ANALYSE DE LA VARIANCE. Pierre-Louis GONZALEZ

Transcription

1 ANALYSE DE LA VARIANCE Perre-Lous GONZALEZ

2 ANALYSE DE LA VARIANCE Introducton Comparason des moyennes de pluseurs populatons Interprétaton statstque de résultats recuells à l ade d une stratége d expérmentaton (plans d expérence)

3 ÉLÉMENTS DE VOCABULAIRE Les facteurs contrôlés sont qualtatfs par nature : varété de blé type de béton méthode de mesure ou ben sont consdérés comme tels : pluseurs nveaux d une varable quanttatve (presson, température). Lorsqu l y a pluseurs facteurs, une combnason de nveaux est un tratement. L analyse de la varance présuppose un modèle probablste tradusant la manère d agr des facteurs, contrôlés ou aléatores sur l effet consdéré (varable quanttatve). 3

4 Modèle de type lnéare addffs Il retent l addtvté des effets moyens des facteurs contrôlés (et éventuellement de leurs combnasons ou nteractons) et la normalté de l erreur expérmentale. Prncpe d nterprétaton Comparer les moyennes des résultats relatfs aux nveaux (varantes) d un facteur à l erreur expérmentale. Test d hypothèse 4

5 z z z z z = x y z = xy y = y = y = x y = 05, y = 0 z = x + y z = x + y y = 0 x y = y = y = 0 x y = y = y = 0 x Interacton et lnéarté La relaton entre z et x dépend des valeurs prses par y : Il y a nteracton entre x et y. La relaton entre z et x est lnéare. Il y a toujours nteracton entre x et y. Les courbes z f( x) = sont seulement translatées lorsque y vare : Les nfluences de x et y sur z sont addtves. Il n y a pas d nteracton. Les nfluences de x et de y sur z sont addtves. De plus, les relatons sont lnéares. 5

6 ANALYSE DE LA VARIANCE INTERACTION A B j x jl x j x jn x j x j x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) x x = x x + x x + x x x x x x + x x j j j j j j S = S + S + S + S T A B AB r 6

7 X B X B B B A A A 3 A A A 3 Addtvté Interacton 7

8 ANALYSE DE LA VARIANCE À UN FACTEUR I LE MODELE A EFFETS FIXES - Présentaton Y : caractérstque quanttatve à étuder dans populatons Deux stuatons équvalentes :. Échantllons de talles n, n... n dans populatons.. Trage de échantllons ndépendants de talles n, n... n dans une populaton pour leur applquer tratements dstncts (d où populatons vrtuelles). On dt auss qu on étude un facteur à nveaux. 8

9 μ, μ μ les moyennes pour Y à chacun des nveaux. Objectf Test : H : μ = μ = = μ 0 H : j tq : μ μ et j 9

10 - Le modèle v.a. Y j = «réponse» du j ème «ndvdu» du nveau ( = ; j = n ) à à E ( Y j ) Var ( ) = μ Y j =σ ndépendant de Y j Ν ( μ ; σ) ou ε Y j = μ + j E ( j) ε = 0 Var ( ε j) ε j Ν ( 0 ; σ) = σ Les v.a. Y j sont toutes ndépendantes. 0

11 Reparamétrsaton n μ = μ = μ + α avec μ = n α = n = μ = moyenne globale = 0 α = effet du nveau du facteur Y j = μ + α + ε j ( ) H0 α = α = = α = 0 μ = μ S H 0 est rejetée, le problème se posera donc d estmer les μ (ou μ et les α ).

12 3 - Décomposton de la somme des carrés totale Notatons N= Y = = n n Y n j Y n j= N Y. = =

13 3 - Décomposton de la somme des carrés totale Y, Y, Y,, Y estmateurs sans bas de μ, μ, μ μ Y Y estmateur sans bas de α Y j Y «résdu» Identté : Yj Y = ( Y Y ) + ( Yj Y ) En élevant au carré et en sommant sur et j : n ( Yj Y ) = n( Y Y ) + ( Yj Y ) = j= = = j= somme des carrés totale = somme des carrés due au facteur + n somme des carrés résduelle SCT = SCF + SCR 3

