Asie juin 2013 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Partie A a. Partie B Partie C EXERCICE 2 6 points Commun à tous les candidats

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1 Asie ji 03 Das l esemble d sjet, et por chaqe qestio, tote trace de recherche même icomplète, o d iitiative même o frctese, sera prise e compte das l évalatio EXERCICE 5 poits Comm à tos les cadidats Das cet exercice, les probabilités serot arrodies a cetième U grossiste achète des boîtes de thé vert chez dex forissers Il achète 80 % de ses boîtes chez le forisser A et 0 % chez le forisser B 0 % des boîtes proveat d forisser A présetet des traces de pesticides et 0 % de celles proveat d forisser B présetet assi des traces de pesticides O prélève a hasard e boîte d stock d grossiste et o cosidère les évèemets sivats : évèemet A : «la boîte proviet d forisser A» ; évèemet B : «la boîte proviet d forisser B» ; évèemet S : «la boîte présete des traces de pesticides» Tradire l éocé sos forme d arbre podéré a Qelle est la probabilité de l évèemet B S? b Jstifier qe la probabilité qe la boîte prélevée e présete ace trace de pesticides est égale à 0,88 3 O costate qe la boîte prélevée présete des traces de pesticides Qelle est la probabilité qe cette boîte proviee d forisser B? Le gérat d salo de thé achète 0 boîtes chez le grossiste précédet O sppose qe le stock de ce derier est sffisammet importat por modéliser cette sitatio par tirage aléatoire de 0 boîtes avec remise O cosidère la variable aléatoire X qi associe à ce prélèvemet de 0 boîtes, le ombre de boîtes sas trace de pesticides Jstifier qe la variable aléatoire X sit e loi biomiale dot o précisera les paramètres Calcler la probabilité qe les 0 boîtes soiet sas trace de pesticides 3 Calcler la probabilité q a mois 8 boîtes e présetet ace trace de pesticides À des fis pblicitaires, le grossiste affiche sr ses plaqettes : «88 % de otre thé est garati sas trace de pesticides» U ispecter de la brigade de répressio des frades sohaite étdier la validité de l affirmatio À cette fi, il prélève 50 boîtes a hasard das le stock d grossiste et e trove avec des traces de pesticides O sppose qe, das le stock d grossiste, la proportio de boîtes sas trace de pesticides est bie égale à 0,88 O ote F la variable aléatoire qi, à tot échatillo de 50 boîtes, associe la fréqece des boîtes e coteat ace trace de pesticides Doer l itervalle de flctatio asymptotiqe de la variable aléatoire F a seil de 95 % L ispecter de la brigade de répressio pet-il décider, a seil de 95 %, qe la pblicité est mesogère? EXERCICE 6 poits Comm à tos les cadidats O cosidère les foctios f et g défiies por tot réel x par : f (x) = e x et g(x) = e x Les corbes représetatives de ces foctios das repère orthogoal d pla, otées respectivemet C f et C g, sot fories e aexe Ces corbes semblet admettre dex tagetes commes Tracer ax miex ces tagetes sr la figre de l aexe Das cette partie, o admet l existece de ces tagetes commes O ote D l e d etre elles Cette droite est tagete à la corbe C f a poit A d abscisse a et tagete à la corbe C g a poit B d abscisse b a Exprimer e foctio de a le coefficiet directer de la tagete à la corbe C f a poit A b Exprimer e foctio de b le coefficiet directer de la tagete à la corbe C g a poit B c E dédire qe b = a Démotrer qe le réel a est soltio de l éqatio : (x ) e x + = 0 O cosidère la foctio φ défiie sr par : φ(x) = (x ) e x + a Calcler les limites de la foctio φ e et + b Calcler la dérivée de la foctio φ, pis étdier so sige c Dresser le tablea de variatio de la foctio φ sr Préciser la valer de φ(0) a Démotrer qe l éqatio φ(x) = 0 admet exactemet dex soltios das b O ote α la soltio égative de l éqatio φ(x) = 0 et β la soltio positive de cette éqatio À l aide d e calclatrice, doer les valers de α et β arrodies a cetième

