CPGE&SAFI Sup3 Devoir surveillé 2 Durée : 3h 2009/2010

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1 Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuivant sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des Exercice1 : Adaptation d impédance On connecte en série avec une source de tension sinusoïdale deux dipôle D G et D d impédances Z et Z G. e(t)=e cos(ωt) on pose : Z=X+jY avec j 2 =-1 Z G =X G +jy G 1) 1-1-Définir la puissance complexe P pour un dipôle D Soit p la puissance moyenne consommée par le dipôle D 1-2-Montrer que p=rel(z).i 2 avec I l intensité efficace du courant circulant dans le circuit Montrer que p est maximale lorsque Z = Z G * (* signifie le complexe conjugué) 1-4-Que se passe-t-il si Z est purement imaginaire? 1-5-Que devient l énergie fournie par la source? 2) Pour f= Hz, déterminer la nature du dipôle D G dans les cas suivants 2-1- D est une résistance pure de 150Ω en parallèle avec un condensateur de capacité 100pF 2-2- D est constitué par une résistance pure de 150Ω en parallèle avec une bobine pure d inductance H 1

2 Exercice2 : Comparateur non inverseur à hystérésis Considérons le montage suivant : l amplificateur opérationnel est supposée idéal en régime non linéaire la tension v r de référence est fixée. V e est une tension continue et réglable. 1)- Quel est le problème que présente le comparateur simple en boucle ouverte 2)- Ecrire l expression de ε=v + -V - en fonction de R 1, R 2, V r, V s et V e 3)- Préciser les expressions de V e1 et V e2 pour les quelles on aura respectivement basculement de V s de -V sat à +V sat et de +V sat à -V sat 4)- Donner l allure du cycle à hystérésis 5)- Préciser le centre et la largeur du cycle à hystérésis 6)- Quel sont les limites du comparateurs à cycle d hystérésis? Exercice 3 : Montage déphaseur d ordre 2 2

3 Considérons le circuit au dessus. 1)- Déterminer sa fonction de transfert en introduisant le facteur de qualité Q et la fréquence de caractéristique f 0 du circuit (R, L, C). Quel est son gain? 2)- Tracer de phase en fonction de la fréquence. Quel est l intérêt de ce filtre? Problème 1 : Quartz piézo-électrique(concours français) On considère le schéma électrique simplifié équivalent d un quartz piézo-électrique destiné à servir d étalon de fréquence dans une horloge. Le dipôle AB se compose de deux branches en parallèle : dans l une, une inductance L en série avec un condensateur de capacité C, dans l autre un condensateur de capacité C 0 grand devant C. On posera : α=c/c 0 avec α 1 1)- Le dipôle AB étant alimenté par une tension sinusoïdale alternative de pulsation ω 1-1- Calculer l impédance complexe Z du dipôle AB et le mettre sous la forme Z=j X 1-2- Que peut-on dire de l argument de Z 2)- On désignera par ω 1 et ω 2 les valeurs finies non nulles pour lesquelles X est respectivement nul et infini 2-1- Etudier les variations de X en fonction de ω ; on précisera en particulier les limites de X lorsque ω tend vers zéro ou l infini Tracer la courbe X(ω), en déduire la courbe Z = Z(ω). 3)- On veut étudier le comportement du dipôle dans le voisinage des pulsation ω 1 et ω Au voisinage de la pulsation ω 1 le dipôle AB est équivalent à un circuit résonnant série (L 1,C 1 ) De manière à déterminer les valeurs de L 1 et C 1, on pose ω=ω 1 + ω avec ω ω 1. 3

4 Donner l expression de l impédance du dipôle AB dans le voisinage de ω 1.Mettre le résultat sous la forme Z AB =2 j L 1 ω Par comparaison avec l impédance Z du quartz déterminer les valeurs de L 1 et C 1 en fonction de L et C Dans le voisinage de la pulsation de ω 2 le dipôle AB est équivalent à un circuit résonnant parallèle (L 2,C 2 ). En utilisant la méthode précédente, on pose ω=ω 2 + ω avec ω ω Etablir l expression de l admittance Y AB du dipôle dans le voisinage de la pulsation ω 2 et montrer quelle peut se mettre sous la forme Y AB =2j C 2 ω Par comparaison avec l admittance Y du dipôle initial, en déduire la valeur de la capacité C 2 puis de L 2 en fonction de C,L et α. 4)- On applique au dipôle AB un courant sinusoïdal par l intermédiaire d un générateur de courant parfait i(t)=i 0 2 cos (ωt) 4

