Une définition de la fonction exponentielle dans l esprit des nouveaux programmes

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1 1 Ue défiitio de la foctio expoetielle das l esprit des ouveaux programmes 0. Itroductio. Les ouveaux programmes de mathématiques de termiale S qui sot etrés e vigueur à la retrée 2002 icitet fortemet à itroduire la foctio expoetielle comme la solutio de l équatio différetielle y = y otée ) das ce qui suit) vérifiat y0) = 1, avec évetuellemet, esuite, ue défiitio du logarithme comme foctio réciproque de l expoetielle. Le documet d accompagemet des programmes propose ue preuve directe sas utiliser le logarithme, i le théorème de Cauchy-Lipschitz) de l existece d ue telle solutio. Je doe ue variate de cette preuve ci-dessous, peut-être u peu plus aturelle que la versio origiale. Cette démostratio est élémetaire du iveau d u élève de termiale S avec les ouveaux programmes), mais très astucieuse. 1. La méthode d Euler. C est la méthode utilisée sur la figure ci-dessous. 1/x/) pete 1+x/) 3 1+x/) 3 pete 1+x/) 2 1+x/) 2 pete 1+x/ Méthode d'euler avec =4 1+x/ pete 1 y=1 0 x/ 2x/ 1 3x/ x O costruit ue solutio approchée de l équatio différetielle, affie par morceaux, par la méthode suivate. O part du poit x =0,y = 1 doé par la coditio

2 2 expoetielle iitiale. O fixe u réel x. O subdivise l itervalle [0,x] e parties égales par les poits 0, x, 2x 1)x,,,x. Puis, sur [0, x ], o costruit la foctio affie, qui vaut 1 e 0 et dot la pete vaut y 0) = y0), coformémet à ). E x/ cette foctio vaut 1 + x/. O repart alors de ce poit, pour ue deuxième foctio affie défiie sur [ x, 2x ], de pete y x/) =yx/) =1+x/, toujours coformémet à ). E 2x/ cette foctio vaut 1 + x/) 2. O cotiue cette procédure jusqu au poit x où la foctio affie par morceaux aisi costruite vaut x ) Existece de l expoetielle. Pour motrer l existece d ue solutio exacte) de ), o va utiliser la suite fourie par la méthode d Euler u x) = 1+ ) x. O commece par u résultat bie cou o otera que y peut être < 0) : Lemme 2.1 iégalité de Beroulli). Soit y u réel 1 et u etier aturel. O a 1 + y) 1+y. Démostratio. O peut soit étudier la foctio, soit démotrer l assertio par récurrece. Théorème et défiitio 2.2. Soit x u réel. Les suites u x)) et v x)) défiies pour > x par : u x) = 1+ ) x et v x) = 1 x ) sot adjacetes. Leur limite commue est otée expx) et appelée expoetielle de x. Remarque 2.3. La suite u x) est directemet issue de la méthode d Euler. Pour compredre l origie de la suite v x), o ote que u x) coverge vers exp x), doc e aticipat sur la relatio foctioelle) il est ormal que v x), qui est autre que 1/u x), coverge aussi vers expx). Démostratio. Le plus délicat est de motrer la croissace de u x). Posos a =1+ x. O ote que a est > 0à cause de l hypothèse > x ). Il s agit de ) motrer u +1 x) =a u x) =a a+1, soit ecore a O a a a x) = et cette quatité ted vers 1 quad ted vers +, de a + x) +1) sorte qu il est aturel de l écrire sous la forme : a +1 x =1 a + x) +1) =1+y. L iégalité de Beroulli qu o utilise avec 1 y<0, d où l utilité d avoir toléré y<0 das ce lemme) doe alors : ) a+1 a +1 1 a ) x 1+ x ) + x) +1) +1 et u calcul immédiat motre que cette quatité est 1.

