PROBLEME DE PHYSIQUE

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1 SESSION 211 PSIP28 C O N C O U R S C O M M U N S P O LY T E C H N I Q U E S EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE 2 Duée : 4 heues NB : Le candidat attachea la plus gande impotance à la claté, à la pécision et à la concision de la édaction Si un candidat est amené à epée ce qui peut lui semble ête une eeu d énoncé, il le signalea su sa copie et deva pousuive sa composition en expliquant les aisons des initiatives qu il a été amené à pende Les calculatices sont autoisées L épeuve compote un poblème de physique et un poblème de chimie Les candidats taiteont les deux poblèmes dans l ode de leu choix et les édigeont de façon sépaée Le sujet compote 12 pages Duées appoximatives : Physique Chimie : 2 heues : 2 heues PROBLEME DE PHYSIQUE Les paties I, II et III de ce poblème sont indépendantes La patie IV est lagement indépendante des tois pemièes Des données sont founies à la fin du poblème de physique (page 9) Popagation et éflexion d ondes dans un câble coaxial Les câbles coaxiaux sont utilisés comme moyen de tansmission d infomations Ils sont conçus pou tansmette des signaux sans top d atténuation et pou assue une potection conte les petubations extéieues On les utilise notamment pou les câbles d antenne de télévision, pou tansmette des signaux audio-numéiques, ainsi que pou des inteconnexions dans les éseaux infomatiques 1/12

2 Un signal qui se popage dans un câble coaxial peut subi plusieus modifications Il peut ête défomé (milieu dispesif), atténué (milieu dissipatif) Il peut aussi subi des éflexions au niveau des connexions Ce sujet abode la modélisation du câble coaxial et les phénomènes de éflexion d ondes losque le câble est connecté su une chage Un câble coaxial est fomé de deux tès bons conducteus, de même longueu l, l un entouant l aute L un est un conducteu massif de ayon R 1, appelé l âme du conducteu L aute est un conducteu cylindique ceux de ayon intéieu R 2 et de ayon extéieu R 3, appelé la gaine du conducteu L espace inte-conducteu compote un isolant On a : R 1 =,25 mm, R 2 = 1,25 mm et l = 1 m I] Modélisation : Dans la mesue où les champs électomagnétiques ne pénètent pas dans les conducteus pafaits, on assimilea le câble coaxial à deux sufaces pafaitement conductices, cylindiques, coaxiales Le conducteu (1) a un ayon R 1, le conducteu (2) a un ayon R 2 (figue 1) Ces deux conducteus ont même longueu l Vu que l >> R 2, on négligea les effets de bod L espace ente les conducteus sea assimilé au vide sauf explicitation contaie R 2 R 1 z Figue 1 : Potion de câble On note ( u, u, u ) θ z la base en coodonnées cylindiques Aucune connaissance paticulièe n est equise pou la détemination de la capacité linéique et de l inductance linéique du câble A] Capacité linéique C : On suppose ici que les conducteus intéieu et extéieu potent les chages électostatiques espectives Q et Q Elles sont unifomément épaties en suface 1) Justifie pa des aguments d invaiance et de symétie que E = E() u dans l espace inteconducteu 2/12

