Exercices de mécanique des fluides

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1 1 ère informatique et systèmes 1 Exercices de mécanique des fluides 1 ère Bach informatique et systèmes Préparé par Cécile Josse HEPH Condorcet Site de Tournai rue Paul Pastur 7500 Tournai

2 1 ère informatique et systèmes Introduction : Les gaz et les liquides s écoulent. C est pourquoi on les appelle des «fluides». Leurs atomes et/ou leurs molécules peuvent se déplacer assez librement. On peut ainsi dire qu un fluide est un agrégat d atomes résistant peu au cisaillement. Lorsque que l on chauffe un solide (glace ou acier par exemple), ses atomes ou ses molécules reçoivent de l énergie thermique. Si l énergie reçue est suffisante pour surmonter les forces intermoléculaires, le solide fond. A l état liquide, de petits groupes de molécules associées persistent mais ils se font et se défont au gré du déplacement de l échantillon. Il y a de l ordre mais il est local et changeant. En élevant encore la température, le liquide se rapproche de son point d ébullition, les liens entre les molécules finissent par céder. Les agrégats locaux se désagrègent et le liquide s évapore : il devient un gaz. Le liquide est donc l état intermédiaire entre la désorganisation d un gaz et l arrangement d un solide. Aux pressions et températures ordinaires, l état liquide est facile à former soit avec des molécules hautement polarisées comme l eau, soit avec de grandes molécules lourdes comme le pétrole. L aptitude à couler est la propriété caractéristique des fluides. Elle varie avec la force de cohésion des molécules. La viscosité est la résistance aux mouvements des molécules. Habituellement les petites molécules comme l eau se déplacent aisément et présentent une faible viscosité en comparaison avec les grandes molécules complexes telles que le goudron. Nous nous limiterons dans ce cours à l étude des «liquides parfaits», incompressibles et non visqueux.

3 1 ère informatique et systèmes 3 Partie 1 : La statique des fluides : 1 La pression hydrostatique : Au lieu de forces ponctuelles, nous considérons maintenant des forces dont l action se répartit, des forces qui agissent sur une surface étendue. Si une force se répartit sur une surface, nous définissons la pression P comme le quotient de la force par la surface. F p La pression est une quantité scalaire ; en chaque point, elle a une valeur S mais pas de direction. L unité de la pression est le Pascal Pa ou N/m. Si l on considère un liquide dans un récipient, ce liquide exerce une force de pression vers l extérieur sur la base et les parois latérales du récipient. Les parois réagissent avec une contre-force. C est cette force de pression qui fait couler le liquide si le récipient a un trou latéral ou au fond. La force exercée par un fluide au repos sur une surface rigide est toujours perpendiculaire à cette surface. La pression exercée par un fluide sera considérée comme positive quand le fluide est soumis à cette pression, ce qui est souvent le cas. La pesanteur est la cause de la pression hydrostatique. Si l on considère un timbre poste de surface S immergé dans un liquide à une profondeur h, parallèlement à la surface du liquide. La face supérieure du timbre est soumise de la part du liquide à une force normale vers le bas, égale au poids de la colonne de fluide au dessus du timbre. En supposant que la masse volumique ρ est constante, la masse de la colonne est ρv, c'est-à-dire ρsh. La pression est : p F S gsh S gh La pression d un fluide à une profondeur h est égale au poids du liquide contenu dans un cylindre de section égale à l unité de surface et de hauteur h.

4 1 ère informatique et systèmes 4 Applications : Quelle est la pression (due seulement à l eau) subie par un nageur 0m au dessous de la surface de l océan? Lorsque la surface du liquide est elle-même soumise à une pression (due à d autres fluides ou à un système mécanique), celle-ci doit être ajoutée à la pression ρgh du liquide. La pression à une profondeur h du liquide devient : p p p p gh s l s La pression est la même en tous les points situés à un même niveau horizontal d un même fluide au repos. La pression en A est p s +ρgh, si l on descend jusqu à D, elle augmente de ρg h, mais diminue de la même quantité en remontant jusque B. Elle augmente encore jusqu à E et ensuite diminue si on remonte en C les pressions sont les mêmes en A, B, et C. Il en découle deux constatations : - La pression à la surface du liquide dans toutes les colonnes communicantes est la pression atmosphérique. Le niveau de la surface du liquide dans toutes les colonnes doit être le même, indépendamment de la forme de la colonne. - La pression à une profondeur donnée est indépendante de la forme du récipient. Elle ne dépend que de la masse volumique du liquide et de la profondeur h.

5 1 ère informatique et systèmes 5 La pression atmosphérique p A vaut une atmosphère ; 1 atm= 1,0135X10 5 Pa. C est la pression que produit à 0 C une colonne de mercure d exactement 760 mmhg. L unité dite «mm de mercure» appelée aussi torr, en hommage à Toricelli est utilisée par les médecins et les spécialistes du vide. Les mécaniciens utilisent le bar (10 5 Pa) et les météorologues le millibar (10 Pa ou hecto Pa). La pression atmosphérique normale est 1013 millibars ou hectopascals. L atmosphère exerçant une force vers le bas sur la surface libre du mercure peut soutenir760mm de Hg dans la colonne. Le tube est d abord rempli puis renversé dans le bol de mercure. La colonne descend laissant un vide dans l espace au dessus. Application : Une atmosphère est définie comme la pression équivalente à celle que produit à 0 C une colonne de 76cm de mercure de masse volumique X10 3 kg/m 3 dans les conditions de pesanteur normale. Montrez qu une colonne barométrique de mercure de 76cm de mercure correspond bien à une pression d air de 1.013X10 5 Pa. On mesure la pression des pneus ou des réservoirs d air comprimé avec un manomètre dont le zéro correspond à la pression atmosphérique. Le manomètre mesure en fait une différence de pression, celle entre la pression réelle ou pression absolue (p) et la pression atmosphérique. On appelle cette surpression la pression manométrique ou la pression relative (p M ). On a :p=p A +p M Applications : - La pression manométrique du liquide au niveau de l aiguille de la perfusion est de p M =ρgh, ou ρ est la masse volumique du fluide injecté. Pour que le fluide de perfusion coule dans la veine du patient, il faut que la pression manométrique de la poche de plastique excède la pression du sang dans la veine (environ kpa). La poche doit donc être placée au moins 00mm au dessus de l aiguille.

