Rapport de stage. "Produits financiers en temps discret : simulation et couverture"

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1 Université Joseph Fourrier Département Licence Sciences & Technologies Rapport de stage "Produits financiers en temps discret : simulation et couverture" Anne-Laure Ducrocq Laboratoire d accueil : Laboratoire Jean Kuntzmann Directeur du laboratoire : Eric Bonnetier Maître de stage : Jérôme Lelong L1 Mathématiques-Informatique Juin 2013

2 Remerciements Je tiens dans un premier temps à remercier Bernard Ycart pour son soutien, son entière confiance à mon égare et enfin pour sa coopération. Ainsi que Patricia Cajot, responsable des stages d excellence du DLST, qui a permis la réalisation de ce stage d un point de vue administratif. Je remercie aussi tout particulièrement Jérome Lelong, mon maître de stage au sein du labo de Maths Financières qui a su repérer mes difficultés dues à mes connaissances restreintes et ainsi adapter le stage à mon niveau. Je suis tout à fait consciente du temps et de la patience que M. Lelong et M.Ycart m ont accordée. 2

3 Sommaire I Introduction 9 II Le modèle de Cox, Ross et Rubinstein 11 1 Présentation Un exemple concret : le raffineur qui doit acheter des barils de pétrole La problèmatique des options Hypothèses et notations du modèle CRR But : trouver une stratégie Modèle à une période Cas d une option d achat (CALL) Calcul de E[V 1 (Φ)] Système d équation solution Cas d une option de vente (PUT) Calcul de E[V 1 (Φ)] Système d équation solution Comparaison CALL vs PUT Modèle à deux périodes Cas d une option d achat (CALL) Résolution de φ 0 2 et φ Résolution de φ 0 1 et φ Vérification de la stratégie sous Scilab Cas d une option de vente (PUT) Résolution de φ 0 2 et φ Résolution de φ 0 1 et φ Vérification de la stratégie sous Scilab Cas particulier : non modification de la répartition du portefeuille Cas général : Modèle à N périodes 30 5 Etude asymptotique 31 3

4 A propos du LJK 4

5 Le laboratoire Jean Kuntzmann est un laboratoire de Mathématiques Appliquées et d Informatique. Il doit son nom à Jean Kuntzmann ( ) pionnier de l informatique et des mathématiques appliquées à Grenoble et pionnier du décloisonnement des sciences numériques vers l industrie et les autres disciplines. Il regroupe des équipes de cultures assez différentes (dont 7 de l INRIA) : mathématiciens, numériciens, spécialistes de l informatique graphique, du traitement d images et de vision par ordinateur. Cette diversité favorise des interactions très riches autour de la modélisation numérique et du calcul, où les enjeux sont la complexité des systèmes (multi-échelles, multi-physiques), les données massives, le calcul temps réel. Le LJK joue aussi un rôle d interface vers d autres disciplines : les modèles et algorithmes qui y sont développés trouvent des applications dans les domaines de l environnement, des nanosciences, de la biologie, des mathématiques financières, de la synthèse d images et des sciences sociales. Le laboratoire est structuré en 3 départements : - Géométrie-Image regroupe des équipes de modélisation géométrique, de traitement, d analyse et de synthèse d images et de vidéos et vision par ordinateur. - Modèles et Algorithmes Déterministes centre ses activités sur la modélisation (par systèmes dynamiques, par équations aux dérivées partielles) et sur des outils pour le calcul numérique et symbolique. - Probabilités/Statistique regroupe quant à lui des probabilistes, statisticiens et spécialistes de l analyse des données et du traitement du signal. 5

6 Département Géométrie-Image Le département Géométrie-Image développe des recherches en Modélisation Géométrique, Analyse d Image, Informatique Graphique et Vision par ordinateur. Les recherches poursuivies ont pour cadre commun le traitement informatique de la géométrie et des images. Les applications incluent les systèmes informatiques de conception géométrique pour l industrie manufacturière, la création de films d animation pour l industrie du loisir, ou encore l indexation et la fouille de grandes banques d images pour les technologies de l information et de la communication. Ce regroupement d expertises informatiques en synthèse et analyse d image, vision et géométrie est rare et constitue un creuset idéal pour le développement de recherches innovantes vers une insertion totale de la géométrie 3D et des images dans la Société de l Information. Ce département est consitué des équipes suivantes : ARTIS Acquisition, Représentation et Transformations pour l Image de Synthèse (projet IN- RIA) IMAGINE Modélisation Intuitive et Animation pour les Mondes 3D Interactifs et les Environnements Narratifs (projet INRIA) LEAR Apprentissage et Reconnaissance en Vision (projet INRIA) MGMI Modélisation Géométrique et Multirésolution pour l Images PERCEPTION Interpretation et Modelisation d Images et Vidéos (projet INRIA) MORPHEO Capture et analyse de formes en mouvement (projet INRIA) 6

7 Département Modèles et Algorithmes Déterministes Le département MAD regroupe les chercheurs qui développent des outils numériques et symboliques pour la résolution d équations différentielles ordinaires ou d équations aux dérivées partielles et pour l optimisation. Le département est structuré en 4 équipes : BIPOP : Modélisation, simulation et commande des systèmes dynamiques non réguliers, optimisation non-différentiable (projet INRIA) CASYS : Calcul exact, analyse et contrôle de systèmes dynamiques hybrides (symboliques/exacts/numériques) EDP : Modélisation, analyse et calcul scientifique appliqué aux sciences du vivant et aux sciences des matériaux MOISE : Méthodes mathématiques et numériques, calcul scientifique pour la modélisation directe et inverse en géophysique (projet INRIA) STEEP : Soutenabilité, Territoire, Environnement, Economie et Politique 7

