Chap. 5 : Ensemble C 1. L ensemble C. Pour généraliser la notion de racine d une équation on introduit l ensemble C := {a + i.

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1 Chap 5 : Ensemble C 1 Arthur LANNUZEL le 1 Octobre 005 L ensemble C 1 Définition de C 11 Rappels Pour généraliser la notion de racine d une équation on introduit l ensemble C := {a + ib, a, b R} où i = 1 a = Re(z) s appelle partie réelle de z et b = Im(z) s appelle partie imaginaire de z On peut représenter z = a + ib C dans R par le point M z = (a, b) dans R rapporté à un repère orthonormé (O, Ox, Oy) On dit alors que M z est l image de z et z est l affixe de M z Exercice 11 Calculer i 3, i 4, i 5, i 6, i 7 puis i 000 et i 001 M z pour z 0 nous permet de définir l argument et le module de z : Argument : Arg(z) := ( Ox, OM z ) (angle formé par l axe des absisses et le vecteur OM z ) On a b = tan(arg(z)) a Module : z := OM z = a + b (longueur du vecteur OM z ) Exercice 1 Le plan complexe est rapporté à un repère othonormé direct (O, u, v) On désigne par A et B les points d affixes respectives 1 et 4 L application f associe à tout point M d affixe z, distinct de A, le point M d affixe Z := z 4 z 1 1) Soit C le point d affixe i Déterminer l affixe de C = f(c) ) Démontrer que f admet deux points invariants I et J (On notera I celui d ordonnée positive) Placer les points I, J, C et C 3) Donner une interprétation géométrique de z 4, z 1 et Z En déduire l ensemble D des points M d affixe z tels que Z = 1 Que peut-on dire de l ensemble des images des points M de D? Construire D 4) On pose z = x + iy et Z = X + iy avec x, y, X, Y réels a - Déterminer X et Y en fonction de x, y b - Déterminer l ensemble E des points M d affixe z tels que Z soit réel c - Déterminer et construire l ensemble F des points M d affixe z tels que Z soit imaginaire pur

2 Chap 5 : Ensemble C 1 Opérations sur les nombres complexes Égalité : a + ib = a + ib (a = a ) (b = b ) Somme : (a + ib) + (a + ib ) = (a + a ) + i(b + b ) De plus, on a z + z z + z (inégalité triangulaire) Produit : (a + ib) (a + ib ) = (aa bb ) + i(ab + a b) De plus, on a zz = z z, z n = z n, Arg(zz ) = Arg(z) + Arg(z ) et Arg(z n ) = narg(z) Propriétés 11 (exo) L inverse (pour ) de z = a + ib est z 1 a = ( ) i( a +b b ) a +b conjugué : z = a + ib et z = a + ib sont dits conjugués si a = a et b = b Le conjugué de z = a + ib et noté z = a ib De plus zz = zz, z + z = z + z, z = z et zz = z (d où z = z ) Exercice 13 Déterminer z sachant que z, z, 4/z ont le même module Exercice 14 On considère les points M d affixe z, A d affixe i et N d affixe iz Déterminer l ensemble des points M, tels que M, N, A soient alignes 13 Forme algébrique et trigonométrique d un nombre complexe Soit z C z = Re(z) + iim(z) est appelée forme algébrique de z z = z e i:arg(z) := z (cos(arg(z))+i sin(arg(z))) est appelée forme trigonométrique de z De plus z e iarg(z) = z e iarg(z) Égalité : z = z ( z = z et Arg(z) = Arg(z )(modπ)) 14 Formule de Moivre Puisque Arg(z n ) = narg(z) on en déduit la formule de Moivre : n N, (cos(θ) + i sin(θ)) n = cos(nθ) + isin(nθ)

3 Chap 5 : Ensemble C 3 15 Formules d Euler On vérifie facilement que z C, Re(z) = z + z et Im(z) = z z i On en déduit les formules d Euler : x R, cos(x) = eix + e ix et sin(x) = eix e ix i Racine n iéme d un nombre complexe Soit λ C On recherche z C tel que z n = λ Si λ = 0, la seule solution est z = 0 Si λ = re iα z = ρe iθ est solution de l équation si et seulement si ρ n = r et nθ = α(modπ) Donc l ensemble des solutions de l équation dans C est : {z k = n re i( α n + kπ n ), k {0, 1,,, n 1}} Exercice 1 Racines cubique de l unité i) Donner la forme algébrique et géométrique des racines cubiques de l unité ii) Que représentent-elles géométriquement et quelle est leur somme? iii) généraliser à n N Exercice Résoudre dans C l équation z n 1 = z où n est un entier non nul 3 Equations du second degré Soit a, b, c C, a 0, et Alors, on montre facilement que x C, avec := b 4ac T : C C x ax + bx + c T (x) = a((x + b ) 4a ) Trois cas se présentent :

4 Chap 5 : Ensemble C 4 i) Si = 0 alors x R, T (x) = a(x + b ), donc T (x) admet une racine x 0 (ie T (x 0 ) = 0) et x 0 = b De plus, dans ce cas, x 0 est une racine double (ie T (x 0 ) = 0 et T (x 0 ) = 0 où T désigne la dérivée de T ) iii) Si 0 alors T (x 0 ) = 0 (x + b ) = 4a x + b = δ x = b+δ ou x = b δ où δ est une racine carrée de Donc T admet deux racines distinctes x 1 = b+δ et x = b δ On vérifie facilement que ces racines sont simples (ie T (x 1 ) 0 et T (x ) 0) Exercice 31 Résoudre ix 4 ix + i = 0 Donner les solutions sous forme trigonométrique 4 Similitudes 41 Translations Soit a C Soit l application f( de C dans C définie ) par f(z) = z + a Re(z) + Re(a) Dans R, M f(z) = M z + M a = Im(z) + Im(a) DESSIN On en déduit donc que l application f correspond dans R à la translation de vecteur OM a 4 Similitudes de centre O Soit b C/{0} Soit l application f de C dans C définie par f(z) = bz On a Arg(f(z)) = Arg(b) + Arg(z), f(z) = b z DESSIN ( ) b (Re(z) cos(arg(b)) + Im(z) sin(arg(b))) Dans R, M f(z) = M z = b (Re(z) sin(arg(b)) Im(z) cos(arg(b))) On en déduit donc que l application f correspond dans R à la similitude de centre O, d angle Arg(b) et de rapport b

5 Chap 5 : Ensemble C 5 43 Similitudes de centre quelconque Soit a, b C/{0} Soit l application f de C dans C définie par f(z) = bz + a Supposons b 1 Alors f(z 0 ) = z 0 z 0 = a et f(z) z 1 b 0 = b(z z 0 ) On en déduit que l application f correspond dans R à la similitude de centre M z0, d angle Arg(b) et de rapport b Exercice 41 On considère h l homothétie de rapport et de centre (1, ) et r la rotation d angle π et de centre ( 1, 0) 1) Donner les expressions complexes de h et r ) Donner les expressions complexes de h r et r h