Arithmétique (3) Critères de divisibilité Nombres premiers. 1 ère L Option. 2 ) Exemples
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- Étienne Labrie
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1 ère L Optio I. Critères de divisibilité Arithmétique () Critères de divisibilité Nombres premiers Les critères de divisibilité permettet de svoir, ss fire l divisio, si u ombre est divisible pr u utre. C'est prtique! Critère de divisibilité pr U ombre est divisible pr s'il est pir, c'est-à-dire s'il se termie pr 0,,, 6 ou 8. Critère de divisibilité pr U ombre est divisible pr si l somme de ses chiffres est divisible pr. Critère de divisibilité pr U ombre etier est divisible pr lorsque le ombre formé pr ses deux deriers chiffres (celui des dizies et celui des uités) est divisible pr. Critère de divisibilité pr U ombre est divisible pr s'il se termie pr 0 ou. Critère de divisibilité pr 6 U ombre etier est divisible pr 6 lorsqu'il est divisible à l fois pr et pr. Critère de divisibilité pr 9 U ombre etier est divisible pr 9 lorsque l somme des chiffres qui composet so écriture est divisible pr 9. Critère de divisibilité pr 0 U ombre est divisible pr 0 s'il se termie pr u 0. Critère de divisibilité pr U ombre etier est divisible pr si l différece des chiffres de rg pir et des chiffres de rg impir de so écriture est divisible pr. II. Nombres premiers ) Défiitio ) Exemples possède exctemet deux diviseurs, et, doc est u ombre premier. De même, et sot des ombres premiers. ) Cotre-exemples u seul diviseur () doc est ps u ombre premier. dmet plus de deux diviseurs doc est ps u ombre premier. 0 ue ifiité de diviseurs doc 0 est ps premier. ) U lgorithme de recherche des ombres premiers : le crible d Ertosthèe Ertosthèe étit u mthémticie, stroome géogrphe et poète grec é e 8 vt J.-C.. Il est le premier à voir détermier de fço précise le périmètre de l Terre et à voir mis u poit u moye pour détermier les ombres premiers iférieurs à u etier doé. Explictios de l lgorithme : est ps u ombre premier doc o le rye. est u ombre premier : o l etoure (choisir u code de couleur). Les multiples de dmettt u mois pour diviseur ; et eux-mêmes possèdet plus de deux diviseurs doc e sot ps premiers. Pr exemple est u multiple de. dmet pour diviseurs, et doc est ps premier. O rye de l liste tous les ombres multiples de. est u ombre premier : o l etoure. Pour des risos logues à celles qui précèdet, tous les multiples de e sot ps premiers. O rye de l liste tous les ombres multiples de. O recommece vec le ombre premier suivt c est à dire Liste des etiers turels premiers iférieurs à 00 : ; ; ; ; ; ; ; 9 ; ; 9 ; ; ; ; ; ; ; 9 ; 6 ; 6 ; ; ; 9 ; 8 ; 89 ; 9. ) Propriété (dmise ss démostrtio) Il y ue ifiité de ombres premiers. O dit qu u etier turel est premier s il possède exctemet deux diviseurs : et lui-même. 6 ) Commet détermier si u ombre est premier Pour détermier si u ombre N est premier, o effectue l divisio de ce ombre pr les ombres premiers successifs,, Si N est ps divisible pr ucu de ces ombres premiers, o recoîtr qu il est premier dès que le quotiet ser iférieur u diviseur. O ppelle cette méthode : «test d rrêt».
2 III. Décompositio e produit de fcteurs premiers ) Théorème (dmis) Tout etier turel supérieur ou égl à est premier ou peut se décomposer e produit de fcteurs premiers. ) Méthode pour décomposer u ombre e produit de fcteurs premiers O effectue des divisios euclidiees successives des quotiets pr les diviseurs premiers (,, ) tt que le quotiet est différet de. Décomposer 68 e produit de fcteurs premiers : 68 8 L décompositio de 68 e produit de fcteurs premiers est 68. Décomposer e produit de fcteurs premiers : L décompositio e produit de fcteurs premiers de est : ) Remrque. L décompositio e produit de fcteurs premiers est uique à l ordre des fcteurs près. ) Applictios de l décompositio e produit de fcteurs premiers - Doer l liste des diviseurs d u ombre - Détermier le PGCD et le PPCM de deux ombres - Ecrire ue frctio sous forme irréductible IV. Liste des diviseurs d u etier ) Méthode - O utilise l décompositio e fcteurs premiers. - O utilise u rbre de possibilités. Pour cel, o effectue l décompositio de 6 e produit de fcteurs premiers. 6 6 L décompositio de 6 e produit de fcteurs premiers est : 6 =. p q Tous les diviseurs de 6 vot s écrire sous l forme : vec 0, 0 p, et 0q. Pour détermier tous ces diviseurs, o fit u rbre de possibilités : Coclusio : 6 dmet diviseurs qui sot :,,, 6,, 9,, 8,,, 6, 6. Il y 8 diviseurs. ) Nombre de diviseurs d u etier O détermie l décompositio e fcteurs premiers puis o esquisse u rbre fi de détermier le ombre de possibilités. ) Exemple Doer l liste des diviseurs de 6.