3 2) Pou R 1 < < R 2, en utilisant le théoème de Gauss su une suface que l on pécisea, expime E( ) en fonction de l,, Q etε 3) Les conducteus (1) et (2) sont potés aux potentiels espectifs V 1 et V 2, constants Pa un calcul de ciculation, expime V 1 -V 2 en fonction de Q, l, R 1, R 2 etε Q 4) On définit la capacité Cl du câble de longueu l pa C l = V V 1 2 Expime C l en fonction de l, R 1, R 2 etε, puis la capacité linéique C du câble coaxial en fonction de R 1, R 2 etε 5) En patique, l espace inte-conducteu n est pas du vide, mais compote un isolant de 2πε ε pemittivité elativeε = 3,1 On a alos C = R2 ln( ) R1 Détemine la valeu numéique de C B] Inductance linéique L : On suppose ici que le câble coaxial est alimenté pa un généateu de couant continu Le conducteu intéieu assue le tanspot du couant alle I, le conducteu extéieu assue le tanspot du couant etou I Les épatitions de ces couants sont supeficielles et unifomes su chaque conducteu Pou I le conducteu (1), on a une densité sufacique de couant : js = u 1 z On note : j s la densité 2 2π R1 sufacique de couant su le conducteu (2) 6) Pécise l expession et l unité de j s2 7) Il existe ente les deux conducteus un champ magnétique B Pa des aguments d invaiance et de symétie, justifie que B = B() u θ 8) Pou R 1 < < R 2, pa application du théoème d Ampèe su un pacous que l on pécisea, expime B() en fonction I, et μ 2 B 9) On note : wm =, la densité volumique d énegie magnétique Pa intégation su le 2μ volume inte-conducteu, expime l énegie magnétique W m du câble coaxial en fonction de I, μ, R 1, R 2 et l 1) On appelle que W = de μ, R 1, R 2 et de l m LI l 2 2 Expime l inductance L l du câble de longueu l, en fonction 11) En déduie l inductance linéique L du câble coaxial en fonction de μ, R 1, R 2 Détemine la valeu numéique de L 3/12

4 II] Onde électomagnétique et impédance du câble coaxial : A] Détemination de l onde électomagnétique : On se place ici dans le cade généal de la théoie de l électomagnétisme On considèe le câble comme infini suivant l axe des z Une onde électomagnétique se popage à l intéieu du câble dans la égion R 1 < < R 2, assimilable à du vide Elle est définie pa son champ électique : α Ezt (,,) = cos( ωt kzu ) où α est une constante positive j( t kz) On lui associe le champ électique complexe : Ezt α ω (,,) = e u On a : Ezt (,,) = Re( Ezt (,,)) où Re signifie patie éelle De même, il existe un champ magnétique Bzt (,,) auquel on associe le champ complexe : Bzt (,,), avec Bzt (,,) = Re( Bzt (,,)) 12) L onde est-elle plane? est-elle pogessive? Si oui, pécise sa diection de popagation 13) On note E l amplitude maximale du champ électique dans le câble coaxial Pécise l unité de E et expime Ezt (,,) en fonction de E,, z, k, ω, t et R 1 14) Rappele les quate équations de Maxwell dans le vide et pécise en quelques mots le contenu physique de chacune d elles 15) A pati des équations de Maxwell, etouve l équation de popagation véifiée pa le champ électique En déduie la elation de dispesion liant k et ω Le milieu est-il dispesif? 16) Détemine en fonction de E,, t, ω, k et R 1, l expession du champ magnétique complexe Bzt (,,) associé à cette onde, à une composante pemanente pès (indépendant du temps) Justifie pouquoi on peut considée cette composante comme nulle B] Puissance tanspotée : 17) On désigne pa π le vecteu de Poynting associé à cette onde électomagnétique Détemine l expession de π en fonction de E, R 1,, k, ω, z, t et μ 18) Détemine l expession de la puissance moyenne tanspotée P, pa le câble en fonction de E, R 1, R 2, c et μ Application numéique : en déduie l amplitude E du champ électique sachant que la puissance moyenne tanspotée est de 1 W C] Etude de l inteface = R 1 : 19) Rappele l équation de passage du champ électique à la tavesée d une suface chagée Pa application de cette elation de passage, et en emaquant que le champ électique est nul à l intéieu du conducteu (1), en déduie l expession de la densité sufacique de chage su le conducteu (1), en fonction de E, ε, k, ω, z et t 4/12