6 1 ère informatique et systèmes 6 - Un buveur aspire de l eau avec une paille. Sa bouche est 150mm au dessus de la surface du liquide. Que doit être la pression absolue dans la bouche et la pression manométrique correspondante? Illustration du vide : Les deux hémisphères ci-dessous sont vidés de leur air et la pression de l air agit vers l intérieur. Les éléments de force de pression agissant dans la direction radiale ont pour résultantes forces agissant suivant l axe des Z sur chacun des hémisphères pour les maintenir soudés. Loi de Boyle-Mariotte :A température constante, le volume d un gaz est inversement proportionnel à sa pression, ce qui revient à dire que le produit du volume et de la pression est constant à température constante :PV=constante.

7 1 ère informatique et systèmes 7 Le manomètre : Le manomètre est un tube en U contenant un liquide de masse volumique ρ et qui sert à mesurer la pression des gaz. Le liquide peut être du mercure ou quand il s agit de mesurer des pressions plus faibles de l eau ou de l huile. L une des extrémités du tube est ouverte à l air libre et l autre est en contact avec le gaz dont on veut mesurer la pression. Dans le bas du tube, du côté gauche, la pression vaut : p gy1, au même niveau, du côté droit, p atm gy En égalant les termes : p gy 1 patm gy p patm g( y y1) C est donc la différence de hauteur entre les colonnes du tube en U qui permet de déterminer la pression P du gaz. Applications : Jusqu à quelle hauteur l eau peut-elle s élever dans les tuyaux d un immeuble si la pression de la jauge au niveau du rez-de- chaussée est égale à 10 5 Pa? p atm gh Une certaine pression peut supporter une colonne d eau pure de 0.7m. La même pression supportera une colonne de solution saline de 0.6m de haut. Quelle est la masse volumique de la solution saline? Un tube en U est ouvert à son extrémité contient deux liquides non miscibles de masses volumiques ρ 1 et ρ. Que vaut le rapport h 1 /h en fonction de ρ 1 et ρ?

8 1 ère informatique et systèmes 8 Le rôle de la gravitation dans la circulation sanguine L évolution de certains animaux vers un stade de développement où ils passent une grande partie de leur temps dans la position debout s est accompagnée de modifications dans le système circulaire. Le système veineux qui ramène le sang des extrémités inférieures vers le cœur est d une importance capitale dans ce contexte et les êtres humains ont été forcés de s adapter au problème posé par le transport du sang sur une grande distance verticale, donc contre la force de gravitation. Les animaux qui n ont pas fait cette adaptation, tels que les serpents, les anguilles ou même les lapins meurent si on leur maintient la tête vers le haut. La figure ci-dessous montre les tensions artérielles dans la position debout et dans la position couchée, où l on remarque qu elles sont pratiquement les mêmes. Nous pouvons calculer la pression aux différents points ; p p gh p gh, ρ=masse volumique du sang : kg/m 3 p c c cv cv Les valeurs typiques de h cv et h c sont pour un adulte : 1.7m et 1.3m Calculez la différence de pression entre les pieds et le cœur : On constate une forte différence de pression. Cela pose plusieurs problèmes dont le plus important est le drainage du sang de la partie inférieure du corps vers le cœur. L importance de cet effet est illustrée par le fait qu un soldat, obligé de rester au garde à vous, peut s évanouir à cause d un flux sanguin insuffisant. Une fois couché, les pressions s égalisent et le soldat reprend conscience.

9 1 ère informatique et systèmes 9 Les effets dus à l accélération : Lorsqu une personne en position debout subit une accélération a vers le haut, son poids effectif de vient m.(g+a). En remplaçant g par (g+a), on obtient : p g a) h p ( g a) h p p ( g a)( h h ) c ( c cv cv cv c cv c La pression du sang dans le cerveau sera donc réduite d avantage. L expérience montre que si a est égal à ou 3g, un être humain s évanouit. Ceci limite la vitesse à laquelle un pilote d avion peut sortir d un vol en piqué. Un phénomène analogue est la sensation d étourdissement qui se produit lorsque l on se lève rapidement. Un avion de chasse à réaction vole à la vitesse constante de 500 m/s. Il sort d un piqué suivant une trajectoire circulaire. Calculez pour quelle accélération centripète, le sang n arrive plus au cerveau du pilote. Le pilote est assis dans l avion, sa tête étant 50cm au dessus du niveau du cœur. Exprimer cette accélération en nombre de g. Pour un adulte d un 1.8m en position debout, le cerveau se trouve 0.5m au dessus du cœur. Si cette personne se penche de façon à ce que son cerveau soit à 0.4m au dessous du cœur, quel est le changement de pression du sang dans le cerveau? Lors d une manœuvre, un pilote subit une accélération de 4g dirigée vers le bas. Quelle est la pression du sang au niveau de son cerveau, en supposant que le pilote se tienne droit? La mesure de la tension artérielle au sphygmomanomètre : La mesure de la tension artérielle faite au bras d une personne fournit une valeur proche de la pression au voisinage du cœur puisque le bras est à peu près à la hauteur du cœur. La pression nécessaire à cette opération est réalisée par un sphygmomanomètre.

10 1 ère informatique et systèmes 10 Son utilisation est basée sur le fait que l écoulement sanguin dans les artères n est pas toujours laminaire. L écoulement devient turbulent quand les artères sont comprimées et donc le débit sanguin important. Cet écoulement turbulent est bruyant et peut être perçu au moyen d un stéthoscope. La pression est d abord augmentée jusqu à ce que l artère brachiale soit entièrement fermée. Le médecin réduit ensuite la tension doucement. Lorsque l artère s ouvre partiellement, la vitesse d écoulement est élevée et l écoulement est turbulent, donc bruyant mais discontinu. La pression correspondante est appelée la pression systolique. Lorsque l artère est totalement ouverte, l écoulement est toujours turbulent mais le bruit est continu. La pression correspondante est la pression diastolique. Les valeurs typiques d un adulte en bonne santé sont de l ordre de 16/11 kpa. L hypertension commence à partir de 19/1 kpa, elle est surveillée car une tension artérielle élevée peut comporter de sérieux risques pour le cœur ou d autres organes. Que valent les tensions artérielles en torr, unités encore largement utilisées dans le domaine médical?

