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1 Ce documen a éé numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la Base Naionale des Sujes d Examens de l enseignemen professionnel. Campagne 2013 Ce fichier numérique ne peu êre reprodui, représené, adapé ou radui sans auorisaion.

2 BREVET DE TECNICIEN SUPÉRIEUR COMPTABILITÉ ET GESTION DES ORGANISATIONS Session 2013 ÉPREUVE DE MATÉMATIQUES Durée : 2 heures Coefficien : 2 Maériel e documens auorisés : L usage des insrumens de calcul e du formulaire officiel de mahémaiques es auorisé. La claré du raisonnemen e la qualié de la rédacion inerviendron pour une par imporane dans l appréciaion des copies. Dès que le suje vous es remis, assurez-vous qu il es comple. Le suje compore 7 pages, numéroées de 1 à 7. L annexe page 7 es à rendre avec la copie. Le formulaire officiel de mahémaiques es join au suje. Il comprend 2 pages numéroées 1 e 2. Le suje compore 2 exercices indépendans qui seron raiés sur des copies séparées Coefficien : 2 Durée : 2 h page 1/7

3 Exercice n 1 (12 poins) L objecif de ce exercice es d uiliser une modélisaion du pourcenage de bacheliers en France enre 1951 e 1985 puis d en bâir une deuxième sur la période allan de 1985 à Parie A : éude d une foncion logisique. 33 Considérons la foncion f définie sur 0; par la relaion : f( x) 0,11x e On désigne par C la courbe représenaive de cee foncion dans un repère orhonormé. 1. On adme que f 0,11x lim e 0 x. En déduire lim f( x). Donner l inerpréaion graphique de ce résula. x 2. a) Calculer la dérivée f ' de la foncion f e monrer que pour ou x de 0;, f '( x) 5143, 71e 11417e 0,11x 0,11x b) En déduire le ableau des variaions comple de la foncion f sur Parie B : une foncion raionnelle Considérons mainenan la foncion g définie sur 85 ; par la relaion On donne ci-dessous le ableau des variaions comple de la foncion g. 2 0;. x 85 g'( x ) + 87,5 gx ( ) 29,4 85 ;. 1. Déerminer une primiive G de la foncion g sur l inervalle 2. Monrer que : g( x) dx 871ln 2187, gx ( ) 87,5. x En déduire une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de la foncion g sur l inervalle 85 ;110. Coefficien : 2 Durée : 2 h page 2/7

4 Parie C : modélisaion du pourcenage de bacheliers en France enre 1951 e Le pourcenage des bacheliers en France enre 1951 e 1985 e suivan une même classe d âge es rapporé dans le ableau n 1 : Tableau n 1 Année Rang pourcenage 5,3 7,4 12,5 19,6 20,1 23,7 24,6 25,9 29,4 Source : RERS, minisère de l éducaion naionale 1. a) On donne en annexe 1 à rendre avec la copie le racé du nuage de poins associé au ableau n 1. Consruire sur ce même dessin la représenaion graphique C de la foncion f éudiée parie A ainsi que l asympoe. La courbe C sera racée à parir de x 48. f On remplira au préalable le ableau de valeurs fourni dans cee même annexe (arrondir à 0,1). b) La foncion f modélise--elle convenablemen l évoluion du pourcenage de bacheliers sur la période ? 2. À parir de ce modèle, donner une prévision, en uilisan la parie A, de la proporion maximale de bacheliers en France dans les années suivanes. Parie D : modélisaion de la proporion de bacheliers en France de 1985 jusqu en À parir de 1985, sous l influence de faceurs divers, don la créaion du baccalauréa professionnel, la proporion de bacheliers en France par classe d âge augmene significaivemen. Le ableau n 2 en fourni quelques valeurs : Tableau n 2 : Année Rang Proporion en % 29,4 43,5 61,4 62,9 65,7 Source : RERS 2011, minisère de l éducaion naionale 1. Le modèle uilisé dans la parie C vous paraî-il fiable sur cee période? Jusifiez succincemen vore réponse. 2. On donne en annexe 2 le nuage de poins associé au ableau n 2 ainsi que le racé d une courbe qui approche au mieux ce nuage. Le logiciel sipule que la courbe es la représenaion graphique d une foncion g définie par la relaion a g( x) b avec a e b deux réels fixés. x 70 a) Exprimer g(85) e g (110) en foncion des réels a e b. f Coefficien : 2 Durée : 2 h page 3/7

