1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

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1 CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et ui évolue par étapes successives, e chageat d'état à chaue étape de faço aléatoire : marche aléatoire etre 2 états O doe les probabilités de trasitio du système ( = probabilités coditioelles, probabilités de rester das le même état à l'étape suivate ou probabilités de passer à l'autre état à l'étape suivate ) Das le programme spécifiue de termiale S, o illustre la situatio à l'aide d'u arbre probabiliste partiel : a Etape Etape p A A p O ote a la probabilité ue le système soit das l'état A à l'étape O ote b la probabilité ue le système soit das l'état à l'étape Modélisatio avec les suites : b 1 A D'après l'arbre probabiliste ( partiel ) ci-cotre, o peut écrire a + pa + ) a+ 1= b, pour tout etier aturel b+ 1= b Avec a0 et b0 doées Modélisatio avec u graphe probabiliste : O représete l'évolutio de ce système d'ue étape à la suivate par u graphe probabiliste, dot les sommets idiuet les états et les flèches idiuet les probabilités de trasitio 1 p A p 1 TH Le graphe probabiliste a les propriétés suivates : * Tous les coefficiets sur les braches sot compris etre 0 et 1 * Pour toutes les flèches partat d'u même sommet, la somme des probabilités vaut 1 Modélisatio avec l'outil matriciel O rappelle la modélisatio avec les suites : a b = = a+ pa + ) b b, Il existe deux possibilités pour représeter la situatio à l'aide des matrices

2 Avec des matrices liges Soit ( a b ) U = la répartitio des probabilités à l'étape E particulier, ( a ) U = doé 0 0 b0 O dit aussi : U décrit l'état probabiliste du système à l'étape Alors : U +1 = U M, avec M = M est la matrice de trasitio Avec des matrices coloes a Soit U = la répartitio des probabilités à l'étape b a0 E particulier, U 0 = doé b0 O dit aussi : U décrit l'état probabiliste du système à l'étape Alors : U +1 = M U, avec M = M est la matrice de trasitio TH La matrice de trasitio a les propriétés suivates : * Tous les coefficiets sot compris etre 0 et 1 * Pour chaue lige, la somme des probabilités vaut 1 ( Si o travaille avec des matrices liges, la matrice est stochastiue selo les liges ) * Pour chaue coloe, la somme des probabilités vaut 1 ( Si o travaille avec des matrices coloes, la matrice est stochastiue selo les coloes ) 12/ Expressio géérale des répartitios de probabilités TH Soit u système, associé à deux états possibles A et a et b désiget les probabilités ue le système soit das l'état A et das l'état à l'étape O ote U la répartitio des probabilités et M sa matrice de trasitio Alors : Pour tout etier aturel, U = U 0 M ( si U matrice lige ) et U = M U0 ( si U matrice coloe ) Démostratio : Vérifios ue la propriété est vraie au rag = 0 0 U M = U I = Doc, la propriété est vérifiée au premier rag U0 Supposos ue la propriété soit vraie au rag Motros u'elle reste vraie au rag + 1 U +1= U M d'après modélisatio avec les matrices = U0 M M d'après HR = U M D'après le raisoemet par récurrece, o a bie : U = U 0 M, pour tout etier aturel ( Démarche similaire avec les matrices coloes ) 13/ Covergece DEF Soit u système, associé à deux états possibles A et a et b désiget les probabilités ue le système soit das l'état A et das l'état à l'étape O ote M sa matrice de trasitio O appelle répartitio stable de probabilité ( ou état stable ) ue matrice lige S ( matrice coloe S ), dot tous les coefficiets sot positifs, et de somme égale à 1, vérifiat S = S M ( S = M S )

