Chapitre 6 : Matrices

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1 Chapitre 6 : Matrices Ce chapitre est consacré à l'étude des matrices Nous y introduisons les bases du calcul matriciel : somme, produit, inverse et transposée Table des matières 1 Matrice à n lignes, p colonnes 2 2 Addition de matrices 4 3 Multiplication d'une matrice par un réel 5 4 Multiplication matricielle 6 5 Matrices carrées 9 6 Transposition 13 4 octobre Pierre-Yves Madec - pmadec@hotmailfr 1

2 1 Matrice à n lignes, p colonnes Dénition (Matrice à n lignes, p colonnes) Soit (n, p) (N ) 2, Matrice à n lignes, p colonnes de type (n, p) ˆ i est l'indice de ligne de la matrice A = tout tableau de réels : a 11 a 12 a 1j a 1p a 21 a 22 a 2j a 2p A = a i1 a i2 a ij a ip a n1 a n2 a nj a np ˆ j est l'indice de colonne de la matrice A Notation condensée de A : A = (a ij ) 1 i n, se lit : "A est la matrice de coecients a ij, i décrivant 1, n, j décrivant 1, p " Exemple(s) ˆ ˆ est une matrice à 2 lignes et 3 colonnes, ou encore une matrice de type (2, 3) , est une matrice à 4 lignes et 2 colonnes, ou encore une matrice de type (2, 4) e

3 Dénition (Matrices carrées d'ordre n) Matrice carrée d'ordre n = toute matrice de type (n, n) : a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn Les coecients a ii sont appelés les coecients diagonaux de A La diagonale de A est l'ensemble {a ii, i 1, n } Notation (Deux ensembles de matricess) ˆ M n,p (R) = l'ensemble des matrices à n lignes, p colonnes à coecients dans R ˆ M n (R) = l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients dans R Quelques matrices particulières : ˆ Matrices carrées particulières : matrice identité d'ordre n : I n = matrice diagonale d'ordre n = matrice (a ij ) 1 i,j n telle que (i, j) 1, n 2, i j a ij = 0, a a 22 = toute matrice de la forme a nn matrice scalaire d'ordre n = toute matrice de la forme λi n, λ R 3

4 λ = toute matrice de la forme λ 0 0 λ matrice triangulaire supérieure d'ordre n = toute matrice (a ij ) 1 i,j n telle que (i, j) 1, n 2, i > j a ij = 0 a 11 a 12 a 1,n a 22 = toute matrice de la forme : 0 matrice triangulaire inférieure d'ordre n = toute matrice (a ij ) 1 i,j n telle que (i, j) 1, n 2, i < j a ij = 0 a nn a 21 a 22 0 = toute matrice de la forme : a n1 a nn a 11 ˆ matrice ligne (ou vecteur ligne) = toute matrice de type (1, p), ) = toute matrice de la forme (a 11 a 12 a 1n ˆ matrice colonne (ou vecteur colonne) = toute matrice de type (n, 1) = toute matrice de la forme a 11 a 21 a n1 2 Addition de matrices Dénition Soit A = (a ij ) 1 i n et B = (b ij ) 1 i n, alors A + B = (a ij + b ij ) 1 i n 4

5 Exemple(s) Soit A = B = Calculer A + B A + B = Propriété 1 (Élément neutre pour l'addition) 0 0 L'addition de matrices admet un élément neutre : 0 Mn,p(R) =, 0 0 càd A = M n,p (R), A + 0 Mn,p(R) = A Démonstration A = (a ij ) 1 i n M n,p (R), A + 0 Mn,p(R) = (a ij + 0) 1 i n = (a ij ) 1 i n = A 3 Multiplication d'une matrice par un réel Dénition Soit A = (a ij ) 1 i n et soit λ R, alors on dénit la multiplication d'une matrice par un réel de la manière suivante : On dénit de même Aλ, : Il est clair que λa = Aλ λa = (λa ij ) 1 i n Aλ = (a ij λ) 1 i n ) Exemple(s) ( ( 1 Soit A = 2 3 ) Calculer 3A puis A ( 3) A = ( ) De même A ( 3) = alors 3A = 5

6 4 Multiplication matricielle Dénition Soit (m, n, p) (N ) 3 A = (a ij ) 1 i n M n,p (R), Soit B = (b ij ) 1 i m M m,n (R) 1 j n Alors on dénit le produit matriciel de B par A de la manière suivante : BA = (c ij ) 1 i m, avec n (i, j) 1, m 1, p, c ij = b ik a kj k=1 Calcul pratique : b i1 b i2 b ik b in a 1j a 2j a kj a 2n c ij c ij = b i1 a 1j + b i2 a 2j + + b ik a kj + + b in a kn n = b ik a kj k=1 Remarque(s) 1 Pour obtenir le terme c ij de la matrice BA, il faut eectuer la somme des produits des termes de la ligne i de la matrice B par les termes correspondants de la colonne j de la matrice A 2 Pour pourvoir calculer BA, IL FAUT QUE le nombre de colonnes de B soit égal au nombre de lignes de A 6

7 Exemple(s) B =, A = 2 1 Calculer, si cela a un sens AB et BA ( ) Soit A = 3 1 1, B =, C = 2 Si cela a un sens, calculer tous les produits possibles deux à deux : AB, AC, etc 3 A = 1 2 3, C = Calculer, si cela a un sens AC et CA Remarque(s) Le produit matriciel n'est pas commutatif! Exemple : si A = et B =,