5 b) En admean que la courbe associée à la foncion g passe par les poins de coordonnées (85 ; 29,4) e (110 ; 65,7), jusifier que les réels a e b vérifien le sysème (S) : a15b 441 a 40b 2628 c) Résoudre le sysème (S). On donnera les valeurs exaces de a e b. 3. On adme que la foncion g recherchée es celle fournie dans la parie B (les valeurs de a e b on éé arrondies). En vous aidan des résulas donnés dans la parie B : a) Donner une prévision du pourcenage maximal de bacheliers en France par classe d âge les années suivanes. b) Inerpréer par une phrase le résula obenu à la quesion 3. de la parie B. Exercice n 2 (8 poins) Les paries A e B son indépendanes. Parie A : Q.C.M. Ce exercice es un quesionnaire à choix muliple. Pour chaque iem, une seule des rois affirmaions proposées es vraie. Chaque réponse juse rappore un poin, chaque réponse fausse enlève 0,25 poin. Une absence de réponse ne rappore ni n enlève de poin. Si la somme des poins es négaive, elle es ramenée à zéro. 1. Chaque année, plusieurs dizaines de milliers de personnes emprunen les chemins de Sain Jacques de Composelle. Le ableau ci-dessous donne le nombre annuel de pèlerins arrivés à Composelle en Espagne depuis 2005 (année 2010 exclue). Année Rang de l année x Nombre de pèlerins y Source : bureau des pèlerins de Sain-Jacques de Composelle a) On adme que le nuage de poins associé à cee série saisique es reciligne. L équaion de la droie de régression de y en x associée à la série es : Réponse 1 : y 14664,4 x 87439,6 Réponse 2 : y 16697,2 x 79054,2 Réponse 3 : y 16502,6 x 85288,2 b) En 2010, le nombre de pèlerins enregisrés à Composelle fu de Le aux de variaion du nombre de pèlerins enregisrés par rappor au nombre héorique issu du modèle de la régression affine es approximaivemen égal à (arrondi à 0,1 %) : Réponse 1 : 69,6 % Réponse 2 : 41 % Réponse 3 : 1,7 % Coefficien : 2 Durée : 2 h page 4/7

6 2. En 2011, les pèlerins arrivan à Composelle on répondu à un quesionnaire leur demandan les principales moivaions de leur pèlerinage. Les réponses son les suivanes : 51 % l on fai pour des raisons culurelles e religieuses ; 43 % l on fai pour des raisons sricemen religieuses ; 6 % l on fai pour des raisons sricemen culurelles. De plus, on sai que 58 % des pèlerins son des hommes e 42 % des femmes. On choisi un pèlerin au hasard. On considère les événemens suivans : R : «le pèlerin choisi a fai le chemin pour des raisons sricemen religieuses» ; C : «le pèlerin choisi a fai le chemin pour des raisons sricemen culurelles» ; M : «le pèlerin choisi a fai le chemin pour des raisons culurelles e religieuses» ; : «le pèlerin choisi es un homme». Parmi les rois diagrammes proposés ci-dessous, lequel es un arbre de probabilié suscepible de décrire la siuaion donnée? Réponse 1 0,43 0,06 0,51 R C M 0,7 0,3 0,4 0,6 0,5 0,5 0,43 0,06 0,51 R C M Réponse 2 Réponse 3 0,8 0,2 0,5 0,5 0,1 0,9 0,43 0,06 0,51 R C M 0,2 0,2 0,2 0,1 0,18 0,12 Coefficien : 2 Durée : 2 h page 5/7

