Dire qu un entier naturel est premier signifie qu il admet deux diviseurs : un et lui-même.

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1 Vdoune Termnale S Chaptre spé Arthmétque PPCM et nombres premers Nombre premer Dre qu un enter naturel est premer sgnfe qu l admet deux dvseurs : un et lu-même. Zéro est-l un nombre premer? Un est-l un nombre premer? Justfer vos deux réponses. Deux est-l un nombre premer? Justfer votre réponse. Qu en est-l des autres nombres pars? Cter les sept premers nombres premers. Nombre composé Tout enter naturel non premer, dstnct de un, admet au mons un dvseur premer. On propose c-dessous la démonstraton par l absurde de ce résultat : Consdérons un enter n qu ne sot pas premer. Cela sgnfe que l ensemble des dvseurs de n content, n et forcément d autres éléments dont on extrat le plus pett que l on nomme p. Ans p n et p dvse n. Hypothèse : p n est pas premer. Il exste alors un enter d tel que d p et tel que d dvse p. A ce moment là, par transtvté ( d dvse p et p dvse n ) nous pouvons dre que d dvse n. On a donc trouvé un dvseur de n plus pett que p ce qu est en contradcton avec le fat que p est le plus pett dvseur de n. On en dédut que l hypothèse est fausse et par conséquent p est premer. Ensemble nfn Il exste une nfnté de nombres premers. On propose c-dessous la démonstraton par l absurde de ce théorème : Hypothèse : l exste un nombre fn de nombres premers p; p;...; p. On consdère le nombre a p p... p qu est un enter strctement supéreur à. Par conséquent l admet forcément un dvseur premer p prs dans l ensemble p; p;...; p. Evdemment p dvse p p... p mas l dvse auss a p p... p par conséquent l dvse toute combnason lnéare de ces deux nombres donc p dvse. Cec est mpossble pusque p est premer. On en dédut que l hypothèse est fausse et par conséquent l exste une nfnté de nombres premers. Actvtés Page

2 Vdoune Termnale S Chaptre spé Arthmétque PPCM et nombres premers Le crble d Eratosthène Il s agt d une méthode permettant de détermner tous les nombres premers nféreurs à un nombre donné. On raye tous les multples de deux supéreurs à deux, pus tous les multples de tros supéreurs à tros, les multples de cnq supéreurs à cnq, les multples de sept supéreurs à sept Détermner tous les nombres premers nféreurs à cent. Crtère de prmalté Sot n un enter naturel supéreur ou égal à deux. S n n est pas premer alors l exste un nombre premer p Lmter les essas n qu dvse n. Sot n un enter naturel supéreur ou égal à deux. La proprété proposée c-dessous permet de lmter le nombre d opératons dans la détermnaton du caractère premer d un enter. S n n est dvsble par aucun nombre premer p nféreur à n alors n est premer. A l ade d un crble d Eratosthène et du crtère de prmalté détermner tous les nombres premers nféreurs à 50. Détermner les nombres premers dans chacune des lstes proposées c-dessous : 76, 77, 78, 79, 80, 8, 8, , 374, 375, 376, 377, 378, 379, , 64, 643, 644, 645, 646, 647, Ecrre un algorthme permettant de détermner en un mnmum d opératons s un nombre enter est premer ou non. Programmer l algorthme. Vérfer les réponses de l exercce précédent. Autre exercce d applcaton drecte Sot p un enter naturel premer. On consdère P p le produt des enters naturels premers nféreurs ou égaux à p. Démontrer que les p enters naturels P, P 3, P 4, et P p ne sont pas premers. En dédure un exemple d une lste de dx enters consécutfs non premers. Actvtés Page

3 Vdoune Termnale S Chaptre spé Arthmétque PPCM et nombres premers Décomposton en produt de facteurs premers Sot n un enter naturel tel que n. Ce nombre peut se décomposer sous la forme n p p... p. Dans cette décomposton les nombres p, p,, p sont des nombres premers tels que p p... p et les nombres, sont des enters naturels non nuls. Cette décomposton est unque. Décomposer le nombre a 43 en produt de facteurs premers. Quel est le plus pett enter naturel par lequel l faut multpler a pour obtenr un carré? Pour un multple de mlle? Dans chaque cas, décomposer le nombre donné en produt de facteurs premers : b 70, c 309, d et e. Quel est l exposant de dans la décomposton en facteurs premers de f 7! ? Décomposer le nombre g 8648 en produt de facteurs premers. Quel est le plus grand enter naturel dont le cube dvse le nombre g? Décomposer le nombre h 970 en produt de facteurs premers. En dédure les quatre enters naturels dont le cube dvse le nombre h. Sot x et y deux enters naturels tels que 3 x x y 970 E. Détermner tous les couples x; y d enters naturels solutons de E. Ensemble des dvseurs Sot n un nombre enter naturel supéreur ou égal à deux dont le décomposton est n p p... p. L ensemble des dvseurs de n est l ensemble des enters d s écrvant sous la forme d p p... p où les nombres, sont des enters naturels tels que 0, 0,, 0. Le nombre de dvseurs naturels de n est... car tout dvseur peut s écrre sous la forme d p p... p et chaque nombre peut prendre les valeurs entères de 0 à. Décomposer le nombre a en produt de facteurs premers. En dédure tous les dvseurs de a. Décomposer le nombre b 484 en produt de facteurs premers. En dédure tous les dvseurs de Détermner le nombre de dvseurs du nombre c Détermner le nombre de dvseurs du nombre d Actvtés Page 3

