Sollicitation élémentaire : la traction

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1 CHAPITRE3 ollicitation élémentaire : la traction L étude de la traction est vue sous un angle epérimental. A partir de manipulations faites sur une éprouvette sur laquelle est dessinée une grille, on constate des propriétés de déplacement/déformation qui permettront de déduire des hypothèses sur la répartition des contraintes dans une section. On donnera aussi les résultats d un essai de traction qui sera eploitée pour terminer l étude ce la traction. ommaire 1 Définition Relation contrainte/effort normal L essai de traction Relation contrainte/déformation Relation déformation/déplacement Critère de dimensionnement Ce qu il faut retenir Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf 41

2 3 ollicitation élémentaire : la traction L étude de la traction est vue sous un angle epérimental. A partir de manipulations faites sur une éprouvette sur laquelle est dessinée une grille, on constate des propriétés de déplacement/déformation qui permettront de déduire des hypothèses sur la répartition des contraintes dans une section. On donnera aussi les résultats d un essai de traction qui sont indispensables pour pouvoir finaliser l étude. 1 Définition Une poutre, ou un tronçon de poutre, est en traction/compression dès que le torseur des efforts intérieurs se présente sous la forme suivante : Tint = Ω N!! 0 æ i N est positif, on dira que la poutre, ou le tronçon de la poutre, est soumis a de la traction. i N est négatif, on dira que la poutre ou le tronçon est soumis a de la compression. Pour pouvoir étudier plus précisément la sollicitation de traction/compression, nous avons besoin de connaître la répartition des contraintes dans la section. Pour celà, nous allons nous livrer à une epérience. Étude d une grille On considère une poutre sur laquelle est dessinée une grille. On sollicite la poutre en traction, et on a représenté sur les photos de la Figure I.24 la grille avant et après déformation. ur la Figure I.25 on propose une vision idéalisée du résultat. Figure I.24: Photos de la grille avant (à gauche) et après (à droite) déformation La grille a suivi les déformations subies par la poutre. On peut donc à partir de l analyse des grilles avant et après déformation, faire les constats suivants. Conformément au principe de aint-venant, on constate que sur les bords de la grilles, une zone particulière est très déformée. On ne s intéressera pas à cette zone, les seuls constats utiles concernent donc la zone d intérêt. Dans la zone d intérêt : Chaque carreau de la grille a subi la même transformation. Dans la zone d intérêt on a donc un état de déformation homogène et constant. 42 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf

3 2 Relation contrainte/effort normal Zone d'intérêt y Après déformation z Avant déformation Figure I.25: Vue de la grille avant et après déformation Une section droite (ou au moins la vue de cette section par sa frontière) représentée par une ligne verticale de la grille s est déplacée pour donner une ligne verticale plus courte. On a donc à la fois un mouvement global de la section associé à un rétrécissement de celle-ci. La grille de longueur initiale L 0 s est globalement allongée d une longueur que nous noterons L. À l issue de ces différents constats, on peut donc se faire une idée des contraintes présentes dans le matériau : L état de contrainte est homogène et constant dans toute la zone d intérêt. i les contraintes variaient, la grille aurait une forme qui changerait. Les contrainte tangentielles sont nulles. En effet, si elles ne l étaient pas, On aurait des glissement des sections droites les unes par rapport au autres. Or on constate sur la grille qu entre deu sections avant et après déformation, il n y a eu qu un allongement de la matière dans la direction horizontale, qui a induit un rétrécissement dans la direction verticale. Finalement, le vecteur contrainte en tout point M d une section de normale! n =! s écrit :! T (M,! )=æ! avec æ constant. Cette première information est etrêmement importante : à partir de la relation intégrale reliant le torseur des efforts intérieurs au vecteur contrainte, nous allons pouvoir eprimer l effort normal N en fonction de la contrainte æ et des caractéristiques géométriques de la section. 2 Relation contrainte/effort normal À partir de la donnée précédente, on peut epliciter la relation intégrale : Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf 43

