui est le plus aible pouvant être obtenu à partir de ces deux actis risqués σ ( ) min 0% 4% 8% 0% + 4% 3,% soit un écart-type σ ( min ) 7,88%. r r On a bien diminué le risque du p en construisant un p moins risqué que l'acti risqué le moins risqué! Mais on n'a pas pu éliminer le risque complètement, puisque cela n'est possible que pour une corrélation entre actis risqués paraitement négative, soit pour ρ -. Question 4: roposez une représentation graphique (approximative mais proprement réalisée) de la FE ainsi que du porteeuille évalué à la question 3. (c graphique présenté en question 8) Question 5: Déterminez graphiquement le porteeuille d'actis risqués optimal (on le notera M) en expliquant bien votre démarche. Le choix de ce porteeuille M est-il dépendant du niveau d'aversion ace au risque du directeur inancier? ourquoi? Le choix du porteeuille d actis risqués est indépendant des préérences de l investisseur puisqu il est optimal pour n importe quel investisseur rationnel de choisir le porteeuille qui maximise le ratio de Sharpe (pente de la droite risque rentabilité (im) sur le graphique), i.e celui qui procure le rendement/unité 8

9 de risque le plus élevé. Ce porteeuille qui est donc le même pour tous et il est appelé M : porteeuille de marché. (c graphique présenté en question 8) Question 6: Le directeur inancier a évalué le porteeuille M dont les caractéristiques sont les suivantes: E(r M ) 3,48% et σ Μ 9,80%. Quelles sont les proportions d'actis et qui composent ce porteeuille? Comme E ( r M ) 0% + 9% 3,48% on en déduit que M 38,67%. On peut donc en conclure que tous les investisseurs investiront dans les actis risqués selon les même proportions: 38,67% de la part risqué du p dans l'acti et donc 6,33% dans l'acti. Question 7 : En supposant que k, quel pourcentage de sa trésorerie le directeur inancier va-t-il investir dans le porteeuille M? et dans l acti sans risque? Vous présenterez en détail le programme que résout l agent pour déterminer le porteeuille global optimal G* en expliquant votre raisonnement, Quels seront en déinitive les montants investis dans chacun des 3 titres a 0, a et a? Le choix de la répartition entre M et l acti sans risque dépend ondamentalement de l aversion/ace au risque de l investisseur. Le porteeuille global ainsi constitué est alors le porteeuille G M+ (-) a 0 qui est celui qui maximise l espérance d utilité de l investisseur. L agent va choisi la part de sa richesse qu il va investir dans le p risqué M (le reste étant investi dans l acti sans risque), de açon à maximiser l espérance d utilité de sa richesse inale u(x) E(x)- σ x. La seule chose qui l intéresse dans son choix est donc l espérance E( ) 4% + 9,48% r G et la variance du rendement de son placement, qui ne dépend que de la part risquée σ G 3,9%. Cela revient à résoudre le programme d optimisation suivant : Max U 4% + 9,48% 3,9%. La CN est vériiée pour un agent de type Markowitz averse au risque. Il suit donc de résoudre la condition nécessaire du premier ordre pour déterminer le optimal. CN 9,48% 7,84% 0 0,9% > 00%! Cela signiie que, s il le pouvait, l agent investirait 0,9% de sa richesse dans le p d'actis risqués M. S il ne peut acheter à découvert, alors son choix optimal est donc d investir 00% dans ce porteeuille: G M. Les proportions de chaque acti dans le p sont donc : a 0 0%, a 38, 67% et a 6,33%. Soit en montants: a 0 0 a et a 66. Question 8: Complétez le graphique de la question 5 en illustrant le choix de placement optimal du directeur inancier. E DRR max 0% M G i 5% σ 9

10 Exercice 4 Un agent dispose d une richesse initiale w Il envisage de placer une raction de sa richesse dans des placements risqués dont le taux de rendement est aléatoire. Le reste de sa richesse est laissée en dépôt sans risque, lui rapportant un taux de rentabilité de i 3%. Deux types de placements risqués sont disponibles sur le marché, leurs rendements étant indiqués dans les tableaux suivants : lacement (acti risqué ) lacement (acti risqué ) robabilités Rendement 0, 8% 0,3 4% 0,6 % robabilités Rendement 0, 6% 0,4 3% 0,4 % L investisseur est caractérisé par un onction d utilité : U(x) E(x) 0,05 σ (x), où E(x) est l espérance de rendement de son placement et σ (x) la variance du rendement. Question : ouvez-vous airmer que l individu choisira de placer une raction positive de son revenu dans au moins l un des actis risqués? rgumentez votre réponse par les calculs (simples) appropriés. Notre agent a de l aversion pour le risque (onction d utilité de type Markowitz avec coeicient d aversion pour le risque k 0,05 ). Il n est jamais optimal pour un agent averse au risque d investir dans un acti risqué dont le rendement serait, en espérance, inérieur au taux sans risque. Si l on calcule l espérance de rendement de chaque acti risqué, l on obtient : E ( r ) 3,0% et E ( r ) 3,0%. Ces deux actis ont la même espérance de rendement. Ce rendement moyen est supérieur au taux sans risque i 3% donc l individu choisira de placer une raction positive de son revenu dans au moins l un des actis risqués (voire les deux!). Question : Supposons pour le moment que ces deux placements sont mutuellement exclusis, lequel des deux placements risqués l individu va-t-il choisir? Justiiez en détail votre réponse. lacements mutuellement exclusis investissement dans acti sans risque + investissement dans un acti risqué ou dans l autre, mais pas dans les deux. On est donc ramené ici au choix d un investisseur qui doit placer son argent dans un acti sans risque qui rapporte du 3% + un acti risqué de rendement espéré 3,0%. armi les deux placements risqués, s il doit aire un choix, il optera orcément pour l acti. En eet, les variances du rendement de chaque titre sont 0,0336% σ 0.06% σ et : l acti est le moins risqué pour un même rendement espéré de 3,0 %, il sera donc orcément prééré à l acti par un investisseur ayant de l aversion pour le risque. Question 3 : Une ois son choix d acti risqué eectué, quel montant (en ) de sa richesse va-t-il investir dans cet acti risqué? et dans l acti sans risque? Vous présenterez en détail le programme que résout l agent en expliquant votre raisonnement. L agent va choisi la part de sa richesse qu il va investir dans le titre risqué (le reste étant investi dans l acti sans risque), de açon à maximiser l espérance d utilité de sa richesse inale. Or cet agent étant de type Markowitz, la seule chose qui l intéresse dans son choix sont l espérance et la variance du rendement de son placement. Cela revient à résoudre le programme d optimisation suivant : MaxU 3% + 0,0% 0, % max3 + 0, 0,0008 max 0,008 La CN est vériiée pour un agent de type Markowitz averse au risque. Il suit donc de résoudre la condition nécessaire du premier ordre pour déterminer le optimal. 0