11 1 ère informatique et systèmes 11 3 Le principe de Pascal: Une pression externe appliquée à un fluide confiné à l intérieur d un récipient fermé est transmise intégralement à travers tout le fluide. Quand une pression est exercée sur une certaine région d un liquide confiné (par exemple en poussant un piston sur un liquide dans un cylindre), le fluide se comprime légèrement et la pression augmente uniformément partout dans le liquide. Les machines hydrauliques constituent des applications directes du principe de Pascal : Une même pression peut être produite au sein d un liquide par des pistons de sections différentes qui exercent des forces qui diffèrent en proportion. Plus la section est grande, plus grande est la force nécessaire pour produire la même pression. Sur les figures ci-dessus, la pression exercée par le piston sur le liquide est égale à la force F divisée par la section S du piston. Les forces et les sections de ces deux pistons produisent ici la même pression car elles sont dans le même rapport. Si deux enceintes communicantes, c'est-à-dire partageant le même fluide, sont munies de deux pistons de différentes sections, la pression générée par l un des pistons est transmise intégralement à l autre. Le dispositif le plus simple est un tube en U, fermé de chaque côté par un piston. Une petite force F i est appliqué sur le piston de section S i générant une pression p=f i /S i. Cette pression est transmise en tout point du liquide, en particulier au cylindre de l élévateur de section S f. Celui-ci est alors soumis à une force verticale vers le haut F f telle que F f /S f =F i /S i. Ff S f On a : F S i i

12 1 ère informatique et systèmes 1 Bien que les pressions sur les cylindres soient égales, les forces ne le sont pas : si S f =100S i, le force utile F f est 100 fois plus grande que la force appliquée F i. On peut alors soulever une voiture de 0000N en exerçant une force de 00N. C est une machine, multiplicateur de force mais non multiplicateur de travail. Il y a conservation d énergie mécanique : le travail de F f est égal au travail de F i. Comme dans cet exemple, le liquide est incompressible, le volume S i y i du liquide du coté du petit piston est égal au volume S f y f du liquide déplacé du côté y S i f du grand piston, on a donc :. y S f i Lorsque le petit piston descend de 1000mm, le grand piston ne monte que de 10mm On exerce une petite force F i sur une grande distance y i pour obtenir une grande force F f qui se déplace sur une petite distance y f. Application : La chaise d un coiffeur est montée sur un piston hydraulique de diamètre égal à 10cm. Elle peut être soulevée en agissant sur une pédale qui communique avec un autre piston ayant une section de 10cm. Si la chaise et le client ont une masse totale de 160 kg, quelle force doit-on appliquer?

13 1 ère informatique et systèmes 13 4 La poussée d Archimède: La légende dit que Hiéron II, tyran de Syracuse commanda une couronne en or massif. Quand la pièce fut livrée, bien que le poids fut correct, Hiéron soupçonna son bijoutier d avoir mélangé de l argent à l or. On mit Archimède au défi de trancher, sans abîmer le trésor royal. C est en prenant son bain qu Archimède trouva la solution. Euréka, hurla t il et ce qu il avait trouvé était effectivement beaucoup plus important que la couronne de Hiéron!! C est ainsi qu Archimède énonça le principe du même nom : «Un objet immergé dans un fluide paraît plus léger: il est poussé vers le haut avec une force égale au poids du fluide déplacé» Autrement dit : Un corps totalement plongé dans un liquide déplace un volume de ce liquide égal à son propre volume. L expérience montre aussi qu un objet immergé semble plus léger : L eau le pousse vers le haut, le soutenant partiellement d une manière ou d une autre. Cette force ascendante exercée par le fluide est connue sous le nom de «poussée d Archimède».Ainsi un corps de 10N qui déplace un volume dont le poids vaut N, pèse seulement 8N lorsqu il est immergé. La poussée d Archimède trouve son origine dans la différence de pression qui existe entre les parties supérieure et inférieure d un objet immergé, une différence qui existe toujours car la pression varie avec la profondeur. La poussée d Archimède sur le cube ci-dessous est la différence entre la force de pression ascendante sur la face inférieure et la force de pression descendante sur la face supérieure. La pression sur la base est: p gh. base La pression sur la face supérieure : b p sup La différence de pression est donc : p g( hb hs ) gh La force de pression dirigée vers le haut dépasse celle dirigée vers le bas. La poussée d Archimède F A S. p S. gh Sh.. g V.. g m. g Avec m=masse de fluide déplacé et V=volume du fluide déplacé ghs

14 1 ère informatique et systèmes 14 Application : Un ballon météorologique a une masse de 5kg lorsqu il est vide et un rayon de.879m quand il est entièrement gonflé à l hélium. Il porte une petite charge d instruments de 10kg. Sachant que l air et l hélium ont respectivement des masses volumiques de 1.16kg/m 3 et kg/m 3, le ballon a-t-il pu décoller? Densité : Il est souvent pratique de comparer la masse volumique d un corps à celle de l eau. Le résultat est ce qu on appelle la densité de la substance par rapport à l eau. Si on suppose qu un objet de masse m est immergé dans l eau et que la masse du fluide déplacé est m e. A l aide d une balance, nous pouvons mesurer directement la masse apparente dans l eau : m a =m-m e, qui fournit une mesure m m facile de la densité par rapport à l eau : m m m e e a Application : La couronne de Hiéron avait une masse de 0.98kg et déplaçait 0.060kg d eau, quand elle était complètement immergée. Etait-elle en or massif? Donnée : Densité de l or : 19.3 Flottabilité : Si un objet pèse plus lourd que le fluide qu il peut déplacer, il coule. Si le fluide est de l eau, cela équivaut à dire que tout objet de densité supérieure à 1 coule. Si l objet est moins lourd que le fluide de même volume, il s y enfonce jusqu à ce que le poids du fluide déplacé par sa partie immergée équilibre son poids total.