14 4 - Test F pour H 0 On démontre ( ) ( ) E SCF = σ + n α E ( SCR) = ( N ) σ = Sous l hypothèse H 0 : ( ) = ( ) E SCF σ et SCF σ E ( SCR) = ( N ) σ SCR σ et SCF et SCR ndépendantes. χ χ N 4

15 Justfcaton Sous l hypothèse H 0, les Y j sont des varables de même lo. n ( Yj Y ) = j= σ χ N n ( Yj Y ) j= n σ ( Yj Y ) = j= σ χ n χ N 5

16 Concluson F = SCF / SCR / N Fsher (, N ) Le carré moyen résduel est alors un estmateur sans bas de σ. 6

17 TABLEAU D ANALYSE DE LA VARIANCE Source de varaton Somme de carrés d.d.l. Carrés moyens F Facteur Résdus SCF SCR N CMF = CMR = SCF SCR N CMF CMR Intutvement s on s élogne de H 0, alors on s attend à ce que CMF > CMR Rejet de H 0 s F > F (, N ) (rsque α ) α (quantle α de la lo de Fsher) 7

18 Remarques Le test est assez robuste par rapport à l hypothèse gaussenne. En partculer, on peut l utlser pour des fonctons de densté symétrques. Le test n est pas robuste par rapport à l hypothèse d homoscédastcté ( σ ndépendant de ). 8

19 II TEST D HOMOSCÉDASTICITÉ (comparason des varances). Test de Bartlett populaton Y j Ν ( μ σ ), H 0 : σ = σ = = σ H : et j tq : σ σ j Sot S = ( Yj Y ) n n j= et SCR = ( ) n S = varance emprque de la populaton 9

20 Le test de Bartlett est basé sur la statstque ( ) ( ) ( ln n S ) ln Q = N SCR N- = Intutvement : s S proches s S élognés Q 0 Q grand Q Bartlett a montré que où : h h = + 3 n N ( ) = sut asymptotquement une lo du h-deux à ( ) d.d.l. 0

21 . Test de Hartley Lorsque les effectfs des échantllons sont égaux, le test de Hartley permet de vérfer plus rapdement l hypothèse d égalté des varances : H : 0 σ = σ = = σ Ce test nécesste seulement le calcul du quotent des valeurs extrêmes : H obs S = S max mn H 0 est rejetée s Hobs H du nombre de degrés de lberté n ). α (valeurs dépendant du nombre d échantllons et Pour deux populatons, le test de Hartley est équvalent au test F. Sauf dans ce derner cas, ce test est mons sensble que le test de Bartlett (car l ne fat ntervenr explctement que les valeurs observées de deux échantllons). Comme le test de Bartlett, l est très sensble à la non normalté.

22 III COMPARAISONS MULTIPLES DE MOYENNES S l hypothèse H 0 d égalté des moyennes est rejetée, on se pose la queston : Quelles moyennes sont dfférentes? Comparason à des moyennes.

23 . Méthode de Student (LSD) Test de Student usuel mas avec pour estmateur de σ : CMR α H0 : "μ = μ j" s : Au rsque, on rejette l hypothèse Y N Yj t σ α + n n j Inconvénent: Cette méthode ne tent pas compte, au nveau du rsque α du nombre de comparasons effectuées. La méthode de Bonferron reméde à ce problème. 3

24 Remarque S tous les effectfs des classes sont égaux ( n = n = = n = J) l expresson précédente se smplfe : Y Y j t N α σ J P.P.D.S. P.P.D.S. = Plus pette dfférence sgnfcatve (en anglas L.S.D. : Least sgnfcant dfference). 4

25 . Méthode de Bonferron La méthode de Bonferron consste à fxer le rsque utlsé dans un test de Student usuel, en tenant compte du nombre de comparasons effectuées. α Test de Student usuel, mas avec pour estmateur de σ : CMR α H0 : "μ = μ j" Au rsque, on rejette l hypothèse s : Y N Yj t σ α + n n j On détermne α, à utlser lors d un test de Student, de façon à contrôler le rsque d erreur global: α* = Proba (au mons une égalté est rejetée à tort) 5