4 3 ollicitation élémentaire : la traction oit ici : Tint = Tint Ω N!! 0 æ = ( RR! = T (M,! n )d RR! M ^! T (M,! n )d Ω RR (æ! æ )d RR! M ^ (æ! )d Comme æ est contant sur, on a alors : ZZ ZZ ZZ N! = (æ! )d = æ! d avec d = ) En projetant l équation précédente sur l ae!, on en déduit : N = æ soit æ = N Les projections de l équation sur les aes! y et! z sont aussi vérifiées, ce qui tend à montre que l hypothèse faite sur la forme du vecteur contrainte dans la section droite est valide. Il reste maintenant à vérifier que : ZZ! M ^ (æ! )d =! 0 Comme æ! est constant sur la surface : ZZ! M ^ (æ! ZZ! )d = Md^ (æ! ) Comme M! est le centre de la surface, on a évidemment : ZZ! Md =! 0 Et donc, on a bien : ZZ! M ^ (æ! )d =! 0 Au bilan, La seule contrainte non nulle dans la section droite de normale!, de surface, est la contrainte normale æ qui est constante sur la section et s eprime en fonction de l effort normal par la formule : æ = N La répartition des contraintes est présentée sur la Figure I.26. Pour pouvoir aller plus loin, nous allons nous intéresser à une deuième epérience : l essai de traction. 3 L essai de traction On réalise un essai de traction sur une éprouvette cylindrique d acier inoydable 316. On donne sur la Figure I.27 le schéma de l éprouvette utilisée. La zone utile de l éprouvette a une longueur L 0 = 150 mm et une section dont le diamètre est D 0 = 15 mm. On a mesuré au cours de l essai la force eercée sur l éprouvette, qui est ici eactement l effort normal N vu par toute section droite de la zone utile, ainsi que l allongement L de la zone utile. 44 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf

5 3 L essai de traction σ σ y y z z Figure I.26: Répartition des contraintes en traction ØD 0 L 0 Figure I.27: Éprouvette de traction ur la Figure I.28, on a représenté au cours de l essai l évolution de la courbe effort normal N en fonction de l allongement L. Cette courbe comporte deu zones : la première zone ou l évolution de l effort normal en fonction de l allongement est linéaire est appelée la zone élastique. La deuième partie de la courbe est appelée la zone plastique. On ne s intéressera ici qu à la partie élastique linéaire de la courbe : le reste de celle-ci sera étudiée de manière plus précise en cours de cience des Matériau. ur la courbe précédente, on a donc réalisé un zoom pour L variant entre 0 et 0,6 mm. Nous avons vu précédemment que æ = N. L effort normal est donc proportionnel à la surface. Pour caractériser uniquement le matériau, indépendamment de la section de l éprouvette, il faut donc s intéresser à la contrainte normale æ. De la même manière plutôt que de s intéresser à un allongement L d une partie de l éprouvette de longueur utile L 0, nous allons nous intéresser à une quantité sans dimension appelée allongement unitaire ou déformation. Définition On appelle déformation le rapport de la variation de longueur L sur la longueur de référence L 0 : = L L 0 La déformation est une grandeur qui n a pas de dimension. A partir de ces deu grandeurs on peut donc tracer une nouvelle courbe qui montre l évolution de la contrainte æ en fonction de la déformation. On a représenté sur la Figure I.29 l évolution de æ en fonction de. Pour délimiter la zone élastique, on définit une grandeur appelée limite élastique R e : tant que la contrainte est inférieure à cette limite, le matériau a un comportement élastique linéaire. Pour certains matériau on peut avoir du mal à définir la zone de transition entre la partie élastique et la partie plastique. On définit alors une autre limite, très utilisée, dite limite Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf 45

6 3 ollicitation élémentaire : la traction 100,0 90,0 Ino ,0 70,0 N (kn) F orc e 60,0 50,0 40,0 30,0 20,0 10,0 0,0 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 Allongement L (mm) 60,0 50,0 F orc en (kn) 40,0 30,0 20,0 10,0 0,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Allongement L(mm) Figure I.28: Courbe N/ L pour l essai de traction 46 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf

7 3 L essai de traction 300 Limite pratique 0,2 d élasticité à 0,2 % : R p Limite élastique R e 250 Contrainte (MPa) Module d Young E ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Déformation (%) Figure I.29: Courbe æ/ pour l essai de traction élastique à 0,2 % et notée R p où Rp 0,2. Cette valeur est obtenue en traçant une droite parallèle à la droite de comportement élastique et coupant l ae des abscisses à 0,2 %. L intersection de cette droite avec la courbe d essai de traction donne la limite à 0,2 %. Dans la zone élastique, on peut écrire une relation linéaire entre la contrainte normale et la déformation. La pente de cette droite est appelée module d Young : c est une caractéristique du matériau que l on notera E. À partir du module d Young, et dans le domaine d élasticité, on a : æ = E Cette loi s appelle la loi de Hooke. L unité de E est le Pa. Enfin, on a constaté qu en plus de la déformation longitudinale dans le sens de la traction, le matériau subit aussi une déformation t dans la direction transversale (direction perpendiculaire à la déformation longitudinale). On peut remarquer qu avec la définition de la déformation, dans un essai de traction est positif (allongement L positif) tandis que t est négatif (diminution d une dimension transversale de l éprouvette). Ainsi, dès qu un matériau subit une déformation dans une direction, il en subit aussi une autre dans l autre direction. On constate epérimentalement que le rapport t est constant pour un matériau donné. Ce rapport est appelé coefficient de Poisson et est noté. Ona donc : t = Le coefficient est borné : il est positif et inférieur à 0,5. En effet si était négatif, on aurait une augmentation du diamètre d un barreau en traction. La limite supérieure de 0, 5 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf 47

