Philippe BIENAIME Actuaire I.S.F.A., GPA Laboratoire de Sciences Actuarielle et Financière, I.S.F.A., Université Claude Bernard Lyon 1

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1 SYSTEMES BOUS-MALUS Phlppe BIEAIME Acuare I.S.F.A., GPA Laboraore de Scences Acuarelle e Fnancère, I.S.F.A., Unversé Claude Bernard Lyon ahale RICHARD GPA Laboraore de Scences Acuarelle e Fnancère, I.S.F.A., Unversé Claude Bernard Lyon Résumé : Après avor rappelé les ravaux BESSO J.L. e PARTRAT C. (99 sur les sysèmes Bonus-Malus, une exenson es proposée. Elle perme, pour des produs mulgaranes, de enr compe des snsralés propres à chacune des garanes. La modélsaon proposée pour les fréquences de snsres repose sur les los Posson-mélange mulvarées. En oure, ce sysème perme d négrer les évenuelles varaons de snsralés moyennes au cours du emps. Mos clés : Sysèmes Bonus-Malus ; Los Posson-mélange mulvarées ; Lo Posson- Gamma Mulvarée ; Lo Posson-Inverse Gaussenne mulvarée Deux méhodes de arfcaon son courammen ulsées par les assureurs : la arfcaon a pror : l assureur essae de prévor, dès l enrée d un nouvel assuré, sa snsralé fuure, la arfcaon a poseror : le arf nal de l assuré es adapé, au cours de la ve de son conra, à sa snsralé ndvduelle. Généralemen, une arfcaon a pror repose sur une segmenaon du porefeulle : on cherche à classer les assurés en foncon de leur rsque poenel. Pour cela, l s ag de séleconner des crères de arfcaon qu soen pernens e commercalemen ulsables. A l ssue de la segmenaon, l assureur dspose de classes homogènes d assurés (homogènes au sens où les varables aléaores du nombre e du monan des snsres de ous les assurés d une même classe son équdsrbuées. Dans la sue de ce arcle, nous supposerons que nous nous suons dans une elle classe, C. Cependan, pusque seuls les crères de arfcaon commercaux peuven êre prs en compe, au sen de chaque classe, l demeure une héérogénéé résduelle. C es à ce nveau qu nerven la arfcaon a poseror : afn de enr compe de l héérogénéé résduelle au sen de la classe C, on peu nrodure une arfcaon basée sur l hsorque du nombre de snsres de chaque assuré. Cee arfcaon peu prendre la forme d un sysème Bonus-Malus. Dans un premer emps, nous allons exposer les résulas des ravaux de BESSO J.L. e PARTRAT C. : en effe, ls on raé le cas d un sysème Bonus-Malus pour un produ à une garane. Ils prennen en compe la varaon endancelle de la fréquence BULLETI FRAÇAIS D ACTUARIAT, Vol.,, pp. -9

2 Ph. BIEAIME &. RICHARD moyenne annuelle de snsres au cours du emps. Ils ulsen, pour modélser cee fréquence, les los Posson-Gamma e Posson-Inverse Gaussenne. PARTRAT C., quan à lu, rae le cas d un produ à deux garanes sans prendre en compe, cependan, les varaons endancelles des snsralés. La lo ulsée es la lo Posson-Gamma bvarée. Dans un second emps, nous proposons une exenson des sysèmes cés cdessus : nous allons supposer que le produ que nous devons arfer es mulgaranes. ous ulserons donc les los Posson-Gamma mulvarée e Posson-Inverse Gaussenne mulvarée. ous endrons égalemen compe des varaons endancelles des fréquences moyennes annuelles de snsres assocées à chacune des garanes. I. LES TRAVAUX DE BESSO J.L. ET PARTRAT C. (99 A. SYSTEME BOUS-MALUS UIVARIE Le sysème Bonus-Malus présené dans cee premère pare concerne les produs à une garane. Il perme de enr compe de la snsralé passée de chaque assuré dans le calcul de sa prme : l repose sur la fréquence de snsres. Dans un premer emps, nous allons présener les los de probablé reenues pour modélser les fréquences de snsres. Pus, nous décrrons le sysème Bonus-Malus, c esà-dre le modèle mahémaque dans lequel l s nscr e les résulas qu l perme d obenr.. Les los de fréquence de snsres On suppose que quel que so l assuré chos dans la classe C, sa fréquence de snsres su une lo de Posson de paramère λ. Ce derner es l espérance du nombre de snsres e mesure donc le rsque poenel de chaque assuré. Ans fare l hypohèse d une lo de Posson, c es fare l hypohèse d une classe homogène au sens du rsque poenel des assurés. Cec es en conradcon avec l exsence d une héérogénéé résduelle au sen de la classe C. La lo de Posson ne conven donc pas. L ulsaon des los Posson-mélange perme, grâce à l nroducon d une varable de srucure, de reméder à ce problème de modélsaon : on suppose que la varable su une lo de Posson don le paramère λ es une réalsaon d une varable aléaore posve Λ qu on appelle varable de srucure. On suppose, en oure, que cee dernère adme une densé h. De manère plus formelle : - noaon : / Λ λ ~ > P( λ - lo de probablé : P( n P( n / Λ λ h( λ e λ n λ h( λdλ n! dλ