8 Département Probabilités/Statistique Le département Probabilités et Statistique regroupe les chercheurs qui travaillent en probabilités, statistique, mathématiques financières et traitement du signal et de l image. Le département est structuré en six équipes : -MS3 Méthodologie Statistique et Sciences Sociales -FIGAL Fiabilité et Géométrie Aléatoire -MISTIS Modélisation et Inférence de phénomènes aléatoires complexes et structurés (projet INRIA) -IPS Inférence Processus Stochastiques -SAM Statistique Apprentissage Machine -MATHFI Mathématiques financières MATHFI La gestion des risques financiers est devenue une préoccupation majeure des banques, assurances, énergéticiens et autres entreprises exposées aux variations des marchés financiers. Ces phénomènes aléatoires sont de nature complexe, car ils mettent souvent en jeu des variables de grande dimension avec des dépendances peu simples. L équipe MATHFI étudie la modélisation/calibration de ces phénomènes complexes par des processus stochastiques, leur simulation afin d avoir une perception dynamique des risques futurs, leur analyse mathématique et numérique. La formalisation mathématique des problèmes de couverture, de liquidité, d imperfection de marchés, de risques extrêmes est aussi au cœur de nos préoccupations. Les compétences scientifiques de l équipe portent sur : -les processus stochastiques markoviens -les équations aux dérivées partielles associées -les méthodes numériques probabilistes dont celles de Monte Carlo -le calcul de Malliavin -le calcul parallèle pour la finance Ces compétences permettent de relever des enjeux en gestion du risque et calculs temps réel, en résolvant des problèmes de calcul de prix d actifs complexes, d optimisation de portefeuilles, d évaluation de risques extrêmes... cela s applique au secteur de la finance, de l assurance et des marchés énergétiques. 8

9 Première partie Introduction 9

10 Etudiante en Licence 1 de Mathématique et d Informatique (MIN) à l Université Joseph Fourier de Grenoble, j ai effectué dans le cadre de ma formation un stage d excellence dans ce dernier département de Probabilités et Statistique, en particulier dans l équipe de MATHFI. Lorsque je recherchais un stage, beaucoup de ceux proposés m ont attirée. Mais quand j ai aperçu sur le site de l ENSIMAG la spécialité d ingénierie financière, cela m a immédiatement interpellée. Pourtant je ne connaissais pas du tout ce milieu mais c est justement pour cette raison que j ai voulu postuler. Effectivement, les autres applications mathématiques sont plus concrètes dans notre perception de 1ère année. Les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées ayant pour but la modélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant les marchés financiers. Elles utilisent principalement des outils issus de l actualisation, de la théorie des probabilités, du calcul stochastique, des statistiques et du calcul différentiel. Faire un stage dans ce domaine s est avéré particulièrement difficile, autant d un point de vue purement mathématique que d un point de vue finance. C est pourquoi, au début de mon stage j ai du me concentrer sur l apprentissage théorique de ces notions. Ensuite, mon maitre de stage, M. Lelong, a pris du temps pour adapter le sujet de mon stage à mon niveau de connaissances. Nous nous sommes alors concentrés sur le modèle de Cox, Ross et Rubinstein (noté CRR). Pour commencer, j ai étudier ce modèle à seulement une puis deux périodes avant de pouvoir généraliser les notions au cas de N périodes. Au fur et à mesure, j ai fait des simulations grâce au logiciel libre de calcul numérique Scilab pour entre autres vérifier mes calculs. 10

11 Deuxième partie Le modèle de Cox, Ross et Rubinstein 11

12 Chapitre 1 Présentation Ce modèle binomial fournit une méthode numérique pour l évaluation des options. Il a été proposé pour la première fois par Cox, Ross et Rubinstein en Il s agit d un modèle discret pour la dynamique du sous-jacent. L évaluation de l option est calculée par application de la probabilité risque-neutre pour laquelle les prix actualisés sont des martingales (notion mathématique difficile que nous n aborderons pas). La méthode binomiale, pour valoriser les options, est très largement utilisée car elle est capable de prendre en compte un nombre important de conditions pour lesquelles l application d autres modèles n est pas aisée. Cela vient en grande partie du fait que la méthode binomiale prend en compte les variations de l actif sous-jacent (contrairement aux autres méthodes qui ne prennent en compte qu un point fixe). Par exemple la méthode binomiale est utilisée pour les options américaines (celles-ci peuvent être exercées à tout moment) et les options des Bermudes (celles-ci peuvent être exercées à différents moments). La méthode binomiale est de plus mathématiquement relativement simple et peut être facilement programmée en logiciel (ou éventuellement sur une feuille de calcul). Bien que plus lente que la méthode de Black-Scholes, la méthode binomiale est considérée comme plus précise, particulièrement pour les options à long terme et les options sur titre versant des dividendes. C est pourquoi il existe plusieurs versions du modèle binomial qui sont utilisées par les personnes travaillant sur le marché des options. Pour les options comportant plusieurs sources d incertitudes ou pour les options complexes l application de la méthode binomiale en «arbre» présente des difficultés et n est pas pratique. Dans ces cas-là il vaut mieux utiliser la Méthode de Monte-Carlo. Le but est de comprendre le principe de la couverture ou réplication de produits financiers dans ce modèle. John C.Cox, Stephen A.Ross, Mark E.Rubinstein 12