3 V. PGCD et PPCM de deux etiers ) Rppels (déjà dit ds le chpitre précédet) PGCD de deux etiers : plus grd commu diviseur. PPCM de deux etiers : plus petit commu multiple o ul. Déjà dit ds le chpitre précédet Exemple : Regrdos les multiples de 6 et de. Les multiples de 6 sot 0, 6,, 8,, 0, 6 Les multiples de sot 0,, 8,, 6, 0, Les ombres et 6 ot des multiples e commu : 0,, Le plus petit commu multiple commu o ul est. O écrit PPCM( ; 6) =. Utilistio : clculs de sommes ou de différeces de frctios. Détermitio du PPCM de deux etiers turels Il y ps d lgorithme comme l lgorithme d Euclide pour le PGCD. ) Méthodes à l ide des ombres premiers O décompose les deux ombres e produits de fcteurs premiers. Pour détermier le PGCD de deux ombres, o pred tous les fcteurs COMMUNS recotrés ds les deux décompositios ffectés de leur plus PETIT expost 8 0 L décompositio e produit de fcteurs premiers de 8 est : 8 =. L décompositio e produit de fcteurs premiers de 0 est : 0 =. PGCD(8 ; 0) = =6 PPCM(8 ; 0) = Propriété (dmise ss démostrtio) Les multiples commus à deux etiers turels sot les multiples commus de leur PPCM. V. Autres pplictios des ombres premiers ) Recoître u crré ou u cube prfit Voir exercices. ) Simplifier des rcies crrées Rppel Pour simplifier des rcies crrées, o fit pprître des crrés prfits sous le rdicl. Si le ombre est grd, o peut utiliser l décompositio e produit de fcteurs premiers (voir exercices). ) Simplifier des frctios ) Doer tous les diviseurs commus à deux etiers Pour détermier le PPCM de deux ombres, o pred tous les fcteurs PRESENTS recotrés ds les deux décompositios ffectés de leur plus GRAND expost. N.B. : L itérêt de cette méthode est qu elle peut être géérlisée à l détermitio du PGCD ou du PPCM de plus de deux etiers turels. Nouvelle méthode qui viet compléter les méthodes pour trouver le PGCD ou le PPCM de deux etiers turels. ) Exemple Détermier le PGCD et le PPCM de 8 et 0 e effectut l décompositio e produit de fcteurs premiers de chcu des deux ombres. 6
4 VI. Rppels sur les puissces Défiitios et propriétés Exemples ère L Optio Exercices sur les critères de divisibilité et les ombres premiers représete u réel quelcoque et u ombre etier supérieur ou égl à. représete le produit de fcteurs égux à.... fcteurs représete l iverse de. et b représetet des réels quelcoques m et représetet des etiers reltifs. m m m m , Décomposer e produit de fcteurs premiers chcu des ombres suivts : A 880 ; B 0 ; C ; D 8 E utilist l décompositio e produit de fcteurs premiers, détermier le PGCD et le PPCM de 00 et Crrés et cubes prfits ) Ss clcultrice, démotrer que est u crré prfit. ) Ss clcultrice, démotrer que 6 est u cube prfit. ) Quel est le plus petit etier turel : ) qui, multiplié pr 000, doe u crré prfit? b) qui, multiplié pr 00, doe u cube prfit? Nombre premiers d Euler ) Vérifier que pour tous les etiers de 0 à 0, ² + + est u ombre premier. ) Vérifier que pour =, le ombre ² + + est ps premier. Ecrire chcu des ombres suivts sous l forme b où et b sot des etiers turels, b le plus petit possible. A 00 B 660 m m b b Sites Iteret : 6 - itegrledesmths.free.fr Arithmétique Plus grd diviseur commu (pgdc) et Plus petit multiplicteur commu (ppmc) Cliquer sur Script! O doe deux etiers. L orditeur ous doe l décompositio e fcteurs premiers des deux ombres, leur PGCD et leur PPCM imméditemet. 6 ) Doer l décompositio e produit de fcteurs premiers de 8 et ; 0... ) Simplifier l frctio 8. Doer le résultt sous l forme d ue frctio irréductible E utilist l décompositio e fcteurs premiers, écrire chcue des frctios suivtes sous forme de frctio irréductible. 0² ( 8)² ( ) A ; B ; C ; D E utilist l décompositio e fcteurs premiers et u rbre de possibilités, détermier l liste des diviseurs de Fiche QCM Mths Nombres premiers - trsmth.et Aller ds le livre de e. Zoe de l élève. Très bie expliqué : fiches élèves sur PGCD ; présettios e tbleu vec différeces ou divisios. 8
