Cours RDM 1 A.U : La torsion Simple

Transcription

1 Chapitre 5 La torsion Simple 5.1 HYPOTHÈSES PARTICULIÈRES Hypothèses sur le solide : -Le solide étudié est une poutre cylindrique droite de section circulaire. -Le diamètre de la section est constant. -Le poids de la poutre est négligé Hypothèses sur le système : des forces etérieures appliquées et sur les déformations qui en résultent 1 1 Ligne moyenne R y (S) 1 1 z - La poutre est sollicitée en torsion simple lorsqu'elle est soumise à ses deu etrémités à deu couples opposés 1 et ayant pour support la ligne moyenne et tels que: 0 1 -Les déformations seront toujours limitées au domaine élastique et la variation de longueur des fibres est considérée comme négligeable. 5. ÉTUDE EXPÉRIENTALE : 5..1 Essai de torsion : Le dispositif epérimental utilisé peut se schématiser par la suivante : AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 59

2 1 1 ' ' (S1) (S) (S) ' La poutre (cylindre de révolution) est parfaitement encastrée à son etrémité gauche, le section (S 1 ) de centre de gravité 1.On trace avant l essai une génératrice 1 du cylindre.on applique à l etrémité droite, de section (S ) de centre de gravité, un système de forces etérieures pouvant se réduire à un seul vecteur moment 1 moment, on mesure les déformations de la poutre.on constate que : porté par l ae (, ).En faisant croître l intensité de ce - Toute section plane et normale à l ae du cylindre reste plane et normale à l ae. - La distance de deu sections droite est uniquement une rotation d angle α autour de son ae et cette rotation est proportionnelle à la distance à la section d encastrement : = K. La génératrice du cylindre se déforme donc suivant une hélice : ( 1, ). Lorsque Μ 1 croit, un système enregistreur non représenté permet de mesurer. Μ 1 A B O AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 60

3 5.. Angle unitaire de torsion Pour une valeur donnée de, ( < 1 ) l angle de torsion de la section ( S ), par rapport à la section ( S 1 ) d encastrement, ne caractérise pas la déformation de torsion, puisqu il est fonction de l abscisse du centre de ( S ).Soit l angle dont tournent l une par rapport à l autre deu sections distantes de l unité de longueur : θ α est appelé angle unitaire de torsion et s eprime en radians par millimètre ( rad / mm). Si 1 est l angle dont tourne (S ) par rapport à (S 1 ) et si l 1 est la distance de ces deu sections alors : α1 θ. l1 avec α l 1 θ 1 angle en radian en rad/mm en mm 5..3 Loi de Hooke Si nous considérons un petit élément d un fibre avant et après déformation, on constate que celui-ci a subi une déviation tout à fait comparable à celui que nous avions observé dans l étude du cisaillement.une étude epérimentale plus poussée nous montrerait une grande analogie entre les résultats epérimentales de la torsion et du cisaillement. en N/ mm La loi de Hooke s eprime par :. γ avec en N/ mm (1) γ en rad est la norme du vecteur contrainte tangentielle en un point d une section droite. est le module d élasticité transversale ou module de Coulomb. Pour l acier : = N/mm. 5.3 CONTRAINTE DANS UNE SECTION DROITE Equilibre d un tronçon de poutre τ AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 61

4 1 f / 1 X 1 ( 1 ) S (S 1 ) (S) Définition du moment de torsion : Dans une section (S) de centre de gravité, le moment de torsion t est la projection sur la normale etérieure de la somme des moments en de toutes les forces etérieures à gauche de (S). Prenons la figure ci-dessus du tronçon (1) et réduisons l équilibre en le système des forces à gauche de (S) : En Fi à gauche 0 à gauche i 1 ( ) Nous pouvons donc poser ici : 1 t Equations d équilibre de (1) : En Fi i à gauche à gauche f / 1 ( f / 1 0 ) 0 (3) En tenant compte de () et en écrivant que : f / 1 ( f / R ) 1 /1 /1 (4) Les équations d équilibre (3) s écrivent : En R /1 /1 0 t 0 (5) La théorie de l élasticité permet de démontrer que ces forces élémentaires f / 1 sont dans le plan de la section (S) et normales au rayon. AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 6

5 f / 1 S 5.3. Répartition des contraintes dans la section droite (S) : (S1 ) ( S ) Compte tenu de la valeur epérimentale réduite de, on peut eprimer l arc de deu façons : α =. =..soit γ.ρ Dans (1) nous avons vu que : torsion.par conséquent : et γ et nous savons également que. τ α θ définit l angle unitaire de : N / mm : N / mm.. ( 7 ) θ : rad / mm ρ: mm Nous pouvons remarquer que pour et constantes, la contrainte tangentielle est proportionnelle à la distance du point à la fibre moyenne. AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 63

6 a 5.4 EQUATION DE DEFORATION ELASTIQUE : Relation entre le moment de torsion et la déformation angulaire : Reprenons l étude de l équilibre du tronçon (1) de la poutre.ce tronçon est compris entre la section d encastrement (S1) et la section (S) d abscisse. 1 τ S Projetons suivant l ae les vecteurs moments seront : t ρ τ ΔS 0 et compte tenu de l équation (7) on peut don écrire : (S) t θ ΔS (8) (S) Avec (S) ΔS est le moment quadratique polaire de la section (S) par rapport à l ae portant les centres de gravité des sections et noté : I ΔS ΔS ΔS 0 I (S) I 0 0 Dans ce tableau sont illustrés quelques moments quadratiques polaires utiles : I 0y (S) (S) y AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 64

