Résumé de cours : Terminale ES. Table des matières. Maths-Terminale ES. Mr Mamouni : source disponible sur: Samedi 08 Avril 2006.

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Edmond Gignac
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1 Résumé de cours : Terminle ES. Mths-Terminle ES. Mr Mmouni : myismil@ltern.org source disponile sur: c Smedi 08 Avril Tle des mtières Eqution du second degré. 2. Ses solutions dns R Son signe Asymptotes Asymptote horizontle Asymptote verticle Asymptote olique Limites Limite d une frction rtionnelle Tleu des ites Dérivtion Définition Opértions sur les dérivées Tleu des dérivées Éqution de l tngente Les vritions de f Eponentielle. 7 6 Primitives Définition Tleu des primitives Notion d intégrle Propriétés des intégrles Logrithme. 8. Définition Vritions Propriétés lgériques Limites usuelles Composée vec un logrithme Logrithme déciml Sttistiques à deu vriles i et y i Définitions Ajustement d un nuge

2 Eqution du second degré c = 0 s ppelle éqution du second degré, son descriminnt est = 2 4c Signe de Signe de c c. Ses solutions dns R. Les solutions sont : =, 2 = si > 0 = 2 si = 0.2 Son signe. Son signe est résumé dns les tleu suivnts : Si > 0 : 2 Signe de Signe de 0 Signe de 0 Signe de c Si = 0 : 2 Signe de Signe de 0 Signe de c Si < 0 : 2

3 2 Asymptotes. 2. Asymptote horizontle. Si f() =, lors l droite d éqution : y = est un symptote horizontle à l coure. 2.2 Asymptote verticle. Si f() =, lors l droite d éqution : = est un symptote verticle à l coure, en générl est une etrémité du domine de définition de f. 2.3 Asymptote olique. Si f() ( + ) = 0, lors l droite d éqution : y = + est un symptote olique à l coure. Pour étudier l postion de l coure pr rpport à celle de son symptote, on étudie le signe de f() y : Si f() y 0 u voisinge de, lors C f est en dessus de son symptote. Si f() y 0 u voisinge de, lors C f est en dessous de son symptote. 3

4 3 Limites. 3. Limite d une frction rtionnelle. n n n n = m m m m 3.2 Tleu des ites. Somme Produit Quotient Rpport Limites possile l + () = l () = l + () = l () = + () = () = + () = () = l () = si l > 0 l () = si l < 0 l () = si l > 0 l () = si l < 0 () = () = () + = 0, = 0 0 =, + 0 = l = 0 si l 0 l = 0 si l 0 = si l > 0 l = si l < 0 l = si l > 0 l = si l < 0 l = = = = Formes indetérminées () + () + () () 0 () 0 ()

5 4 Dérivtion. 4.3 Tleu des dérivées. 4. Définition Situtions simples. f() f() On dit que f est dérivle u point si et seulement si est finie, on pose lors : f f() f() () = L fonction S dérivée L fonction S dérivée 4.2 Opértions sur les dérivées. k (Constnte) 0 n n n 2 n n n+ 2 (u + v) = u + v (uv) = u v + uv ( v ) = v v 2 ( u v ) = u v uv v 2 e e ln() 5

6 4.3.2 Situtions composées. L fonction S dérivée L fonction S dérivée u n nu u n u u u 2 u n nu u n+ u u 2 u e u u e u ln(u) u 4.4 Éqution de l tngente. L éqution de l tngente à l coure de f u point est : 4.5 Les vritions de f. : y = f ()( ) + f() Si f 0 sur [, ], lors f est croissnte sur [, ]. Si f > 0 sur [, ], lors f est strictement croissnte sur [, ]. Si f 0 sur [, ], lors f est décroissnte sur [, ]. Si f < 0 sur [, ], lors f est strictement décroissnte sur [, ]. 6

7 5 Eponentielle. Définition. L fonction eponentielle, est l unique fonction dérivle sur R, notée ep, dont l dérivée est elle même, et qui prend l vleur en 0 ep = ep ep(0) = On vérifie que ep() = 2, 7, qu on noter dns l suite e, on lors : Propriétés. e = 2, 7 et ep() = e pour tout réel e 0 = e 0 e = e = e e e + = e e e = e e e = e e p = (e ) p pour p Z (e ) = e (e u ) = u e u e 0 = e = e = 0 e = e = 0 7

8 6 Primitives. 6.2 Tleu des primitives. 6. Définition Situtions simples. On ppelle primitive de f sur un intervlle I, toute fonction F, dérivle sur I telle que : F = f L fonction S primitive L fonction S primitive k (Constnte) k 2 2 Remrque. Si F est une primitive de f sur I, toutes les utres primitives de f s écrivent sous l forme : n n+ n n + 2 (n ) n 2 F + c où c est une constnte. e c c ec e e ln( ) 8

