L Estimation de Modèles Log-Linéaires sur des Tableaux de Contingence issus d Enquêtes à plan de sondage complexe :

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1 L Estimation de Modèles Log-Linéaires sur des Tableaux de Contingence issus d Enquêtes à plan de sondage complexe : un Examen de l Approche proposée par Clogg & Eliason Chris Skinner Louis-André Vallet Université de Southampton CNRS & CREST, Paris 1

2 Plan modèles log-linéaires et échantillonnage l approche de Clogg C. C. and Eliason S. R. (1987) Some common problems in log-linear analysis, Sociological Methods & Research, 16, approche de pseudo-maximum de vraisemblance comparaison théorique étude empirique de mobilité sociale sur un tableau issu de l enquête Formation et Qualification Professionnelle (1985) 2

3 Tableau de Contingence (au niveau de la population) N 11 N 12 N 13 N 21 N 22 N 23 N 31 N 32 N 33 3

4 Modèle Log-Linéaire μ 11 μ 12 μ 13 μ 21 μ 22 μ 23 μ 31 μ 32 μ 33 E( N ) ij = μ, log( μ ) = α + β + γ ij ij i j 4

5 Échantillonnage Deux cas : A. probabilités de sélection constantes ( = π ij) à l intérieur des cellules ij B. probabilités de sélection variables n ij taille de l échantillon dans la cellule ij N ˆ ij somme des poids d échantillonnage dans cellule ij 5

6 Approche de Clogg & Eliason Cas A : poids constants à l intérieur des cellules E( n ) = μ = π E( N ) = π μ ij sij ij ij ij ij log( μ ) = log( π ) + α + β + γ sij ij i j log( π ij ) offset du modèle estimation par maximum de vraisemblance 6

7 Approche de Clogg & Eliason Cas B: poids variables (cas général) π ij estimé par ˆij π = (poids moyen) -1 log( ˆ π ) offset du modèle ij estimation par maximum de vraisemblance 7

8 Approche du Pseudo-Maximum de Vraisemblance (PMV) estimation ponctuelle avec N ˆ ij estimation des erreurs-types par méthodes de sondage (linéarisation, jackknife, etc.) 8

9 Comparaison Théorique de CE & PMV estimateurs ponctuels CE & PMV différents chaque estimateur ponctuel est sans biais (approx.) si modèle vrai estimation CE des erreurs-types non valide, sauf en cas A ; sous-estimation systématique en général ; ignore l échantillonnage en grappes estimation PMV des erreurs-types valide 9

10 Comparaison Empirique Enquête Insee Formation & Qualification Professionnelle 1985 Population (approx.) : personnes des ménages ordinaires âgées de 13 à 69 ans au recensement de 1982 Échantillon : personnes par échantillonnage stratifié (73 strates) avec des fractions de sondage comprises entre 1/2690 et 1/ répondants La variable de poids reflète à la fois les probabilités inégales d inclusion et la non-réponse à l enquête 10

11 Données de mobilité sociale analysées Sous-échantillon de femmes, âgées de 35 à 59 ans en 1985, actives occupées à la date d enquête, pour lesquelles on connaît : la catégorie socioprofessionnelle ; et celle de leur père (quand elles ont cessé de fréquenter régulièrement l école ou l université) 11

12 (distribution de l échantillon analysé dans les différentes strates) Strate (situation en 1982) n fraction de sondage poids moyen écarttype du poids French, in labour market, farmers, / French, in labour market, farmers, / French, in labour market, artisans/shopkeepers, / French, in labour market, artisans/shopkeepers, / French, in labour market, managers/high professional, / French, in labour market, managers/high professionals, / French, in labour market, low professionals, / French, in labour market, low professionals, / French, in labour market, non manual, / French, in labour market, non manual, / French, in labour market, manual, 32 to / French, in labour market, manual, / French, in labour market, unemployed & never worked 13 1/ French, students 7 1/ French, previously in the labour market 2 1/ Other French, out of labour market, / Other French, out of labour market, / Foreign, in labour market, employed or unemployed, / Total

13 (table de mobilité) Daughter s class Father s class 1 Higher-grade salaried professionals Freq Total Unw. Wei Company managers and liberal professions Unw. Wei Lower-grade salaried professionals Unw. Wei Artisans and shopkeepers Unw. Wei Non-manual workers Unw. Wei Foremen and manual workers Unw. Wei Farmers Unw. Wei Total Unw. Wei

14 Analyser la structure et la force de l association : le modèle log-linéaire de Hauser (1978) Il identifie les effets d association entre les deux variables en contraignant certains d entre eux à être égaux pour des ensembles de cellules du tableau de contingence. On suppose que : les cellules ij sont assignées à K sous-ensembles ; et chacun partage un même paramètre d association δ k. D où le modèle : Log m ij = α + β + γ + δ i si la cellule ij appartient au sous-ensemble k Les paramètres δ k reflètent la densité de mobilité ou d immobilité dans certaines cellules (relativement à d autres cellules du tableau). j k 14