3 - momens : E ( E( Λ e Var( E( Λ + Var( Λ on remarque que E ( < Var( de la classe C. SYSTEMES BOUS-MALUS 3 ce qu révèle ben un phénomène d héérogénéé au sen Deux los on éé ulsées : les los Posson-Gamma e Posson-Inverse Gaussenne. - h( λ - E ( a. La lo Posson-Gamma On noe ~ > PG( r, β / Λ λ ~ > P( λ avec Λ ~ > γ( r, β r β λ Γ r β r βλ e ( r ~ > PG r, β ~ > B r, Remarque : ( + β - ( λ b. La lo Posson-Inverse Gaussenne On noe ~ > PIG( µ, β / Λ λ ~ > P( λ e Λ ~ > IG( µ, β µ πβλ ( λ µ e h βλ 3 - E ( µ Remarque : la lo Inverse Gaussenne Généralsée ( ν, µ β X ~ > IGG,, µ >, β > x ν β f - densé : ( x, x exp µ x + β x ν µ µ Kν β où Kν es la foncon de Bessel de 3 ème espèce modfée - E( X µ µ Kν+ β µ Kν β

4 4 Ph. BIEAIME &. RICHARD. Le modèle On noe S le monan cumulé des snsres, alors S X avec varable aléaore du nombre de snsres e X varable aléaore du coû du ème snsre. On suppose que : - e X son ndépendanes, * - {, *} La prme pure es alors E ( S E( m. On consdère (,...,, X es un..d. de moyenne m. + le veceur représenan les fréquences de snsres des (+ dernères années. On suppose que : - les v.a.r.,...,, + son, condonnellemen en Λ, ndépendanes. -,..., +, / Λ λ > ( ν λ pour P. ~ Ans, condonnellemen à la connassance du rsque poenel de l'assuré, les fréquences de snsres suven une lo de Posson don le paramère dépend de l'année de survenance des snsres. Cela perme de prendre en compe l'évoluon de la fréquence de snsres au cours du emps. L'nroducon du paramère ν es donc la formalsaon mahémaque de ce que nous avons appelé varaon endancelle de la fréquence moyenne de snsres au cours du emps. ous appellerons aux de varaon de la fréquence moyenne de snsres au cours du emps, ce paramère ν. a ν. On noe : ( ν 3. Les coeffcens de réducon-maoraon On consdère une polce de la classe C : le veceur aléaore (,..., fréquences de snsres des dernères années a pour réalsaon ( n,,n l événemen (,...,. n n de ses L. On noera V Le prncpe du sysème Bonus-Malus es de enr compe de cee nformaon pour «corrger» la prme pure a pror de la (+ ème année. A cee fn, nous calculons un coeffcen de réducon-maoraon de la prme pure, C+ ( n, L,n, qu n es aure que le rappor enre la prme pure a poseror E( S+ / V e la prme pure a pror E( S+, exprmé en pourcenage. E ( ( S+ / V C+ n,...,n E( S + Les hypohèses du modèle permeen de monrer que :

5 Pour calculer E( / SYSTEMES BOUS-MALUS 5 C + ( n,...,n E ( Λ / V E( Λ Λ V, l fau connaîre la lo de la varable Λ V, or : h Λ /V ( λ ( λ P( V / Λ λ ( y P( / Λ y h h V dy / Pusque ( / Λ λ λa ( ν P V e n λ ν n! ( n, on oben : Remarque : la lo de / V h h( λ λa ( ν n e λ Λ ( /v λ. ( ( ν n h y ya e y dy Λ ne dépend de la snsralé passée, ( n,...,n, que par le nombre oal de snsres n, l en donc de même du coeffcen de réducon-maoraon. L applcaon aux los Posson-Gamma e Posson-Inverse Gaussenne donne les résulas suvans. d où : E( / V a. La lo Posson-Gamma Grâce au derner résula du paragraphe précéden, on monre que : r + n β + a Λ ( ν on en dédu donc : C+ ( n,...,n Λ V ~ > γ r + n, β + a ( ν / n + r a + β ( ν b. La lo Posson-Inverse Gaussenne De même que précédemmen, on monre que :