15 1 ère informatique et systèmes 15 Un objet, dont la densité moyenne relative à l eau est inférieure à 1 ne s y enfonce que partiellement, on dit qu il flotte. Par exemple, un navire d acier renferme un grand volume vide, il a donc un grand volume total et une faible densité moyenne. Tant que son poids total (cargaison comprise) reste inférieur à la poussée d Archimède maximum qui peut le soutenir, il flotte. Le poids de l eau déplacée par la partie immergée est alors égal au poids du navire. Plus la densité du fluide est grande, plus grande est la poussée d Archimède. C est pour cela qu il est plus facile de nager en mer que dans une piscine d eau douce et qu une pièce de monnaie peut flotter sur du mercure. Applications : 1 Un radeau en bois à une masse volumique de kg/m 3 et mesure 3.O5mX6.1mX0.305m. Quelle épaisseur de ce radeau est-elle immergée? Quelle est la charge que supporte ce radeau lorsqu il s enfonce de.54cm dans l eau douce? Un morceau de métal de volume inconnu est suspendu à une corde. Avant l immersion, la tension dans la corde vaut 10N. Quand le métal est immergé dans l eau, la tension dans la corde vaut 8N. Quelle est la masse volumique ρ du métal? 3 La masse volumique de la glace vaut 90kg/m 3 tandis que celle de l eau de mer est de 105kg/m 3. Calculez la fraction du volume de l iceberg immergée. 4 Un dinosaure de masse kg et d un volume de 000m 3 est en train de patauger dans une eau peu profonde. 30% de son corps sont immergés dans l eau. Quel est le poids que les jambes du dinosaure doivent supporter? 5 Un garçon tient dans ses mains une pierre de poids égal à 1N et de volume égal à 1.8 litres. S il place sa main et la pierre sous l eau, quelle force doit-il exercer pour maintenir la pierre sous l eau?

16 1 ère informatique et systèmes 16 5 Les forces hydrostatiques s exerçant sur des surfaces : Rappels théoriques : La poussée totale : F T p moy. S avec p moy : pression effective régnant au centre géométrique de la surface immergée. Le point l application de la force de poussée totale F T se trouve au centre de poussée h cp : h cp h I cg cg. S h cg Avec : hcp profondeur du centre de poussée par rapport à la surface libre (à p atm ). Dans le cas où la surface n est pas à la pression atmosphérique, il faut tenir compte du niveau d eau imaginaire NEI. h cg profondeur du centre géométrique par rapport à la surface libre. Si la surface n est pas à la p atm, il faut tenir compte du NEI. I cg géométrique. moment d inertie de la surface par rapport à un axe passant par le centre Toutes les grandeurs sont positives -> h cp >h cg. I cg hcp hcg La différence h. S diminue lorsque h cg augmente, c'est-à-dire lorsque le centre cg géométrique est plus profond. Dans ce cas, h cp se rapproche de h cg mais le centre de poussée restera toujours plus bas que le centre géométrique. Applications: 1 Calculez la force résultante F due à l action de l eau sur la surface rectangulaire de 1mXm. Méthode de résolution : - Trouver le centre géométrique c g : - Calculer la pression moyenne p moy =ρgh cg : - Calculer la force de poussée F T : - Calculer l inertie de la surface I cg et le point de poussée h cp :

17 1 ère informatique et systèmes 17 Calculez maintenant la force résultante F due à l action de l eau sur toute la surface immergée. On constate que dans ce cas, le centre de poussée se trouve toujours au /3 de la surface immergée. Calculez la force résultante due à l action de l eau sur la surface triangulaire CD de 1.mX1.8m. Le sommet du triangle est en C.

18 1 ère informatique et systèmes 18 Exercices sur la statique des fluides : 1 Une piscine de 5m de largeur, de 10m de longueur est remplie d eau sur une hauteur de 3m. Quelle est la pression au fond de la piscine (seulement due à l eau)? Un réservoir d oxygène a une pression manométrique interne égale à 5 fois la pression atmosphérique. Quelle est la force dirigée vers l extérieur sur chaque cm de la paroi du réservoir? 3 A 16km d altitude, la pression atmosphérique tombe à environ atm (au lieu de 1 atm au niveau de la mer). Que valent ces grandeurs en pascals? 4 Lorsque l on monte au sommet du Puy-de-Dôme d altitude égale à 1400m, le baromètre indique une chute de mercure d environ 7.5cm. Quelle est la chute de pression correspondante? 5 Un pneu ordinaire de voiture a une pression manométrique de kgf/cm. Quelle est cette pression en pascals? Si une voiture pèse 8897 N, quelle est la surface de contact de chaque pneu avec la route? Le kilogramme-force kgf est une ancienne unité valant 9.81 N. 6 A quelle profondeur d eau douce, la pression manométrique est-elle égale à 1 atmosphère? 7 Une piscine de largeur égale à 5m et de longueur égale à 10m est remplie d eau sur 3m de hauteur. Quelle est la pression absolue au fond?

19 1 ère informatique et systèmes 19 8 Déterminez la pression manométrique au point le plus profond de l océan, à environ 11km de profondeur. Supposez que la masse volumique de l eau de mer est constante. (ρ eau de mer : kg/m 3 ) 9 Une piscine de largeur égale à 5m, de longueur égale à 10m et de profondeur égale à 3m est remplie d eau. Quelle est la force totale exercée sur le fond due à la pression de l eau? 10 La pression initiale de l air à l intérieur d une seringue hypodermique tirée à 10cm 3 est Pa. On ferme l extrémité fine de l aiguille et on comprime lentement le gaz jusqu à un volume de.5cm 3, sans aucun changement de température. Quelle sera la pression du gaz? 11 Un cric hydraulique consiste en pistons de sections respectives de 64 cm et 300cm et communiquant par un liquide. Quelle force doit-on exercer sur le premier piston pour que le second piston soulève une voiture de 900kg? Si la voiture doit être soulevée de m, de combien devrait-on déplacer le premier piston? 1 Une pièce de monnaie ancienne, que la radiographie montre pleine et homogène a une masse de 0.01kg. Quand elle est immergée dans l eau, elle en déplace 0.95g. Quelle est sa densité et de quelle métal est-elle est probablement faite?

20 1 ère informatique et systèmes 0 13 La pression manométrique dans un tuyau d eau alimentant un grand immeuble est de Pa au niveau du sous-sol. Dans un appartement de l immeuble, la pression de l eau est la moitié de cette valeur. A quelle hauteur se trouve cet appartement? 14 Un bloc de béton a une masse de 7 kg et une masse volumique de kg/m 3. Combien pèse-t-il s il est immergé dans l eau d une rivière? 15 Une femme pesant 500N saute dans une piscine de dimensions 10mX10m et 5m de profondeur et flotte entre deux eaux. De combien la hauteur d eau a-telle varié par suite de sa plongée? 16 Les icebergs flottent dans l océan, la plus grande partie de leur énorme volume cachée sous l eau. Quelle est la fraction visible au dessus de l eau? De même quelle est la portion d un glaçon flottant au dessus d un verre d eau du robinet? (ρ eau de mer : kg/m 3 ) 17 Un piston en équilibre a une superficie de 0.1m et il subit une force descendante de 1 KN. Le mercure, dans le récipient cylindrique, a une profondeur de 10cm. Quelle est la pression manométrique au fond du récipient.