15 Modèle initial et modèle final du tableau de mobilité Dans un travail précédent (JMS 2005), sur la base d hypothèses sociologiques, nous avons proposé un tel modèle (ou allocation des cellules) fondé sur K=7 paramètres d association. Il s est avéré relativement proche des données observées. Après quelques modifications, il en résulte un modèle final (avec, de nouveau, K=7 paramètres d association) qui s ajuste de façon satisfaisante aux données (au sens d un test statistique). 15

16 Modèle initial Higher-grade salaried II III IV V VI VII VII professionals 2 Company managers and III II IV IV VI VII VII liberal professions 3 Lower-grade salaried IV IV IV V V VI VII professionals 4 Artisans and shopkeepers V IV V IV V VI VI 5 Non-manual workers VI VI V V V V VI 6 Foremen and manual VII VII VI VI V IV V workers 7 Farmers VII VII VII VI VI V I Parmi les effets d association, I est supposé être le plus fort et VII le plus faible. 16

17 Comparaison des estimateurs ponctuels et des erreurs-types dans quatre analyses Quand les effectifs non pondérés sont analysés Quand les effectifs pondérés sont analysés en ignorant la complexité du plan de sondage Avec l approche proposée par Clogg & Eliason ces trois analyses avec les procédures SAS Catmod et Genmod Avec l approche du pseudo-maximum de vraisemblance avec le logiciel IVEware et la procédure SAS Catmod méthode de Jackknife Repeated Replication (JRR) pour les estimations de variance intensif du point de vue du calcul : environ 50 minutes pour chaque modèle 17

18 Paramètre β 1 (se) β 2 (se) β 3 (se) β 4 (se) β 5 (se) β 6 (se) β 7 γ 1 (se) γ 2 (se) γ 3 (se) Modèle initial Modèle final Pseudo Pseudo Non Clogg & Non Clogg & Pondéré maximum Pondéré maximum pondéré Eliason pondéré Eliason likelihood likelihood (0.087) (0.086) (0.086) (0.098) (0.084) (0.083) (0.083) (0.093) (0.107) (0.108) (0.106) (0.133) (0.102) (0.105) (0.102) (0.125) (0.079) (0.078) (0.079) (0.090) (0.076) (0.075) (0.076) (0.085) (0.069) (0.067) (0.070) (0.079) (0.061) (0.059) (0.061) (0.068) (0.072) (0.072) (0.073) (0.082) (0.067) (0.065) (0.067) (0.075) (0.049) (0.049) (0.049) (0.056) (0.048) (0.047) (0.048) (0.054) Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at (0.149) (0.169) (0.140) (0.139) (0.169) (0.120) (0.149) (0.170) (0.140) (0.166) (0.205) (0.150) (0.148) (0.167) (0.139) (0.138) (0.167) (0.119) (0.148) (0.167) (0.139) (0.157) (0.198) (0.146) 18

19 γ 4 (se) γ 5 (se) γ 6 (se) γ 7 δ I (se) δ II (se) δ III (se) δ IV (se) δ V (se) δ VI (se) δ VII (0.147) (0.124) (0.148) (0.156) (0.147) (0.124) (0.147) (0.153) (0.137) (0.116) (0.137) (0.143) (0.137) (0.116) (0.137) (0.144) (0.146) (0.126) (0.146) (0.150) (0.146) (0.126) (0.146) (0.150) Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at (0.163) (0.146) (0.163) (0.189) (0.228) (0.266) (0.228) (0.252) (0.119) (0.147) (0.118) (0.135) (0.191) (0.251) (0.191) (0.214) (0.150) (0.189) (0.149) (0.186) (0.187) (0.245) (0.187) (0.208) (0.086) (0.093) (0.085) (0.105) (0.183) (0.243) (0.183) (0.204) (0.084) (0.092) (0.084) (0.103) (0.181) (0.241) (0.181) (0.201) (0.072) (0.080) (0.072) (0.087) (0.177) (0.239) (0.177) (0.196) Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Fixed at 0 Déviance DDL

20 Estimateurs ponctuels : résultats Ceux obtenus en analysant les effectifs non pondérés sont biaisés et peuvent être nettement différents de tous les autres. (en particulier les paramètres relatifs à la variable-colonne (CS de la fille en 1985) car elle est fortement liée à l une des variables de stratification) Ceux obtenus en analysant les effectifs pondérés et sous l approche du pseudo-maximum de vraisemblance sont identiques comme attendu. Ceux obtenus avec l approche de Clogg & Eliason sont proches des précédents, bien que non exactement semblables. 20

21 Erreurs-types : résultats Comme attendu, elles sont différentes entre l approche PMV (qui prend en compte le plan de sondage) et l approche pondérée (qui ne le fait pas). Sous l approche Clogg & Eliason, elles sont virtuellement identiques à celle de l approche non pondérée, mais inférieures à celles de l approche PMV. Or, ces dernières sont très proches de ce que fournit une estimation correcte (jackknife) des erreurs-types sous l approche CE. On retrouve donc empiriquement ce qu indiquait la comparaison sur le plan théorique : les erreurs-types obtenues sous l approche Clogg & Eliason sous-estiment généralement la variabilité vraie des paramètres. 21

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