13 1.1 Un exemple concret : le raffineur qui doit acheter des barils de pétrole Nous allons tout d abord commencer par étudier un exemple concret afin de comprendre l utilité de ce modèle. Imaginons un raffineur ABC qui, au 1er janvier, sait que, pour son activité, il devra acheter au 30 juin de barils de pétrole brut. Ce jour-là, le 1er janvier, le pétrole brut s échange sur le marché à 50$ par baril. Or, ABC anticipe une forte reprise économique ayant pour conséquence une hausse des prix du pétrole. Au-delà de 60$ par baril, ABC commence à perdre de l argent. Il décide donc d utiliser sa trésorerie pour acheter de calls de prix d exercice 60$ de date d échéance le 30 juin, et de prime 2$ par baril. Que va-t-il se passer au 30 juin? Il aura la possibilité d exercer ou non ses calls. Cas 1 : le pétrole brut s échange à 40$ par baril. Le scénario anticipé par ABC ne s est pas réalisé, et le call n a plus aucune valeur. ABC abandonne l option. Le bilan financier de l opération est une perte de $. ABC va pouvoir acheter son pétrole sur le marché à 40$ par baril, et aura dépensé au total 42$ par baril pour cela. Cas 2 : le pétrole brut s échange à 55$ par baril. Le scénario anticipé par ABC s est en partie réalisé, mais le call n a plus aucune valeur puisque le prix d exercice est supérieur au prix du marché : ce cas est en fait équivalent au précédent. ABC abandonne l option. Le bilan financier de l opération est une perte de $. ABC va pouvoir acheter son pétrole sur le marché à 55$ par baril, et aura dépensé au total 57$ par baril pour cela. Cas 3 : le pétrole brut s échange à 80$ par baril. L anticipation d ABC s est réalisée. Celui-ci va exercer son call : il va donc pouvoir acheter barils à 60$ et, ainsi, limiter ses pertes. Il aura dépensé au total 62$ par baril pour cela. S il avait dû s approvisionner sur le marché, il aurait payé 80$ par baril, soit une économie de 18$ par baril. Le raffineur ABC a donc protégé son approvisionnement contre une hausse trop importante pour lui du prix du pétrole brut. En revanche, cette assurance a un coût. À lui de décider si ce dernier est intéressant pour lui ou pas... 13

14 1.2 La problèmatique des options Une option sur un actif S de maturité N est une assurance qui donne à son détenteur le droit, et non l obligation d acheter (resp. de vendre) une certaine quantité d actif financier S à une date convenue (l échéance N) et à un prix fixé d avance par le contrat (K). Le vendeur d une option d achat (resp. de vente) s engage à donner au détenteur du contrat la somme (S N K) + (resp. (K S N ) + ). La description précise d une option se fait à partir de : -La nature de l option : Call (pour une option d achat) ou Put (pour une option de vente). -L actif sous-jacent -Le montant : la quantité d actif sous-jacent à acheter ou à vendre -Le prix d exercice qui est le prix fixé d avance auquel se fait la transaction en cas d exercice de l option. -L échéance, qui limite la durée de vie de l option : si l option peut être exercée à nimporte quel instant avant l échéance, on parle d option américaine, si l option ne peut être exercée qu à l échéance, on parle d option européenne. -Le prix de l option elle-même appelé prime. Il faut bien retenir que le détenteur n est pas obligé d exercer son option. Effectivement, si le prix de son actif à la date N est inférieur au prix d exercice, il ne va pas avoir besoin de l exercer. 14

15 Dans le cas d un call européen, soit S n le cours de l action à la date n. Il est clair que si, à l échéance N, le cours S N est inférieur au prix K, le détenteur de l option n a aucun intérêt à l exercer. Par contre, si S N > K, l exercice de l option permet à son détenteur de faire un profit égale à S N K en achetant l action au prix K et en la revendant sur le marché au cours S N. On voit qu à l échéance la valeur du Put est donné par la quantité : (S N K) + = max(s N K, 0) Pour le vendeur de l option, il s agit, en cas d exercice, d être en mesure de fournir une action au prix K et donc de pouvoir produire à l échéance N une richesse égale à (S N K) +. Au moment de la vente de l option (n=0), le cours S N est donc inconnu et 2 questions se posent : 1. Combien faut-il faire payer à l acheteur de l option, comment évaluer à l instant n=0 une richesse (S N K) + disponible à la date N? C est le problème du PRICING. 2. Comment le vendeur, qui touche la prime à n=0 parviendra-t-il à produire la richesse (S N K) + à la date N? C est le problème de la COUVERTURE. 1.3 Hypothèses et notations du modèle CRR On se place dans un marché idéalisé en faisant les 3 hypothèses économiques suivantes : Le marché est sans friction Il y a Absence d Opportunité d Arbitrage : il est impossible de faire des profits sans prendre de risques Les investisseurs sont insatiables Par ailleurs : On se place en temps discret On suppose qu il n y a qu un seul actif à risque noté S n à l instant n. On suppose qu il n y a qu un seul actif sans risque de rendement certain R sur une période noté Sn. 0 Sn 0 = (1 + R) n où R > 0 représente le taux d intérêt sur une période. Sn 0 correspond à la somme obtenue à l instant n pour un investissement de 1 à n = 0. C est à dire que si l on place x au taux R à l instant n, on obtient (1 + R)x à l instant n + 1. L évolution du cours d un actif est modélisée par la suite de variables aléatoires discrètes (S n ) 0 n N définie par : S n+1 = { S n (1 + b)avec probabilité p S n (1 + a)avec probabilité 1-p où 1 < a < b et p [0; 1]. On définit également la suite des rendements (T n ) n 1 par T n = Sn S n 1. 15

