DEVELOPPEMENTS LIMITES

Transcription

1 DEVELOPPEMENTS LIMITES I FONCTION EXPONENTIELLE 1 rappls On sait qu la fonction ponntill f : t t st dérivabl, n particulir n 0, t qu f (0) = 1, c qui s'écrit n utilisant la définition du nombr dérivé au voisinag d t = 0, t = 1 + t + t ε (t) avc lim ε 1 (t) = 0. Ainsi, au voisinag d 0, t s'écrit comm la somm du polynôm 1 + t d dgré 1 t du trm complémntair t ε 1 (t) où lim ε 1 (t) = 0. Rmarqus Pour t voisin d 0, l polynôm 1 + t fournit un valur approché d t. L polynôm 1 + t (ou 1 + ) s rtrouv dans l'équation y = 1 + t (ou y = 1 + ) d la tangnt à la courb rprésntativ d la fonction ponntill n son point A d'absciss 0. t 1 Ctt écritur prmt aussi d détrminr lim puisqu, pour tout t 0 t 1 = ε 1 (t) avc lim ε 1 (t) = 0. t t 2 Rchrch d'un polynôm d dgré 2 t d'un fonction Pour détrminr d millurs valurs approchés d t au voisinag d 0, on va rmplacr d'un part l polynôm 1 + t par un polynôm d dgré 2 t, d'autr part, t ε 1 (t) par t 2 ε 2 (t) où lim ε 2 (t) = 0 Graphiqumnt, cla signifi approchr, autour du point A, la courb C par un parabol «collant plus» à C qu sa t 1 t tangnt au point A. On pourra alors détrminr la limit n 0 d nouvlls fonctions, par mpl lim t On considèr l'écart vrtical NM ntr la courb C t sa tangnt n A c'st la différnc t (1 t) ntr ls ordonnés d M t N. En étudiant l sign d g(t) = t 1 t t clui d h(t) = t 1 t 2 t2 sur [ 1, 1], on démontr qu, pour tout nombr rél t d l'intrvall [ 1, 1], 0 t (1 + t) 2 t2 (1) Soit un élémnt qulconqu d [0, 1]. L'intrvall [0, ] étant inclus dans [ 1, 1], la doubl inégalité (1) st vrai sur ct intrvall. On intègr cs inégalités sur l'intrvall [0, ] : 0 0 Donc 0 t t t t donc Ainsi, pour tout d l'intrvall [0, 1], ( t t 1) dt 0 2 t2 dt En rvnant à la notation t pour la variabl, on a démontré: pour tout t d [0, 1], 0 t 1 t t2 2 6 t (2) Soit un élémnt qulconqu d [ 1, 0[. On put rprndr ls calculs précédnts mais n s plaçant ctt fois dans l'intrvall [, 0] car < ( t t 1) dt 0 2 t2 dt donc 0 t t t t 0 donc En multipliant ls inégalités par 1 t n rvnant à la notation t pour la variabl: pour tout t d [ l, 0 [, on obtint : t 1 t t2 6 t t 1 t t2 2 0 (2'). Soit ε 2 2 la fonction défini sur [ 1, 1] par : ε 2 (t) = t 2 D'après (2), pour tout t d ]0, 1], 0, ε 2 (t) 6 t. D'après (2'), pour tout t d [ 1, 0 [, 6 t ε 2 (t) 0 On sait qu lim t = 0. Donc, d'après l «théorèm ds gndarms», lim 6 ε 2(t) = 0. En rvnant à la définition d ε 2, on obtint pour tout t d [ 1, 1], t = 1 + t + t 2 + t 2 ε 2 (t) avc lim ε 2 (t) = 0 Au voisinag d 0, t s'écrit comm la somm du polynôm 1 + t + t 2 d dgré 2 t du trm complémntair t 2 ε 2 (t) où lim ε 2(t) = 0