26 Calcul du rsque d erreur α α = Probalté (au mons une égalté est rejetée à tort) = Prob (aucune égalté rejetée à tort) ( ) Du fat que l on effectue tests par pares : α ( α) ( ) S on exge α C l sufft que : (cas de tests ndépendants) ( ) ( α ) c c ( ) ( α ) 6

27 q ( α) qα α [, ] 0 q Comme pour l sufft que : c ( ) α α c / ( ) Exemple : = 5 α 0, 0 00, chosr α = 0 00, 7

28 3. Méthode de Scheffé Au rsque global α, on rejette l hypothèse : H 0 : μ = μ j s : ( ) (,N ) Y ˆ Y j F σ + α n n j où σ = SCR N 8

29 Pratque On peut tester smultanément tous les couples en calculant tout d abord : K = F ( ) (,N ) α et on vérfe ensute s : Y Yj > K σ + n n j S ou : μ μ j 9

30 4. Méthode de Tuey Au rsque α, on rejette l hypothèse : s : où q H μ = μ j 0 : " " n n,n j σ + α Y Y q,n α est le fractle α ˆ j de l étendue studentsée (cf tables) Q W = σ ou W = Max( Y) Mn( Y) quand on dspose de r observatons ndépendantes Y... Y r provenant d une dstrbuton normale. 30

31 5. Comparason des méthodes La méthode de Tuey est plus sensble à la détecton de pettes dfférences entre couples de moyennes que la méthode de Scheffé. La méthode de Tuey est préférable à celle de Bonferron quand on souhate effectuer toutes les comparasons. Au contrare, s l on n effectue que certanes comparasons, préférer la méthode de Bonferron. 3

32 6. Tests de contrastes Défntons. Contraste (, ) c c c = = = foncton lnéare c μ tq c. Les contrastes (, ) et ( d, d d ) dts orthogonaux s : c c c 0 sont cd = 0 n = 3. Somme des carrés du contraste (,, ) SC c L = cy n = = L = c c c 3

33 Proposton Soent L, L,, L des contrastes orthogonaux deux à deux. Alors SCF = SCL + SCL + + SC L et les SCL sont mutuellement ndépendants (sous H 0 ) Intérêt : possblté de parttonnement de la somme des carrés due aux tratements en contrastes d ntérêt partculer et tests correspondants. 33

34 Test de H L : c μ = 0 0 = Sous H : 0 c Y Ν = cμ ; σ = = c n σ = = cy c n = SC σ L χ à d.d.l. Statstque de test SCL F, N CMR ( ) 34

35 VI ANALYSE DE VARIANCE NON PARAMÉTRIQUE. Test sur les rangs (Krusal-Walls) Seule hypothèse : pour les populatons, la varable observée est de même lo à une translaton près, lo contnue. Fonctons de répartton ( μ ), F ( μ ) F( μ ) Fx x x On veut tester : H H : μ = μ = = μ 0 : les μ pas tous égaux 35

36 Les Y j sont remplacés par leurs rangs R j ( ) SCF* = n R R où R = = N + n ( j ) SCT* = R R = = j= ( + ) ( N ) N N non aléatore S H 0 est vrae : ECMF ( *) = SCT* N Statstque du test : KW = SCF* NN = ( + ) / NN ( + ) = nr ( N )

37 S pour tout n 5 KW approx. ( ) χ sous l hypothèse H 0 ( K ) rejet de s au nveau H0 KW > χ α α Remarques En cas d ex-aequo pour les Y j : règle du rang moyen S l exste n < 5 vor tables approprées KW peut s employer pour tester : H 0 : toutes les los sont dentques H : pas toutes dentques KW à conseller s l on suspecte des valeurs aberrantes 37

38 Exemple «Durée de fonctonnement entre deux pannes pour tros ordnateurs» Rang Rang Rang A B C Moyenne 8, 4,8,0 KW = 5 6 { ( ) ( ) ( ) } 5 8, + 5 4, , 3 6= 4, 8 38

39 Pour α = 0 % ( ) χ 090, =, 46 Concluson : on rejette H0 les temps moyens écoulés entre deux pannes sont dfférents. Pour α=5% ( ) χ 095, =,