16 En introduisant une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d) (Y i ) 1 i N selon la loi de Bernoulli de paramètre p à valeurs dans {1 + a, 1 + b}, on peut écrire S n+1 = S n Y n+1. Voici ci-dessous l arbre probabilisé qui représente les évolutions possibles du cours S n à chaque instant t de S 0 à S 3. Il est important de remarquer que si le cours augmente puis diminue, sa valeur est identique s il diminue puis augmente. 16

17 Calculs d espérances : E[(1 + R) (n+1) S n+1 S n ] = (1 + R) (n+1) E[S n+1 S n ] = (1 + R) (n+1) E[S n Y n+1 S n ] = (1 + R) (n+1) S n E[Y n+1 S n ] = (1 + R) (n+1) S n E[Y n+1 ] = (1 + R) (n+1) S n [p(1 + b) + (1 p)(1 + a)] E[(1+R) 1 T n+1 S n ] = (1+R) 1 E[T n+1 S n ] = (1+R) 1 E[ S n+1 S n S n ] = (1+R) 1 E[ S n Y n+1 S n S n ] = (1+R) 1 E[Y n+1 S n ] = (1+R) 1 E[Y n+1 ] = (1+R) 1 [p(1+b)+(1 p)(1+a)] = E[(1+R) 1 T n+1 ] Relation entre p, R, a et b pour que E[(1 + R) (n+1) S n+1 S n ] = (1 + R) n S n : E[(1 + R) (n+1) S n+1 S n ] = (1 + R) n S n (1 + R) (n+1) S n [p(1 + b) + (1 p)(1 + a)] = (1 + R) n S n p(1 + b) + (1 p)(1 + a) = 1 + R pb + (1 p)a = R R est donc une combinaison convexe de a et b donc R ]a; b[ De plus, on obtient : p = R a b a Sous cette condition, on observe que E[T n+1 S n ] = 1 + R 17

18 1.4 But : trouver une stratégie On appelle stratégie toute suite de variables aléatoires Φ = (φ 0 n, φ n ) 0 n N telles que : φ 0 0 et φ 0 soient des quantités déterministes à n > 0 fixé, les variables aléatoires φ 0 n et φ n ne dépendent que de l information jusqu à l instant n 1. Pour tout n < N, φ 0 n+1sn 0 + φ n+1 S n = φ 0 nsn 0 + φ n S n Cette dernière condition s appelle condition d autofinancement qui interdit de réinjecter de l argent supplémentaire à toute date n > 0. La variable φ 0 n (resp. φ n ) représente la quantité d actif Sn 0 (resp. S n ) détenus à l instant n. La valeur à l instant n de cette stratégie sera notée V n (Φ) et vaut : V n (Φ) = φ 0 ns 0 n + φ n S n Remarque : La composition du portefeuille à l instant n est décidée à l instant n 1. Le but de la suite de cette présentation du modèle CRR est donc de comprendre comment on peut construire une stratégie Φ telle que V N (Φ) = (S N K) + dans le cas d une option d achat (resp. V N (Φ) = (K S N ) + dans le cas d une option de vente). Une stratégie de valeur finale (S N K) + (resp. (K S N ) + ) s appelle stratégie de couverture pour l option d achat (resp. de vente). 18

19 On peut observer une relation intéressante entre V n et V n 1 si on calcule l espérance suivante : E[(1 + R) -n V n (Φ) (S 0, S 1,..., S n 1 )] E[(1+R) n V n (Φ) (S 0, S 1,..., S n 1 )] = (1+R) n E[V n (Φ) S n 1 ] = (1+R) n E[φ 0 ns 0 n +φ n S n S n 1 ] Mais φ 0 n et φ n ne dépendent pas de S 0,..., S n 1 donc : (1 + R) n [φ 0 ne[s 0 n S n 1 ] + φ n E[S n S n 1 ]] = (1 + R) n [φ 0 n(1 + R) n + φ n E[S n 1 Y n S n 1 ]] = (1+R) n [φ 0 n(1+r) n +φ n S n 1 E[Y n S n 1 ]] = (1+R) n [φ 0 n(1+r) n +φ n S n 1 [p(1+b)+(1 p)(1+a)]] = Or [p(1 + b) + (1 p)(1 + a)] = 1 + R d après p = R a b a (1 + R) n [φ 0 n(1 + R) n + φ n S n 1 (1 + R)] = φ 0 n + φ n S n 1 (1 + R) (n 1) = [φ 0 n(1 + R) n 1 + φ n S n 1 ](1 + R) (n 1) = [φ 0 ns 0 n 1 + φ n S n 1 ](1 + R) (n 1) = D après la condition d autofinancement, on obtient : Finalement : [φ 0 n 1S 0 n 1 + φ n 1 S n 1 ](1 + R) (n 1) = V n 1 (Φ)(1 + R) (n 1) E[(1 + R) n V n (Φ) (S 0, S 1,..., S n 1 )] = V n 1 (Φ)(1 + R) (n 1) D autre part, le calcul de V n+1 V n est particulièrement intéressant pour la suite de notre analyse. V n+1 V n = φ 0 n+1s 0 n+1+φ n+1 S n+1 (φ 0 ns 0 n+φ n S n ) = φ 0 n+1s 0 n+1+φ n+1 S n+1 (φ 0 n+1s 0 n+φ n+1 S n ) = φ 0 n+1(s 0 n+1 S 0 n) + φ n+1 (S n+1 S n ) De cette dernière relation, on peut exprimer V n (Φ) d une autre manière : (H n ) : V n (Φ) = V 0 (Φ) + n i=1 φ i S i + n i=1 φ0 i Si 0 où S i = S i S i 1 et Si 0 = Si 0 Si 1 0 Preuve par récurrence : *Vrai pour n=0. *Supposons (H n ) vraie. 19

