Feuille d exercices 11

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1 Mathématiques Aalyse I M. Samy Modeliar Feuille d eercices Itégratio Correctio Eercice Détermier, si elle eiste, la ite e + de la suite de terme gééral si ( π + ) d + Correctio. Pour tout etier, la foctio si( π + ) est cotiue sur [, + [ doc localemet borée et localemet Riema-itégrable. Pour tout [, + [, o a si ( π + ). aisi si ( π + ) d coverge doc les itégrales de Riema et de Lebesgue coïcidet et d après le théorème de covergece domiée de Lebesgue si ( π + ) si ( ) π d d [. ] d +

2 Eercice Détermier, si elle eiste, la ite e + de la suite de terme gééral l ( ) + d. 3 Correctio. Pour tout etier, la foctio l(+ ) 3 localemet borée et localemet Riema-itégrable. Pour tout [, + [, o a l ( ) est cotiue sur [, + [ doc. aisi l ( ) + 3 d coverge doc les itégrales de Riema et de Lebesgue coïcidet et d après le théorème de covergece domiée de Lebesgue l ( ) + l () d d Eercice 3 Détermier, si elle eiste, la ite e + de la suite de terme gééral ( ( )) cos d. Correctio. La foctio ( cos ( )) est cotiue sur ], ] doc localemet borée et localemet Riema-itégrable. Soit ], ] alors ( ) cos. La foctio idetiquemet égale à est itégrable sur [, ] et ], ], + ( cos ( )). Doc par le théorème de covergece domiée, ( ( )) cos d. +

3 Eercice 4 Le but de cet eercice est de détermier la ite de terme gééral ( ) cos ().d. Pour tout etier, o pose { R + R f : ( ) cos () χ [,] ().. Détermier la ite simple de (f ).. Motrer, pour t [, [, l ( t) t 3. E déduire que la suite (f ) est domiée par ue foctio itégrable sur R Coclure. Correctio.. Soit [, [ alors Doc ( ) e l( ) ( e + ). Aisi la suite (f ) coverge vers la foctio g : { R + R e.. Il suffit d étudier la foctio t l ( t)+t. 3. Pour tout etier et pour tout [, [ ( ) e l( ) e e doc f () g (). La foctio g est itégrable sur R Pour tout etier, la foctio f est cotiue et par la questio précédete pour tout etier aturel f () d et f () d coverget doc les itégrales de Riema et de Lebesgue coïcidet. D après le théorème de covergece domiée ( ) cos ().d f () d e d

4 Eercice 5. Motrer que pour tout ], [, + + ( ).. Motrer que coverge. +.d 3. Détermier Correctio.. Soit ], [ alors +.d. + ( ) ( ) ( ). doc + + ( ).. La foctio l() est cotiue sur ], ] doc localemet itégrable sur ]; ]. + De plus au voisiage de + Or ces foctios sot de sige costat sur ], ] et est itégrable sur ], ]. 3. Pour tout etier, la foctio ( ) est cotiue sur ], ]. De plus, [ ( ) + + l ( +) ] + + d doc ( ) < + 4

5 aisi +.d ( ).d ( ).d ( ) ( +). Eercice 6 Détermier l esemble de défiitio et de cotiuité de la foctio Préciser F () et + F (). Correctio. Si < alors pour t> F : e t +t.dt Si alors pour t> + e t +t +. e t +t () +t or t +t est itégrable sur R + doc l esemble de défiitio de F est R +. Pour R +, la foctio t e t +t est cotiue sur R + (doc est localemet borée et localemet itégrable ). Pour t R +, la foctio e t est cotiue sur R + et la majoratio () permet d utiliser +t le théorème de cotiuité sous le sige somme et doc F est cotiue sur R +. O a F () +t.dt π Soit ( ) ue suite de réels quelcoques tedat vers +. Pour tout etier, o cosidère la foctio { R + R g :. t e t +t O a Pour t> o a g (t) +t. + g (t). 5

6 Comme, pour tout etier, la foctio g est cotiue ( mesurabilité + localemet itégrable + localemet borée ) alors d après le théorème de covergece domiée Comme ( ) est quelcoque alors F ( ). + F (). + Eercice 7 Soit a ], [. Le but de cet eercice est de calculer ( + ) a Et () d où Et désige la partie etière.. Motrer que a a ( a).. Soit N. Motrer que l applicatio Et () est étagée sur [, ]. 3. E déduire que 4. Motrer que, pour N, 5. Coclure. Correctio. a Et ().dλ () Et () dλ (). a Et ().dλ ().. La série etière a u rayo de covergece égale à et ], [ + doc aisi ( ) a 6 a ( a).

7 . Pour R + et N, o a Et () p p.χ [ p, p+ [ ()+χ {}. E effet p Et() p + <p. 3. Pour tout etier, la foctio { [, ] R a Et () est étagée positive doc mesurable positive, aisi 4. Soit N alors 5. Aisi a Et ().dλ () Et ().dλ () p a Et ().dλ (). ( ) p.χ [ p, p+ [ ()+χ {} p p..dλ () a Et ().dλ () a Et ().dλ () a a ( a) a ( a) a ( ( a)) ( a) a ( a). Eercice 8 Soit ϕ la foctio défiie par ϕ (). Détermier le domaie de défiitio D de ϕ. 7 si (t) t (t +) dt.

8 . Motrer que ϕ est dérivable sur D et calculer sa dérivée. 3. Motrer que pour tout R, ϕ () t si (t) (t +) dt. 4. Motrer que ϕ est dérivable sur D et calculer la dérivée de la foctio ϕ (). Correctio.. Soit R, lafoctiot si(t) est cotiue sur t(t +) R+. o a si (t) t (t +) t 3 et dt et covergete doc si(t) dt coverge. t 3 t(t +) Aisi le domaie de défiitio de ϕ est R.. Posos { R R + R f : (, t) si(t). t(t +) La dérivée de f par rapport à eiste et est cotiue. Pour (, t) R R +. O a f (t) (, t) cos t + et doc f (, t) t +. La foctio t est itégrable sur t + R+ doc d après le théorème de dérivatio, ϕ est dérivable sur R et R, ϕ () 3. Par itégratio par partie, pour tout R o a cos (t) dt + t + cos (t) t + dt. t si (t) (t +) dt t si (t) (t +) dt. t si(t) 4. La foctio t est cotiue sur R + et la foctio (t +) R. Pour tout R et pour tout t R +, o a t cos (t) (t +) t (t +) t si(t) (t +) est dérivable sur or la foctio t t est itégrable sur R + doc d après le théorème de dérivatio (t +) ϕ est dérivable sur R et la foctio ϕ () a pour dérivée e u poit de R 8 t cos (t) (t +) dt.