7 3. On considère la suie n Le erme w10 es égal à : w ainsi définie : Pour ou n N, w n 1 2w n 6 e w0 4. Réponse 1 : 12 Réponse 2: Réponse 3 : Parie B Tous les résulas de la parie B seron arrondis, si nécessaire, à 0,0001 près. En 2007, 38 % des Allemands venus en France le son pour des raisons professionnelles, e 62 % pour des raisons ourisiques ou personnelles. Soi X la variable aléaoire qui, à ou groupe de dix Allemands présens en France, associe le nombre de ceux venus pour des raisons professionnelles. On suppose que le nombre d Allemands venus en France es suffisammen grand pour assimiler le choix aléaoire de dix de ces Allemands à un irage avec remise. 1. Quelle loi sui la variable aléaoire X? Jusifier la réponse en précisan les paramères de la loi. 2. Dix Allemands se rerouven un soir dans une brasserie parisienne. a) Quelle es la probabilié que neuf d enre eux soien présens en France pour des raisons ourisiques ou personnelles? P X 1. Inerpréer le résula obenu. b) Déerminer la probabilié 3. Soi Y la variable aléaoire qui, à ou Allemand présen en France, associe la disance en km qu il aura parcourue pendan son séjour. On adme que Y sui la loi normale de moyenne m 2000km e d écar ype 550km. a) Déerminer PY 3200 e inerpréer, à l aide d une phrase, le résula obenu. b) Déerminer la probabilié qu un Allemand, choisi au hasard, parcoure en France une disance comprise enre km e km. Coefficien : 2 Durée : 2 h page 6/7

8 Annexe 1 à rendre avec la copie y Nuage de poins associé au ableau n x Tableau de valeurs x f (x) Annexe 2 Nuage de poins associé au ableau n 2 e courbe associée à la foncion g y x Coefficien : 2 Durée : 2 h page 7/7

9 FORMULAIRE DE MATÉMATIQUES BTS COMPTABILITÉ ET GESTION DES ORGANISATIONS 1. RELATIONS FONCTIONNELLES ln( ab) ln a ln b où a 0 e b 0 a ln a e, où a 0 exp( a b) exp a exp b ln e, où 0 2. CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL a) Limies usuelles Comporemen à l infini lim ln Comporemen à l origine limln lim e Si 0, lim 0 ; si 0 lim e 0 Si 0, lim ln 0 Si 0, lim ; si 0, lim 0 Croissances comparées à l infini e Si 0, lim Si 0, ln lim 0 b) Dérivées e primiives Foncions usuelles f() f '( ) ln 1 e e ( R*) 1 c) Calcul inégral Valeur moyenne de f sur [a, b] 1 b f ( ) d b a a u v u v ku ku uv u v uv 1 u 2 u u u uv uv 2 v v 0 Opéraions 0 v u v u u e u u e u Inégraion par paries : b b u( ) v( ) a a lim 0 u ln u, u à valeurs sricemen posiives u u u u 1 u ( ) v ( ) d u ( ) v ( ) d a b 3. PROBABILITÉS : a) Loi binomiale ( ) C k k n k P X k p q où n C k n n! k! n k! ; E( X ) np ; ( X ) npq Formulaire de mahémaiques CGMAT B.T.S.Compabilié e gesion des organisaions

10 b) Loi normale La loi normale cenrée réduie es caracérisée par la densié de probabilié ; f(x) = EXTRAITS DE LA TABLE DE LA FONCTION INTEGRALE DE LA LOI NORMALE CENTREE, REDUITE ^(0,1) n(/) = p(r</)= f f{x)ax 0 / ( 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , ,575 3 o;2 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4 0, , ,6628 0, , , , , , , ,5 0,6915 0, ,698 S 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0,788 I 0, , , , , , , , , ,9 0, , , , , , ,831 S 0, , , ,0 0, , ,846 I 0, , , , , , ,862 I 1,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , ,901 S u 0, , , , , , ,913 I 0, , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, ,934 5 ' 0, , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , ,959 I 0, , ,961* 6 0, , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , ,9761 0, ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , ,984 0, , , ,2 0, , , ,9871 0,9875 0, ,9881 0, , , , , , ,9901 0, , , ,9911 0, , ,4 0, , , ,992 S 0, , , , , , ,5 0, , , , ,994,5 0, , , , , ,6 0, , , , , , , ,996 2' 0, , ,7 0, , , , , , ,9971 0, ,9973 0, ,8 0, , ,9976 0, , , , , , , ,9 0, , , , , , , ,9985 0, ,998 6 TABLE POUR LES GRANDES VALEURS DE / 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,8 4,0 4,5 0, , ,9993! 0, , ri,m 76 0, , , , Noa: n(-f)=i-n(0 Formulaire de mahcinaiques CGMAT -2- B.T.S, Compabilié p gesion des organisaions