20 n n V n (Φ) = V 0 (Φ) + φ i S i + φ 0 i Si 0 i=1 i=1 n n V n+1 (Φ) = V 0 (Φ) + φ i S i + φ n+1 (S n+1 S n ) + φ 0 i Si 0 + φ 0 n+1(sn+1 0 Sn) 0 i=1 i=1 n+1 n+1 (H n+1 ) : V n+1 (Φ) = V 0 (Φ) + φ i S i + φ 0 i Si 0 i=1 i=1 20

21 Chapitre 2 Modèle à une période Dans cette section, on se restreint au modèle à une période, c est-à-dire que N=1. Nous n avons alors que 2 possibilités pour la valeur de S Cas d une option d achat (CALL) Soit Φ la stratégie de couverture de valeur finale V 1 (Φ) = (S 1 K) Calcul de E[V 1 (Φ)] D après : Donc E[V 1 (Φ)] = V 0 (Φ)(1 + R) V 0 (Φ) = E[V 1 (Φ)](1+R) 1 = E[(S 1 K) + ](1+R) 1 = [p(s 0 (1+b) K) + +(1 p)(s 0 (1+a) K) + ](1+R) 1 = [ R a b a (S 0(1 + b) K) + R b b a (S 0(1 + a) K) + ](1 + R) Système d équation solution V 1 (Φ) = (S 1 K) + 21

22 φ 0 1S φ 1 S 1 = (S 1 K) + S : { φ 0 1(1 + R) + φ 1 S 0 (1 + b) = (S 0 (1 + b) K) + φ 0 1(1 + R) + φ 1 S 0 (1 + a) = (S 0 (1 + a) K) + S : { φ1 = 1 S 0 (b a) 0(1 + b) K) + (S 0 (1 + a) K) + ] φ 0 1 = 1 [ 1+a(S 1+R a b 0(1 + b) K) + 1+b(S a b 0(1 + a) K) + ] 2.2 Cas d une option de vente (PUT) Calcul de E[V 1 (Φ)] D après : Donc E[V 1 (Φ)] = V 0 (Φ)(1 + R) V 0 (Φ) = E[V 1 (Φ)](1+R) 1 = E[(K S 1 ) + ](1+R) 1 = [p(k S 0 (1+b)) + +(1 p)(k S 0 (1+a))](1+R) 1 = [ R a b a (K S 0(1 + b)) + R b b a (K S 0(1 + a)) + ](1 + R) Système d équation solution V 1 ( Φ) = (K S 1 ) + φ 0 1S φ 1 S 1 = (K S 1 ) + S : { φ 0 1(1 + R) + φ 1 S 0 (1 + b) = (K S 0 (1 + b)) + φ 0 1(1 + R) + φ 1 S 0 (1 + a) = (K S 0 (1 + a)) + S : { φ1 = 1 S 0 (b a) 0(1 + b)) + (K S 0 (1 + a)) + ] φ 0 1 = 1 [ 1+a(K 1+R a b 0(1 + b)) + 1+b(K a b 0(1 + a)) + ] 22

23 2.3 Comparaison CALL vs PUT Nous allons nous concentrer ici sur la comparaison entre un call et un put européen de même échéance n=1 et de même prix d exercice K, sur une action de cours S n à l instant n. On remarque que : φ 1 φ 1 = 1 S 0 (b a) [(S 0(1+b) K) + (K S 0 (1+b)) + +(K S 0 (1+a)) + (S 0 (1+a) K) + ] = 1 S 0 (b a) [(S 0(1+b) K)+(K S 0 (1+a))] = 1 S 0 (b a) [S 0(1+b) S 0 (1+a)] = 1 (b a) [(1+b) (1+a)] = 1 φ 0 1 φ 0 1 = R [1 + a a b (S 0(1+b) K)+ 1 + b a b (K S 0(1+a))] = R [K(1 + b a b 1 + a a b )] = K 1 + R V 1 (Φ) V 1 ( Φ) = φ 0 1S φ 1 S 1 ( φ 0 1S φ 1 S 1 ) = S 0 1(φ 0 1 φ 0 1) + S 1 (φ 1 φ 1 ) = S 1 K On appelle cette égalité la relation de parité call-put. On observe alors qu avec l opportunité de détenir à la fois un call et un put, si l on achète un put V 1 ( Φ) et une action S 1 et si l on vend un call V 1 (Φ), on obtient un profit égal à : V 1 (Φ) V 1 ( Φ) S 1 A la date N=1, deux cas peuvent se présenter : S 1 > K alors on exerce le call et on se retrouve avec une richesse égale à K+V 1 (Φ) V 1 ( Φ) S 1 S 1 <= K alors on exerce le put et comme précédemment on se retrouve avec une richesse égale à K + V 1 (Φ) V 1 ( Φ) S 1 Dans les 2 cas, on réalise un profit positif sans mise de fond initial. Donc il est effectivement intéréssant d avoir l opportunité de détenir à la fois un call et un put. 23

24 Chapitre 3 Modèle à deux périodes Dans cette section, on se restreint au modèle à deux périodes, c est-à-dire que N=2. Une stratégie Φ peut donc se représenter comme un quadruplet (φ 0 1, φ 1, φ 0 2, φ 2 ) S 2 peut donc prendre 3 valeurs notées : 1 + ā = (1 + a) b = (1 + b) c = (1 + a)(1 + b) S 0 (1 + b) 2 avec probabilité p 2 S 2 = S 0 (1 + a)(1 + b) avec probabilité 2p(1-p) S 0 (1 + a) 2 avec probabilité (1 p) 2 24

