Calcul d aire et intégrale

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1 Clcul d ire et itégrle Tle des mtières I Activité d itroductio 1 II Défiitio de l itégrle 2 1 Itégrle d ue foctio cotiue et positive Itégrle d ue foctio cotiue et égtive Itégrle d ue foctio cotiue et de sige quelcoque Itégrle d ue foctio e esclier Remrque et complémets III Lie etre itégrle et dérivée 3 1 Aire et dérivée Itégrle foctio de s ore supérieure Primitive ) Applictio u clcul d itégrles ) Tleu des primitives IV Vleur moyee d ue foctio V s des itégrles 7 1 s de liérité Reltio de Chsles Positivité Ordre et itégrle Iéglité de l moyee VI Correctio de l ctivité d itroductio 9

2 Clcul d ire et itégrle I Activité d itroductio f (x k ) f (x k 1 ) O x 1 x 2 x k 1 x k x 1 x = O cosidère l foctio f défiie sur [ 0 ; ] vec > 0 pr f (x)= x 2 Soit u etier turel supérieur ou égl à 2, o prtge l itervlle [ 0 ; ] e itervlles de même mplitude [x k 1 ; x k ], o défiie doc les réels : x 0 = 0, x 1 =, x 2= 2,..., x k = k,..., x = O ppelle A l ire du domie limité pr l xe des scisses, l coure représettive de f et l droite d équtio x = et pour tout etier k, 1 k, o ppelle A k l ire du domie limité pr l xe des scisses, l coure représettive de f et les droites d équtios x = k 1 et x = k. 1.. Justifier que, pour tout k, 1 k, o : ( ) (k 1) 2 A k ( k. E déduire que pour tout 2 : ( ( ) ) 2+( 2 2 ( ) ( 1) 2 ) A ( ( ) ) 2+( 2 2 ( ) ) 2 2. O pose : u = 1( ) k 2 = ( ( ) ) 2+( 2 2 ( ) ( 1) 2 ) k=1 v = ( ) k 2 = ( ( ) ) 2+( 2 2 ( ) ) 2 k=1. Motrer que pour tout etier > 0 : (+ 1)(2+ 1) =.. E déduire que u = 3 ( 1)(2 1) 3 et que v = 3 (+ 1)(2+ 1) 3 c. Clculer les limites des suites (u ) et (v ) d. E déduire l vleur de A 3. Soit F l foctio défiie sur [ 0 ;+ [ pr F()= Dériver F. Que remrque-t-o? ) 2 Cours Pge 1/10

3 Clcul d ire et itégrle II Défiitio de l itégrle Ds toute cette prtie, f est ue foctio( défiie et cotiue sur u itervlle [;] et C est l coure représettive de f ds u repère orthogol O; OI, ) OJ. L uité d ire est le rectgle OIKJ. 1 Itégrle d ue foctio cotiue et positive Défiitio J K O I Soit f ue foctio cotiue et positive sur u itervlle [;] L itégrle de à de l foctio f, otée des scisses et les droites d équtio x = et x = f (x)dx, est l ire du domie situé etre l coure, l xe 2 Itégrle d ue foctio cotiue et égtive Défiitio J K O I Soit f ue foctio cotiue et égtive sur u itervlle [;] L itégrle de à de l foctio f, otée coure, l xe des scisses et les droites d équtio x = et x = f (x)dx, est l opposé de l ire du domie situé etre l Cours Pge 2/10

4 Clcul d ire et itégrle 3 Itégrle d ue foctio cotiue et de sige quelcoque Défiitio J O K I + + L itégrle de à de l foctio f, otée coure, l xe des scisses et les droites d équtio x = et x = comptée : positivemet lorsque C est u-dessus de l xe des scisses ; égtivemet lorsque C est u-dessous de l xe des scisses ; f (x)dx, correspod à l ire du domie situé etre l 4 Itégrle d ue foctio e esclier Défiitio L défiitio précédete se géérlise ux foctios e esclier 5 Remrque et complémets Ds les défiitios précédetes, o trvillit sur u itervlle [;], o vit doc <. Si = o otiet : Si >, o défii l itégrle de à pr : f (x)dx = 0 f (x)dx = f (x)dx III Lie etre itégrle et dérivée 1 Aire et dérivée O cosidère ue foctio f cotiue, positive et croisste sur l itervlle I=[ ; ] Pour tout réel x 0 de [ ; ], o ote A (x 0 ) l ire du domie délimité pr l coure représett f ds u repère orthogol, l xe des scisses et les droites d équtios x = et x = x 0. O se propose de démotrer que l foctio isi défiie sur [ ; ] pour dérivée f. Cours Pge 3/10