21 1 ère informatique et systèmes 1 18 Un sous-marin est immobile sous 0m d eau. Avec quelle force un plongeur doit-il agir contre la pression de la mer pour ouvrir une écoutille de dimension 1mX0.5m, en supposant que la pression interne dans le sous-marin est 90% de la pression atmosphérique? 19 Une personne flotte sur le Grand Lac Salé qui a une masse de 1.15X10 3 kg/m 3. Quelle fraction approximative du corps du nageur est-elle au dessus de l eau? 0 Déterminez la masse d hélium nécessaire pour fournir assez de poussée (dans l air sec à 0 C) pour soulever un ballon et sa charge de masse totale de 454kg. 1 Un ours polaire de masse 6.7kg et de hauteur de 1,83m monte sur une plaque flottante de glace d épaisseur de 0.305m. Que doit être l aire de cette plaque si elle affleure à la surface en portant l ours? Le barrage rectangulaire retient l eau d un lac artificiel de longueur égale à 100Km. En supposant que la masse volumique de l eau est constante, déterminez la force totale qui s exerce sur la face verticale du barrage. 3 Une piscine de largeur égale à 5m et de longueur égale à 10m est remplie d eau sur 3m de hauteur. Quelle est la force latérale due à l eau sur les deux parois de la largeur?

22 1 ère informatique et systèmes 4 Les forces hydrostatiques : L eau monte jusqu au niveau E dans le conduit fixé au réservoir ABCD. En négligeant le poids du réservoir et du conduit, déterminez : - la force résultante agissant sur la surface AB qui a.4m de large ; positionnez cette force en recherchant le centre de poussée h cp. - la force totale s exerçant sur le fond du réservoir et comparez-la avec le poids total de l eau. Expliquez la différence sachant que la surface du conduit vaut 0.1m. 5 La porte AB a 1.m de large et peut pivoter autour de A. Le manomètre G affiche bar et le réservoir de droite est rempli d huile (ρ=0.75kg/m 3 ). Quelle force horizontale doit-on appliquer en B pour assurer l équilibre de la porte AB? 6 Le réservoir ci-dessous contient de l huile et de l eau. Trouvez la force résultante agissant sur le côté ABC qui a 1.m de large.

23 1 ère informatique et systèmes 3 7 La porte ABC pivote autour de B et a 1.m de long. En négligeant le poids de la porte, 8 La porte de diamètre AB égal à 1.8m pivote autour d un axe C situé à 0.1m sous le centre de gravité. Jusqu à quelle hauteur h l eau peut-elle s élever sans provoquer de moment non compensé?

24 1 ère informatique et systèmes 4 Exercices supplémentaires : 1 Calculez la pression (Pa) à une profondeur de 6m au dessous de la surface libre d une masse d eau Déterminez la pression (Pa) à une profondeur de 9m dans une huile de pétrole ( ρ huile de pétrole : kg/m 3 ) 3 Quelle profondeur d huile de pétrole produit une pression de.8 kgf/cm? Quelle profondeur d eau produit une pression de.8 kgf/cm? 4 A quelle hauteur d huile (m) correspond une hauteur d eau de 5m? A quelle hauteur d huile (m) correspond une hauteur de 60 cm de mercure? 5 Les surfaces A et B ont respectivement 40 et 4000 cm. La masse B est de 4000kg. Le récipient et les conduits sont remplis d huile (: kg/m 3 ). Quelle masse A assurera l équilibre? Même question en considérant cette fois les masses A et B au même niveau. 6 Calculez la pression manométrique (Pa) en A due à la dénivellation du mercure dans le manomètre en U représenté ci-dessous.

25 1 ère informatique et systèmes 5 7 De l huile (ρ= kg/m 3 ) coule à travers la buse représentée ci-dessous et fait monter le mercure dans le manomètre en U. Calculer la valeur de h si la pression en A est e 1.4 Kgf/cm 8 Un manomètre différentiel est fixé entre deux sections A et B d un tuyau horizontal où s écoule de l eau. La dénivellation du mercure dans le manomètre est de 0.6m, le niveau le plus proche de A étant le plus bas. Calculez la différence de pression en Pa ou en bar entre les sections A et B. 9 La chute de pression entre un dispositif X doit être mesurée à l aide d un manomètre différentiel utilisant de l huile (ρ= kg/m 3 ) comme fluide manométrique (entre B et D). Le liquide en circulation (entre B-B et D-A) a une masse volumique de kg/m 3. Trouvez la différence de pression entre A et B pour la dénivellation d huile entre D et B représentée ci-dessous.

26 1 ère informatique et systèmes 6 10 Le réservoir ci-dessous contient de l huile. Calculez la valeur affichée par le manomètre en A (Pa). 11 Un réservoir fermé contient 60cm de mercure, 150cm d eau, 40cm d huile et de l air au dessus de l huile. Si la pression au fond du réservoir est de 3 kgf/cm, qu affiche le manomètre en haut du réservoir (pression de l air)? 1 Sur la figure ci-dessous, le point A est à 53cm de la surface du liquide (ρ= kg/m 3 ) contenu dans le récipient. Quelle est la pression en A (Pa) si le mercure s élève de 34.30cm dans le tube? 13 Sur la figure ci-dessous, que vaut la pression en B (Pa)? Les masses volumiques du gaz et de l air sont kg/m 3 et kg/m 3.

27 1 ère informatique et systèmes 7 14 Les réservoirs A et B contiennent respectivement de l huile et de la glycérine de masses volumiques kg/m 3 et kg/m 3 qui sont mis en communication à l aide d un manomètre différentiel. Le mercure du manomètre est à une hauteur de 50cm du côté de A et de 35cm du côté de B. Si la hauteur de la glycérine du côté B est de 6.4m, quelle est la hauteur d huile dans le réservoir A? 15 Un objet pèse 30kg dans l air et 19kg dans l eau. Trouvez son volume et sa masse volumique. 16 Un objet pèse 30 kg dans l air et 19 kg dans de l huile de masse volumique égale à kg/m 3. Trouvez son volume et sa masse volumique. 17 La masse volumique de l aluminium est de 700 kg/m 3, combien pèse une sphère de 30cm de diamètre immergée dans l eau? Combien pèse-t-elle si elle est immergée dans l huile? 18 Un cube d aluminium de 15cm de côté pèse 5.5kg lorsqu il est immergé dans l eau. Quel est son poids apparent lorsqu il est immergé dans un liquide de densité 1.5?