25 3.1 Cas d une option d achat (CALL) Soit Φ la stratégie de couverture de valeur finale V 2 (Φ) = (S 2 K) Résolution de φ 0 2 et φ 2 V 2 (Φ) = (S 2 K) + φ 0 2S φ 2 S 2 = (S 2 K) + S : { φ 0 2(1 + R) 2 + φ 2 S 1 (1 + b) = (S 1 (1 + b) K) + φ 0 2(1 + R) 2 + φ 2 S 1 (1 + a) = (S 1 (1 + a) K) + S : { φ2 = 1 S 1 (b a) 1(1 + b) K) + (S 1 (1 + a) K) + ] φ 0 2 = 1 [ 1+a(S (1+R) 2 a b 1(1 + b) K) + 1+b(S a b 1(1 + a) K) + ] Résolution de φ 0 1 et φ 1 E[(S 2 K) + S 1 ] = E[(S 1 Y 2 K) + ] = p(s 1 (1 + b) K) + + (1 p)(s 1 (1 + a) K) + = R a b a (S 1(1 + b) K) + + b R b a (S 1(1 + a) K) + D après 1.4.1, E[V n+1 (Φ)] = V n (Φ)(1 + R) donc E[V 2 (Φ)] = V 1 (Φ)(1 + R) E[(S 2 K) + ] = V 1 (Φ)(1 + R) V 1 (Φ)(1 + R) = R a b a (S 1(1 + b) K) + + b R b a (S 1(1 + a) K) + (φ 0 1S φ 1 S 1 )(1 + R) = R a b a (S 1(1 + b) K) + + b R b a (S 1(1 + a) K) + (φ 0 1(1 + R) + φ 1 S 1 )(1 + R) = R a b a (S 1(1 + b) K) + + b R b a (S 1(1 + a) K) + { φ 0 1(1 + R) 2 + φ 1 S 0 (1 + b)(1 + R) = R a(s b a 0(1 + b) 2 K) + + b R(S b a 0(1 + a)(1 + b) K) + φ 0 1(1 + R) 2 + φ 1 S 0 (1 + a)(1 + R) = R a(s b a 0(1 + a)(1 + b) K) + + b R(S b a 0(1 + a) 2 K) + φ 1 = 1 S 0 (1 + R)(b a) 2 [(R a)(s 0(1+b) 2 K) + +(R b)(s 0 (1+a) 2 K) + +(b+a 2R)(S 0 (1+a)(1+b) K) + ] 25

26 φ 0 1 = 1 (1 + R) 2 (b a) 2 [(1 + a)(a R)(S 0(1 + b) 2 K) + + (1 + b)(b R)(S 0 (1 + a) 2 K) + +((b a)(b R) + (1 + b)(2r a b))(s 0 (1 + a)(1 + b) K) + ] Vérification de la stratégie sous Scilab / / Modele a deux p e r i o d e s f u n c t i o n f = p o s i t i v e ( x ) i f x<0 then f =0 ; e l s e f =x ; end endfunction a =0.2 ; b =0.7 ; K=1 ; R=0.5 ; p =0.5 ; S02 =(1+R) (1+R) ; S01 =(1+R) ; S00=1 ; f u n c t i o n S=s ( n ) i f ( n ==0) then S=1 ; e l s e i f rand ( 1, 1 ) <p then S=s ( n 1) (1+ b ) ; e l s e S=s ( n 1) (1+ a ) ; end end endfunction phi2 = ( 1 / s ( 1 ) ( b a ) ) ( p o s i t i v e (K s ( 1 ) (1+ b ) ) p o s i t i v e (K s ( 1 ) (1+ a ) ) ; phi02 = ( 1 / ( 1 +R) (1+R) ) ( ( ( 1 + a ) / ( a b ) ) p o s i t i v e (K s ( 1 ) (1+ b ) ) ((1+b ) / ( a b ) ) p o s i t i v e (K s ( 1 ) (1+ a ) ) ) ; phi1 = ( 1 / s ( 0 ) (1+R) ( b a ) ) ( p o s i t i v e (K s ( 0 ) (1+ b ) (1+R) ) p o s i t i v e (K s ( 0 ) (1+ a ) (1+R) ) ) ; phi01 = ( 1 / ( 1 +R) (1+R) ) ( ( ( 1 + a ) / ( a b ) ) p o s i t i v e (K s ( 0 ) (1+ b ) (1+R) ) ((1+b ) / ( a b ) ) p o s i t i v e (K s ( 0 ) (1+ a ) (1+R) ) ) ; V2= phi02 S02+ p hi2 s ( 2 ) ; V1= phi01 S01+ p hi1 s ( 1 ) ; 26