5 On néglige tous les phénomènes dissipatifs 4-1- Donner l allure de la courbe d évolution de la tension efficace aux bornes du dipôle AB en fonction de ω Le maximum de la tension est obtenu pour une fréquence f 2 = Hz. sachant que C 0 =60pF, et C=0.6pF, calculer L 2 et C 2. Problème 2 :Réjecteur de grande sélectivité(d après Mines d albi) Les files de liaison entre les différents éléments d une chaine acoustique peuvent capter la fréquence du secteur (50 Hz), ce qui provoque un ronflement fâcheux de fréquence f 0 =50 Hz. On cherche donc à réaliser un filtre réjecteur de cette fréquence. Un filtre de tension est modélisé de manière suivante : U(t) est le complexe U exp(j2πft) associé à une tension sinusoïdale de fréquence f. H est la fonction de transfert du filtre : H= G exp(jφ(t)). Dans tout le problème, on travaillera en régime sinusoïdale forcé. 1-Forme normalisée d une fonction de transfert 1-1-Filtre passe bande La fonction de transfert normalisée complexe d un filtre passe bande est de la forme : H= ou Q est la sélectivité du filtre. Q et H 0 sont des constantes réelles, f la fréquence, j nombre complexe tel que j 2 = Donner en justifiant votre réponse l allure du gain G= H en fonction de f Définir les fréquences de coupure f 1 et f Exprimer la largeur de la bande passante f=f 2 -f 1 en fonction de f 0 et Q. 1-2-Filtre coupe-bande (Réjecteur) H= La fonction de transfert normalisée complexe d un filtre coupe-bande est de la forme : nombre complexe tel que j 2 =-1. ou Q est la sélectivité, Q et H 0 sont des constantes réelles, f la fréquence, j est Donner en justifiant votre réponse l allure du gain G= H en fonction de f. 5

6 1-2-2-Définir les fréquences de coupure f 1 et f Exprimer la largeur de la bande passante f=f 2 -f 1 en fonction de f 0 et Q. 1-3-Etude expérimentale d un filtre en régime sinusoïdal Indiquer en quelques lignes les branchements et les mesures que vous feriez avec un oscilloscope pour étudier expérimentalement les fonctions G(f) et φ(t). Sur un schéma représenter ce que l on observe sur l écran de l oscilloscope. 2-Réalisation d un filtre passe-bande On considère le montage de la figure suivante : L amplificateur opérationnel est supposé idéal, en fonctionnement linéaire. Chaque dipole D i est caractérisé par son impédance complexe Z i et son admittance Y i. 2-1-Montrer que la fonctio n de transfert en tension s écrit : H 1 = = 2-2-Les dipôles D i sont choisis de la manière suivante : D 1 : Résistance R, D 2 : Capacité C, D 3 : Résistance R/α, D 4 : Capacité C, D 5 : Résistance 2R, α est un réel positif Déterminer H 1. On mettra H 1 sous la forme normalisée : H 1 = Donner les expressions de H 0,Q,f 0 en fonction de α, R et C Quelle est la nature de ce filtre? On fixe C=0.32µF et on souhaite avoir f 0 =50Hz et Q=20. Quelles valeurs faut-il donner à R et α? 6

7 3-Réalisation d un réjecteur On considère le montage de la figure suivante dans lequel les valeurs de α,r et C sont les memes que celles trouvées au Sans calcul supplémentaire, donner u s1 en fonction de u e 3-2-En étudiant le comportement de l amplificateur opérationnel 2,supposé parfait et en fonctionnement linéaire,exprimer u s en fonction de ue et us 1. Quelle est l opération réalisée par l amplificateur opérationnel 2? 3-3-Soit H 2 la fonction de transfert de l ensemble Exprimer très simplement H 2 en fonction de H En utilisant la forme normalisée de H 1,trouver la forme normalisée de H 2 Quelles est nature du filtre obtenu? 3-3-En conservant les valeurs numériques de la partie2, donner la valeur de la fréquence rejetée, ainsi que la largeur de la bande coupée. Commenter ce dernier résultat. 7

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