Intégrales curvilignes Intégrales de surface Théorèmes de Stokes. Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs

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1 Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs Définition On a vu que l orientation d une surface S était la donnée d un champ de vecteur normal unitaire, c est-à-dire une application continue de ν : S R 3 dont la valeur en chaque point est un vecteur normal à la surface en ce point. Exemple (1) Dans le cas de la sphère de rayon R > 0, la paramétrisation en coordonnées sphériques donnée ci-dessus : σ(ϕ, θ) = (R cos(ϕ) sin(θ), R sin(ϕ) sin(θ), R cos(θ)). donne une orientation canonique à la sphère, que nous calculons. Il nous faut d abord les dérivées partielles : ( ϕ σ)(ϕ, θ) = ( R sin(ϕ) sin(θ), R cos(ϕ) sin(θ), 0) ( θ σ)(ϕ, θ) = (R cos(ϕ) cos(θ), R sin(ϕ) cos(θ), R sin(θ)) puis on calcule le produit vectoriel de ces deux vecteurs : 1/20

2 Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs Exemple (1) ( ϕ σ)(ϕ, θ) ( θ σ)(ϕ, θ) = ( R 2 cos(ϕ) sin(θ) 2, R 2 sin(ϕ) sin(θ) 2, R 2 sin(ϕ) 2 sin(θ) cos(θ) R 2 cos(ϕ) 2 sin(θ) cos(θ)) = ( R 2 cos(ϕ) sin(θ) 2, R 2 sin(ϕ) sin(θ) 2, R 2 sin(θ) cos(θ)). La norme vaut R 2 sin(θ) (puisque θ [0, π], le sinus est positif), et donc le vecteur normal unitaire vaut : ( cos(ϕ) sin(θ), sin(ϕ) sin(θ), cos(θ)) = 1 σ(ϕ, θ) R C est donc le champ de vecteur normal unitaire «intérieur». 2/20

3 Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs Une sphère orientée vers l extérieur /20-0.6

4 Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs Graphe d une fonction de deux variables Exemple (2) Le graphe de g : A R 2 R est une surface qui peut être paramétrée par σ(u, v) = (u, v, g(u, v)). L orientation de cette paramétrisation est donnée par (1, 0, g g u (u, v)) (0, 1, v (u, v)) dont la troisième composante vaut toujours 1 (exercice), dès lors elle est toujours orientée «vers le haut». 4/20

5 Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs Définition Soit f : D R 3 R une fonction scalaire, et σ une surface paramétrée σ : A R 2 R 3 : (u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Notons S = Im(σ). On suppose S D. On définit l intégrale de f sur S par f ds := f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) u σ v σ dudv S A Remarque Cette définition ne dépend pas de la paramétrisation choisie pour S, en particulier elle ne dépend pas d une orientation de S. Remarque u σ v σ dudv est appelé l élément de surface. 5/20

6 Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs Exemple (Aire du graphe d une fonction) Comme précédemment, l aire de S s obtient en intégrant la fonction 1. De la sorte, l aire du graphe d une fonction g : A R 2 R est donnée par : 1dS = A = A A (1, 0, u g(u, v)) (0, 1, ( v g)(u, v)) dudv (( u g)(u, v)) 2 + (( v g)(u, v)) 2 + 1dudv. 6/20

7 Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs Définition (Intégrale d un champ de vecteurs sur une surface) Si f : D R 3 R 3 est un champ de vecteurs, on définit son intégrale sur une surface paramatrée σ par S f ds := A f (σ(u, v)) (( u σ)(u, v) ( v σ)(u, v))dudv On parlera dans ce cas du flux du champ de vecteurs f au travers de la surface S. 7/20

8 Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs Imaginant le champ de vecteurs comme le champ des vitesses d un fluide, l intégrale ci-dessus donne la tendance que le fluide a à passer au travers de la surface. 1 Si le flux est non-nul, c est que le fluide a tendance à passer d un côté à l autre de S (en suivant l orientation, s il est positif ; ou dans l autre sens s il est négatif). 2 Si le flux est nul, c est qu il y a un équilibre entre ce qui passe dans un sens et ce qui passe dans l autre. Remarque Comme pour le travail le long d une courbe, le flux au travers d une surface dépend de l orientation de cette surface. Dans la définition ci-dessus, l orientation choisie implicitement est l orientation induite par la paramétrisation. 8/20

9 Les théorèmes que nous allons énoncer ci-dessous sont des variations sur un même thème. Ce sont des généralisations du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral. 9/20

10 Théorème () Si γ est une courbe paramétrée fermée simple dans R 2, C 1 par morceaux, orientée positivement et délimitant ( une région bornée A de R 2, alors f2 f ds = f ) 1 dx 1 dx 2 γ A x 1 x 2 pour tout champ de vecteurs f de classe C 1. Remarque Si on note f (x 1, x 2 ) = (P(x 1, x 2 ), Q(x 1, x 2 )), alors le théorème s écrit encore ( Q Pdx 1 + Qdx 2 = P ) dx 1 dx 2 x 1 x 2 γ A 10/20