8 alors AB = BA = 2 Le produit de deux matrices non nulles peut être nul! Exemple : si A = 1 1, 1 1 alors AB = et B = Propriété 2 (du produit matriciel) 1 Si les produits (CB)A et C(BA) ont un sens, alors (CB)A = C(BA) (associativité) 2 Si les produits C(A + B), CA et CB ont un sens alors C(A + B) = CA + CB (distributivité à gauche) 3 Si les produits (A + B)C, AC et BC ont un sens alors (A + B)C = AC + BC (distributivité à droite) 4 Si les produits A(λB), (λa)b et λab ont un sens alors λ R, A(λB) = (λa)b = λab Démonstration Admis 5 Matrices carrées Propriété 3 (Élément neutre pour la multiplication) A M n (R), AI n = I n A = A Démonstration Admis Exemple(s) Soit A =

9 Calculer AI 3 puis I 3 A Dénition (Puissance p-ième d'une matrice carrée) Soit A M n (R) et soit p N La puissance p-ième de A est A p = A A A }{{} Par convention A 0 = I n p fois Exemple(s) ˆ Soit A = Calculer A 2 et A ˆ Soit B = Calculer A 2 et A

10 Propriété 4 (Puissance d'une matrice diagonale) d 1 d 2 Si D =, alors, pour tout p N, d n D p = d p 1 d p 2 d p n Démonstration Nous allons établir ce résultat par récurrence Notons, pour tout p N, P(p) : D p = d p 1 d p 2 Initialisation : P(0) est vraie car, d'une part, D 0 = I n (convention) et, d'autre part, d p n d 0 1 d 0 2 = 1 1 = I n 1 d 0 n Hérédité : Soit p N Supposons que P(p) est vraie Montrons que P(p + 1) est vraie D p+1 = D p D = d p 1 d p 2 d 1 d 2 (hypothèse de récurrence) = d p+1 1 d p+1 2 d p n d p+1 n d n 10

11 Dénition (Inverse d'une matrice carrée) Soit A une matrice de M n (R) On dit que A est inversible ssi il existe B M n (R) tel que AB = BA = I n LORSQUE B existe, B est noté A 1 Exemple(s) A = A est inversible en prenant B = 1 2 Vérication : Propriété 5 (Unicité de l'inverse) L'inverse d'une matrice, s'il existe, est unique Démonstration Démonstration Soit A une matrice admettant deux inverses B 1 et B 2 Alors, en 11

12 utilisant l'associativité du produit matriciel : { (B1 A)B 2 = I n B 2 = B 2, B 1 AB 2 = B 1 (AB 2 ) = B 1 I n = B 1 Théorème 6 (Inverse à gauche = Inverse à droite = Inverse) Soit A M n (R), les assertions suivantes sont équivalentes : 1 A est inversible 2 A est inversible à droite, càd D M n (R), AD = I n 3 A est inversible à gauche, càd G M n (R), GA = I n Démonstration Remarque(s) (Unicité de l'inverse) On peut remarquer que SI A admet un inverse à droite D et un inverse à gauche G, alors : ce qui prouve que D = G GAD = { (GA)D = In D = D G(AD) = GI n = G, Propriété 7 (Inverse d'un produit) Soit (A, B) M n (R) 2 Si A et B sont inversibles alors AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A 1 Démonstration B 1 A 1 (AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 I n B = B 1 B = I n Donc AB admet un B 1 A 1 comme inverse à gauche Or admettre un inverse à gauche est équivalent à être inversible Ceci prouve que AB est inversible d'inverse B 1 A 1 12

13 6 Transposition Dénition (Transposée) Soit A = (a ij ) 1 i n M n,p (R) On appelle transposée de A la matrice t A M p,n (R) dont les lignes sont les colonnes de A et vice versa, càd t A = (a ij) 1 i p avec : (i, j) 1, p 1, n, a ij = a ji 1 j n Exemple(s) A = alors t A = Remarque(s) n N, t I n = t = = I n Donc t I n = I n Propriété 8 (Linéarité de la transposée) λ R, (A, B) M n,p (R) 2, t (λa + B) = λ t A + t B Remarque(s) Conséquence de le propriété précédente : ˆ Prenant λ = 1, il vient, pour toute m t (A + B) = t A + t B, ˆ t(λa) = λ t A 13

14 Propriété 9 (Transposée du produit) (A, B) M n,p (R) M m,n (R), t (BA) = t A t B Démonstration Admis Propriété 10 (Transposée de l'inverse d'une matrice carée) Soit A M n (R) On suppose que A est inversible, alors ( t A) 1 = t (A 1 ) Démonstration Si A est inversible, alors il existe B = A 1 M n (R) tel que AB = BA = I n En particulier, AB = I n = = t (AB) = t I n t B t A = I n Par conséquent, t A admet un inverse à gauche qui est t B = t (A 1 ) Autrement dit : ( t A) 1 = t (A 1 ) Dénition (Matrice symétrique) A = (a ij ) 1 i n M n (R) est dite symétrique ssi (i, j) 1, n 2, a ij = a ji 1 j n Exemple(s) Donner un exemple de matrice symétrique de type (2, 2), de type (3, 3) Propriété 11 (Caractérisation par la transposée) A M n (R) est symétrique ssi t A = A 14

15 Démonstration Conséquence directe de la dénition d'une matrice symétrique Fin du chapitre 15