28 1 ère informatique et systèmes 8 19 Une pierre pèse 60kg. Quand on l introduit dans un réservoir cubique de 60cm de côté rempli d eau, le poids de la pierre est de 33kg. De combien le niveau d eau a-t-il augmenté dans le récipient? 0 Quelle est la longueur d un morceau de bois de section 7.5cmX30cm, de densité égale à O.5 et qui peut supporter un enfant de 45kg qui se tient debout? 1 Un objet ayant un volume de 170 dm 3 nécessite une force de 70N pour le maintenir immergé dans l eau et de 160N pour maintenir immergé dans un autre liquide. Quelle est la densité de ce liquide? Une péniche de 3m de profondeur a une section droite en forme de trapèze de 9m de large en haut et 6m en bas. La péniche a 15m de long et ses extrémités sont verticales. Déterminez son poids si elle tire 1.8m d eau. Déterminez sont tirant d eau si on y charge 86 tonnes de pierres? 3 Une sphère de 10cm de diamètre flotte à demi immergée dans l eau salée (ρ=105kg/m 3 ). Quel est le poids minimum de béton (ρ=400kg/m 3 ) qui utilisé comme ancre, peut l immerger complètement?

29 1 ère informatique et systèmes 9 4 Un iceberg de masse volumique égale à 91 kg/m 3 flotte dans l océan avec un volume de 600m 3 hors de l eau. Quel est le volume total de l iceberg? 5 Un ballon vide ainsi que l équipement qui l accompagne pèse 50kg. Quand on gonfle le ballon d un gaz de masse volumique égale à kg/m 3, le ballon est sphérique et présente un diamètre de 6m. Quelle est la charge maximale que peut enlever le ballon (masse volumique de l air : 1.30Kg/m 3 )? 6 Un flotteur cubique de 10cm de côté pèse 180kg et est amarré à un bloc de béton qui pèse 680kg dans l air. Le flotteur est immergé de 3cm quand la chaîne le reliant à l amarre est tendue. Quelle est l élévation du niveau de la mer sur le flotteur lorsque le bloc de béton se détache? 7 Un cube d aluminium de 15cm de côté est suspendu par une corde. Le cube est à moitié immergé dans de l huile (masse volumique : 0.8kg/m 3 ) et à moitié dans l eau. Trouvez la tension dans la corde (masse vol de l aluminium: 640kg/m 3 ). 8 Si le cube de la question est à moitié dans l air et à moitié dans l huile, quelle est la tension dans la corde?

30 1 ère informatique et systèmes 30 Partie : La dynamique des fluides : Nous allons aborder les problèmes suivants : - Comment le liquide coule-t-il dans les tubes, les pompes ou les artères? - Quel est l effet de la pression de l air sur les ailes d un avion ou la face d un gratte-ciel? - Comment évaluer quantitativement l écoulement d un fluide et quelles sont ces lois? 1 L écoulement d un fluide: Des expériences réalisées par O. Reynolds en 1883 sur le mouvement des fluides dans des tubes ont montré qu il y avait deux régimes distincts d écoulement : laminaire et turbulent. Si l on souffle doucement entre les lèvres, on obtient le cas extrême d un écoulement précis et régulier, par contre lorsque l on tousse, on obtient l autre cas extrême, celui d un mouvement de l air complexe et tourbillonnant. Ecoulement laminaire : On parle d écoulement régulier lorsqu un fluide se déplace de façon à ce que la vitesse en tout point de ce fluide reste constante en module et en direction. Un écoulement régulier signifie habituellement un écoulement lent. La vitesse peut être différente en différents points mais en un point donné de l espace, le liquide a la même vitesse à tout instant. Chaque particule suit l itinéraire de la précédente. Ces trajectoires invariables sont appelées les lignes de courant. Deux lignes de courant ne se croisent jamais. Elles sont plus serrées là où la vitesse est plus grande. Ce mouvement de fluide est aussi appelé écoulement laminaire. Ecoulement laminaire : vecteurs vitesse aux différents points du fluide, lignes de courant autour d un obstacle.

31 1 ère informatique et systèmes 31 Ecoulement turbulent : L écoulement turbulent correspond à un mouvement irrégulier, chaotique et variable. A vitesse élevée, le fluide a assez de quantité de mouvement pour contourner les obstacles. L écoulement n épouse plus les formes de ces obstacles et la situation ressemble à un flot de motocyclistes conduisant sur un terrain montagneux : plus leur vitesse est grande, plus ils ont tendance à sauter au dessus des bosses plutôt que de les contourner. La couche du fluide qui est en contact avec la paroi solide adhère à la paroi et reste immobile par rapport à cette paroi. La vitesse du fluide augmente alors de zéro au voisinage de la paroi jusqu à la vitesse d écoulement libre au sein du fluide. Ceci se passe dans une région relativement mince, appelée couche limite. L équation de continuité: La constance de la masse volumique d un liquide est la base de la relation fondamentale qui permet de comprendre l écoulement d un liquide dans les tuyaux ou les veines. - Soit un tube de courant dans un liquide, le fluide entre par l élément de tube 1 de section S 1 et sort par l élément de tube de section S. Les sections S 1 et S sont perpendiculaires aux lignes de courant. - Soient v 1 et v, les vitesses moyennes du fluide sur les sections 1 et, - Il n y a ni source, ni siphon dans le volume du tube Le volume entrant par unité de temps par l élément 1 doit être égal au volume sortant par unité de temps de l élément.