11 Exemple Prenons comme cas particulier f (x, y) = (0, x) : γ (0, x) ds = A 1dS En d autres termes, l aire délimitée par γ (membre de droite) est donnée par le membre de gauche, qui vaut en fait ce qui suit : b a γ 1 (t)γ 2(t)dt. Nous constatons donc qu il suffit, pour connaître l aire de A, de savoir paramétriser le bord. 11/20

12 Exemple Considérons le carré (plein) A = [0, 1] [0, 1] R 2, et soit C son bord. Pour intégrer un champ de vecteurs f ( le long de C ) (ce qui requiert a priori de paramétriser C), il suffit d intégrer f2 x 1 f 1 x 2 sur le carré, c est-à-dire calculer : ( f2 f ) 1 dx 1 dx 2 x 1 x 2 ce qui vaut en fait : 1 par le théorème de Fubini. 0 ( 1 [0,1] [0,1] 0 ( f2 f ) 1 )dx 1 dx 2 x 1 x 2 12/20

13 Preuve du thm de Green dans le cas d un carré. d b c a b d d c b Considérons le carré [a, b] [c, d]. Alors f 2 dx 1 dx 2 = f 2 (b, x 2 ) f 2 (a, x 2 )dx 2 x 1 dont on tire [a,b] [c,d] a c f 1 x 2 dx 2 dx 1 = ( f2 f ) 1 dx 1 dx 2 = x 1 x 2 a f 1 (x 1, d) f 1 (x 1, c)dx 1 d c (f 2 (b, t) f 2 (a, t))dt b a (f 1 (t, d) f 1 (t, c))dt 13/20

14 Démonstration. Par ailleurs, le bord de C est paramétrisé par les quatre chemins : γ 1 (t) = (t, c) t de a à b γ 2 (t) = (b, t) t de c à d γ 3 (t) = (t, d) t de b à a γ 4 (t) = (a, t) t de d à c C f ds = = = = b a a + b b a b a γ 1 f ds + f (t, c) (1, 0)dt + d c c γ 2 f ds + f (t, d) (1, 0)dt + f 1 (t, c)dt + d c γ 3 f ds + f (b, t) (0, 1)dt d f 2 (b, t)dt (f 1 (t, c) f 1 (t, d))dt + d ce que l on avait dans le membre de gauche. c f (a, t) (0, 1)dt b a γ 4 f ds f 1 (t, d)dt d (f 2 (b, t) f 2 (a, t))dt c f 2 (a, t)dt 14/20

15 Considérons une surface S admettant pour bord une courbe C. Exemple (Bord d une surface) Le bord de la demi-sphère d équation z = 1 x 2 y 2 est le cercle à l intersection du plan z = 0. Le bord du disque décrit par z = 0 et x 2 + y 2 1 est ce même cercle. Une sphère n a pas de bord : son bord est vide. 15/20

16 Nous dirons que les orientations de S et C (son bord) sont compatibles si, marchant debout sur S (le «haut» étant donné par l orientation de S), le long de C (la direction étant donné par l orientation de C), la surface est laissée sur la gauche du marcheur. Dans cette situation, nous avons le théorème : Théorème (Théorème de Stokes) C f ds = S rot f ds. Remarque Ceci est une généralisation du théorème de Green dans le cas où S est une surface non-plane. 16/20

17 Théorème (Théorème de la divergence) Soit Ω R 3 un ouvert bordé et la surface S son bord ( Ω = S). Alors S f ds = Ω div f dx 1 dx 2 dx 3. 17/20

18 Remarque Lorsque f est un champ de vecteurs tel que rot f = 0 (champ irrotationnel), alors pour toute courbe fermée, nous avons C f ds = 0. En d autres termes, le champ de vecteurs ne «tourne pas» : aucune courbe suivant le champ de vecteur ne peut être fermée («suivre le champ de vecteurs» veut dire ici que le vecteur vitesse de la courbe en chaque point est un multiple positif du champ de vecteurs en ce point). 18/20

19 Démonstration. Nous savons que C f ds = 0. Or, si on avait une telle courbe γ qui suit le champ, on aurait γ f ds = ce qui est une contradiction. = b a b a f (γ(t)) γ (t)dt k(t)γ (t) γ (t)dt > 0 19/20

20 Remarque Lorsque f est un champ de vecteurs dont la divergence est nulle, alors le flux de f au travers de n importe quelle surface sans bord (ex. sphère, cube, ellipsoïde...) est nul : S f ds = 0. 20/20