6 6 Ph. BIEAIME &. RICHARD Λ / V ~ > IGG n, µ ( + βa ( ν, β( + βa ( ν µ K n + + β ( ν / a µ β d où : E( Λ / V + βa ν µ ( K / + βa ( ν n β on en dédu donc : µ K ( n + + β ν / a ( β C+ n,...,n + βa ( ν µ K / + βa ( ν n β B. SYSTEME BOUS-MALUS BIVARIE PARTRAT C. a abordé, en 99, le cas des produs à deux garanes don chacune a une fréquence de snsres qu lu es propre. Il s ag donc de consrure un sysème Bonus-Malus bvaré. L archecure de cee pare sera la même que celle de la pare A, c es-à-dre : présenaon des los reenues pour la modélsaon les fréquences de snsres, pus mse en place du sysème Bonus-Malus e enfn calcul effecf des coeffcens de réduconmaoraon.. Les los de fréquence de snsres Le modèle chos es le modèle Posson-mélange à ndépendance condonnelle de Greenwood e Hull. C es la ransposon au cas bvaré du modèle Posson-mélange ulsé ( dans le cas unvaré. Il nécesse une hypohèse supplémenare : s e ( son les fréquences de snsres des deux garanes consdérées, alors, condonnellemen à la ( connassance du rsque poenel, les varables e ( son ndépendanes. On suppose que la varable de srucure, Λ, adme une densé h. De manère plus formelle : - noaon : ( / Λ λ ~> P ( λ e ( / Λ λ ~> P ( aλ avec a > e ( condonnellemen à Λ, e ( son ndépendanes. - lo de probablé : P ( d ( ( ( ( ( n, n P n, n / Λ λ h( λ λ n aλ n e λ (aλ e n! n! h( λdλ λ

7 SYSTEMES BOUS-MALUS 7 - momens : E( ( E( Λ E( ( ae( Λ Var ( E Λ + Var Λ Var ( ae Λ + a Var Λ avec : ( ( ( ( (, ( avar( Λ Cov. Le modèle On noe S le monan cumulé des snsres, alors : X ( (,,X ( ( On suppose que : S S + S ( ( X + ( ( X ( ( ( : varables aléaores du nombre de snsres des deux garanes : varables aléaores du coû du ème snsre des deux garanes La prme pure es alors : ( S E ( On consdère ( (, (,...,( (, ( -, ( e X ( * son ndépendanes, -, ( X ( es un..d. de moyenne m ( - X ( e X ( k son ndépendanes, e k ( (.m + E( (.m ( E + + le veceur aléaore représenan les fréquences de snsres des (+ dernères années. On suppose que : - les veceurs ( (, (,..., + son, condonnellemen en Λ, ndépendans. - pour,...,q, ( / Λ λ ~ > P( λ ( / Λ λ ~ > P ( aλ On remarque que ce modèle ne perme pas, à l nsar du modèle unvaré, de enr compe de l évoluon des fréquences de snsres au cours du emps. 3. Les coeffcens de réducon-maoraon On consdère une polce de la classe C : le veceur aléaore ( (, (,...,( (, ( réalsaon ( ( (,...,( ( ( n,n n,n C des fréquences de snsres des dernères années a pour. On noera A l événemen ( ( ( ( n, ( n, K, ( ( n (, ( n ( Comme précédemmen, le coeffcen de réducon-maoraon ( ( ( ( ( (n,n,...,(n,n + es le rappor enre la prme pure a poseror E( S / A prme pure a pror ( E S+, exprmé en pourcenage, donc : + e la

