Cours S11 : Filtrage linéaire (EXERCICES)

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1 PROGRAMME DE COLLES DE PHYSIQUE Semaine 14 du 30 Janvier au 3 Février 2017 Cours S11 : Filtrage linéaire (EXERCICES) I. Quadripôle linéaire et filtrage Fonction de transfert de transfert d'un quadripôle : après avoir défini la fonction de transfert complexe d'un quadripôle étudié en sortie ouverte, on montre que la fonction de transfert dépend de la charge branchée en sortie du quadripôle. Modélisation de l'entrée et de la sortie d'un quadripôle : on retiendra des ordres de grandeur des impédances d'entrée et de sortie du matériel usuel d'électricité. On montre que la fonction de transfert équivalente pour des quadripôles montés en cascade n'est pas le produit des fonctions de transfert en sortie ouverte individuelle. Filtres linéaires : principe du filtrage, fréquence de coupure, types de filtre, gain en décibels, diagrammes de Bode d'un filtre, notion de gabarit, caractère dérivateur / intégrateur / moyenneur d'un filtre. II. Exemples de filtres linéaires passifs (à maîtriser!!) Filtre passe-bas d'ordre 1 : Circuit RC Comportement asymptotique / fonction de transfert canonique / Pulsation de coupure / comportement pseudo intégrateur en HF / Diagrammes de Bode asymptotique puis réel Filtre passe-haut d'ordre 1 : Circuit CR Comportement asymptotique / fonction de transfert canonique / Pulsation de coupure / comportement pseudo dérivateur en BF / Diagrammes de Bode asymptotique puis réel Filtre passe-bas d'ordre 2 : Circuit RLC Comportement asymptotique / fonction de transfert canonique / Diagrammes de Bode asymptotique puis réel Lors du tracé du diagramme réel, il faut tenir compte du phénomène de résonance pour Q 1 2 III. Analyse spectrale de signaux périodiques Décomposition d'un signal périodique en série de Fourier : si un signal s(t) T-périodique vérifie les hypothèses du théorème de Dirichlet, alors ce signal peut être décomposé en série de Fourier : + s(t)=s 0 + (an cos(n ω t )+b n sin(n ω t)) n=1 On définit la valeur moyenne du signal s(t) ainsi que les coefficients de Fourier a n et b n. On distingue le fondamental des harmoniques de rang n et on distingue le cas des signaux pairs et impairs.

2 Le lemme de Lebesgue nous permet de retrouver que les coefficients de Fourier a n et b n tendent vers zéro. Spectre de Fourier : il s'agit de l'ensemble des coefficients de Fourier a n et b n que l'on représente graphiquement en fonction de la fréquence. Application : décomposition en série de Fourier d'un signal créneau impair. Le calcul est mené et on montre que la série ne contient que des harmoniques impairs. Synthèse harmonique : plus la somme partielle contient de termes, plus elle approche le signal s(t) de manière satisfaisante. On met en évidence le phénomène de Gibbs. Cas d'un signal triangulaire. Spectre d'amplitude et de phase : on réécrit s(t) pour faire apparaître les coefficients c n et φ n Valeur efficace et théorème de Parseval : après avoir définit et calculé la valeur efficace d'un signal sinusoïdal, le théorème de Parseval nous indique que l'énergie du signal est à la somme des énergies de chaque harmonique. IV. Filtrage d'un signal périodique Principe : il suffit d'évaluer séparément la réponse du filtre à chaque harmonique puis d'en faire la somme pour obtenir le signal de sortie. Illustration : action d'un filtre passe-bas et passe-bande sur un signal créneau.

3 Cours M1 : Cinématique du point matériel (COURS) I. Mouvement d'un point dans un référentiel Objet et cadre de l'étude : étude du mouvement des corps sans se préoccuper des causes qui les produisent. Repérage d'un point : le référentiel est le cadre spatio-temporel d'une étude mécanique constitué d'un repère spatial et d'un repère temporel. On introduit la notion de BOND (base orthonormée directe) sur un exemple simple. Relativité du mouvement : étude de la chute d'un objet le haut d'un mât sur un bateau en mouvement. Ni les trajectoires ni les coordonnées ne sont identiques dans les deux référentiels alors que la base utilisée est la même!! Systèmes usuels de coordonnées et bases : (à maîtriser!!) - Coordonnées cartésiennes : vecteur position et coordonnées du point M dans la base cartésienne fixe ( e x, e y, e z ) - Coordonnées cylindriques : vecteur position et coordonnées du point M dans la base cylindrique locale ( e r, e θ, e z ) - Coordonnées sphériques : vecteur position et coordonnées du point M dans la base sphérique locale ( e r, e θ, e Φ ) II. Vecteur vitesse d'un point matériel dans un référentiel donné (à maîtriser!!) Vecteur vitesse moyenne : rappel de TS, on note : v m (M ) (R) = MM ' t ' t Vecteur vitesse instantanée : - définition : v (M ) ( R) =lim ( MM ' t ' t t' t )=lim t' t du vecteur position dans le référentiel (R). ( OM ' OM t' t ) apparaît comme la dérivée temporelle On donne également une interprétation cinématique du théorème des accroissements finis. Expression de la vitesse en coordonnées cartésiennes :à partir du vecteur position puis à partir d'un déplacement élémentaire dans le repère cartésien. Expression de la vitesse en coordonnées cylindro-polaires : à partir du vecteur position puis à partir d'un déplacement élémentaire dans le repère cylindrique. Expression de la vitesse en coordonnées sphériques : pour ce faire, on se place dans les plans (xoy) et le plan contenant O,M et I (projection orthogonale de M dans le plan équatorial). III. Vecteur accélération d'un point matériel dans un référentiel donné (à maîtriser!) Vecteur accélération : v (M ' ) v(m ) - définition : a (M ) (R) =lim ( ) apparaît comme la dérivée temporelle du vecteur t ' t t ' t vitesse instantanée dans le référentiel (R).