2 Partie D Das cette partie, o démotre l existece de ces tagetes commes, qe l o a admise das la partie B O ote E le poit de la corbe C f d abscisse et F le poit de la corbe C g d abscisse ( est le ombre réel défii das la partie C) Démotrer qe la droite (EF) est tagete à la corbe C f a poit E Démotrer qe (EF) est tagete à C g a poit F Aexe à redre avec la copie Exercice EXERCICE 3 4 poits Comm à tos les cadidats Les qatre qestios de cet exercice sot idépedates Por chaqe qestio, e affirmatio est proposée Idiqer si chace d elles est vraie o fasse, e jstifiat la répose Ue répose o jstifiée e rapporte ac poit Das les qestios et, le pla est rapporté a repère orthoormé direct ( O ;, v ) O cosidère les poits A, B, C, D et E d affixes respectives : 3 a = + i, b = 3 + i, c = + i 3, d = + i et e = + ( + 3 ) i Affirmatio : les poits A, B et C sot aligés Affirmatio : les poits B, C et D appartieet à même cercle de cetre E 3 Das cette qestio, l espace est mi d repère ( O ; i, j, k ) O cosidère les poits I( ; 0 ; 0), J(0 ; ; 0) et K(0 ; 0 ; ) x t Affirmatio 3 : la droite D de représetatio paramétriqe y 6 t où t, cope le pla (IJK) a poit E ;; z t 4 Das le cbe ABCDEFGH, le poit T est le milie d segmet [HF] E H T F G D C Affirmatio 4 : les droites (AT) et (EC) sot orthogoales A B

3 EXERCICE 4 5 poits Cadidats ayat pas choisi l eseigemet de spécialité O cosidère la site ( ) défiie par : 0 = et, por tot etier atre : + = 3 3 O admet qe tos les termes de cette site sot défiis et strictemet positifs Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : > a Établir qe, por tot etier atrel, o a : + = ( ) ( ) 3 b Détermier le ses de variatio de la site ( ) E dédire qe la site ( ) coverge O cosidère la site ( ) défiie par : 0 = et, por tot etier atre : + = 0,5 0,5 O admet qe tos les termes de cette site sot défiis et strictemet positifs O cosidère l algorithme sivat : Etrée Soit etier atrel o l Iitialisatio Affecter à la valer Traitemet et sortie POUR i allat de à Affecter à la valer 0,5 0,5 Afficher FIN POUR Reprodire et compléter le tablea sivat, e faisat foctioer cet algorithme por = 3 Les valers de serot arrodies a millième i 3 Por =, o a prologé le tablea précédet et o a obte : i ,0083 0,9973,0009 0,9997,000 0,99997,0000 0,999996,00000 Cojectrer le comportemet de la site ( ) à l ifii 3 O cosidère la site (v ) défiie, por tot etier atrel, par : v = a Démotrer qe la site (v ) est géométriqe de raiso 3 b Calcler v 0 pis écrire v e foctio de 4 a Motrer qe, por tot etier atrel, o a : v b Motrer qe, por tot etier atrel, o a : = v v c Détermier la limite de la site ( ) EXERCICE 4 5 poits Cadidats ayat choisi l eseigemet de spécialité U logiciel permet de trasformer élémet rectaglaire d e photographie Aisi, le rectagle iitial OEFG est trasformé e rectagle O E F G, appelé image de OEFG L objet de cet exercice est d étdier le rectagle obte après plsiers trasformatios sccessives Figre