5 2) Rappele l équation de passage du champ magnétique à la tavesée d une nappe de couant Pa application de cette elation de passage, et en emaquant que le champ magnétique est nul dans le conducteu (1), en déduie que le conducteu intéieu est pacouu pa une densité sufacique de couant j s 1 qu on expimea en fonction de E, μ, c, ω, k, t et z On emaquea que j s1 est contenu dans le plan tangent au conducteu puisqu il s agit d un couant sufacique D] Détemination de l impédance caactéistique du câble coaxial : 21) En un point de cote z donné, pa un calcul de ciculation, détemine la difféence de potentiel uzt (,) = V1(,) zt V 2(,) zt ente l âme et la gaine, en fonction de E, R 1, R 2, k, z, ω et t On admetta éventuellement que le potentiel vecteu A (,,) zt dont déive Bzt (,,) est poté pa le vecteu u z 22) Pou z donné, détemine le couant i(z,t) véhiculé pa l âme du câble coaxial, en fonction de E, R 1, k, z, ω, t, μ et c uzt (,) 23) On définit l impédance caactéistique du câble : Zc = Expime Z c en fonction de izt (,) μ, c, R 1 et R 2, puis de μ, ε, R 1 et R 2, puis en fonction de l inductance linéique L et de la capacité linéique C du câble à stuctue «ai ou vide», c'est-à-die de pemittivité diélectique ε 24) Compte tenu de l isolant sépaant l âme de la gaine, on a, en patique : 1 μ R 2 Zc = ln 2π εε R1 Application numéique : détemine la valeu de Z c III] Popagation et éflexion des ondes dans le câble coaxial : La gaine est maintenant eliée à la masse (V 2 = ), et l âme, potée au potentiel V 1 (z,t) = V(z,t), est pacouue pa le couant i(z,t) On adopte le modèle bifilaie local de la potion de câble coaxial de longueu dz de la figue 2 où L et C désignent espectivement l inductance linéique et la capacité linéique du câble coaxial i(z,t) i(z+dz,t) V(z,t) Ldz Cdz V(z+dz,t) Figue 2 : Modèle bifilaie d une potion de câble 5/12

6 25) A quelle(s) condition(s) su les matéiaux peut-on modélise ainsi la potion de câble coaxial? A] Equation de popagation : 26) Explicite le système d équations aux déivées patielles véifié pa les fonctions V(z,t) et i(z,t) 27) En déduie les deux équations aux déivées patielles, découplées, véifiées pa la fonction V(z,t) d une pat, puis pa la fonction i(z,t) d aute pat Quelle est la fome la plus généale de la fonction V(z,t)? B] Phénomène de éflexion en bout de câble : On s intéesse au cas d ondes sinusoïdales de pulsation ω On posea V(z,t) = V i (z,t) + V (z,t) Avec Vi(,) z t = Vimcos( ωt kz+ ϕ) et V(,) z t = Vmcos( ωt+ kz+ ψ ) A ces ondes éelles, on associe les ondes complexes : V(,) z t = V(,) z t + V (,) z t avec V(,) z t i j( t kz) = Vime ω et V (,) z t V e ω + j( t kz) = m où V im = et j Vime ϕ V m i j Vme ψ = Le câble est elié à un généateu basses féquences, qui délive en z =, une tension sinusoïdale, de sote que l onde totale en z = est sinusoïdale Le choix de l oigine des temps nous pemet de j t pose : V(, t) = V cos( ωt), à laquelle on associe la fome complexe : V(, t) = Ve ω 28) Le câble est en cout cicuit, ou efemé pa une ésistance nulle (R = ) à l extémité située en z = l Explicite la condition limite Vlt (,) véifiée pa la fonction V(z,t) en z = l En déduie le système de deux équations à deux inconnues véifié pa Vim Puis expime Vim et Vm en fonction de V, k et l V (,) l t = V(,) l t 29) On définit le coefficient de éflexion pa : Détemine dans le cas du cout-cicuit (R = ) i et V m 3) Le câble est en cicuit ouvet, ou efemé pa une ésistance infinie (R = +) à son extémité située en z = l Explicite, tès bièvement, su une gandeu physique bien appopiée, la condition limite en z = l On admetta dans ce cas que = 1 31) Le câble est maintenant chagé à son extémité en z = l, pa une ésistance R En admettant que le coefficient de éflexion est éel, justifie qu il existe au moins une valeu citique de R notée R c pou laquelle il n y a pas d onde éfléchie Comment qualifie-t-on ce fonctionnement? L Dans la suite du poblème, on admetta que Rc = C 6/12