4 Le vecteur accélération peut être décomposé en une composante : - tangente à la trajectoire traduisant la variation de la norme de la vitesse - orthogonale à la trajectoire traduisant la variation de la direction de la vitesse Expression de l'accélération en coordonnées cartésiennes :à partir du vecteur position Expression de l'accélération en coordonnées cylindriques : à partir du vecteur position Expression de l'accélération en coordonnées sphériques : le calcul est commencé... IV. Étude de mouvements simples Mouvement à vecteur accélération constant (rappels de TS!!) - Mouvement rectiligne uniforme (MRU) - Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) - Mouvement parabolique : équations horaires, équation de la trajectoire, flèche et portée. Mouvement circulaire - Choix du repère, expression des vecteurs position, vitesse et accélération du point M. - Cas d'un mouvement circulaire uniforme

5 Capacités exigibles Cours S11 : Filtrage linéaire Établir le gabarit d un filtre en fonction du cahier des charges. Expliciter les conditions d utilisation d un filtre afin de l utiliser comme moyenneur, intégrateur ou dérivateur. Comprendre l intérêt, pour garantir leur fonctionnement lors de mises en cascade, de réaliser des filtres de tension de faible impédance de sortie et forte impédance d entrée. Savoir montrer que la fonction de transfert équivalente pour des quadripôles montés en cascade n'est pas le produit des fonctions de transfert en sortie ouverte individuelle. Savoir établir sur des exemples simples une fonction de transfert d ordre 1 ou 2. Savoir tracer les diagrammes de Bode de filtres linéiares passifs d'ordre 1 ou 2. Savoir décomposer un signal périodique en une somme de fonctions sinusoïdales sur un cas simple. Savoir que le carré de la valeur efficace d un signal périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques : théorème de Parseval. Savoir étudier l'action d'un filtre sur un signal périodique. Cours M1 : Cinématique du point matériel Savoir établir les expressions les composantes du vecteur-position, du vecteur-vitesse et du vecteur accélération en coordonnées cartésiennes, cylindriques (et sphériques) Exprimer à partir d un schéma du déplacement élémentaire dans les différents systèmes de coordonnées, construire le trièdre local associé et en déduire les composantes du vecteur-vitesse Dans le cadre d'un mouvement à accélération constante : - savoir établir les équations horaires - savoir écrire l'équation de la trajectoire en coordonnées cartésiennes Dans le cadre d'un mouvement circulaire uniforme ou non uniforme : - savoir exprimer les vecteurs position, vitesse et accélération en coordonnées polaires - savoir identifier les composantes normale et tangentielle de l'accélération et les interpréter

6 FICHE D'ÉVALUATION KHÔLLE PCSI Semaine 14 NOM : PRÉNOM : NOTE : Question de cours : Exercice(s) : Compétences transversales A B C D Commentaires S'approprier et analyser le problème Savoir réinvestir les résultats de cours dans de nouvelles situations Savoir faire preuve d'initiatives et de réactivité face aux indications fournies par l'examinateur Savoir présenter son travail : tableau organisé et soigné, communication claire et convaincante Compétences disciplinaires A B C D Commentaires Connaître le principe de l'analyse spectrale et effectuer le développement en série de Fourier d'un signal périodique S11 : Filtrage linéaire Savoir tracer les diagrammes de Bode d'un filtre d'ordre 1 ou d'ordre 2 Savoir étudier l'action d'un filtre sur un signal périodique Savoir écrire les vecteurs vitesse et accélération dans la base cylindro-polaire Savoir étudier un MRU ou un MRUV M1 : Cinématique du point matériel Savoir étudier un mouvement parabolique Savoir étudier un mouvement circulaire A : acquis / B : en cours d'acquisition / C : insuffisant / D : non acquis / N : non évalué