DEVOIR DE SYNTHESE N 2

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Simone Brunelle
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1 EDUCATION EN LIGNE PARTAGE DU SAVOIR DEVOIR DE SYNTHESE N 2 4ème Ecoomie et Gestio Mthémtique Bri Power School

2 Lycée secodire Ghzl Devoir de sythése 2 MATHEMATIQUES 4EG M r :WALID Jebli Durée :2heures QCM : (5 poits) : Cet exercice est u questioire à choix multiple ; pour chcue des ciq questios, ue et ue seule ffirmtio est excte. Idiquez sur votre copie le uméro de l questio et recopiez l ffirmtio excte ss justifier votre choix. 1) L représettio grphique de l foctio logrithme épérie dmet : ) ue symptote verticle b) ue symptote horizotle c) ue tgete horizotle 2) Soit u ombre réel strictemet positif. lim l( x 5) 3) l x e x ) b) 0 c) + x pour tout x pprtet à : ) IR b) ]0 ; +[ c) [0 ; +[ 4) Soit u réel. e l 2e l(1) ) e 2e e b) e 2e c) 2 e 5) Soiet et b des réels strictemet positifs. l l b e e b 1 ) b b) b c) b EXERCICE1 : O cosidère l foctio défiie sur ]0 ; +[ pr f (x) = x l x et o ote (C f )s courbe représettive. 1 ) ) Détermier lim x 0 + f (x) ; b) Motrer que pour tout x de ]0 ; +[, f (x) = x x 2 2 l x E déduire lim x f (x) ; + c) Préciser les évetuelles symptotes à (C f ) ; 2 ) Clculer f (x) et étudier so sige. Dresser le tbleu de vritios de f ; x 2

3 3 ) Motrer que l équtio f (x) = 0 dmet exctemet deux solutios ds l itervlle ]0 ; +[. 1 Doer u ecdremet d mplitude ème de ces solutios que l o ommer et ) Déduire des questios 2 ) et 3 ) le sige de f (x) lorsque x ]0 ; +[ ; 5 ) Trcer l courbe de f Exercice 2 5 poits - Cdidts yt suivi l'eseigemet de spécilité Chque mois, u istitut de sodge doe l cote de populrité d'u même groupe politique ds l'opiio publique. Les persoes sodées sot, soit fvorbles, soit défvorbles à ce groupe. Iitilemet, il y utt de persoes fvorbles à ce groupe politique que de persoes qui lui sot défvorbles. De chque mois u mois suivt, o cosidère que :. 10 % des persoes qui étiet fvorbles à ce groupe politique e le sot plus.. 15 % des persoes qui 'étiet ps fvorbles à ce groupe politique le devieet. O ote, pour tout etier turel ;., l probbilité qu'ue persoe iterrogée u hsrd u bout de mois soit fvorble à ce groupe politique.. b, l probbilité qu'ue persoe iterrogée u hsrd u bout de mois e soit ps fvorble à ce groupe politique. P b, l mtrice trduist l'étt probbiliste u bout de mois.. O ote M l mtrice de trsitio telle que, pour tout etier turel : P 1 P M. Première prtie 1. Détermier l mtrice P0 dot l'étt probbiliste iitil. 2. Détermier le grphe probbiliste correspodt à l situtio. 0,9 0,1 3. O dmet que M. 0,15 0,85 Détermier l mtrice P2 e détillt les clculs, (o doer les coefficiets sous forme décimle rrodie u cetième). 4. Détermier l'étt stble et iterpréter ce résultt. Deuxième prtie 1. Motrer que 1 0,75 0,15 pour tout etier turel. 2. O cosidère l suite u telle que u 0,6 pour tout etier turel. 3. Démotrer que l suite u est géométrique de riso 0,75.

4 4. E déduire que 0,1 0,75 0,6 pour tout etier turel. 5. Clculer l limite de qud ted vers. Commet peut-o iterpréter cette limite? E quoi ce résultt est-il cohéret vec celui demdé à l questio 4. de l première prtie. Exercice 2 (5 poits) Soit le grphe G joit e exe costitué des sommets A, B, C, D, E, F et G. 1. Quel est so ordre et le degré de chcu de ses sommets? 2. Reproduire sur l copie et compléter le tbleu des distces etre deux sommets de G : Distce A B C D E F G A B C D E F G E déduire le dimètre de ce grphe. 3. ) Doer u sous-grphe complet d ordre 3 de G. Qu e déduire pour le ombre chromtique de G? b) Proposer ue colortio du grphe G et e déduire so ombre chromtique. 4. Doer l mtrice M ssociée à G (vous uméroterez les liges et les coloes ds l ordre lphbétique). 5. E utilist l mtrice M 2 doée e exe 1., déduire le ombre de chîes de logueur 2 prtt de A ss y reveir. Aexe 1 M 2 =

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