8 8 C Ph. BIEAIME &. RICHARD ( ( ( ( ( E ( S+ / A (n,n,...,(n,n + ( De la même manère que dans le cas unvaré, les hypohèses du modèle permeen de monrer que : ( ( ( ( ( E ( Λ / A C+ (n,n,...,(n,n E Λ or P A Il fau donc déermner la lo de h Λ / Λ ( λ ( / Λ λ d'où : h Λ /A ( λ ( A / Λ λ h( λ ( / Λ y h( y P A P dy Λ / A : n ( + a ( + ( (n n a λ ( n!n λ e h ( λ λ ( + a e h( y e y ( ( a (n y + + ( ( (n + n λ ( n dy Remarque : la lo de Λ / A ne dépend de la snsralé passée ( ( n,n,, K n,n que ( ( par le nombre oal de snsres ( + n n, l en es donc de même pour les coeffcens. ( (! E S + ( ( ( ( ( de réducon-maoraon. Dans le cas bvaré PARTRAT C. ne s es néressé qu à la lo Posson-Gamma bvarée. En ulsan les résulas précédens, on monre que : Λ / A ce qu enraîne : E( / A ( ( ( ~ > γ r + + n n, β + ( + a r + ( ( ( n n + Λ, β + ( + a, e nous perme d obenr le coeffcen de réducon-maoraon suvan : C + ( ( ( n + n + ( ( (,...,( ( n,n n,n ( r. ( + a + β

9 II. SYSTEMES BOUS-MALUS 9 LE SYSTEME BOUS-MALUS MULTIVARIE ore bu, c, es de proposer une généralsaon des deux modèles précédens en consrusan un sysème Bonus-Malus adapé à un produ mul-garanes. Il en compe de la fréquence de snsres propre à chaque garane, e pour chacune de ces fréquences, l nègre son évenuelle évoluon au cours du emps en nrodusan des aux de varaon des fréquences moyennes de snsres. A. LES LOIS DE FREQUECE DE SIISTRES ous avons généralsé le modèle Posson-mélange à ndépendance condonnelle ulsé dans le cas bvaré. On consdère (,, L, q, les varables aléaores des fréquences de snsres des dfférenes garanes consdérées. On fa l hypohèse suvane : condonnellemen à la connassance du rsque poenel, les varables (,, L, q, son ndépendanes. On suppose que la varable aléaore de srucure des rsques poenels au sen de la classe C, Λ, adme une densé h. De manère plus formelle : - noaon : / Λ λ ~ > P( λ avec {, L,q} P ( a a > e la convenon a ( d ( (q ( ( (q n, L, nq P n, L, nq / Λ λ h( λ - momens : pour,...,q, E( ( a E( Λ Var ( a E Λ + a Cov q a λ a n e h( λ ( ( Var( Λ ( (, ( a a Var( Λ B. LE MODELE n n! q q λ On noe S le monan cumulé des snsres, alors : la varable aléaore du nombre de snsres de la ème garane e du coû du ème snsre de la ème garane. Les hypohèses son les suvanes : - ( e X ( son ndépendanes,k dλ q q ( S ( ( S X avec,...,q e, l λ ( X ( la varable aléaore

10 - - Ph. BIEAIME &. RICHARD ( es un..d. de moyenne m ( ( X ( e X ( k X son ndépendanes l q [ ( (.m ] La prme pure es alors : E( S E ( [( ( ( ( ] On consdère ( ( q,...,,..., q +,..., + le veceur aléaore représenan les fréquences de snsres des + dernères années. On suppose que : - les veceurs ( (,, (q -, ( Λ λ > ( / ~ P a ν λ L,..., + son, condonnellemen en Λ, ndépendans. ν es le aux de varaon, d une année à l aure, de la fréquence moyenne de snsres de la ème garane C. LES COEFFICIETS DE REDUCTIO-MAJORATIO On consdère une polce de la classe C : le veceur aléaore ( (,, (q,...,( (,, ( q L réalsaon ( (, (q,...,( ( n,n n, ( q L,n ( ( (, ( q n, ( q n, K, ( ( n (, L, ( q n ( q L des nombres de snsres des dernères années a pour L. On noera R l événemen L. Le coeffcen de réducon-maoraon es ouours défn par : C ( ( E ( ( S / R, (q,..., ( n,n n, ( q + L L,n + ( e les hypohèses du modèle nous permeen, là encore, de monrer que : hλ / R or P R ( λ C + E S + ( ( E ( Λ / R (n, L (q (,n,...,(n, ( q L,n Il fau donc déermner la lo de ( R / Λ λ h( λ ( / Λ y h( y P R P ( / Λ λ, dy Λ / R : ( ( ( q n q q a a e n ( d'où : ν λ ν λ n! E ( Λ