4 Le pla est rapporté à repère orthoormé ( O ; i, j ) Les poits E, F et G ot por coordoées respectives ( ; ), ( ; 5) et ( 3 ; 3) La trasformatio d logiciel associe à tot poit M(x ; y) d pla le poit M (x 5 3 x' x y ; y ), image d poit M tel qe : 3 5 y ' x y Figre a Calcler les coordoées des poits E, F, et G, images des poits E, F et G par cette trasformatio b Comparer les logers OE et OE d e part, OG et OG d atre part x' x Doer la matrice carrée d ordre, otée A, telle qe : A y ' y Das cette partie, o étdie les coordoées des images sccessives d sommet F d rectagle OEFG lorsq o appliqe plsiers fois la trasformatio d logiciel O cosidère l algorithme sivat destié à afficher les coordoées de ces images sccessives Ue errer a été commise Modifier cet algorithme por q il permette d afficher ces coordoées O a obte le tablea sivat : Etrée Saisir etier atrel o l N Iitialisatio Affecter à x la valer Affecter à y la valer 5 Traitemet POUR i allat de à N Affecter à a la valer 5 x 3 y Affecter à b la valer 3 x 5 y Affecter à x la valer a Affecter à y la valer b FIN POUR Sortie Afficher x, afficher y i x,5 7,5 5,65 3,85 63, , ,9999 y 5,5 8,75 6,375 3,875 64, , ,000 Cojectrer le comportemet de la site des images sccessives d poit F Das cette partie, o étdie les coordoées des images sccessives d sommet E d rectagle OEFG O défiit la site des poits x x E (x ; y ) d pla par E 0 = E et la relatio de récrrece : A, où (x + ; y + ) désiget les coordoées d y y poit E + Aisi x 0 = et y 0 = O admet qe, por tot etier, la matrice A pet s écrire sos la forme : A = Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : α = + et = a Démotrer qe, por tot etier atrel, le poit E est sité sr la droite d éqatio y = x x O porra tiliser qe, por tot etier atrel, les coordoées (x ; y ) d poit E vérifiet : A y b Démotrer qe la loger OE ted vers + qad ted vers +

5 EXERCICE 5 poits Comm à tos les cadidats CORRECTION S 0, A 0,9 0,8 S 0, S 0, B 0,8 a P( B S ) = 0, 0,8 = 0,6 b P( S ) = P( A S ) + P( B S ) = 0,8 0,9 + 0,6 = 0,88 3 P ( B S ) 0, 0, P S (B) = P ( S ) 0,88 3 S O a e sccessio de 0 expérieces aléatoires idetiqes et idépedates, chace d elles a dex isses : réssite : la boîte est sas trace de pesticides (p = 0,88) échec : la boîte est pas sas trace de pesticides (q = 0,) doc X sit e loi biomiale de paramètres (0 ; 0,88) P(X = 0) = 0,88 0 soit eviro 0,8 3 P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 0) soit eviro 0,89 (o povait assi dire qe P(X 8) = P(X 7)) = 50, p = 50 0,88 = 44 et ( p) = 50 0, = 6 doc les coditios d applicatios sot vérifiées L itervalle de flctatio asymptotiqe de la variable aléatoire F a seil de 95 % est : 0, 88 0, 0, 88 0, 0,88,96 ; 0,88,96 soit eviro [ 0,78 ; 0,98 ] (predre e valer approchée par défat de la bore ifériere de l itervalle et e valer approchée par excès de la bore spériere de l itervalle) Por l échatillo, la fréqece des boîtes e coteat ace trace de pesticides est f = 0,76 50 f I 50 et f < 0,78 L échatillo est pas représetatif de ce q aoce le grossiste L ispecter de la brigade de répressio pet décider qe la pblicité est mesogère

