I Mouvements et Efforts 15

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1 Table des matières I Mouvements et Efforts 15 1 Le milieu continu La notion de milieu continu Le cadre mathématique Référentiel Configuration L observation du mouvement Description lagrangienne Description eulérienne Construction Équivalence avec la représentation lagrangienne Mouvements stationnaires Dérivées particulaires Formules essentielles Exercices Les déformations du milieu continu Introduction Transformation homogène Définition Transport d éléments matériels Mesure des dilatations Décomposition polaire Transformation quelconque Déformation homogène tangente Transport et dilatations Décomposition polaire Tenseur des déformations Formules essentielles Exercices

2 6 Table des matières 3 Déformations linéarisées et taux de déformation Introduction Linéarisation Hypothèse des petites transformations Transport en petites transformations Dilatations et déformations en petites transformations Décomposition polaire en petites transformations Taux de déformation Cadre eulérien Vitesse de transport et taux de déformation Vorticité et mouvement instantané Compatibilité des déformations Cadre du problème Conditions de compatibilité Calcul du champ de déplacement Mouvement rigidifiant Mesure des déformations Formules essentielles Exercices Lois de conservation Introduction Lois de conservation sur un domaine matériel Domaine matériel Conservation de la masse Conservation de la quantité de mouvement Énergie Calcul de dérivées particulaires Dérivation en temps d une intégrale de volume Dérivée particulaire d une intégrale de volume Théorème de la divergence Théorème de transport Discontinuités de champs de vitesse Lois de conservation intégrées en masse Loi de conservation de la masse Loi de conservation en densité massique Relations de Rankine Hugoniot Cas général Choc oblique stationnaire Équilibre d un tronçon de poutre Formules essentielles Exercices

3 Table des matières 7 5 Modélisation des efforts intérieurs Introduction Efforts de contact et vecteur contrainte Premier postulat de Cauchy et vecteur contrainte Second postulat de Cauchy Tenseur des contraintes de Cauchy Notation Le théorème de Cauchy Définition du tenseur des contraintes Effort normal et cisaillement Composantes du tenseur des contraintes Symétrie du tenseur des contraintes de Cauchy Construction microscopique du tenseur des contraintes Modélisation cinétique des efforts de contact Modélisation microscopique des efforts de contact Étude locale du tenseur des contraintes Directions principales Trace et déviateur Cercle de Mohr Critères de résistance usuels Généralisation de la démarche : le vecteur courant de chaleur Formules essentielles Exercices Équations du mouvement Introduction Forme locale des équations du mouvement Conditions de saut et conditions aux limites Relations de saut Conditions aux limites Équations de la dynamique Le cas général Les relations de saut en l absence d onde de choc Des lois de conservation aux équations de la dynamique Exemples d application Propagation d une onde sonore à l intérieur d une barre élastique Écoulement d un glacier sur un plan incliné Équilibre d un tronçon de poutre en traction, flexion et torsion uniformes Formules essentielles Exercices

4 8 Table des matières 7 Principe des puissances virtuelles Introduction Puissance virtuelle des efforts intérieurs Le milieu continu vu comme une infinité de liaisons élémentaires Dualité contraintes déformations Principe des puissances virtuelles Démarche Puissance virtuelle des efforts d accélération Puissance virtuelle des efforts extérieurs et intérieurs Énoncé Généralisations du principe des puissances virtuelles Solutions discontinues Discontinuité des fonctions tests Applications Théorème d Euler Théorème de l énergie cinétique Analyse limite Position du problème Approche statique Approche cinématique La fondation sur massif semi-infini Compatibilité des déformations Formules essentielles Exercices II Comportements et Solutions d Équilibre Description microscopique d un milieu continu Lois de comportement Les différents états de la matière Fonctions de distribution Le cadre général Entropie statistique Distribution d équilibre Le postulat de Boltzmann Entropie d équilibre La distribution canonique Le cas général Les gaz monoatomiques parfaits

5 Table des matières Thermodynamique statistique Le premier principe Second principe Énergie libre Formules essentielles Exercices Le modèle élastique : approche microscopique Introduction Description des élastomères La chaîne élémentaire Description géométrique Distribution d équilibre de la chaîne isolée Distribution d équilibre de la chaîne sous tension La chaîne fixée à ses extrémités Déformation d un réseau réticulé Hypothèses de comportement Calcul microscopique des contraintes Éprouvette en extension et en cisaillement Limites et extensions du modèle Formules essentielles Exercices Le modèle élastique : approche thermodynamique Introduction Inégalité de Clausius Duhem Lien entre énergie interne et puissance des efforts intérieurs Inégalité de Clausius Duhem : le cadre intégral Inégalité de Clausius Duhem : le cas de la température localement uniforme Inégalité de Clausius Duhem : le cas général Tenseur des contraintes de Piola Lois de comportement d équilibre Le cas des gaz parfaits Les matériaux élastiques sans liaison interne Les matériaux élastiques avec liaisons internes Le cas des élastomères Matériaux biologiques fibrés Formules essentielles Exercices