5 Clcul d ire et itégrle f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x 0 h) x 0 h x 0 x0 + h 1. Soit x 0 u réel quelcoque de I et h u réel strictemet positif tel que x 0 + h I. Justifier l ecdremet suivt : f (x 0 ) A (x 0+ h) A (x 0 ) h f (x 0 + h). 2. Lorsque x 0 h I, doer u ecdremet de A (x 0 h) A (x 0 )? h 3. E déduire l dérivilité e x 0 de l foctio A isi que le omre dérivé e x 0 de l foctio A. 4. Coclure. 2 Itégrle foctio de s ore supérieure Théorème Théorème Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle I et u réel de I. O défiie ue foctio F sur I pr F(x)= C est à dire, pour tout réel x I, F (x)= f (x) x f (t)dt lors l foctio F pour dérivée f. Démostrtio L démostrtio été fite ds le prgrphe précédet, ds le cs d ue foctio positive et croisste. Cette propriété ser dmise ds le cs géérl. Cours Pge 4/10

6 Clcul d ire et itégrle 3 Primitive Défiitio F est ue primitive de f sur u itervlle [;] sigifie que : F est dérivle sur [;] et pour tout x [;] o F (x)= f (x) Le théorème précédet peut s éocer sous l forme : F est l primitive de f qui s ule e. Il ous permet d ffirmer que toutes les foctios cotiues dmettet des primitives. des primitives Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle I et F ue primitive de f lors toutes les primitives de f sot les foctios de l forme F+k où k est ue costte réelle. Démostrtio Démotros que toutes les foctios de l forme F+k sot des primitives de f : Pour tout réel k,l dérivée de l foctio F+k est F = f doc F+k est ue primitive de f Réciproquemet, soit G ue utre primitive de f. Cosidéros l foctio G F, elle est dérivle comme différece de deux foctios dérivles et s dérivée vut (G F) = G F = f f = 0. O peut e déduire que l foctio G F est costte, il existe doc u réel k R tel que, pour tout x I, G(x)=F(x)+k ) Applictio u clcul d itégrles Théorème Soit f ue foctio cotiue sur I, et deux réels de I et F ue primitive de f sur I lors [ ] f (x)dx = F(x) = F() F() Démostrtio D près le théorème précédet, f (x)dx = G() où G est l primitive de f qui s ule e. F étt ussi ue primitive de f, il existe ue costte k R telle que, pour tout reél x de I, G(x) = F(x)+k. O doc G() = F()+k et G() = F()+k et pr coséquet G() G() = F() F() et comme G() = 0 o ie f (x)dx = G() G()=F() F() Cours Pge 5/10

7 Clcul d ire et itégrle ) Tleu des primitives Foctios Primitives Remrques costte x x x+1 Pour tout Z { 1} 1 l x x doit grder u sige costt x e x e x 1 x 2 x x strictemet positif si x cos x cos x si x Ds ce tleu, u, v sot des foctios qui dmettet pour primitives respectives U et V. Foctios Primitives Remrques u+ v U+ V ku ku k costte u u u+1 Pour tout Z { 1} u u u e u l u e u u doit grder u sige costt u u 2 u u strictemet positif u siu u cosu cosu siu IV Vleur moyee d ue foctio Défiitio f étt ue foctio cotiue sur l itervlle [;]. L vleur moyee de l foctio f sur l itervlle [;] est le réel : 1 f (x)dx Cours Pge /10

8 Clcul d ire et itégrle V s des itégrles 1 s de liérité f et g étt deux foctios cotiues sur l itervlle I, et deux réels de I et k u réel quelcoque. f (x)+ g (x)dx = k f (x)dx = k f (x)dx f (x)dx+ g (x)dx Démostrtio Ces propriétés serot dmises 2 Reltio de Chsles f étt ue foctio cotiue sur l itervlle I,, et c trois réels quelcoque de I. c f (x)dx = f (x)dx+ f (x)dx c 3 Positivité f étt ue foctio cotiue sur l itervlle I, et deux réels de I. Si et pour tout x [;] o f (x) 0 lors f (x)dx 0 Démostrtio Cette propriété découle de l défiitio de l itégrle Cours Pge 7/10

