Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé :

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1 OPÉRATIONS FINANIÈRES A INTÉRÊTS OMPOSÉS I) Itérêts et valeur acquise Défiitio U capital est placé à itérêts composés lorsque le motat des itérêts produits à la fi de chaque période de placemet s ajoute au capital placé pour deveir productif d itérêts la période suivate. La valeur acquise par le capital iitial au bout de périodes de placemet est égale à : = + t avec t : taux d itérêts sur ue période Le motat des itérêts acquis est la différece etre la valeur acquise et le capital placé : i = Les périodes de capitalisatio des itérêts peuvet être le mois, le trimestre, le semestre ou l aée. Le motat des valeurs acquises, 2, 3, formet ue suite géométrique de raiso : ( + t). Les itérêts composés sot surtout utilisés pour des placemets à log terme. U capital de est placé à itérêts composés au taux auel de 4 % pedat as. La première aée les itérêts se calculet sur le capital = : i =,4 = 2 La valeur acquise de la première aée est : = 2 L aée suivate, les itérêts se calculet sur le capital = 2 : i 2 = 2,4 = 28 La valeur acquise de la deuxième aée est : = 48 Aisi de suite, la valeur acquise de la ciquième aée est : = + t =, 4 soit = 683, 26. II) alculer le motat d u capital placé oaître la valeur acquise, le ombre de périodes, le taux périodique. Trasformer la formule : t = + t = ( + ) équivaut à ours sur les itérêts composés /7

2 Quel capital faut-il placer pedat as au taux de 3, % l a pour obteir ue valeur acquise de? III) alculer u taux de placemet = ; t = 3, % ; = as. = + t =, 3 ; soit = 429,87. oaître le motat du capital placé, la valeur acquise et le taux périodique. Trasformer la formule de capitalisatio : = ( + ) équivaut à ( t) t soit : t + = + = d où t =. U capital de 2 placé e capitalisatio trimestrielle pedat trimestres a ue valeur acquise de 2 46,68 au terme du placemet. alculer le taux trimestriel de placemet. = 2 ; = 2 46, 68 ; = trimestres. où IV) alculer ue durée de placemet ( + t) = 246, , 68 t = 2 soit t =,4 Le taux trimestriel est de,4 %. oaître le motat du capital placé, la valeur acquise et le taux périodique. Trasformer la formule de capitalisatio : = ( + ) équivaut à ( t) t + = ours sur les itérêts composés 2/7

3 Utiliser le logarithme épérie (ou décimal) pour détermier la valeur de placée e exposat : ( + t) = l soit ( t) l l + = l d où l = l +. ( t) U capital de 4 placé à itérêts composés à capitalisatio mesuelle au taux de, % le mois. Au terme du placemet sa valeur acquise est alculer la durée du placemet. = 4 ; = 44 8 ; t =, % par mois. 448 ( + t) = soit, = l = 4 d où =. l, La durée de placemet est de mois. Le ombre de périodes doit être u etier. Si ce est pas le cas, la pratique commerciale admet la gééralisatio de la formule des itérêts composés à ue fractio de période. Aisi 6, mois = 6 mois et jours. V) Taux équivalets Défiitio Deux taux, défiis sur des périodes différetes, sot équivaletes lorsque appliqués à u même capital pedat la même durée, ils produiset le même itérêt et doc la même valeur. Les taux proportioels aux durées des périodes de placemet e sot pas équivalets pour le calcul des itérêts composés. Aisi les taux de 2 % l a et % le mois sot proportioels. Ils e sot pas équivalets e itérêts composés. U capital de placé à au taux auel de 2 % a ue valeur acquise au bout d u a de placemet égale à : = + t =,2 soit = 2. ours sur les itérêts composés 3/7

4 Le même capital placé e capitalisatio mesuelle au taux de,9 % le mois acquiert au bout d u a, soit 2 mois, la valeur : = + t =, 9 Soit 2 2. Les deux valeurs acquises sot égales. Le taux auel de 2 % est équivalet au taux mesuel de,9 %. VI) Valeur actuelle d u capital ou d u effet Défiitio La valeur omiale d u effet de commerce est u capital devat être payé à la date d échéace de l effet. Actualiser ce capital reviet à détermier sa valeur, appelée valeur actuelle, à ue date atérieure à la date d échéace. La valeur actuelle du capital, périodes avat la date d échéace est égale à : = + t avec t : taux périodique d actualisatio ou d escompte. Valeur actuelle et valeur acquise représetet l évolutio de la valeur d u capital das le temps. APITALISATION périodes apital Valeur temps acquise ATUALISATION périodes Valeur apital temps actuelle U effet de valeur sera à échéace das 8 mois. U commerçat l escompte au taux mesuel de,2 %. La valeur actuelle de l effet est : 8 t = + =, 2 soit = 4 44,92. U capital, égal à la valeur actuelle, aurait au bout de 8 mois de placemet ue valeur acquise de. ours sur les itérêts composés 4/7