2 Rchrch d'un polynôm d dgré t d'un fonction On rprnd la démarch précédnt : étant un élémnt qulconqu d [0, 1], on intègr ls inégalités (2) sur l'intrvall [ 0, ] 0 t 1 t t2 2 6 t donc 0 t 1 t t2 0 2 dt 0 6 t dt On n déduit qu, pour tout t d [0, 1], 0 t t t2 2 t t4 0 On procèd d mêm pour tout d [ 1, 0[ n intégrant ls inégalités (2') sur [, 0] t on définit la fonction ε par: ε (t) = t l t t 2 t t On démontr qu lim ε 2 (t) = 0, on obtint pour tout t d [ 1, 1], t = 1 + t + t2 2 + t 6 + t ε (t) avc lim ε (t) = 0 Rmarqu En procédant d mêm t n utilisant ls factorills, on obtint : pour tout t d [ 1, 1 ], t = 1 + t! + t4 4! + t4 ε 4 (t) avc lim ε n (t) = 0. 4 Généralisation On démontr, t nous admttrons ici, qu ls résultats obtnus ci-dssus s généralisnt. Pour tout t d [- 1, 1], pour tout n d IN, t = 1 + t! + + tn n! + tn ε n (t) avc lim ε n (t) = 0. On vint d'écrir l dévloppmnt limité d'ordr n d la fonction ponntill n 0. II DEVELOPPEMENT LIMITE D'UNE FONCTION EN 0 1 Définition Soit f un fonction défini n 0 t au voisinag d 0. On dit qu f admt un dévloppmnt limité d'ordr n (dln) n 0 s'il ist ds nombrs réls a 0, a 1..., a n t un fonction ε tls qu, au voisinag d t = 0, f (t) put s'écrir sous la form: f(t) = a 0 + a 1 t a n t n + t n ε n (t) avc lim ε n (t) = 0. L polynôm a 0 + a 1 t a n t n st applé parti régulièr du dévloppmnt limité d'ordr n d f n 0. Rmarqus a 0 = f(0). On admt qu si un tl dévloppmnt limité ist, il st uniqu. lim ε(t) = 0 signifi notammnt qu, pour tout nombr strictmnt positif d, fié aussi proch qu l'on vut d 0, il ist un intrvall,, autour d 0, sur lqul l ε(t) < d. 2 Dévloppmnts limités ds fonctions usulls On admt ls dévloppmnts limités (dln) ds fonctions usulls suivants au voisinag d 0. t = t = 1 + t! + + tn n! + tn ε (t) avc lim t = 1 t + t (-1) n t n + t n ε (t)avc lim ln (1 + t) = t t2 2 + t ( 1) tn +t n ε (t)avc lim sin t = t t! + t5 5! ( 1)p t 2p+1 (2 p + 1)! + t2p+1 ε (t) avc lim cos t = 1 t2 2! + t4 4! ( t 2p 1)p (2 p)! + t2p ε (t) avc lim (1 + t) α = 1 + α (α 1) t +α t 2 α (α 1)... (α n + 1) ! 2! t n + t n ε(t) avc lim Rmarqus On obsrv qu, pour la fonction impair sinus, la parti régulièr n comport qu ds puissancs impairs t qu, pour la fonction pair cosinus, la parti régulièr n comport qu ds puissancs pairs. On va maintnant obsrvr commnt obtnir l dévloppmnt limité d fonctions obtnus par divrss opérations.

3 III OPERATION SUR LES DEVELOPPEMENTS LIMITES 1 Dévloppmnt limité d'un combinaison linéair d fonctions a) Empl On chrch l dl au voisinag d zéro d la fonction h défini sur ] 1 ;1 ] par h () = ln(l + ). Soit f t g ls du fonctions définis sur ] 1 ;1 ] par f() = ln (1 + ) t g() =. On a h = f g t on connaît ls dl au voisinag d zéro ds fonctions f t g, donc 1n(1 + ) = ε 1 () ε 2 () = 1 + ( ) ( ε 1 () ε 2 ()). On a lim ( ε 1 () ε 2 () ) = 0 0 = 0 0 = ε() avc lim 0 ε() = 0. On a obtnu l dl chrché puisqu lim 0 ε() = 0 b) Cas général Soit du réls l t m t du fonctions f t g qui admttnt au voisinag d zéro ds dln dont ls partis régulièrs sont P t Q. Alors, la parti régulièr du dln d la fonction l f + m g au voisinag d zéro st l P + m Q. 2 Dévloppmnt limité d'un produit d fonctions a) mpl On chrch l d1 au voisinag d zéro d la fonction h défini sur ] 1 ;1 ] par h(t) = t ln(1 +t). Soit f t g ls du fonctions définis sur ] 1 ;1 ] par f(t) = t t g(t) = ln(1 +t). On a : h = f g t on connaît ls d1 au voisinag d zéro ds fonctions f t g On a t = t = 1 + t! + t ε 1 (t) avc lim ε 1 (t) = 0 t ln (1 + t) = t t2 2 + t + t ε (t)avc lim ε (t) = 0. t ln(1 + t) = 1 + t + t2 2 + t 6 + t ε 1 (t) t t2 2 + t + t ε (t) On multipli ls partis régulièrs ntr lls n n rtnant qu ls trms d dgré infériur ou égal à t ln(1 + t) = t t2 2 + t + t2 t 2 + t 2 + t ε (t) On obtint : t ln(1 +t) = t + t2 2 + t + t ε(t), avc lim ε() = 0. b) cas général. Soit du fonctions f t g qui admttnt au voisinag d zéro ds dln dont ls partis régulièrs sont P t Q. Alors la parti régulièr du dln au voisinag d zéro d la fonction f g st l polynôm déduit d P Q n n consrvant qu ls trms d dgré infériur ou égal à n. Dévloppmnt limité d'un fonction composé a) Empl. On chrch l dl d la fonction défini sur IR par : h() = ln ( 2 + 1) Soit f t g ls du fonctions définis sur ] 1 ;1 ] par f(u) = ln(1 + u) t u() = 2. On a : h = f ou, avc u(0) = 0 t nous connaissons ls dl au voisinag d zéro d f t g f(u) = ln (l + u) = u u2 2 + u + u ε 1 (u), t u() = = ε 2 () Pour obtnir l dl d ln ( 2 + 1), on rmplac u, u 2 t u par lur dl dans l dl d ln (1 + u). u 2 () = ( ε 2 ()) 2 = ε () t u () = ( 2.+ ε 2 ()) = + ε 4 (). ln ( 2 + 1) = ( + 2 ) ε 5 () = ε 5 ()