6 10 Table des matières 11 Le modèle élastique : les métaux Introduction Description microscopique des métaux Les métaux La liaison métallique Le modèle de sphères dures La structure cristalline Le réseau critallin Énergie d un monocristal Les métaux en petites déformations Le monocristal en petites déformations Élongation d un monocristal Le cas polycristallin Formules essentielles Exercices Le modèle élastique : approche macroscopique Introduction Lois élastiques linéaires en déformation Rappel du cadre élastique Le cas linéaire en déformation Invariances matérielles Localité, symétrie tensorielle et indifférence matérielle Respect des symétries matérielles Isotropie matérielle Les lois classiques en élasticité Matériaux élastiques linéaires isotropes Matériaux élastiques compressibles linéaires Matériaux compressibles en grandes déformations Matériaux incompressibles en grandes déformations Essais élémentaires Généralités Essais en traction Essai de cisaillement et de torsion Essai dynamique Conclusions sur l étude des lois de comportement Formules essentielles Exercices

7 Table des matières Les problèmes de structures en élasticité Introduction Modélisation Un problème modèle Modélisation géométrique Modélisation des déplacements cinématiquement admissibles Modélisation des efforts extérieurs Bilan des conditions aux limites Modélisation du comportement Les équations du problème élastique Rappel des données Équations du mouvement sur Ω Interprétation des équations du mouvement en configuration actuelle Construction de solutions d équilibre La méthode des déplacements Calcul par minimisation de l énergie Écriture en configuration initiale Principe des puissances virtuelles en configuration initiale Les équations du mouvement en configuration initiale Les trois tenseurs des contraintes Formules essentielles Exercices Les problèmes élastiques en petites transformations Introduction Le Problème général Description du problème Les équations du problème Le problème en petites transformations Hypothèse des petites transformations Linéarisation mécanique du comportement Linéarisation en déplacement Interprétation physique de la loi de comportement linéarisée Identification des tenseurs des contraintes Le problème linéaire final Formulation faible linéarisée Raideur géométrique Principe de superposition Solutions autoentretenues et modes propres

8 12 Table des matières Définition et calcul Existence de modes propres Calcul de solutions générales par superposition Stabilité L exemple de la corde vibrante Complément : théorie spectrale et applicabilité du principe de Rayleigh Calcul de solutions quasi-statiques en petites transformations Équations d équilibre Exemple : la trempe des matériaux Formules essentielles Exercices Approches variationnelles en petites perturbations Introduction Le problème en petites perturbations Petites perturbations autour d un état naturel Les équations du problème Résumé des hypothèses de petites perturbations Champs de contrainte statiquement admissibles Définition Méthode des contraintes Principe du minimum pour les déplacements Formulation faible et formulation énergétique en déplacement Existence et stabilité Minimisation et encadrement par les contraintes Définition de l énergie complémentaire Relations de dualité à l équilibre Les principes de minimum Formule de Clapeyron Approximation de Ritz Principe Écriture matricielle Exemple Calcul d erreur en norme de l énergie Erreur en loi de comportement Méthode des éléments finis Composants constitutifs Validation et calcul d erreur Formules essentielles Exercices

9 Table des matières 13 III Annexes 513 A Rappel des principales notations 515 A.1 Convention des indices répétés A.2 Matrices et tenseurs A.3 Mécanique B Calcul tensoriel 519 B.1 Espace euclidien B.1.1 Définition B.1.2 Dualité B.2 Tenseurs euclidiens B.2.1 Produit tensoriel de vecteurs B.2.2 Tenseurs euclidiens d ordre quelconque B.2.3 Produit tensoriel de tenseurs B.3 Exemples de tenseurs d ordre deux B.3.1 Tenseur métrique B.3.2 Tenseur euclidien associé à une forme linéaire B.3.3 Transposition et symétrie B.4 Produit contracté B.4.1 Contraction de produit tensoriels de vecteurs B.4.2 Contraction de tenseurs quelconques B.4.3 Exemples C Calcul différentiel 531 C.1 Définitions et notations C.2 Calcul en coordonnées cylindriques C.3 Calcul en coordonnées sphériques D Expressions explicites des équations de la dynamique 539 E Compléments de physique statistique 541 E.1 Du microcanonique au canonique en physique statistique E.2 Particules indiscernables en faible interaction E.3 Calcul de la fonction de partition d une chaîne d élastomère Bibliographie 547 Index 549