27 3.2 Cas d une option de vente (PUT) Soit Φ la stratégie de couverture de valeur finale V 2 ( Φ) = (K S 2 ) Résolution de φ 0 2 et φ 2 V 2 (Φ) = (K S 2 ) + φ 0 2S φ 2 S 2 = (K S 2 ) + S : S : { φ 0 2 (1 + R) 2 + φ 2 S 1 (1 + b) = (K S 1 (1 + b)) + φ 0 2 (1 + R)2 + φ 2 S 1 (1 + a) = (K S 1 (1 + a)) + { φ2 = 1 S 1 (b a) [(K S 1(1 + b)) + (K S 1 (1 + a)) + ] φ 0 2 = 1 [(1 + a)(k S (a b)(1+r) 2 1 (1 + b)) + (1 + b)(k S 1 (1 + a)) + ] Résolution de φ 0 1 et φ 1 E[(K S 2 ) + S 1 ] = E[(K S 1 Y 2 ) + ] = p(k S 1 (1 + b)) + + (1 p)(k S 1 (1 + a)) + = R a b a (K S 1(1 + b)) + + b R b a (K S 1(1 + a)) + D après 1.4.1, E[V n+1 (Φ)] = V n (Φ)(1 + R) donc E[V 2 (Φ)] = V 1 (Φ)(1 + R) E[(K S 2 ) + ] = V 1 (Φ)(1 + R) V 1 (Φ)(1 + R) = R a b a (K S 1(1 + b)) + + b R b a (K S 1(1 + a)) + (φ 0 1S φ 1 S 1 )(1 + R) = R a b a (K S 1(1 + b)) + + b R b a (K S 1(1 + a)) + (φ 0 1(1 + R) + φ 1 S 1 )(1 + R) = R a b a (K S 1(1 + b)) + + b R b a (K S 1(1 + a)) + { φ 0 1 (1 + R) 2 + φ 1 S 0 (1 + b)(1 + R) = R a b a (K S 0(1 + b) 2 ) + + b R b a (K S 0(1 + a)(1 + b)) + φ 0 1 (1 + R)2 + φ 1 S 0 (1 + a)(1 + R) = R a b a (K S 0(1 + a)(1 + b)) + + b R b a (K S 0(1 + a) 2 ) + φ 1 = 1 S 0 (1 + R)(b a) 2 [(R a)(k S 0(1+b) 2 ) + +(R b)(k S 0 (1+a) 2 ) + +(b+a 2R)(K S 0 (1+a)(1+b)) + ] φ 0 1 = 1 (1 + R) 2 (b a) 2 [(1 + a)(a R)(K S 0(1 + b) 2 ) + + (1 + b)(b R)(K S 0 (1 + a) 2 ) + +((b a)(b R) + (1 + b)(2r a b))(k S 0 (1 + a)(1 + b)) + ] 27

28 3.2.3 Vérification de la stratégie sous Scilab / / Modele a deux p e r i o d e s f u n c t i o n f = p o s i t i v e ( x ) i f x<0 then f =0 ; e l s e f =x ; end endfunction a =0.2 ; b =0.7 ; K=1 ; R=0.5 ; p =0.5 ; S02 =(1+R) (1+R) ; S01 =(1+R) ; S00=1 ; f u n c t i o n S=s ( n ) i f ( n ==0) then S=1 ; e l s e i f rand ( 1, 1 ) <p then S=s ( n 1) (1+ b ) ; e l s e S=s ( n 1) (1+ a ) ; end end endfunction phi2 = ( 1 / s ( 1 ) ( b a ) ) ( p o s i t i v e (K s ( 1 ) (1+ b ) ) p o s i t i v e (K s ( 1 ) (1+ a ) ) ; phi02 = ( 1 / ( 1 +R) (1+R) ) ( ( ( 1 + a ) / ( a b ) ) p o s i t i v e (K s ( 1 ) (1+ b ) ) ((1+b ) / ( a b ) ) p o s i t i v e (K s ( 1 ) (1+ a ) ) ) ; phi1 = ( 1 / s ( 0 ) (1+R) ( b a ) ) ( p o s i t i v e (K s ( 0 ) (1+ b ) (1+R) ) p o s i t i v e (K s ( 0 ) (1+ a ) (1+R) ) ) ; phi01 = ( 1 / ( 1 +R) (1+R) ) ( ( ( 1 + a ) / ( a b ) ) p o s i t i v e (K s ( 0 ) (1+ b ) (1+R) ) ((1+b ) / ( a b ) ) p o s i t i v e (K s ( 0 ) (1+ a ) (1+R) ) ) ; V2= phi02 S02+ p hi2 s ( 2 ) ; V1= phi01 S01+ p hi1 s ( 1 ) ; 28

29 3.3 Cas particulier : non modification de la répartition du portefeuille Supposons qu il existe une stratégie telle que φ 0 1 = φ0 2 et que φ 1 = φ 2, c est-à-dire telle que l on ne modifie pas la répartition du portefeuille entre les instants 1 et 2. Voici les 3 équations vérifiées par le couple (φ 0 1, φ 1) si la valeur finale de cette stratégie est V 2 (Φ) = (S 2 K) + : φ 0 2(1 + R) 2 + φ 2 S 2 = (S 2 K) + φ 0 1(1 + R) 2 + φ 1 S 2 = (S 2 K) + φ 0 1 (1 + R)2 + φ 1 S 0 (1 + b) 2 = (S 0 (1 + b) 2 K) + φ 0 1 (1 + R)2 + φ 1 S 0 (1 + a) 2 = (S 0 (1 + a) 2 K) + φ 0 1 (1 + R)2 + φ 1 S 0 (1 + a)(1 + b) = (S 0 (1 + a)(1 + b) K) + Si K ]S 0 (1 + ā); S 0 (1 + b)[ alors ces 3 équations précédentes n admettent aucune solution et donc il n existe pas de stratégies de couverture statique entre les instants 1 et 2. Maintenant, si K / ]S 0 (1 + ā); S 0 (1 + b)[, il est possible de trouver des stratégies de couverture sans réallocation après la date 1. 29