3 Existece de l expoetielle 3 Pour obteir la décroissace de v x)) il suffit d utiliser la formule v x) = 1 vue e 2.3. u x) Efi, o a : v x) u x) = 1 ) x 1+ ) x ) ) = v x) 1 1 x2 et o e déduit, par Beroulli appliqué avecy = x2,là ecore, la précautio 2 d avoir admis y<0 est importate) : 0 v x) u x) v x) x2. Comme v x) est décroissate à partir d u certai rag, doc majorée, cette quatité ted bie vers 0. Théorème 2.4. La foctio exp est dérivable et o a exp = exp. Démostratio. L idée de cette preuve est toute simple. La suite u x) coverge vers expx). Or, u est dérivable et o a u x) = 1+ ) x 1, ce qui motre que u x) coverge aussi vers expx) car 1+ x ted vers 1). O a doc evie de passer à la limite et d affirmer que la dérivée de l expoetielle est elle-même et ul doute qu Euler aurait fait ça sas hésiter. Bie etedu, o sait aujourd hui qu il faut predre quelques précautios, mais fialemet elles sot miimes. Nous auros besoi de l iégalité des accroissemets fiis : Lemme 2.5. Soit f ue foctio dérivable sur [a, b] avec a b. O suppose qu o a, pour tout x [a, b], m f x) M. Alors, o a pour tout x [a, b] : mx a) fx) fa) Mx a). 2 Démostratio. Même si cette iégalité est plus au programme de termiale, sa preuve e reste pas mois immédiate : o étudie les foctios différeces. L idée de la preuve de 2.4 est de calculer la limite du taux d accroissemet de la foctio exp. Pour cela o a le lemme suivat : Lemme 2.6. O a, pour x, h R : ) h expx) expx + h) expx) h expx + h). 1+ ) t 1 doc 1+ ) t 2. Pour > x la foctio u t) est positive sur [x, x+h], Démostratio. Supposos d abord h > 0. O a u t) = u t) = 1

4 4 expoetielle doc u est croissate et o a u x) u t) u x + h) pour t [x, x + h]. O e déduit, par les accroissemets fiis : hu x) u x + h) u x) hu x + h) d où lerésultat e faisat tedre vers l ifii. Pour le cas h<0 o applique ce qui précède avec X = x + h et X + h = x. O peut maiteat prouver 2.4. O ote d abord qu o a, par ) et pour h<1, l iégalité : 1 + h) exp x expx + h) exp x 1 h. Il e résulte que exp est cotiue e x : quad h ted vers 0, expx + h) ted vers exp x. Repreat alors ) divisée par h o e déduit aussitôt que exp est dérivable et qu elle est sa propre dérivée. Corollaire 2.7. La foctio exp est de classe C. 3. Uicité et propriétés de l expoetielle. a) Uicité. Il s agit maiteat de motrer les propriétés de la foctio expoetielle qui viet d être itroduite et d abord l uicité de la solutio de l équatio différetielle. O commece par u lemme : Lemme 3.1. O a expx) exp x) = 1pour tout x réel. La foctio exp est strictemet positive sur R. Démostratio. O cosidère la foctio g défiie par gx) = expx) exp x). O vérifie aussitôt avec ) qu o a g x) = 0, de sorte que g est costate sur R. Comme o a exp0) = 1, cette costate est égale à 1 ce qui prouve que exp e s aule pas. Comme o a exp0) = 1 > 0, le théorème des valeurs itermédiaires motre que exp est strictemet positive. Théorème 3.2. Soiet λ et a deux réels. Il existe ue uique foctio f dérivable sur R qui vérifie f = λf et f0) = a et o a fx) =a expλx) pour tout x réel. Démostratio. Il est clair que a expλx) vérifie les coditios. Réciproquemet, si f est ue solutio, o cosidère g défiie par gx) =fx) exp λx). O vérifie que la dérivée g est ulle, doc que g est costate et égale à a. Lethéorème découle alors du lemme 3.1. b) L équatio foctioelle. Théorème 3.3. La foctio expoetielle vérifie l équatio foctioelle : ) x, y R, fx + y) =fx)fy). Démostratio. Fixos y et posos gx) = expx + y) expx) expy). O a g x) =gx) etg0) = 0, de sorte que g est ulle e vertu de 3.2.

5 Uicité et propriétés de l expoetielle 5 Remarque 3.4. O motre que les foctios dérivables sur R ou même seulemet cotiues e u poit) et o idetiquemet ulles qui vérifiet l équatio foctioelle ) sot les foctios expλx) pour λ réel. c) Variatios de exp. Propositio 3.5. La foctio exp est strictemet croissate sur R. O a lim expx) =0. x lim expx) =+ et x + Démostratio. La première assertio viet de l équatio différetielle et de 3.1. La secode s obtiet e motrat qu o a expx) x pour x 0 e cosidérat 1 expx) x). La troisième résulte de la formule exp x) = expx). Corollaire 3.6. La foctio exp est ue bijectio de R sur R +. O appelle logarithme épérie et o ote l sa foctio réciproque. La foctio l est dérivable et sa dérivée est la foctio x 1 x. Propositio 3.7. expx) O a, pour tout N, lim x + x =+. Démostratio. O étudie la foctio expx) x!.