5 VII) Equivalece de capitaux ou d effets Défiitio Deux capitaux ou deux effets de commerce sot équivalets, à ue date doée, s ils ot la même valeur actuelle, à u taux doé, à cette date. = 2 Deux groupes de capitaux ou d effets sot équivalets si la somme des valeurs actuelles de chaque groupe est idetique. L équivalece de capitaux, à itérêts composés, e déped pas de la date d équivalece fixée. Aisi, u a après, les deux capitaux ci-cotre ot ecore même valeur actuelle, ils sot toujours équivalets. U capital de est à échéace das 2 as au taux de % l a. 2 Sa valeur actuelle est : ( t) = + =, soit = 432, 23. U autre capital de, au même taux, est à échéace das 3 as. 3 Sa valeur actuelle est : 2 ( t) = + =, soit 2 = 432, 23. Les deux capitaux sot équivalets. VIII) alculer la valeur omiale d u effet équivalet alculer ou exprimer e foctio des doées la valeur actuelle de chaque effet ou de chaque capital. Ecrire l équatio d équivalece : = 2. Résoudre l équatio d équivalece. U effet de 4 échéat das 3 mois est remplacé par u effet dot l échéace est fixée das 8 mois. alculer la valeur omiale de l effet de remplacemet si le taux mesuel d escompte est de,8 %. t = + = 4, 8 La valeur actuelle du premier effet est : 3 Soit = 3669,3. périodes 2 2 périodes 2 8 La valeur actuelle du deuxième effet s écrit : ours sur les itérêts composés / = + t =, 8. temps temps

6 D où l équatio d équivalece : = 2 soit 8 2, 8 = 3669,3 3669,3 8 2 = = ,3,8.,8 La valeur omiale de l effet de remplacemet est 2 = 469,3. IX) Détermier ue échéace commue ou ue échéace moyee. Défiitio L échéace commue est la date d équivalece d u effet uique à u groupe d effets. A cette date, la valeur actuelle de l effet uique est égale à la somme des valeurs actuelles des effets remplacés. Lorsque la valeur omiale de l effet uique de remplacemet est égale à la somme des valeurs omiales des effets remplacés, la date d échéace se situe alors etre les dates d échéaces extrêmes des effets à remplacer, c est ue échéace moyee. alculer ou exprimer e foctio des doées la valeur actuelle de chaque effet. Ecrire l équatio d équivalece : La somme des valeurs actuelles des effets remplacés est égale à la valeur actuelle de l effet de remplacemet : + 2 =. Résoudre l équatio d équivalece dot est l icoue. La pratique commerciale admet la gééralisatio de la formule aux fractios de période. U effet de échéat das 2 mois et u autre effet de 26 échéat das 9 mois sot remplacés par u effet uique de 4. Le taux d actualisatio trimestrielle est de 3, %. alculer l échéace de l effet de remplacemet. t = + =, 3 Les valeurs actuelles des effets remplacés sot : 7 soit : = 789,86, 3 2 t = + = 26, 3, soit : 2 = 239, 48., La valeur actuelle de l effet de remplacemet s écrit : ours sur les itérêts composés 6/7 t = + = 4, 3. L équatio d équivalece s écrit : 789, , 48 = 4,3. 369,34 Soit :, 3 = =, D où : l, 3 = l,872, l,872 = = 4,3. l, 3 L échéace commue est de 4 trimestres et trois jours (,3 9).

7 X) Retabilité d u ivestissemet Défiitio Etudier la retabilité d u ivestissemet reviet à estimer les sommes qu il rapportera et à les comparer à ce qu il coûte. La valeur actuelle ette (VAN) de l ivestissemet est la différece etre les recettes ettes actualisées egedrées par l ivestissemet et le motat de cet ivestissemet. La valeur actuelle ette se défiit le jour de l ivestissemet. Les recettes ettes et la valeur résiduelle de l ivestissemet sot actualisées à u taux doé. L ivestissemet est retable si la valeur actuelle ette est positive. Le taux de retabilité itere (TRI) est le taux d actualisatio pour lequel la valeur actuelle ette est ulle. Aisi, le calcul ci après effectué avec u taux de 7,27 % doe ue valeur actuelle ette pratiquemet ulle. Le TRI de cet ivestissemet est 7,27 %. Pour u taux supérieur, l ivestissemet est pas retable. La détermiatio du TRI se fait par ecadremets successifs à partir de différets taux. Aisi, das l exemple ci-cotre : Pour t =7 % VAN = 234,. Pour t =8 % VAN = -66,88. D où 7% < TRI < 8% Ue société effectue u ivestissemet de 4 das ue machie outil achetée au comptat. Les recettes ettes attedues de cet ivestissemet sot : - la ère aée, - 2 la 2 ème aée, - la 3 ème aée. Au terme de la troisième aée la machie outil aura ue valeur résiduelle de. L ivestissemet sera-t-il retable pour u taux d actualisatio de 7 % l a? Le jour de l achat de la machie, les valeurs actuelles des recettes sot : ère aée :,7 = 934,79. 2 ème 2 aée : 2, 7 = 84, ème 3 aée :, 7 = 2244, La valeur résiduelle actualisée de la machie est égale à,7 = 862,98 La valeur actuelle ette au taux de 7% l a est doc : VAN = 934, , , ,98 4 soit VAN = 234,. La valeur actuelle ette est positive, l ivestissemet est retable au taux de 7%. ours sur les itérêts composés 7/7