30 Chapitre 4 Cas général : Modèle à N périodes Simulation sous Scilab de l évolution du cours S n réalisée plusieurs fois sur le même graphique. On reconnaît bien l arbre probabilisé où se rejoignent les courbes. On considère dans cette section le modèle général à N périodes. Soit Φ une stratégie de couverture de l option d achat. On note c(n, S n ) la valeur V n (Φ). Pour chaque S n le nombre de valeurs possibles différentes est de n+1. D après 1.4.1, E[V n+1 (Φ)] = V n (1 + R) donc E[V n+1 (Φ) (S 0,..., S n )] = V n (1 + R) E[c(n + 1, S n+1 )] = c(n, S n )(1 + R) c(n + 1, E[S n+1 ]) = c(n, S n )(1 + R) c(n + 1, E[S n Y n+1 ]) = c(n, S n )(1 + R) c(n + 1, S n (1 + a))(1 p) + c(n + 1, S n (1 + b))p = c(n, S n )(1 + R) La suite (c(n, S n )) 0 n N est donc solution de la récurrence rétrograde : { c(n, SN ) = (S N K) + c(n, S n ) = (1 + R) 1 [c(n + 1, S n (1 + a))(1 p) + c(n + 1, S n (1 + b))p] 30

31 Chapitre 5 Etude asymptotique Dans cette partie, on considère le modèle CRR comme une discrétisation d un modèle en temps continu sur un intervalle [0 ;T]. On considère la subdivision t k = kt N, dans la suite on pose h = T N. Dans une optique de faire tendre N vers l infini, il convient de faire dépendre les paramètres a, b et R de h. On pose alors 1 + R = e rh ; 1 + a = e σ h ; 1 + b = e σ h avec σ > 0 et r > 0. On remarquera que r s interprète comme un taux d intérêt instantané. D après 1.3, p(1 + b) + (1 p)(1 + a) = 1 + R d où : pe σ h + (1 p)e σ h = e rh p(e σ h e σ h ) = e rh e σ h p = erh e σ h e σ h e σ h Calculons maintenant la limite de p lorsque h tends vers 0 : = lim h 0 lim p = lim h 0 h 0 e rh e σ h e σ h e σ h (e rh e σ h )(e σ h e σ h ) (e σ h e σ h )(e σ h e σ h ) e rh+σ h e rh σ h 1 + e 2σ h = lim h 0 e 2σ h + e 2σ h 2 =

32 Nous allons maintenant tracé l histogramme de log(s n ) pour : σ = 0.2; T = 1; N = 100; h = T/N = 0.01; r = 0.05 Puis on trace aussi sur le même graphe la courbe de densité de la loi normale de moyenne (r σ2 2 ) et de variance σ 2. / / Etude a s y m p t o t i q u e M = 1000; / / nombre de t r a j e c t o i r e s sigma =0.2 ; T=1 ; N=1000 ; r =0.05 ; h=t /N ; R=1 exp ( r h ) ; s0 =1; p =( exp ( r h ) exp( sigma s q r t ( h ) ) ) / ( exp ( sigma s q r t ( h ) ) exp( sigma s q r t ( h ) ) ) ; Y=exp ( sigma s q r t ( h ) (1 2 bool2s ( rand (M,N) >p ) ) ) ; Sn=prod (Y, c ) ; LogSn= l o g ( Sn ) ; h i s t p l o t ( 3 0, LogSn ) / / Comparaison l o i Normale N( mu, sigma ^ 2 ) mu=r 0.5 ( sigma ^ 2) ; x= l i n s p a c e ( 3 sigma, 3 sigma, 100) ; f =(1. / ( sigma s q r t (2 %pi ) ) ) exp ( 0.5 ( ( ( x mu) / sigma ) ^2) ) ; plot2d ( x, f, s t y l e =5) 32

33 Histogramme obtenu : 33

34 Conclusion Mon stage d excellence au sein de l équipe de MATHFI du laboratoire Jean Kuntzmann a été très enrichissant aussi bien sur le plan de la recherche que sur le plan humain. En effet, les autres stagiaires et les thésards ont été très accueillant pour permettre un travail dans une ambiance très conviviale. Ce stage m a apporté de réelles connaissances tant dans le domaine des mathématiques probabilistes que dans celui de la finance. J ai découvert un modèle financier très intéressant qui permet aux banques et autres institutions financières de proposer des prix d options judicieux, c est-à-dire assez élevés pour ne pas avoir de perte mais assez bas pour que les concurrents ne proposent mieux aux clients. C est une version discrétisée du modèle de Black Scholes qui lui aussi est intéressant mais n est pas appliqué dans les mêmes conditions. J ai appris à travailler en autonomie mais d un autre côté, M. Lelong et M. Ycart m ont beaucoup épaulée tout au long de ce mois de stage et m ont permis d avancer et de débloquer mes problèmes rencontrés de manière très pédagogue. J ai notamment, grâce aux simulations effectuées à l aide du logiciel Scilab, énormément amélioré la maîtrise de cet outil que je ne maitrisais pas vraiment pour les applications statistiques. Pour conclure, j ai donc eu l opportunité d apprendre, durant ce dernier mois, un aspect du monde des mathématiques financières que je ne connaissais pas du tout et que M. Lelong a su me faire apprécier. 34

35 Bibliographie D. LAMBERTON et B. LAPEYRE, Introduction au Calcul Stochastique Appliqué à la Finance B. JOURDAIN, Probabilités et Statistiques R. BOURLES Chap. 9 : Le modèle Cox, Ross et Rubinstein Mathémtiques pour la finance, Cours Master Finance Université Toulouse Sciences Sociales A-V. AURIAULT Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines ENSIMAG. LJK - Laboratoire Jean Kuntzmann - http ://www-ljk.imag.fr/ 35