6 EXERCICE 6 poits Comm à tos les cadidats a f (x) = e x doc le coefficiet directer de la tagete à la corbe C f a poit A est e a b g (x) = e x doc le coefficiet directer de la tagete à la corbe C g a poit B est e b c Les dex tagetes sot cofodes doc lers coefficiets directers sot égax doc e a = e b doc a = b soit b = a Ue éqatio de la tagete e A à C f est y = f (a) (x a) + f (a) soit y = e a (x a) + e a Cette droite passe par B de coordoées (b ; g(b)) avec b = a doc B a por coordoées ( a ; e a ) doc e a = e a ( a a) + e a soit e a = a e a + e a soit + a e a e a = 0 Le réel a est soltio de l éqatio : (x ) e x + = 0 a lim x e x = + et lim x = + doc lim φ(x) = + x x φ(x) = x e x e x + or lim x x e x = 0 et lim x e x = 0 doc lim x φ(x) = b ( x) ( x ) '( x) doc φ (x) = e x + (x ) e x = x e x x x v ( x) e v '( x) e La foctio expoetielle est strictemet positive sr doc f (x) a le même sige qe x c φ(0) = e 0 + = x 0 + f (x) f a Sr l itervalle ] ; 0 ], la foctio est cotie et strictemet décroissate, lim φ(x) = et φ(0) =, 0 [ ; [ x doc, l éqatio φ(x) = 0 possède e iqe soltio sr ] ; 0 ] Sr l itervalle ] 0 ; + [, la foctio est cotie et strictemet croissate, lim φ(x) = + et φ(0) =, 0 [ ; + [ doc x l éqatio φ(x) = 0 possède e iqe soltio sr ] 0 ; + [ L éqatio φ(x) = 0 admet exactemet dex soltios das b (,68) > 0 et (,67) > 0 doc,68 < α <,67 de même (0,76) < 0 et (0,77) > 0 doc 0,76 < β < 0,77 Partie D La tagete e E à la corbe C f a por éqatio y = e (x ) + e, cette droite passe par E par défiitio de la tagete F est le poit de coordoées ( ; e ) Si x = et y = e, alors y F [ e (x F ) + e ] = ( e ) [ e ( ) + e ] = e e + = ( ) e + or est soltio de (x) = 0 doc ( ) e x + = 0 doc y F [ e (x F ) + e ] = 0 soit y F = e (x F ) + e F appartiet à la tagete e E à la corbe C f La droite (EF) est cofode avec la tagete à la corbe C f a poit E La tagete e F à la corbe C g a por éqatio y = e (x + ) + e, cette droite passe par F par défiitio de la tagete E est le poit de coordoées ( ; e ) Si x = et y = e, alors y E [ e (x E + ) + e ] = e [ e ( + ) + e ] = e + e = [ ( ) e + ]

7 or est soltio de (x) = 0 doc ( ) e x + = 0 doc y E [ e (x E + ) + e ] = 0 soit y E = [ e (x E + ) + e E appartiet à la tagete e F à la corbe C g La droite (EF) est cofode avec la tagete à la corbe C g a poit F La droite (EF) est tagete comme à C f et à C g EXERCICE 3 4 poits Comm à tos les cadidats Affirmatio : VRAIE Por motrer qe les poits A, B et C sot aligés, il sffit de motrer q il existe réel k tel qe AB affixes, réel k tel qe : b a = k (c a) b a = 3 i et c a = + i ( 3 ) = i ( 3 ) k AC doc e égalat les c a a por partie réelle et b a a por partie réelle 3, or k (c a) a por réelle k doc si k existe k = + 3 ( + 3 ) (c a) = ( + 3 ) + i ( + 3 ) ( 3 ) or ( 3 ) ( + 3 ) = 3 = ( + 3 ) (c a) = 3 i doc ( + 3 ) (c a) = (b a) doc AB ( 3 ) AC, les poits A, B et C sot aligés O povait assi calcler b a c a et motrer qe le résltat était réel k, o arrivait alors à b a = k (c a) d où le résltat Affirmatio : FAUSSE EB = 3 + i + ( + 3 ) i = 3 i ( + 3 ) y EB = ( 3 ) ( 3 ) EC = + i 3 + ( + 3 ) i = i = 3 3 d e = i doc ED =, ED EB E C A B D 3 Affirmatio 3 : VRAIE Le pla (IJK) a por éqatio x + y + z = doc a por vecter ormal ( ; ; ) Soit E ;;, x E + y E+ z E = doc E P Cherchos le poit d itersectio de D et de P Les coordoées de ce poit sot de la forme ( t ; 6 t ; + t) x + y + z = t + 6 t + t = 6 t doc 6 t = doc t = 5 o Le poit d itersectio de D et de P a por coordoées ;; doc est le poit E 4 Affirmatio 4 : VRAIE AT EC = ( AE + ET ) ( EG + GC ) = AE EG + AE GC + ET EG + ET GC Soit a = AB alors AT EC = 0 a + 0 a doc AT EC = 0, les droites (AT) et (EC) sot orthogoales