5 9 ) Décomposer 8 e produit de fcteurs premiers. 8 Corrigé des exercices sur les critères de divisibilité et les ombres premiers Décompositio e produit de fcteurs premiers ) Ecrire 8 sous l forme b où et b sot des etiers turels, b le plus petit possible. 0 «Le ombre cché» Je suis u ombre etier compris etre 00 et 00. Je suis pir. Je suis divisible pr. J i ussi et comme diviseurs. Qui suis-je? Expliquer ue démrche permettt de trouver le ombre cché, et doer s vleur. O cosidère deux ombres A et B formés de chiffres qui s écrivet de l fço suivte : A = et B = 8. ) Détermier le chiffre mqut ds le ombre A fi qu il soit divisible pr 9. ) Détermier le chiffre mqut ds le ombre B fi qu il soit divisible pr et. Doer toutes les possibilités. ) Simplifier lors l frctio A. Doer tous les cs possibles. B Décompositio de grds ombres (A et B) : présettio e coloes, utilistio de l liste des ombres premiers (qui doit être coue) et des critères de divisibilité. O teste tous les diviseurs premiers ds l ordre croisst. Vérifictio sur orditeur possible (o retre le ombre et l o obtiet imméditemet l décompositio e fcteurs premiers) A B Décompositio de petits ombres (C et D) : présettio e liges C D 8 Décompositio e fcteurs premiers ; recherche de PGCD et de PPCM PGCD 00 ;680 0 PPCM 00 ;
6 ) Le mieux est d utiliser l décompositio e fcteurs premiers. Pour cel, o dopte l présettio e coloes. 9 8 O peut reteir qu u ombre etier supérieur ou égl à est u crré prfit si et seulemet si exposts des ombres premiers ds s décompositio sot tous des ombres pirs. 6 6 ) O peut reteir qu u ombre etier supérieur ou égl à est u cube prfit si et seulemet si les exposts de des ombres premiers ds s décompositio sot tous des multiples de. ) ) Pour répodre à l questio, o commece pr détermier l décompositio e fcteurs premiers de Remrque : o peut dopter ussi l présettio e coloe clssique. O regrde les exposts des fcteurs premiers ds l décompositio de 000 : l expost de est, c est u ombre pir ; l expost de est, c est u ombre impir. Le plus petit etier turel qui multiplié pr 000 doe u crré prfit est : b) Pour répodre à l questio, o commece pr détermier l décompositio e fcteurs premiers de Pour obteir u cube prfit, il fut que les exposts qui itervieet ds l décompositio e fcteurs premiers soiet tous des multiples de. Le plus petit etier turel qui, multiplié pr 00, doe u cube prfit est : Nombres premier d Euler ) 0 0 ombre premier ombre premier ombre premier ombre premier 6 ombre premier ombre premier ombre premier ) 0. est ps u ombre premier (cr il est divisible pr ). O commece pr écrire les décompositios e fcteurs premiers des ombres qui figuret sous le rdicl A A A 0 6 ) 8 ; 0 8 ) 0 8 A B 0 0 C ( 8)² ( ) 6 D Les diviseurs de 8 sot,,,, 6,,,,, 8,, B B B Le ombre cherché est pir, doc divisible pr. Il est ussi divisible pr, et. Il est doc divisible pr, doc pr 0. Il est compris etre 00 et 00 : le seul ombre multiple de 0 compris etre 00 et 00 est 0, doc le ombre cherché est 0. D utres risoemets sot bie sûrs possibles.
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