11 h q q ( ( λ h λ a ν λ n e Λ /R ( λ ( (. q q y a ν h y n e y dy SYSTEMES BOUS-MALUS Remarque : la lo de Λ / R ne dépend de la snsralé passée q ( ( n, L ( q,n, K, ( n (,,n ( q ( que par le nombre oal de snsres n, l en es donc de L même pour le coeffcen de réducon-maoraon. L applcaon aux los Posson-Gamma mulvarée ( (, ( q L, ~ > PGm( a, L,aq,r,β e Posson-Inverse Gaussenne mulvarée (, L ( q, ~ > PIGm a, L,a, µ, β donne les résulas suvans. ( ( que : Λ C La formule q. La lo Posson-Gamma muvarée q q > γ ( + R ~ r n, β + a ν ( λ q q λ ( h a ν λ n e hλ /R ( λ ( ( nous perme de monrer q q y a ν h y n e y dy / d où E( Λ / R On en dédu donc que : ( n + ( ( ( q ( ( ( q n, L,n,..., n, L,n r q a ν + β + q r + ( n q β + a ν q. La lo Posson-Inverse Gaussenne mulvarée De même que précédemmen, on peu monrer que : Λ / R q ~ > IGG ( n, µ q + β a ν q, β + β a ν

12 Ph. BIEAIME &. RICHARD d où : E ( Λ / R on en dédu donc que : ( ( ( q ( ( q C n, L,n, K, n, L,n + [ ( ] q ( µ K n + µ β q ( µ + q β a ν K n β q ( µ K n + β q ( µ + q β a ν K n β q + β a ν q + β a ν q + β a ν q + β a ν., III. APPLICATIOS UMERIQUES oaons : es le nombre d années d observaon e Σn es le nombre oal de snsres observés duran ces années. ν es le aux de varaon de la fréquence moyenne de snsres d une année sur l aure. Les ableaux e c-dessous conennen les coeffcens C + en foncon de e de Σn, pour ν égal à,9394 e une varable de srucure don la moyenne es,56877 e la varance, Tableau : Coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma. \ Σn

13 SYSTEMES BOUS-MALUS 3 Graphque : C + en foncon de e de Σn pour une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma (ableau. C Σn Tableau : Coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Inverse Gaussenne. \ Σn

14 4 Ph. BIEAIME &. RICHARD Graphque : C + en foncon de e de Σn pour une modélsaon de la fréquence de snsres par un lo Posson-Inverse Gaussenne (ableau. C Σn On peu remarquer une grande smlaré enre les coeffcens obenus par chacune des deux modélsaons proposées. Cependan l exse des dfférences que le ableau 3 e le graphque 3 permeen de meux cerner. Le ableau 3 c-dessous conen les dfférences relaves observées enre les ableaux e 3. Tableau 3 : Dfférences relaves enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne. \ Σn

15 SYSTEMES BOUS-MALUS C Coeffcen obenu avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma. C Coeffcen obenu avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Inverse Gaussenne. Dfférence relave (C - C / C Graphque 3 : Dfférences relaves enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne en foncon de e de Σn (ableau 3. C Σn A propos des ableaux e, on remarque que : pour une durée d observaon donnée ( fxé, les coeffcens augmenen avec le nombre de snsres ( n. Cee suaon es évdene : plus un assuré a eu de snsres au cours de la durée d observaon consdérée, plus sa probablé d en avor d aures es mporane e par conséquen plus sa prme es élevée ; pour un nombre de snsres donné ( n fxé, les coeffcens dmnuen quand la durée d observaon augmene. Cee suaon es ou auss évdene que la précédene. Quan au ableau 3, on remarque que pour un nombre de snsres ( n fable, les dfférences relaves enre les coeffcens obenus à parr de chacune des los son rès fables. Lorsque le nombre de snsres augmene ces dfférences s accenuen. D aure par, pour un nombre de snsres fxé, les dfférences relaves augmenen quand la durée

16 6 Ph. BIEAIME &. RICHARD d observaon dmnue. En fa, la dfférence relave augmene avec le nombre de snsres par uné de emps ( n /. Les ableaux 4 e 5 c-dessous conennen les coeffcens C + en foncon de ν e de Σn, pour une durée d observaon,, égale à 5 e une varable de srucure don la moyenne es,56877 e la varance, Tableau 4 : Coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma. ν \ Σn Graphque 4 : C + en foncon de ν e de Σn pour une modélsaon de la fréquence de snsres par un lo Posson-Gamma (ableau 4.