3 TH ( cas des matrices liges ) 1 p p Soit u système, associé à deux états possibles A et, dot la matrice de trasitio est : M = 1 O suppose ue p et e sot pas : - soit uls tous les deux e même temps - soit égaux à 1 tous les deux e même temps Alors : 1/ Le système aisi décrit admet u état stable S 2/ Quelle ue soit la répartitio de probabilité iitiale 0 U, la suite des répartitio de probabilités ( ) U coverge vers S Remarues : * Dire u'ue suite de matrices ( T ) ( matrices liges, coloes ou carrées ) coverge vers ue matrice L ( de même format ), sigifie ue chaue coefficiet de la matrice T coverge, uad ted vers +, vers le coefficiet correspodat ( même lige, même coloe ) de la matrice L * Les résultats du théorème précédet sot valables aussi das les cas de matrices coloes ( états probabilistes ) Démostratio : 1/ Posos S = ( x y ), avec x et y des ombres vérifiat x + y 1 p p Résolvos S = S M, soit ( ) ( ) x= x+ y x y = x y, soit 1 y = px+ ) y x+ y = x Ces deux éuatios sot éuivaletes Résolvos doc : x+ y = 1 1 p x+ 1 x =, soit x px+ x= x Puisue y = 1 x, alors o peut écrire : ( ) ( ) x Or, p et e sot pas uls e même temps, doc p + 0 p Doc, x= et y = 1 x= 1 = p L'état stable existe et est égal à : S =, soit ( p ) x= + 2/ Pour tout etier aturel, o a : a + = a+ b Soit c le ombre vérifiat : c ( ) c+ 1 Or, b a = 1, doc a = a + ( a ) = 1, soit c = c pc c+, puis pc c= Or, o a déjà établi ue p + 0 O déduit ue c existe et : c= = a pa+ a = ( p ) a + 1 +, doc ( p ) c= + O a doc : a + 1 = ) a+ et c = ( 1 ) c+ Par différece : a+ c= )( a c) Par coséuet, la suite ( a c) est géométriue de raiso : 1 O e déduit : ( ) ( ) a c= a0 c 1, soit a = ( a c) ) + c 0 1 Or, puisue 0 p 1 et 0 1, o a : 0 p + 2 Et puisue p et e sot pas uls e même temps, i égaux à 1 e même temps, o a e particulier : 0 < p + < 2 Soit : 2 < ( p + ) < 0, et efi 1 < 1 p < 1 Alors, Lim ( 1 ) = 0 + et Lim a = c= Ce ui impliue alors : p + + Lim b p = Lim 1 a = 1 c= + p + + = S= p Ce ui peut s'écrire : ( ) Lim + a b

4 13/ Exemple La populatio d'ue île vit das ue ville pricipale ou das u des villages de campage Des études ot motré ue, d'ue aée sur l'autre : * 10 % de la populatio de la ville part vivre à la campage * 20 % de la populatio rurale part habiter e ville Par ailleurs, e 2012, 8000 idividus habitaiet e ville et 2000 à la campage O suppose ue le ombre d'habitats de l'île reste costat au cours des aées Pour tout etier aturel, o ote v ( resp c ) la probabilité ue, e , u habitat de l'île, pris au hasard, habitet e ville ( resp e campage ) P = v c l'état probabiliste associé au processus décrit das cet exercice Pour tout etier aturel, o ote ( ) 1/ Modélisatio à l'aide de suites a) Préciser l'état probabiliste iitial P 0 b) Dessier le graphe probabiliste associé c) Motrer alors, ue pour tout etier aturel, o a : P +1 = P A, où A est la matrice de trasitio, à préciser d) Démotrer par récurrece, ue :, o a : P = P 0 A e) Utiliser le calcul matriciel de la calculatrice pour estimer la populatio urbaie et rurale de cette île e / Covergece a) Après avoir justifier so existece, détermier l'état stable S, associé au processus décrit das l'exercice b) Iterpréter le résultat 3/ Expressio gééral de l'état probabiliste 1 2 Soit P = 1 1 a) Calculer la matrice D = P 1 AP E déduire l'expressio de A e foctio des matrices P et D 1 b) Motrer par récurrece ue, pour tout etier aturel, o a : A = P D P c) E déduire les expressios de v et c e foctio de d) Quelle est la populatio urbaie et rurale das cette île e 2020? e) Etudier la covergece des suites ( v ) et ( c ) Est-ce cohéret avec la uestio 2/? 2/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE PLUSIEURS ETATS 21/ Résultats O cosidère u système ui peut évoluer vers plus de deux états, icompatibles deux à deux, par étapes successives, e chageat d'état à chaue étape de faço aléatoire : marche aléatoire etre plusieurs états De même ue das le paragraphe précédet, o doe les probabilités de trasitio du système ( = probabilités coditioelles, probabilités de rester das le même état à l'étape suivate ou probabilités de passer à l'autre état à l'étape suivate ) O peut alors de même : - Dessier le graphe probabiliste associé au système doé - Doer la matrice de trasitio M ( avec le choix de travailler avec des états probabilistes ( répartitio de probabilité ) sous forme de matrices liges, ou de matrices coloes ) Ce graphe et cette matrice ot les mêmes propriétés ue celles décrites das le paragraphe précédet