11 CN 0,06 0 9,6 >! Cela signiie que, s il le pouvait, l agent investirait 960% de sa richesse dans l acti risqué. S il ne peut acheter à découvert, alors son choix optimal est donc d investir 00% (toute sa richesse ) dans l acti risqué, et rien dans l acti sans risque. (On trouve ce résultat car l agent a peu d aversion pour le risque!!). Question 4 : Si sa richesse initiale augmentait, comment évoluerait la part (en %) de sa richesse placée en acti risqué? Justiiez votre réponse sans aire de calculs supplémentaires. Elle serait inchangée puisque la proportion d acti risqué optimale est indépendante de la richesse initiale. Seul le montant investi (en ) varierait (proportionnellement) avec la richesse de départ. Question 5 : Supposons à présent que l investisseur puisse simultanément investir dans les deux actis risqués (il peut toujours également investir dans l acti sans risque). La corrélation entre les deux actis risqués est ρ -0,4. Quel est le porteeuille d actis risqués * qui sera choisi par notre agent? Quel est son espérance de rendement E(r *)? sa variance σ (r *)? L agent doit choisir comment composer un porteeuille d actis risqués *. Il aut remarquer qu ici, quelle que soit la composition de ce porteeuille, il rapportera toujours 3,0% (puisque le rendement moyen des deux titres est identique). Le porteeuille qui sera choisi étant celui qui maximise le ratio de Sharpe (c cours) est donc également celui qui minimise la variance du p, i.e à trouver solution de minσ % + ( ) 0.06% 0,8 ( ) %0.06% La solution est alors 0,48 soit 4, 8%. L agent a tout intérêt à constituer son porteeuille risqué avec 4,8% d acti et le reste, 57,8% dans l acti. Ce porteeuille a alors comme rendement E(r*) 3,0% et comme risque σ0,008%: σ * % + ( ) 0.06% 0, %0.06% 0.008% Question 6 : L agent a-t-il choisi un porteeuille composé des actis risqués? Expliquez pourquoi vous obtenez ce résultat. L agent a bien choisi d investir dans les actis risqués, même si le premier acti est plus risqué que le second pour un même rendement espéré. S il a tout de même ait ce choix, c est parce que les deux titres ne sont pas paraitement corrélés, et qu il est donc possible en combinant les deux actis, de réduire le risque total du p d actis risqués (c est le principe même de la diversiication) ; ici, la corrélation est même négative, ce qui explique que la part investie dans l acti est non négligeable. Question 7 : L investisseur aurait-il choisi le même porteeuille d actis risqués quel que soit son aversion pour le risque? Expliquez. Oui, car le porteeuille d actis risqués est le même pour n importe quel investisseur : ce choix ne dépend pas de l aversion pour le risque (c explication cours sur ce résultat ondamental). Question 8 : our conclure, comment l investisseur va-t-il répartir sa richesse entre les actis risqués (et donc le porteeuille risqué ) et l acti sans risque? (Il vous aut déterminer le porteeuille global G et donc la proportion optimale a* investie dans ). Faire une représentation graphique illustrant le choix optimal de l investisseur (sans trop de souci de précision pour l échelle, mais en aisant apparaître les éléments importants). On se retrouve à nouveau avec un choix de placement entre acti risqué (le p *) et acti sans risque. Lorsque il ne pouvait investir que dans un acti risqué, il décidait (c question 3), de ne rien placer dans l acti sans risque, (il aurait même prééré emprunter au taux sans risque et placer dans l acti risqué.). ortiori, avec le p * d actis risqués! puisque celui-ci ore le même rendement pour un risque encore plus aible. On peut donc en conclure sans aire de calculs supplémentaires, que l agent décidera également de ne rien placer dans l acti sans risque! La proportion optimale placée dans le porteeuile risquée est donc a* 00%. (aire représentation graphique)