17 SYSTEMES BOUS-MALUS 7 C ν Tableau 5 : Coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Inverse Gaussenne. ν \ Σn Graphque 5 : C + en foncon de ν e de Σn pour une modélsaon de la fréquence de snsres par un lo Posson-Inverse Gaussenne (ableau 5. Σn

18 8 Ph. BIEAIME &. RICHARD C Σn ν Comme lors de la premère analyse des coeffcens de réducon-maoraon en foncon de e de Σn, on peu remarquer une grande smlaré enre les coeffcens obenus par chacune des deux modélsaons proposées. Cependan, l exse des dfférences que le ableau 6 e le graphque 6 permeen de meux cerner. Le ableau 6 c-dessous conen les dfférences relaves observées enre les ableaux 4 e 5. Tableau 6 : Dfférences relaves enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne ν \ Σn

19 SYSTEMES BOUS-MALUS 9 Graphque 6 : Dfférences relaves enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne en foncon de ν e de Σn (ableau 6. C ν Σn A propos des ableaux 4 e 5, on remarque que : comme nous l avons déà consaé auparavan, les coeffcens augmenen avec le nombre de snsres (pour une valeur de ν fxée. pour un nombre de snsres fxé, les coeffcens augmenen quand le aux de varaon, ν, dmnue. En effe, un aux de varaon fable (< sgnfe une dmnuon de la fréquence moyenne de snsres au cours du emps. Ans pour un nombre de snsres donné, le malus augmene quand ν dmnue car la endance de l ensemble des assurés es d avor mons de snsres. De la même façon, le bonus des assurés non snsrés dmnue (c es à dre : le coeffcen de réducon-maoraon des assurés non snsrés augmene. De même, un aux de varaon élevé (> sgnfe une augmenaon de la fréquence moyenne de snsres. Ans, pour un nombre fxé de snsres, le malus dmnue quand ν augmene pusque la endance de l ensemble des assurés es d avor plus de snsres. De la même façon, le bonus des assurés non snsrés augmene. Quan au ableau 6, on remarque, comme pour le ableau 3, que pour un nombre de snsres fable, les dfférences relaves enre les coeffcens obenus à parr de chacune des los son rès fables (pour une valeur de ν fxée. D aure par pour un nombre de snsres fxé, lorsque le aux de varaon dmnue, la dfférence relave augmene.

20 Ph. BIEAIME &. RICHARD oaons : Esp e Var son, respecvemen, l espérance e la varance de la varable de srucure de la lo Posson-mélange qu modélse la fréquence de snsres. Les ableaux 7 e 8 c-dessous conennen les coeffcens C + en foncon de Esp e de (Var/Esp², pour ν égal à,9394, égal à 5 e Σn égal à. Tableau 7 : Coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma. (Coeffcens de BOUS Var/Esp² Esp % % % % % % % % % % Graphque 7 : C + en foncon de Esp e de Var/Esp² pour une modélsaon de la fréquence de snsres par un lo Posson-Gamma (ableau 7. (Coeffcens de Bonus

21 SYSTEMES BOUS-MALUS C % 8.% 6.5% 5.% 3.5%.%.5% 9.% 7.5% Esp 6.% 4.5% 3.% Var/Esp² Tableau 8 : Coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Inverse Gaussenne. (Coeffcens de Bonus Var/Esp² Esp % % % % % % % % % % Graphque 8 : C + en foncon de Esp e de Var/Esp² pour une modélsaon de la fréquence de snsres par un lo Posson-Inverse Gaussenne (ableau 8. (Coeffcens de Bonus

22 Ph. BIEAIME &. RICHARD C %.% 6.5% 5.% 9.5% 8.% % 4.5% 6.% 7.5% 9.%.5% Esp Var/Esp² Une nouvelle fos on peu remarquer une grande smlaré enre les coeffcens obenus par chacune des deux modélsaons proposées. Cependan l exse des dfférences que le ableau e le graphque permeen de meux cerner. Tableau 9 : Coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma. (Coeffcens de Malus Var/Esp² Esp % % % % % % % % % % Graphque 9 : C + en foncon de Esp e de Var/Esp² pour une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma (ableau 9. (Coeffcens de Malus