4 b) Cas général. Soit du fonctions f t g dont ls dln au voisinag d zéro sont f(u) = P(u)+u n 1 (u) t g() = Q()+ n 2 (), la fonction g étant tll qu g(0) = 0. Alors la parti régulièr du clin au voisinag d zéro d (f og)() st obtnu - n écrivant l dln au voisinag d zéro d f(u) ; - n posant u = g() ; - n rmplaçant, dans P(u), chaqu u k par la parti régulièr d son dln au voisinag d zéro, pour tout ntir k infériur ou égal à n ; - n complétant par «+ n (), avc lim fi 0 () = 0». 4 Intégration d'un dévloppmnt limité a) mpl On considèr l dévloppmnt limité d'ordr n 0 d la fonction ponntill t = 1 + t + t2 2 + t 6 + t ε (t) avc lim Sa parti régulièr st l polynôm 1 + t + t2 2 + t 6 On prnd un primitiv d ctt fonction polynôm; On obtint : t t + t t t4 4 = t! + t4 4! L polynôm t! + t4 rssmbl à la parti régulièr du dévloppmnt limité d'ordr 4 n 0 d la 4! fonction ponntill (il manqu la constant 1). On sait qu la fonction ponntill st la primitiv sur IR d la fonction ponntill, qui prnd la valur 1 n 0. b) cas général Soit f un fonction admttant un dévloppmnt limité d'ordr n n 0 t soit F un primitiv d f sur un intrvall I contnant 0. On obtint la parti régulièr du dévloppmnt limité d'ordr n + 1 d F n «intégrant trm à trm» la parti régulièr du dévloppmnt limité d'ordr n n 0 d f t n ajoutant la constant F(0). Si f(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t a n t n + t n (t), avc lim (t) = 0, t fi 0 alors F(t) = F(0)+ a 0 t+ a t a t a tn+1 n n tn+1 1 (t), avc lim 1 (t) = 0. t fi 0 c) Empls d'utilisation La fonction F: t ln( 1 + t) st, sur ] 1, + [, la primitiv d la fonction f : t 1, tll qu F(0) = t La fonction t sin t st la primitiv d la fonction t cos t, qui prnd la valur 0 n 0. La fonction t cos t st la primitiv d la fonction t sin t, qui prnd la valur 1 n 0. d) Dl d arctan 1 La fonction f défini sur IR par f() = 2 admt pour primitiv la fonction arctangnt L dl d f au voisinag d zéro st : = ε () L dl4 d la fonction arc tangnt au voisinag d zéro st: Arctan = Arctan (0) ε (), On obtint : Arctan = + 4 ε (),

5 On chrch l dl au voisinag d zéro d la fonction h défini sur ] 1 ;1 ] par h() = ln 2 + Soit f t g ls du fonctions définis sur ] 1 ;1 ] par f(u) = ln(1 + u) t g() = 1. On a : h = f og, avc g(0) = 0 t nous connaissons ls dl au voisinag d zéro d f t g = ln f(u) = ln (l + u) = u u2 2 + u + u ε 1 (u), t g() = = + ε 2 () = ε 2 () On pos u = g() t on calcul ls dl au voisinag d 0 d u 2 t u. u 2 = ε 2 () = ε () t u = ε 2 () = 27 + ε 4 () Pour obtnir l dl d ln = ln + 2, on rmplac u, u 2 t u par lur dl dans l dl d ln (1 + u). ln (1 + u) = u u2 2 + u + u ε 1 (u) = ε 2 () = + 2 ( ) + ( ) + ε() = ε() 18 + ε () ε 4 () Donc h () = = ε(), avc lim 0 ε () = 0. La formul obtnu st l dl d h () au voisinag d 0.