5 Si o ote U la répartitio des probabilités et M la matrice de trasitio Alors, : U = U 0 M ( si U matrice lige ) Efi, o retiedra : U M U 0 = ( si U matrice coloe ) Si la matrice de trasitio M admet ue puissace 'ayat aucu coefficiet ul, alors : - il existe ue répartitio stable de probabilité S, et ue seule telle ue : S = S A ( matrices lige ) ou S = A S ( matrices coloe ) - Quelle ue soit la répartitio de probabilité iitiale U 0, la suite des répartitios de probabilités ( U ) coverge vers S 22/ Exemple Ue compagie d'assurace automobile a mis e place le système de bous-malus suivat : Il existe trois iveaux de cotisatio auelle : A : 455 : 364 C : 273 La première aée, l'assuré paie le tarif - S'il 'a pas été resposable d'u accidet pedat ue aée, il passe au tarif iférieur l'aée suivate, sauf s'il est déjà au tarif le plus bas ; auuel cas, il y reste - S'il a été resposable d'u accidet pedat ue aée, il passe au tarif supérieur l'aée suivate, sauf s'il est déjà au tarif le plus haut ; auuel cas, il y reste - La compagie estime à 10 % la probabilité u'u assuré pris au hasard soit resposable d'u accidet au cours d'ue aée O suppose ue pour l'aée 0, les proportios d'assurés payat les tarifs A, et C sot respectivemet 30 %, 50 % et 20 % Par ailleurs, la compagie évalue e moyee à 280 par assuré ses dépeses de remboursemet lors des accidets Pour tout aturel, o ote a, b et c les probabilités u'u assuré pris au hasard soit das la catégorie A, ou C au bout de aées a O pose alors : X = b la répartitio des probabilités au bout de aées c 1/ Doer la proportio des probabilités iitiale X 0 2/ a) Dessier le graphe probabiliste associé à la situatio b) Motrer alors ue : X +1 = M X, où M est la matrice trasitio à défiir c) E déduire ue, pour tout etier aturel, o a : X = M X 0 3/ A l'aide de la calculatrice, détermier la répartitio des assurés das les différets iveaux de cotisatio, au bout de 4 as 4/ a) Détermier la répartitio stable S des probabilités ( sous forme de fractios ) 2 b) Doer M Que peut-o e coclure, sur le log terme, pour cette compagie d'assurace? 5/ O s'itéresse à cette compagie d'assurace après u grad ombre d'aée d'existece Soit Y la variable aléatoire ui idiue la cotisatio payée par u assurée pris au hasard a) Doer l'espérace de Y b) Quelle coclusio pouvez-vous e tirer uat à l'éuilibre fiacier de cette compagie d'assurace? 3/ SUITES DE MATRICES COLONNES VERIFIANT U+1=AU+ Das ce paragraphe, o s'itéresse à la suite de matrices coloes ( U ) de format ( k, 1 ) avec k, défiie par so premier terme U 0 et pour tout etier aturel, U +1 = AU+, où A est ue matrice carrée d'ordre k et est ue matrice coloe de format ( k, 1 ) O suppose de plus ue la matrice I k A est iversible ( I k désige la matrice idetité d'ordre k )

6 31/ Etape 1: Recherche de l'état stable O résout l'éuatio : S = AS+, ui s'écrit S AS= 32/ Etape 2: Etude d'ue suite de matrices coloes auxiliaire, puis ( I k A) S= et efi : S ( I A) O itroduit la suite auxiliaire ( X ) défiie par : X = U S Puisue U = AU S = AS+ : par différece, o obtiet : U S= A( U S) + +1 et Par récurrece, o établit alors : X = A X 0, 33/ Etape 3: Formule explicite de U +1, soit k 1 = : uiue solutio attedue X +1 = AX, Sachat ue : X = U S et X A X 0 =,, o e déduit : U S= A ( U S) + 0, puis U A ( U S) S = 0, Remarue : Si ( V ) est ue suite de matrices liges de format ( 1, k ) avec k, défiie par so premier terme V 0 et pour tout etier aturel, V +1 = V A+, où A est ue matrice carrée d'ordre k et est ue matrice lige de même format ue V, alors o procède à la même démarche ue celle exposée ci-dessus Attetio, éamois : Si I k A est iversible, alors = ( I A) 1 + S k O arrive à : V ( V S) A S = 0, Exemple : Des botaistes ot modélisé la prédatio etre coccielles et puceros, sur u rosier, de la maière suivate : C + 1= 0, 4C + 0, 8P Pour tout etier aturel,, où C, respectivemet P, est le ombre de dizaies de P+ 1= 0, 1C + 12, P coccielles, respectivemet de puceros, sur le rosier à la fi du ème jour Au mati du premier jour, les botaistes déposet 2 coccielles et 10 puceros C O ote U la matrice coloe P 1/ Doer U 0 2/ Motrer ue, pour tout de, U +1 = AU avec ue matrice carrée A ue l'o précisera 3/ Chaue jour, les botaistes ajoutet ue coccielle sur le rosier Détermier la matrice telle ue U +1 = AU+ 4/ Après avoir justifié so existece, détermier l'état stable S 5/ O ote : V = U S, pour tout etier aturel a) Démotrer ue : V +1 = AV, pour tout etier aturel E déduire ue : V = A V0, pour tout etier aturel b) E déduire l'expressio de U e foctio de U 0, A, S et, avec 6/ A l'aide de la calculatrice, estimer le ombre de coccielles et de puceros sur le rosier au bout de 2 mois