32 1 ère informatique et systèmes 3 Pendant un intervalle de temps t, les molécules entrent dans le tube, traversent une distance v 1 t, tandis que les particules sortant de l élément parcourent une distance v t. Puisque le volume entrant est égal au volume sortant : On a : S 1v1 t Sv t S1v1 Sv C est l équation de continuité, elle implique que si la section du tube augmente, la vitesse du fluide diminue et vice versa. Un cours d eau coule rapidement en traversant une gorge étroite dans une région montagneuse et lentement en plaine. En coulant en régime laminaire vers le bas, l eau d un robinet augmente sa vitesse et la section du tube de courant diminue. Le produit Sv, constant dans le tube de courant, est le débit volumique et sera représenté par le symbole J. Si V est le volume de liquide entant à travers la section 1 ou sortant de la section pendant l intervalle t, on a : V 3 J Sv ( m / s) t En multipliant J par la masse volumique, on obtient le débit massique en kg/s qui est la masse de liquide qui traverse la section par unité de temps. Application : Le sang est pompé vers l extérieur du cœur dans l aorte, qui est un tube aux parois épaisses (mm) et de diamètre intérieur égal à 18mm, à une vitesse moyenne de 0.33m/s. Calculez le débit sanguin L aorte se divise en 3 grandes artères d environ 4mm de diamètre intérieur, quelle est la vitesse du sang dans ces artères? Les plus petites branches du système sont les capillaires, de diamètre intérieur égal à m. Sachant que la section totale de l ensemble des capillaires est de mm, quelle est la vitesse du sang dans un capillaire?

33 1 ère informatique et systèmes 33 3 L équation de Bernoulli: Le premier traitement moderne de l hydrodynamique fut réalisé en 1734 par le mathématicien, physicien et médecin suisse Daniel Bernoulli. Le premier point à considérer est qu un fluide sous pression contient de l énergie produite par le travail mettant le fluide sous pression. En effet, si l on ouvre soudainement une canette de bière qui a été bien secouée, le fluide en sort avec de l énergie cinétique. Ceci montre bien que de l énergie potentielle a été emmagasinée dans le système sous pression Un fluide sous pression subit donc une variation d énergie. Considérons un fluide idéal et incompressible, la pression agissant sur un élément de volume de ce fluide en mouvement exerce un travail qui se traduit par une variation de son énergie cinétique ou de son énergie potentielle. On a donc : W E c E pg Comment peut-on déterminer la variation de travail W? La figure ci-dessous représente un tube de courant limité à ses extrémités par des disques d aires S 1 et S qui se déplacent avec le fluide. Etat initial Etat final La force de pression, F 1 p1s1 exercée par le milieu extérieur sur le disque d aire S 1 le pousse dans la direction du mouvement et effectue un travail moteur F 1. s 1. Les molécules sont déplacées vers la droite et le disque S est déplacé de s.

34 1 ère informatique et systèmes 34 Le fluide extérieur agit sur le disque S avec une force F ps dirigée vers la gauche et donc contre le mouvement. La force F exerce donc un travail résistant F. s. Le travail total exercé sur le fluide du tube est donc : W F avec 1 s1 F s p1s1 s1 ps s s1 v1 t; s v t On peut donc écrire : W p1 S1v1 t psv t En utilisant l équation de continuité, S1 v1 Sv Sv, on trouve : m W v. S. t.( p 1 p ) ; avec m. V ( S. v. t), on trouve W p 1 p Le travail est positif lorsque le fluide se déplace d une région de haute pression vers une région de basse pression. Comment évaluer la variation d énergie cinétique? Une masse m à la vitesse v 1 est transférée de la région 1 (A-B) à la région (C- D) où la vitesse est v. la variation d énergie cinétique est : 1 E c m. v v1 Comment évaluer la variation d énergie potentielle? La masse m se déplace de la région 1 vers la région, l énergie potentielle gravitationnelle vaut : E p m. g. y y1 En regroupant les 3 équations, on a : W E E ( p 1 m ( p p 1 ) c p 1 ) pg ( v 1 m v v 1 ) v 1. g( y m. g y y 1 ) y 1 En réarrangeant les termes, on obtient l équation de Bernoulli : p 1 1 ou : p v 1 1 v. g. y 1. g. y p cste 1 v. g. y

35 1 ère informatique et systèmes 35 Dans l équation de Bernoulli, chaque terme a les dimensions d une énergie par unité de volume ou densité d énergie. Il y a la densité d énergie cinétique associée au mouvement global du fluide, la densité d énergie potentielle, associée à la position dans le champ gravitationnel et une densité d énergie de pression due aux forces internes du fluide en mouvement. La densité d énergie totale contenue dans le fluide est constante au cours de son déplacement le long d un tube de courant. Application : La figure ci-dessous représente une cuve ouverte destinée à la fabrication de la bière et un tuyau pour prélever des échantillons. La cuve a une section de 1.5m. A un instant donné, le niveau du liquide baisse à la vitesse de 1cm/s tandis que la bière coule à la vitesse de 50cm/s au niveau du manomètre. Quel est à cet instant la pression absolue en ce point du tuyau (au niveau du manomètre)?

36 1 ère informatique et systèmes 36 Exercices sur les équations de continuité et de Bernoulli 1 Du pétrole coule dans un tuyau de diamètre égal à 10cm à une vitesse de m/s. Déterminez le débit en supposant que le liquide est parfait. Un tuyau de 5cm de diamètre transporte de l essence de masse volumique égale à kg/m 3 à une vitesse de.5m/s. Calculez le débit massique, en supposant le liquide parfait. 3 De l essence coule dans un tuyau de 0.5m de diamètre. En supposant le liquide parfait, quelle est la variation de la pression subie, quand le tuyau descend sur un dénivelé de 4m? 4 Déterminez la tension artérielle du cerveau en supposant qu il est à une hauteur de 40cm au dessus du cœur. 5 Lorsque l on se coupe un doigt, pour réduire le saignement, on soulève la blessure 85cm au dessus du niveau normal. Quelle variation de la pression du sang en résulte il? Comparez avec la pression au cœur (13 à 0 kpa) 6 Un tuyau d eau horizontal de section égale à 00cm, comporte un étranglement qui réduit sa section à 50cm. Un manomètre dont les colonnes sont branchées respectivement avant et dans l étranglement indique une différence de pression de 80kPa. Déterminez le débit à travers ce tuyau, en supposant que le fluide est parfait.