4 Vdoune Termnale S Chaptre spé Arthmétque PPCM et nombres premers Plus grand commun dvseur Sot a et b deux enters naturels supéreurs ou égaux à deux. Le PGCD de a et b est égal au produt des facteurs premers communs aux décompostons de a et b, chacun d eux étant affectés du plus pett exposant avec lequel l fgure dans la décomposton de a et Ans, s a p p... p et s b p p... p où p, p,, p sont des nombres premers, où, ans que, sont des enters naturels éventuellement nuls, on a : avec PGCD a; b p p... p mn ; pour tout. Calculer dans chaque cas PGCD a; b : a 5 et b 35 a 386 et b 546 a 4000 et b a 3 37 et Représentaton graphque 4 b a et b x y On consdère l ensemble des nombres z 3 où x et y désgnent des enters naturels. Dans le plan orthonormé, on représente le nombre z par le pont M de coordonnées x; y. On dt que M est l mage de z. Où est l mage de? Où sont les mages des nombres x? Des nombres 3 y? Des pussances de 6? On consdère deux enters naturels a 3456 et b Construre dans un repère les mages A et B de ces deux nombres. Représenter graphquement l ensemble des dvseurs de a. Représenter graphquement l ensemble des dvseurs de En dédure la poston de D mage de d PGCD a; Plus pett commun multple L ensemble des multples strctement postfs communs à deux enters naturels non nuls n est pas vde pusque leur produt en fat parte. Par conséquent l exste dans cet ensemble un multple commun à ces deux nombres plus pett que les autres. Ce nombre est appelé le plus PPCM a; pett commun multple de a et de b et sera noté Le ; PPCM a b est égal au produt de tous les facteurs premers présents dans l une ou l autre des décompostons de a et b, chacun d eux étant affectés du plus grand exposant avec lequel l fgure dans la décomposton de a et Actvtés Page 4

5 Vdoune Termnale S Chaptre spé Arthmétque PPCM et nombres premers Ans, s a p p... p et s b p p... p où p, p,, p sont des nombres premers, où, ans que, sont des enters naturels éventuellement nuls, on a : avec PPCM a; b p p... p max ; pour tout On dspose de rectangles de dmensons 6 cm et 4 cm. Quelle est l are du plus pett carré que l on peut former avec ces rectangles? Deux cyclstes effectuent des tours de pste. Le premer met 3 mn 8 secondes pour effectuer un tour. Le second met 3 mn et 45 secondes pour effectuer le même tour. Ils partent ensemble sur la lgne de départ. Au bout de comben de temps se retrouveront-ls sur cette lgne de départ? Détermner dans chaque cas PPCM a; b : a et b 303 a 56 et b 5040 a 793 et b a 3 5 et b a et b a et b 5 5 n n 7 7 n n Représentaton graphque On consdère deux enters naturels a 3456 et b Construre dans un repère (vor actvté précédente) les mages A et B de ces deux nombres. Représenter graphquement l ensemble des multples de a. Représenter graphquement l ensemble des multples de En m PPCM a; dédure la poston du pont M mage de Homogénété S on multple deux enters naturels non nuls a et b par un même enter naturel non nul alors leur PPCM est lu auss multplé par. On a donc l égalté suvante : ; ; PPCM a b PPCM a Détermner PPCM ;5. En dédure quels sont tous les enters naturels comprs entre 6500 et 8500 qu ont pour reste dans les dvsons eucldennes par 0 et par 50. Détermner 6;0 PPCM. En dédure quels sont tous les enters naturels comprs entre 8000 et 9000 qu ont pour reste 40 dans les dvsons eucldennes par 60 et par 00. Actvtés Page 5

6 Vdoune Termnale S Chaptre spé Arthmétque PPCM et nombres premers Proprété Le produt de deux enters naturels non nuls est égal au produt de leur PGCD et de leur PGCD a; b PPCM a; b a PPCM. Cette relaton s écrt de la façon suvante : Conséquence S a et b sont premers entre eux alors PPCM a; b a Cette proprété est mmédate pusque la défnton de deux nombres premers entre eux est PGCD a; b. Deux enters naturels consécutfs ont un PPCM égal à 90. Détermner ces deux enters. Sot n un enter naturel. On consdère les nombres a3n et bn. Par combnason ; PPCM a; lnéare, détermner PGCD a b, pus en dédure Sot a et b deux enters naturels non nuls. On note d PGCD a; b et m PPCM a; b Dans chacun des cas suvants, détermner les enters a et b :. d 7 et m 84 d 4 et m 40 d 8 et m 90 Problème On veut remplr la boîte B (paralléléppédque de type l l L ) avec des cubes tous dentques dont l arête a est un enter naturel non nul (les cubes devant remplr complètement la boîte B sans lasser d espace vde. Dans cette queston, l 88 et L 945. Quelle est la plus grande valeur possble pour a? Quelles sont toutes les valeurs possbles pour a? Dans cette queston, le volume de la boîte B est v On sat que pour remplr la boîte B, la plus grande valeur possble de a est. Montrer qu l y a exactement deux boîtes B possbles dont on donnera les dmensons. On veut remplr une casse cubque C, dont l arête c est un enter naturel non nul, avec des boîtes B toutes dentques telles que décrtes à la queston (les boîtes B, emplées vertcalement, dovent remplr complètement la casse C sans lasser d espace vde). Dans cette queston, l 88 et L 945. Quelle est la plus pette arête c pour la casse C? Quel est l ensemble de toutes les valeurs possbles pour l arête c? Dans cette queston, le volume de la boîte B est v On sat que la plus pette arête possble pour la casse C est 05. Quelles sont les dmensons l et L de la boîte B? Actvtés Page 6