8 3 ollicitation élémentaire : la traction correspond à un matériau incompressible. Un matériau élastique linéaire isotrope est donc défini par deu constantes élastiques : le module d Young E, le coefficient de Poisson. Pour définir la limite d élasticité, on utilise couramment la valeur R p : si æ < R p, on est dans la zone élastique, si æ > R p, on est dans la zone plastique. On trouvera dans le Tableau I.2 des valeurs des coefficients E,, et R p pour quelques matériau couramment utilisés. Matériau Module d Young Coefficient de Poisson Limite pratique d élasticité E en MPa sans dimension R p en MPa Acier , Aluminium , Verre , (en compression) Polystyrène , 4 48 Tableau I.2: Ordres de grandeur de quelques caractéristiques matériau 4 Relation contrainte/déformation À partir du module d Young, et dans le domaine d élasticité, on a : æ = E loi de Hooke soit encore : N = E Ainsi, on peut aussi eprimer la déformation en fonction de l effort normal : = N E 5 Relation déformation/déplacement La déformation longitudinale est directement liée à l allongement comme nous l avons vu précédemment. Lorsque la déformation est homogène sur tout la longueur de la poutre, comme c est le cas dans l essai de traction, alors on a : = L L 0 Mais cette epression n est pas générale, en particulier, si varie en fonction de l abscisse le long de la poutre. Pour déterminer une epression plus générale, on isole un petit tronçon de poutre de longueur d d abscisse à l origine, tel qu indiqué sur la Figure I Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf

9 5 Relation déformation/déplacement d y O z déformation ε() u() u(+d) Figure I.30: Petit tronçon de poutre en traction On note u() le déplacement du point d abscisse et u( + d) le déplacement du point d abscisse + d. Ainsi si () est la déformation du petit tronçon de poutre de longueur d, () est le rapport entre l allongement du tronçon soit u(+d) u() et la longueur du tronçon. Donc : u( + d) u() () = d Or le déplacement u( +d) s eprime en fonction de u() en eprimant le fait que le déplacement du point d abscisse +d est égal à celui du point d abscisse auquel on ajoute une petite variation du déplacement du(), soit : On en déduit donc : Que l on écrit plus simplement : u( + d) = u() + du() () = du() d () = du d Puisque u ne peut dépendre que de. Cette dernière formule est l epression du déplacement en fonction de la déformation. i on l applique à une poutre de longueur L 0 encastrée à son origine, et dont le déplacement du point etrême est u(l 0 ) = L, alors, si la déformation est homogène sur toute la longueur on a : du = d En intégrant l epression précédent entre les deu etrémités de la poutre, on en déduit : Z L0 0 du = Z L0 Comme on a supposé que était homogène, on a : u(l 0 ) u(0) = 0 Z L0 0 d d = L 0 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf 49

10 3 ollicitation élémentaire : la traction En ajoutant le fait que : u(0) = 0 (encastrement) et u(l 0 ) = L On retrouve évidemment que : L = L 0, soit = L L 0 6 Critère de dimensionnement Pour le dimensionner la poutre on peut utiliser deu types de critères : un critère en contrainte un critère en déplacement Le critère en contrainte va traduire le fait que le matériau doit rester dans la zone élastique. æ R p On prend classiquement en compte un coefficient de sécurité s > 1 pour vérifier ce critère qui s écrit alors : s æ R p Le critère en déplacement traduit, moyennant un coefficient de sécurité s 0, que le déplacement en un point N (par eemple le point où le déplacement est maimum) doit rester inférieur à une valeur donnée dépendant des conditions d utilisation u lim : s 0 u(n) u lim 50 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf

11 7 Ce qu il faut retenir 7 Ce qu il faut retenir Une poutre, ou un tronçon de poutre, est en traction/compression dès que : si N > 0 : traction, si N < 0 : compression. Tint = Ω N!! 0 æ La seule contrainte non nulle est la contrainte normale æ qui est uniforme dans la section droite et : y σ y σ æ = N z z La déformation se déduit, dans le domaine élastique (æ R p ), de la loi de Hooke : æ = E où E est le module d Young La déformation dans une direction transverse à la direction de traction s écrit : t = où est le coefficient de Poisson Il est bon de connaître les ordres de grandeur des coefficient E, et R p pour quelques matériau d usage courant. Enfin le déplacement u est relié à la déformation par : () = du d On utilise plus couramment cette epression sous forme intégrale : u( 2 ) u( 1 ) = Z 2 1 ()d Pour dimensionner une poutre en traction, on utilise un critère en contrainte ou en déplacement : critère en contrainte critère en déplacement s æ R p, s est un coefficient de sécurité supérieur à 1, s 0 u(n) u lim, s 0 est un coefficient de sécurité supérieur à 1. Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf 51

12 3 ollicitation élémentaire : la traction 52 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. uidault, F. Louf