37 1 ère informatique et systèmes 37 7 Un tube est employé comme siphon pour vider un réservoir d eau. A un moment donné, l ouverture basse du tube, de laquelle l eau coule, est à 0cm au dessous du niveau du liquide dans le réservoir. Calculez la vitesse d écoulement de l eau. 8 Un gazoduc texan, de diamètre égal à 35cm, transporte du gaz naturel (ρ= 0.9 kg/m 3 ) avec un débit massique de 1kg/s. Déterminez la vitesse moyenne d écoulement du gaz dans ce gazoduc. 9 Une conduite d eau est schématisée dans la figure ci-dessous. A l entrée, on mesure une pression de 1.5 bar, une vitesse de 8 m/s et une hauteur de 1m. La sortie est à une hauteur de m et la pression est de 1 bar. Que vaut la vitesse à la sortie? Si le débit, constant dans la conduite, est de 6l/s, que valent les diamètres d entrée et de sortie?

38 1 ère informatique et systèmes Le niveau d eau dans un château d eau est de 35m et le point le plus bas du réseau de distribution est de 40m. Calculez la vitesse de l eau à la sortie d un robinet placé au point le plus bas. Si le robinet a un diamètre de 15mm, quel est le débit d eau à ouverture maximale? 11 La vitesse de l eau à la sortie d une lance d incendie est de 100m/s. Dans la pompe d alimentation, elle est de 10m/s. Que doit valoir la pression dans la pompe d alimentation pour assurer une telle vitesse de sortie? 1 Une pompe aspire l eau d un puits. La pression minimum de l eau dans la conduite d aspiration à la sortie du puits doit être de Pa et la vitesse de l eau à cet endroit est de 3m/s. Déterminez la différence d altitude de l eau dans le puits et à l entrée de la pompe.

39 1 ère informatique et systèmes 39 4 Applications des écoulements permanents de fluide parfait incompressibles : 14 La figure ci-dessous représente un barrage alimentant une turbine hydraulique par l intermédiaire d une conduite forcée : La hauteur d eau est de 840m et la sortie de la tuyère de la turbine est à 410m. Si le diamètre de sortie de la tuyère est de 50mm, que valent la vitesse et le débit d eau à la sortie? 1 v v1 g( z z1) 0 : la somme de la variation d énergie cinétique et de la variation d énergie potentielle due à la variation d altitude=0 15 L injection de gasoil dans un moteur diesel doit être réalisée sous haute pression (300 bars) dans le cylindre du moteur où règne une pression de 50 bars. Quelle est la vitesse du combustible à la sortie de l injecteur. La masse volumique du gasoil est de 860 kg/m 3. v ( p1 p )

40 1 ère informatique et systèmes Un tronçon de conduite forcée de turbine hydraulique, transportant de l eau, présente une entrée et une sortie de même section. La hauteur d entrée est de 830m et la pression est de bars. La hauteur de sortie est de 510m. Que vaut la pression de sortie? p p1 -- g( z z ) Mesure du débit en volume d un fluide incompressible : De l eau s écoule dans le venturi ci-dessous. La section d entrée présente un diamètre de 100mm et le rapport S 1 /S est de 1.5. L appareil de mesure indique une différence de pression entre les points 1 et représentée par une colonne de mercure de 80mm de hauteur. Que valent la vitesse du fluide en 1 et le débit volumique? v1 S1 p1 p - 1 S

41 1 ère informatique et systèmes Dans un réservoir de grand volume, se trouvent de l huile et de l air sous une pression de 10 bars. L huile peut s échapper dans l atmosphère par un trou de diamètre égal à 6mm. En considérant que la différence d altitude entre l entrée et la sortie est négligeable, que vaut la vitesse à la sortie du réservoir? Déterminez aussi le débit massique (masse volumique de l huile : 860 kg/m 3 ) 19 Une conduite forcée va d un barrage réservoir (altitude 845m) à la turbine (altitude 65m). Le débit maximal est 0.4m 3 /s et la vitesse de l eau dans la conduite doit être inférieure ou égale à 6m/s. Déterminez le diamètre de la conduite et la pression effective maximale à laquelle est soumise la paroi de la turbine.

42 1 ère informatique et systèmes 4 0 Le tube manométrique en U ci-dessous est relié aux prises de pression 1 et dans un venturi par des tubes remplis d eau. En appliquant la loi de la statique des fluide, montrez que p p ( ' ). g. H Avec : ' Hg 13600kg/ m ; H 10 kg/ m O Si on mesure une hauteur H de 80mm, calculez la vitesse du fluide, sachant que le rapport des diamètres D 1 /D =gh1.. 1 Mesure de la vitesse en un point de l écoulement : Tube de Pitot. On trouve v gh 1 1 Dans le tube de Venturi représenté ci-dessous, la dénivellation du mercure du manomètre différentiel est de 358mm. Calculez le débit d eau dans le Venturi si aucune énergie n est perdue entre A et B. Un réservoir contenant de l eau est rempli à 3m de hauteur. Si une ouverture est pratiquée au bas du réservoir, déterminez la vitesse de sortie du liquide et le débit de sortie.

43 1 ère informatique et systèmes 43 3 Un conduit d eau horizontal a une section qui passe de 0.07m à 0.0m. En supposant qu il n y ait pas de pertes, quelle est la variation de pression quand 0.7kg/s d eau y circule (masse volumique de l air : 3.kg/m 3 ) 4 Un bateau sur un lac subit un choc avec un rocher immergé qui fait un trou de 40cm dans sa coque à 1m en dessous de la ligne de flottaison. Si le bateau peut recevoir 10 m 3 d eau avant d avoir sa cargaison trempée, estimez le temps qu il reste à l équipage pour agir. On supposera que le bateau ne s enfonce pas. 5 Le tube de venturi ci-dessous est implanté dans un oléoduc de section droite de 00cm. Il indique une différence de hauteur de 5cm entre ses colonnes. Si l étranglement a un diamètre de 10cm, quel est le débit dans l oléoduc? 6 Un pistolet de vaccination propulse un jet ultra fin de vaccin par un minuscule orifice de diamètre d environ 0.1mm. La pression de propulsion est de 38 bars. Calculez la vitesse à laquelle le vaccin (ρ= kg/m 3 ) quitte le pistolet. On suppose la vitesse à l intérieur du pistolet négligeable. Conclusion : Lors de l effet Venturi, l accroissement de l énergie cinétique est dû à la diminution de l énergie de pression et vice versa Une partie du fluide forcée de se déplacer plus rapidement est le siège d une pression inférieure à celle du fluide qui se déplace lentement : Lorsqu un camion passe à côté d une voiture, la pression entre les véhicules est réduite, ce qui donne l impression au conducteur de la voiture d être attiré par le camion.