9 6.2.2 Situtions composées. L fonction S primitive L fonction S primitive u u n u n+ n + u u 2 u u u n u (n )u n u 2 u u e u e u u u ln( u ) 9

10 7 Notion d intégrle. Si f est continue sur [, ], son integrle sur [, ] est le nomre réel noté f(t) dt, défini pr : f(t) dt = F () F () où F est une primitive de f sur [, ] F () F () est souvent noté pr [F (t)], crochet de F sur [, ]. 7. Propriétés des intégrles. c f(t) dt = f(t) dt = 0 et f(t) dt + c f(t) dt = f(t) dt. Reltion de Chsles. L vleur moyenne de f sur [, ] est (f(t) + g(t)) dt = cf(t) dt = c f(t) dt. Si f 0 sur [, ], lors Si f 0 sur [, ], lors Si f g sur [, ], lors f(t) dt + f(t) dt 0. f(t) dt 0. f(t) dt 0 f(t) dt. g(t) dt. g(t) dt. f(t) dt. L ire, (l surfce) de l prtie située entre l e des scisses et l coure de f sur [, ] est : A = f(t) dt. 0

11 8 Logrithme. 8.3 Propriétés lgériques. 8. Définition. Le logrithme néperien, est l fonction notée ln définie sur ]0, [, comme étnt l fonction réciproque de ep qui s nnule en, utrement dit : ln() = ln + ln ln( p ) = p ln ln ( ) = 2 ln ln ( ) ( ) = ln ln = ln ln Le domine de définition de ln est ]0, [ ln eiste si > Limites usuelles. L dérivée de ln est (ln ) = ln est l primitive de qui s nnule en dt = ln 0 t ln = 0 ( ) ln = ( ln ) = 0 0 ( ) ln = Vritions. ln est strictement croissnte ln < ln y < y ln < 0 0 < < ln > 0 > ln est ijective sur ]0, [ ln = ln y = y ln < 0 = 8.5 Composée vec un logrithme. Théorème. Si u est une fonction dérivle et strictement positive sur ]0, [, lors : (ln u) = u u Théorème 2. Si u est une fonction dérivle, qui ne s nnule jmis sur ]0, [, lors l primitive de u u est : ln u si u() > 0 pour tout > 0. ln u si u( < 0 pour tout > 0.

12 8.6 Logrithme déciml. C est l fonction définie sur ]0, [ pr l formule log = ln ln 0 9 Sttistiques à deu vriles i et y i. 9. Définitions. Somme. Elle est présentée sous le symole, eemple : Moyenne. = n i= n n i= i y i n i = n i= y = n Avec n le nomre de vleurs dns le tleu. Point moyen. C est le point G = (, y) Vrince. Elle est clculée vec l formule suivnte. n V () = i= n 2 i 2 Moyenne des crrés-crré de l moyenne, on peut encore écrire : V () = 2 2 Écrt type. Il est clculé à l ide de l formule suivnte : s() = V () Il mesure l écrt ou le regroupement des points utour de l médine. Covrince. Elle est clculée à l ide de l formule suivnte : C,y = n i y i i= n y Moyenne des produit-produit des moyenne, on peut encore écrire : C,y = y y 9.2 Ajustement d un nuge Ajustement ffine. ) Á l ide d une droite pssnt pr deu points. Pour chercher l éqution y = + d une droite pssnt pr deu points A(, y ) et B( 2, y 2 ), il suffit de remplcer pr et y pr y dns cette éqution, puis remplcer pr 2 et y pr y 2 dns l même éqution, on otient lors le système suivnt à deu équtions. y = + () y 2 = 2 + () De ()-(2), on otient, puis on remplce pr s vleur dns () et on trouve. 2) Á l ide de l droite pssnt des moindres crrés. Son éqution est donnée pr l formule suivnte : y = + vec = C,y V (), = y Cette éqution se clcule fcilement à l ide d une clcultrice mthémtique. 2

13 9.2.2 Ajustement eponentielle. ) Repère semi-logrithmique. On pose z i = ln(y i ), et on représente le nuge ( i, z i ), puis on clcule l éqution de l droite de moindres crées de ce nuge, elle ser de l forme : ln y = α + β 2) L éqution : y = e Elle se clcule prtir de l éqution ln y = α + β, et on otient = e β et = α. 3) L éqution : y = Elle se clcule prtir de l éqution ln y = α + β, et on otient = e β et = e α. Fin. 3

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