8 EXERCICE 4 5 poits Cadidats ayat pas choisi l eseigemet de spécialité Motros par récrrece qe por tot etier atrel, o a : > Iitialisatio : 0 = doc 0 >, la propriété est vérifiée por = 0 Hérédité : Motros qe por tot etier atrel, si > alors + > + = 3 = or > doc + > 0 soit + > La propriété est héréditaire doc por tot etier atrel, > a + = 3 3 = 3 = ( ) ( ) Por tot etier atrel, + = ( ) ( ) 3 3 b Por tot etier atrel, > doc < 0 doc + < 0 doc la site ( ) est strictemet décroissate La site ( ) est décroissate miorée par doc coverge Apparemmet lim = i 3 0,8,077 0,976 3 O cosidère la site (v ) défiie, por tot etier atrel, par : v = a v + = or + = 0,5 0,5 et + + =,5 0,5 doc v + = 0,5 0,5,5 3 0,5 v + = 3 v doc la site (v ) est géométriqe de raiso 3 b v 0 = 3 doc v = a Por tot etier atrel, o a : v = doc v 3 b v = doc v ( + ) = ( ) v = v v = + v ( v ) = + v Por tot etier atrel, v doc por tot etier atrel, o a : = v v c < 3 < doc lim 3 = 0 soit lim v = 0, por tot etier atrel, o a : = v v doc lim = EXERCICE 4 5 poits Cadidats ayat choisi l eseigemet de spécialité a 5 3 x' E a por coordoées soit (4 ; 4) 3 5 y ' de même F a por coordoées (,5 ; 5,5) et G a por coordoées (,5 ;,5) b OE = + = 8 doc OE =, OE = doc OE = 4 = OE OG = ( 3) + 3 doc OG =3 OG = (,5) +,5 doc OG =,5, OG = OG La trasformatio e coserve pas les logers, i e les mltiplie par même ombre

9 5 3 x' 3 5 y ' 4 4 x' x doc A y ' y avec A = L algorithme est destié à afficher les coordoées de ces images sccessives, or l algorithme proposé e permet d obteir qe le derier terme N, il fat doc itégrer das la bocle «Por», l affichage de x et de y Etrée Saisir etier atrel o l N Iitialisatio Affecter à x la valer Affecter à y la valer 5 Traitemet POUR i allat de à N Affecter à a la valer 5 x 3 y Affecter à b la valer 3 x 5 y Affecter à x la valer a Affecter à y la valer b Afficher x, Afficher y FIN POUR Sortie Apparemmet les coordoées de F tedet vers + et le poit se rapproche de la droite d éqatio y = x Motros qe, por tot etier atrel, o a : α = + et = Iitialisatio : si =, 5 + = = 0 et 3 = = 0 La propriété est vérifiée por = Hérédité : motros qe, por tot etier atrel, o a : α = + et =, alors : α + = + et + = A + = A A = = doc + = 5 3 et + = α = + et = 5 3, doc + = = doc + = = = 4 4 doc = + = = La propriété est héréditaire doc, por tot etier atrel, o a : α = + et = a Por tot etier atrel, x = + et y = + doc x = y doc por tot etier atrel, le poit E est sité sr la droite d éqatio y = x b OE = x + y = 4 ( + ) + 4 ( + ) = 8 ( + ) + = = doc + = + > 0 doc OE = ( + ) OE = + > doc lim = + doc lim OE = +