23 SYSTEMES BOUS-MALUS 3 C + Var/Esp² Esp % 4.% 5.% 6.% 7.% 8.% 9.%.%.%.% 3.% 4.% 5.% 6.% 7.% 8.% 9.%.%.5. Les ableaux 7 e 8 concernen les coeffcens à applquer aux assurés non snsrés e qu bénéfcen donc d un bonus. On remarque que :

24 4 Ph. BIEAIME &. RICHARD les coeffcens de réducon-maoraon dmnuen (c es-à-dre que le bonus augmene lorsque la fréquence moyenne de snsres augmene (pour Var/Esp² fxé. Cela sgnfe, ou à fa logquemen, que, dans une classe d assurés don la fréquence moyenne de snsres es mporane, l assuré non snsré bénéfce d une dmnuon de prme plus mporane que s l fa pare d une classe d assurés don la fréquence moyenne de snsres es plus fable. le rappor Var/Esp² mesure l héérogénéé résduelle de la classe d assurés consdérée. Les coeffcens de réducon-maoraon dmnuen quand l héérogénéé augmene (pour une fréquence moyenne de snsres donnée. Cela sgnfe que plus la classe es héérogène plus les assurés non snsrés auron une dmnuon de prme mporane (bonus. Ce phénomène s accenue lorsque, en plus d êre héérogène, la classe d assurés a une fréquence moyenne de snsres mporane. Le ableau 9 concerne les coeffcens à applquer aux assurés ayan eu un snsre e qu on donc un malus. Il es consru avec les coeffcens obenus en ulsan la lo Posson-Gamma pour la modélsaon. S on remplaça cee dernère par la lo Posson- Inverse Gaussenne ou encore s on consdéra des assurés ayan eu pluseurs snsres, l analyse qu su sera la même. On remarque que : les coeffcens de réducon-maoraon dmnuen (c es-à-dre que le malus dmnue lorsque la fréquence moyenne de snsres augmene (pour Var/Esp² fxé. Cela sgnfe que dans une classe d assurés don la fréquence moyenne de snsres es élevée, l assuré, qu a eu un snsre, a une augmenaon de prme mons mporane que s l fa pare d une classe d assurés don la fréquence moyenne de snsres es plus fable. d aure par, à l nverse des coeffcens de bonus, les coeffcens de malus augmenen avec l héérogénéé (pour une fréquence moyenne de snsres donnée. Ce phénomène s accenue lorsque la fréquence moyenne de snsres es fable. Le ableau c-dessous conen les dfférences observées enre les ableaux 7 e 8. C Coeffcen obenu avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma (Tableau 7. C Coeffcen obenu avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Inverse Gaussenne (Tableau 8. Dfférence C - C Tableau : Dfférences enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne. (Coeffcens de Bonus unquemen (Σn.

25 SYSTEMES BOUS-MALUS 5 Var/Esp² Esp % % % % % % % % % % Graphque : Dfférences enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne en foncon de Esp e de Var/Esp² (ableau. C % 8.% 6.5% 5.% 3.5%.%.5% Var/Esp².8. 3.% 9.% 7.5% 6.% 4.5% Esp Le ableau c-dessous conen les dfférences observées enre les ableaux 9 e le même ableau obenu avec une modélsaon par une lo Posson-Inverse Gaussenne.

26 6 Ph. BIEAIME &. RICHARD Tableau : Dfférences enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne. (Coeffcens de Malus unquemen (Σn. Var/Esp² Esp % % % % % % % % % % Graphque : Dfférences enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne en foncon de Esp e de Var/Esp² (ableau. C % 4.% 5.% 6.% 7.% 8.% 9.%.%.%.% 3.% 4.% 5.% 6.% 7.% 8.% 9.%.% Var/Esp² Esp Le ableau c-dessous conen les dfférences observées enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne. Ces dfférences son exprmées en foncon de Esp e de Var/Esp², pour un nombre de snsre, Σn.

27 SYSTEMES BOUS-MALUS 7 Tableau : Dfférences enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne. (Coeffcens de Malus unquemen (Σn. Var/Esp² Esp % % % % % % % % % % Graphque : Dfférences enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne en foncon de Esp e de Var/Esp² (ableau. C Var/Esp² % 8.% 6.5% 5.% 3.5%.%.5% 9.% 7.5% Esp 6.% 4.5% 3.% Le ableau 3 c-dessous conen les dfférences observées enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne. Ces dfférences son exprmées en foncon de Esp e de Var/Esp², pour un nombre de snsre, Σn 5.