9 Clcul d ire et itégrle 4 Ordre et itégrle f et g étt deux foctios cotiues sur l itervlle I, et deux réels de I. Si et pour tout x [;] o f (x) g (x) lors f (x)dx g (x)dx Démostrtio Pour tout x [;] o f (x) g (x) lors g (x) f (x) 0 o peut doc utiliser l propriété de positivité doc g (x) f (x)dx 0 Il suffit d utiliser l propriété de liérité : 5 Iéglité de l moyee g (x)dx f (x)dx 0 d où f (x)dx g (x)dx f étt ue foctio cotiue sur l itervlle I, et deux réels de I et m et M deux réels. Si et pour tout x [;] o m f (x) M lors m( ) f (x)dx M( ) Iterpréttio grphique ds le cs où f est positive M J I m H G E F L ire sous l coure est comprise etre l ire du rectgle EFGH et et celle du rectgle EFIJ Démostrtio Il suffit d utiliser l propriété précédete : mdx f (x)dx Or lorsque l foctio est costte, so itégrle est le produit de cette costte pr l logueur de l itervlle d où : m( ) f (x)dx M( ) Mdx Cours Pge 8/10

10 Clcul d ire et itégrle Remrque Cette propriété est très utile cr elle permet d ecdrer ue itégrle que l o e sit ps clculer, il suffit de mjorer et de miorer l foctio à itégrer. VI Correctio de l ctivité d itroductio f (x k ) f (x k 1 ) x k 1 x k 1.. Comme le suggère le grphique, l foctio f étt croisste, pour tout k, 1 k, l ire A k est comprise etre l ire du petit rectgle et l ire du grd rectgle. Or ces deux rectgles ot pour lrgeur x k x k 1 = et pour logueur respective ( ) (k 1) 2 ( ) k 2 f (x k 1 )= et f (x k )=. ( ) (k 1) 2 O e déduit que : A k ( ) k 2. L ire A étt l somme des ires A k, pour k vrit de 1 à, il suffit d jouter memre à memre les iéglités précédetes, o otiet doc que pour tout 2 : ( ( ) ) 2+( 2 2 ( ) ( 1) 2 ) A ( ( ) ) 2+( 2 2 ( ) ) Motros pr récurece que pour tout etier > 0 : (+ 1)(2+ 1) =. Iitilistio : 1 2 = 1 et 1(1+1)(2 1+1) = 1, l propriété est vrie u rg le plus s. Hérédité : Supposos qu il existe ue certi etier tel que : (+ 1)(2+ 1) = doc (+ 1) 2 (+ 1)(2+ 1) = + (+ 1) 2 (+ 1)(2+ 1)+(+ 1)2 = = = (+ 1)( ) (+ 1)((+ 1)+1)(2(+ 1)+1) Or = = (+ 1)( ) Doc (+ 1) 2 (+ 1)((+ 1)+1)(2(+ 1)+1) = L propriété se trsmet u rg suivt. Coclusio : Pour tout etier > 0, (+ 1)(2+ 1) =. Cours Pge 9/10

11 Clcul d ire et itégrle ( ( ) 2 ( ) ( 1) 2 ) ( ( ) 2 ( ) ) 2 u = ) 2+( 2 v = ) 2+( 2. ( ) 3(1 u = ( 1) 2) ( ) 3 ( 1)(2 1) u = ( ) 3(1 v = ) ( ) 3 (+ 1)(2+ 1) v = u = 3 ( 1)(2 1) 3 v = 3 (+ 1)(2+ 1) 2 c. Pour clculer les limites des suites (u ) et (v ), il suffit de chercher l limite du quotiet des moômes de plus hut degré : lim u = lim = et lim + v = lim + 3 = d. Pour tout etier > 0, o : u A v E psst à l limite et e remrqut que A e déped ps de o otiet : A doc A = F est dérivle cr c est ue foctio polyôme et pour tout réel [ 0 ;+ [ o : F est doc ue primitive de f F ()= = 2 = f () Cours Pge 10/10