Représentation en perspective cavalière d une pyramide à base pentagonale

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1 I) Pyramide Définition 1 : Une pyramide est un solide dont : une face est un polygone : la base les autres faces sont des triangles : les faces latérales les faces latérales ont un point commun :le sommet principal Représentation en perspective cavalière d une pyramide à base pentagonale Cette pyramide a 6 sommets, 6faces et 10 arêtes. Sa base ABDEC est un pentagone La hauteur [SH] est perpendiculaire à la base. Définition 2 : Une pyramide dont la base est un triangle s appelle un tétraèdre. Définition : Une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier ( triangle équilatéral ; carré ; pentagone régulier, ) et dont la hauteur passe par le centre de la base. Les faces latérales d une pyramide régulière sont des triangles isocèles superposables. Tétraèdre régulier Pyramide régulière à base carrée

2 Remarque: Une pyramide peut avoir sa hauteur confondue avec une arête. II) Cône de révolution Définition 4 : Un cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d un de ses côtés droits. Définition 5 : Un cône de révolution est composé : d un disque : la base d une surface courbe appelée : la surface latérale d un point appelé :le sommet Représentation en perspective cavalière d un cône de révolution. III) Volume d une pyramide et d un cône de révolution Le volume d une pyramide ou d un cône de révolution est égal au tiers de produit de l aire de la base du solide par la hauteur du solide. V = aire de la base " hauteur

3 Exercice résolu : Calculer le volume exact d un cône de révolution de hauteur 5 cm et de rayon cm. Soit V le volume de ce cône et h sa hauteur aire de la base " hauteur V = V = # " r 2 " h V = # " 2 " 5 V = # " 2 " 5 V = # " " " 5 V =15# Le volume exact de ce cône est de 15" cm. IV) Notion d'agrandissement et de réduction Définition 6 : Faire un agrandissement d'une figure (ou d un solide), c'est multiplier toutes les longueurs de ses côtés par un même nombre supérieur à 1. Exemple : Le triangle A B C est-il un agrandissement du triangle ABC? triangle ABC triangle A B C AB= 5cm AC= 4cm BC = cm A B =7,5cm A C = 6cm B C = 4,5cm A'B' AB = 7,5 5 =1,5 A'C' AC = 6 4 =1,5 B'C' BC = 4,5 =1,5 Le triangle A B C a été obtenu en multipliant les longueurs du triangle ABC par 1,5. Les longueurs du triangle P I C sont proportionnelles à celles du triangle PIC. Le triangle A B C est donc un agrandissement du triangle ABC de coefficient 1,5.

4 Définition 7 : Faire une réduction d'une figure, c'est multiplier toutes les longueurs de ses côtés par un même nombre positif et inférieur à 1. Exemple : Le triangle P I C est-il une réduction du triangle PIC? triangle PIC triangle P I C PC=7,2cm PI=4,8cm CI=11,1cm P C =2,4cm P I =1,6cm C I =,7cm P'C' PC = 2,4 7,2 = = 1 P'I' PI = 1,6 4,8 = = 1 C'I' CI =,7 11,1 = = 1 Le triangle P I C a été obtenu en multipliant les longueurs du triangle PIC par 1. Les longueurs du triangle P I C sont proportionnelles à celles du triangle PIC. Le triangle P I C est donc une réduction du triangle PIC de coefficient 1. Propriété 1 : Dans un agrandissement ou une réduction, les longueurs de la figure agrandie( ou réduite) sont proportionnelles à celles de la figure initiale. Le coefficient de proportionnalité k s'appelle le coefficient d'agrandissement ou de réduction et il est égal à : k = longueur de l'objet agrandi (ou réduit) longueur correspondane de l'objet initial V) Effet d un agrandissement ou d une réduction sur les périmètres, les aires et les volumes. Théorème (admis) : Dans un agrandissement ou une réduction de coefficient k (k nombre positif). - le périmètre d une figure est multiplié par k - l aire d une surface est multipliée par k 2 - le volume d un solide est multiplié par k

5 Autrement dit : Si P est le périmètre de la figure initiale et P le périmètre de la figure finale alors P'= k " P. Si A est l aire de la figure initiale et A l aire de la figure finale alors A'= k 2 " A. Si V est le volume du solide initial et V le volume du solide final alors V'= k " V. Exercice résolu n 1: Un rectangle a une aire de 21cm 2. On multiplie ses longueurs par. Quelle est la valeur de l aire du rectangle obtenu? On multiplie les longueurs du rectangle par. Comme est supérieur à 1, le rectangle obtenu est un agrandissement du rectangle initial. Soit A l aire du rectangle initial et A celle du rectangle agrandi. Dans un agrandissement de coefficient k, l aire est multipliée par k 2. Ici k=. D où : A = k 2 x A A = 2 x 21 A = 9x 21 A = 189 L aire du rectangle agrandi est de 189 cm 2 Exercice résolu n 2: Un prisme a un volume de 600 cm. On multiplie ses dimensions par 1. Quel est le volume du prisme ainsi réduit? 5 Soit V le volume du prisme initial et V le volume du prisme réduit. Dans une réduction de coefficient k, le volume est multiplié par k. Ici k= 1 5 " 1 V = $ % ' x V l # 5& 1 V = 125 x 600 V = 4,8 Le volume du prisme réduit est 4,8 cm VI ) Section d une pyramide ou d un cône de révolution par un plan parallèle à la base: Propriété 2 (admise) : Si on coupe une pyramide ou un cône de révolution par un plan parallèle à sa base alors la section obtenue est une réduction de la base. Ici on a coupé une pyramide à base carrée par un plan parallèle sa base. La section obtenue ( zone grisée ) est donc une réduction de la base. Comme la base est un carré, la section obtenue est un carré.

6 Ici on a coupé un cône de révolution par un plan parallèle sa base. La section obtenue ( zone grisée )est donc une réduction de la base. Comme la base est un disque, la section obtenue est un disque. Propriété (admise) : Si on coupe une pyramide (ou un cône de révolution) par un plan parallèle à sa base alors alors on obtient une pyramide (ou un cône de révolution) qui est une réduction de la pyramide (ou du cône) intial(e). Exemple 1 : La pyramide SIJKL est une réduction de la pyramide SABCD de coefficient par SI exemple. SA! Exemple 2 : Le petit cône est une réduction du grand cône de SI coefficient de réduction égal à. SO!

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