28 8 Ph. BIEAIME &. RICHARD Tableau 3 : Dfférences enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne. (Coeffcens de Malus unquemen (Σn 5. Var/Esp² Esp % % % % % % % % % % Graphque 3 : Dfférences enre les coeffcens obenus avec une modélsaon de la fréquence de snsres par une lo Posson-Gamma e une lo Posson-Inverse Gaussenne en foncon de Esp e de Var/Esp² (ableau 3. C Esp Var/Esp² Le ableau concerne les coeffcens à applquer aux assurés non snsrés e qu bénéfcen donc d un bonus. On remarque que :

29 SYSTEMES BOUS-MALUS 9 oues les dfférences son négaves, ce qu sgnfe que les coeffcens obenus en ulsan la lo Posson-Gamma son nféreurs à ceux obenus à parr de la lo Posson-Inverse Gaussenne. Un assuré non snsré aura donc un bonus plus avanageux s la lo de fréquence de snsres es modélsée à parr d une lo Posson-Gamma. d aure par, les dfférences enre les deux modélsaons augmenen avec l héérogénéé résduelle de la classe consdérée (la fréquence moyenne de snsres éan fxée. Ce phénomène es d auan plus mporan que la fréquence moyenne de snsres es grande. Le ableau concerne les coeffcens à applquer aux assurés ayan eu un snsre e qu on donc un malus. On remarque que : à l nverse de la suaon où l assuré n es pas snsré, oues les dfférences son posves. En effe s la lo Posson-Gamma perme d accorder un bonus plus néressan aux assurés non snsrés que la lo Posson-Inverse Gaussenne, elle es en revanche plus sévère en ce qu concerne les malus. d aure par, comme pour le ableau, les dfférences enre les deux modélsaons augmenen avec l héérogénéé résduelle de la classe d assurés. Le ableau concerne les coeffcens à applquer aux assurés ayan eu snsres. On remarque que : cee fos les dfférences son posves ou négaves. Lorsque la fréquence moyenne de snsres es mporane, c es la lo Posson-Gamma qu donne les coeffcens de malus les plus désavanageux, alors que pour une fréquence moyenne de snsres fable, c es la lo Posson-Inverse Gaussenne qu es la plus sévère. d aure par, les dfférences augmenen, cee fos encore, avec l héérogénéé résduelle de la classe d assurés. Le ableau 3 concerne ouours les coeffcens à applquer en cas de malus, pour un nombre de snsres plus mporan ( n 5. On remarque que : Concluson les coeffcens obenus à parr de la lo Posson-Inverse Gaussenne son plus mporans que ceux obenus à parr de la lo Posson-Gamma. La lo Posson-Inverse Gaussenne es une modélsaon qu pénalse plus les assurés ayan un nombre mporan de snsres. Cee remarque va dans le même sens que ce qu ava éé observé dans le cas précéden. on consae ouours l augmenaon des dfférences lorsque l héérogénéé croî. L éape suvane, dans la mse en place de ce sysème Bonus-Malus, es l applcaon à des données. En effe, l va fallor calculer les esmaeurs des los

30 3 Ph. BIEAIME &. RICHARD mulvarées afn de pouvor, ensue, procéder à l adéquaon des los ulsées aux données. D aure par, l sera ceranemen néressan d ulser des los à plus de deux paramères pour la varable de srucure du rsque : par exemple, la lo Inverse Gaussenne Généralsée. REFERECES BESSO J.L. e PARTRAT C., Trend e sysème de Bonus-Malus, 99, ASTI Bullen, Vol., BIEAIME P. e RICHARD., Fréquence de snsres e Bonus-Malus, 998, Mémore d acuara, Insu des Scences Fnancère e d Assurances KOCHERLAKOTA S. e KOCHERLAKOTA K., Bvarae dscree dsrbuons, 99, Marcel Dekker PARTRAT C., Rsque e Sasque, 99, Bullen de l'i.a.f. spécal cenenare ère pare Sep-Déc 9 n 356 e 357 Phlppe BIEAIME ahale RICHARD G.P.A. Servce Acuara Drecon fonconnelle IRD 8, place des Cnq Maryrs du Lycée Buffon Pars Cedex 4 Tél : ( (ahale RICHARD ( (Phlppe BIEAIME Fax : ( Laboraore de Scences Acuarelle e Fnancère, I.S.F.A Unversé Claude Bernard Lyon 43, boulevard du ovembre Vlleurbanne Cedex.