7 IV] Etude expéimentale : Un généateu basses féquences, banché à l entée du câble en z =, délive, comme onde incidente, une tension péiodique «caé», ente les niveaux et V L aute extémité du câble est efemée pa une ésistance R En plus des phénomènes de popagation et de éflexion éventuelle de l onde, il y a un lége phénomène d atténuation On supposea que la valeu de la ésistance R n a aucune influence tant su la duée de popagation que su l amotissement dû au chemin pacouu On admet de plus qu il n y a pas de éflexions multiples A l aide d un oscilloscope, on obseve en z = la supeposition de l onde incidente délivée pa le généateu et de l onde éfléchie (figue 3) Les oscillogammes de la figue 4 ont été éalisés pou difféentes valeus de R 32) Donne une valeu appochée de l impédance intene du généateu basses féquences que vous avez utilisé en tavaux patiques A] Cas d un cout-cicuit : R = L extémité z = l est en cout cicuit : R = 33) On schématise l onde incidente, à l entée du câble en z =, pa la figue suivante : V i (,t) V t Figue 3 : Onde incidente En penant en compte les phénomènes de éflexion, d amotissement et de popagation, et sachant que le etad dû à la popagation est inféieu à T/4, où T est la péiode de l onde incidente, schématise la fome des ondes éfléchie et totale notées V (,t) et V tot (,t) au point z = 34) En utilisant l oscillogamme coespondant à R =, détemine une valeu appochée de la vitesse de popagation le long du câble Celle-ci est-elle en accod avec les valeus de L et C obtenues pécédemment? 35) On définit le coefficient d amotissement, noté K, au cous de la popagation globale, comme le appot du module de l amplitude de l onde éfléchie une fois evenue en z = su le module de l amplitude de l onde incidente émise en z = Détemine une valeu appochée de Κ 7/12

8 B] Cas généal R : 36) A pati des autes oscillogammes de la figue 4, détemine les valeus des coefficients de éflexion pou les difféentes valeus de R, à savoi : 2 Ω, 4 Ω, 6 Ω et 8 Ω 37) Pou quelle valeu paticulièe Rc de R, n y a-t-il pas d onde éfléchie? Ceci est-il en accod avec les ésultats obtenus los des paties pécédentes? Pouquoi n y a-t-il pas de éflexions multiples? Figue 4 : Oscillogammes 8/12

9 Constantes physiques μ o = 4π1-7 Hm -1 1 ε = Fm π1 c = 31 8 ms -1 Opéateus vectoiels en coodonnées cylindiques gad( U ) U 1 U θ U z = e + eθ + e z ( ) 1 1 ( ) ( z ) div( a) a a a θ = + + θ z 1 ( az) ( aθ) ( a) ( az) 1 ( a θ) 1 ( a) ot( a) = e + eθ + e θ z z θ U 1 U 1 U U 1 1 ( U ) U Δ U = = + + U θ z θ z 1 a 1 a Δ a = Δa ( a + 2 u + Δa ( a 2 ) u + ( Δa ) u θ θ θ 2 θ 2 θ θ z z ot[ ot( a)] = gad[ div( a)] Δa z Fin du poblème de physique 9/12

10 PROBLEME DE CHIMIE La chimie autou du soufe 1 Atomistique Dans la classification péiodique des éléments, le soufe se situe dans la 4 ème colonne du bloc p et dans la 3 ème péiode 11 Quel est le numéo atomique de l atome de soufe? 12 Quelle est la configuation électonique, à l état fondamental, de l atome de soufe? 13 Quelles sont les difféentes valeus du nombe quantique secondaie qui coespondent aux électons de valence de l élément soufe à l état fondamental? 14 Quelles sont les difféentes valences possibles pou l atome de soufe? 15 Chacune des molécules suivantes compote un atome de soufe cental Donne une stuctue de Lewis et la géométie, en utilisant la méthode VSEPR (Valence Shell Electon Pais Repulsion), des espèces suivantes : 151 Le dioxyde de soufe 152 Les ions sulfite 153 Les ions sulfate 154 Les ions thiosulfates Cette molécule compote une liaison Soufe-Soufe et tois liaisons Soufe-Oxygène 2 Dosage en etou de l éthanol Les ions thiosulfates ont un pouvoi oxydant élevé, c est pouquoi ils sont notamment utilisés dans de nombeux dosages d oxydoéduction Nous vous poposons à tite d exemple d étudie le dosage de l éthanol pa une méthode paticulièe dite de dosage en etou 21 Dans un pemie temps, la totalité de l éthanol est oxydé en acide éthanoïque ( ) en pésence d un excès d une solution acidifiée contenant des ions dichomate qui se éduisent en ions 211 Ecie les 2 demi-équations électoniques mises en jeu 212 Ecie le bilan de l oxydoéduction mise en jeu 22 Les ions dichomate estants dans la solution sont alos éduits pa un excès d une solution de iodue de potassium, avec oxydation de en 221 Ecie le bilan de l oxydoéduction mise en jeu 23 Le diiode libéé est ensuite éduit en pa les ions thiosulfates qui se tansfoment en 231 Ecie les 2 demi-équations électoniques mises en jeu 232 Ecie le bilan de l oxydoéduction mise en jeu 24 Un automobiliste, apès un contôle d alcoolémie positif, a subi une pise de sang A 1 ml de sang on ajoute 1 ml d une solution de dichomate de potassium à 2,381 2 moll 1 L excès des ions dichomate, n ayant pas éagi avec l éthanol contenu dans le sang, sont éduits avec une solution de et le diiode fomé est éduit en pa 15mL d une solution à 51 2 moll 1 de 1/12