7 y IX IY I = IO b h bh3 hb bh 1 ( b + h ) a a y a 4 a 4 a d y d 64 4 d 64 4 d 3 4 D y d (D -d ) (D -d ) (D -d ) La relation (8) s écrit alors : t : N mm : N / t.. I mm 0 ( 9 ) θ: I 0 rad / : mm mm Equation de rigidité : Pour certains arbres de grande longueur (sondes de forage, arbre de grands navire, etc.), on doit éviter les trop grandes déformations de torsion (vibrations).pour assurer une rigidité convenable à la transmission, on impose généralement une limite à l angle unitaire de torsion : θ 5.5 CONDITION DE RESISTANCE : θ limite Epression de la contrainte de torsion : L epression :.. Nous donne la contrainte en un point, d une section droite, situé à la distance de la fibre neutre. AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 65

8 L epression t.. I 0 nous donne l équation de déformation élastique de la poutre. On peut écrire la contrainte en fonction du moment de torsion dans la section t I Contrainte maimale de torsion : Désignons par la valeur maimale de.( Le plus souvent = R, rayon de la poutre cylindrique ) nous écrivons alors : ma Avec I 0 c est le module de torsion ( mm 3 ) t I 0 ma Condition de résistance à la torsion : ma τp p : la contrainte pratique avec : e s τ p e : la contrainte limite élastique (= Re/ cas de TRESCA et = Re/ 3 cas de VON ISES). s : coefficient de sécurité AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 66

9 5.6 Concentration des contraintes Lorsque les arbres étudiés présentent de brusques variations de section (gorge, épaulement, trou,..), les formules précédentes ne sont plus applicables. Au voisinage du changement de section, la répartition des contraintes est modifiée, dit qu il y a concentration de contraintes. Si K t ma est supérieur à calculée, on est le coefficient de concentration de contrainte : ma. Kt AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 67

10 AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 68

11 Eercices avec correction : 1 Un cylindre est soumis a un couple de torsion C=.5 knm. Le module de COULOB du matériau vaut 78 Pa. Calculez: a) la contrainte tangentielle maimum dans le cylindre. b) b) la distorsion des génératrices en rd et en. c) l angle de rotation des sections etrêmes en. Correction : AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 69

12 Calculez le couple C qui provoque une rotation des sections etrêmes du tube de sachant que = 7 Pa. En déduire la contrainte tangentielle maimum. b) Calculez, pour d'un cylindre de même poids que le tube et qui supporte le même couple, l'angle de rotation des sections etrêmes et la contrainte tangentielle maimum. Correction : AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 70

13 3 Correction 4 Un arbre de torsion tubulaire de diamètre etérieur D, de diamètre intérieur d, de longueur 100mm, est sollicite par un couple de 000 mn. Sous l action de ce couple, l angle de torsion total de l une des etrémités par rapport à l autre doit être de La contrainte AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 71

14 maimum admissible en torsion est de 400 Pa. Le module de COULOB du matériau vaut 80 Pa. 1) Calculer la distorsion angulaire maimum en radians en appliquant la loi de HOOKE. ) En déduire le diamètre etérieur D en mm (arrondir le résultat au mm). 3) Quel est alors le diamètre intérieur d en mm (arrondir le résultat au mm). 4) Avec les valeurs trouvées en ) et 3) calculer la contrainte maimum de torsion (en Pa) et l'angle de torsion des sections etrêmes (en ). Correction : AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 7

15 Correction : AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 73

16 TD Torsion Eercice 1 : On considère l arbre de transmission de puissance représenté sur la figure 1. Cet arbre est supporté par deu paliers à roulements à billes à chacune de ses etrémités (non représentés sur la figure). Les moments de torsion t1, t et t3 s applique au milieu des tronçons. L arbre est entraîné en rotation par le moment t1 à la vitesse constante de 3000 tr/min et transmet une puissance de 40 kw. Les moments t et t3 dus au organes récepteurs sont égau. 1/ Donner les équations et tracer le graphe du moment de torsion le long de cet arbre. / Tracer le graphe représentant la contrainte tangentielle maimale le long de cet arbre. 3/ Déterminer les diamètres D et d ainsi que l angle de rotation entre les sections etrêmes de cet arbre. Données : d = 0.8D ; a = 50 mm ; Rpg = 100 Pa ; = Pa. Eercice : On veut entraîner une simultanément 3 machines a l aide des poulies, 1, et 3 sur un arbre luimême entraîné par une poulie motrice clavetée sur l arbre. Les trois poulies réceptrices eercent sur l arbre des couples résistants respectivement égau a 400 N.m, 300 N.m et 00 N.m 1 tracer le graphe du moment de torsion le long de cet arbre. calculer le diamètre de l arbre plein permettant de transmettre le mouvement. 3 calculer les dimensions d un arbre creu de même résistance et de poids moitié. 4 calculer l angle de torsion unitaire maimal de ces deu arbres. 5 tracer le graphe de l angle de rotation des sections de l arbre. De quel angle ont tourné les sections droites etrêmes de l arbre plein et de l arbre creu. AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 74

17 On donne : R pg = 0 Pa, = Pa, a = 0.m y 1 3 a a a a a AWADI, KAROUI,CHOUCHEN, BOUZIDI Page 75