11 241 Calcule la quantité de matièe initiale des ions dichomates, c est-à-die avant la éaction avec l éthanol contenu dans le sang 242 Calcule la quantité de matièe de diiode fomé pa oxydation des ions pa les ions 243 En déduie la quantité de matièe d éthanol dans les 1 ml de sang de l automobiliste 244 Cet automobiliste est-il en infaction avec la loi sachant que le taux légal maximal d alcool dans le sang est fixé en Fance à 5 mgl 1? 3 Themochimie 31 Calcule pa la méthode algébique, l enthalpie de fomation de à 298 K, connaissant l enthalpie des tois éactions suivantes à 298 K Réaction 1 : + + Réaction 2 : + + Réaction 3 : = 145,84 kj = 562,14 kj = 44 kj 32 Le dioxyde de soufe peut éagi avec le dioxygène pou donne l équilibe suivant : Réaction 4 : + On détemine les valeus de l enthalpie standad et de l entopie standad de la éaction 4 aux tempéatues ci-apès : T (K) (kjmol 1 ) (JK 1 mol 1 ) 3 197,8 188, 8 21,7 195,7 1 23,2 197, ,9 21, Tableau 1 : Valeus d enthalpie et d entopie standads 321 Justifie le signe de 322 On considèe souvent que l enthalpie standad et l entopie standad des éactions sont indépendantes de la tempéatue Calcule l eeu commise su les valeus du tableau 1, dans cette éaction, pa une telle appoximation, dans le domaine de tempéatue compis ente 3 K et 16 K 323 Calcule, pou chacune des tempéatues, l enthalpie libe standad de la éaction 324 Détemine les constantes d équilibe à chacune des tempéatues 325 Pou quelle tempéatue la éaction est-elle totale? 4 Cistallogaphie Le minéal nommé blende cistallise dans une stuctue cubique de paamète de maille a = 543pm Les ions définissent un éseau cubique à faces centées dans lequel les ions occupent la moitié des sites tétaédiques 11/12

12 41 Repésente en pespective la maille de la blende 42 Quel est le nombe d anions et de cations pa maille? 43 En déduie la fomule de la blende 44 Quelle est la plus coute distance d existant dans la stuctue blende ente un anion et un cation? 45 En déduie la coodinence des anions et des cations dans cette stuctue 46 Expime en fonction de a le appot ) / R( ) et donne le minoant de ce appot 47 Calcule la compacité de la blende 48 Calcule la masse volumique de la blende en gcm 3 49 A pati des ayons de et, que peut-on en déduie su le type de liaison mise en jeu ente un atome de zinc et un atome de soufe dans la blende? Données : Atome Masse molaie (gmol 1 ) 1, 16, 12, 32,1 65,4 Paamète de maille de la blende a = 543 pm Rayons ioniques ) = 74 pm R( ) = 184 pm Nombe d Avogado N A = 6,21 23 mol -1 Fin du poblème de chimie Fin de l énoncé 12/12