Exemple d examen. Université du Sud Toulon-Var. Étude mathématique et numérique de systèmes hyperboliques de lois de conservation.

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1 Masère 2 Recherche 2009/2010 Mahémaiqes Opimisaion & Physiqe Mahémaiqe Eemple d eamen Éde mahémaiqe e nmériqe de sysèmes hyperboliqes de lois de conservaion. Universié d Sd Tolon-Var Drée de l épreve : 3 heres. Ce sje, de 5 pages, compore 3 eercices indépendans. À l inérier de chacn, les secions e de nombreses qesions son elles-mêmes rès largemen indépendanes enre elles. Le ee es long, mais il n es pas nécessaire de o faire por obenir la noe maimale. Une grande valer sera aribée à la riger des raisonnemens. Porables, calclarices, polycopiés e livres sricemen inerdis. Noes personnelles aorisées. Acn raisonnemen vage o insffisan ne sera pris en compe. Toe qesion où les noaions de l énoncé ne seraien pas respecées se verra ariber la noe zéro. Il sera en compe de la présenaion e de la rédacion dans l évalaion de la copie. 1/19

2 Eercice I : résolion analyiqe d ne éqaion hyperboliqe non linéaire monodimensionnelle Soi l éqaion hyperboliqe non-linéaire 1. Considérons la donnée iniiale + 1 ) 2, 0) = g) = 0, R, > 0. 0, si < 0, 2, si > 0. Tracer les caracérisiqes dans le plan, ). Calcler epliciemen l niqe solion enropiqe de ce problème de Riemann por > 0 e racer la solion à différens emps. 2. Considérons la donnée iniiale 1, si < 0,, 0) = g) 0, si 0 < < 1, 1, si > 1. Tracer les caracérisiqes dans le plan, ). Calcler epliciemen l niqe solion enropiqe de ce problème de Riemann por 0 < < 1. Calcler epliciemen l niqe solion enropiqe de ce problème de Riemann por > 0 e racer la solion à différens emps. 2/19

3 Eercice II : éde mahémaiqe d n sysème de lois de conservaion monodimensionnel On ve édier n modèle qi décri la dynamiqe d n gaz isenropiqe en coordonnées lagrangiennes. On noe, ) > 0 le volme spécifiqe d flide,, ) R sa viesse e p p) > 0 sa pression. Dans o l eercice la pression sera ne foncion de classe C 2 sricemen décroissane e convee : 1 p ) < 0, p ) > 0. En dimension n d espace, on modélise ce ype d écolemens par le p-sysème : = 0, avec R, > 0. 1) + p) = 0, 1. Trover les vecers W : R + R R 2 e FW): R 2 R 2 els qe le sysème 1) s écri W + FW) = Le sysème 1) se réécri, por des solions réglières, sos la forme qasi-linéaire W + AW) W = 0. 2) Monrer qe la marice AW) s écri ) 0 1 p. ) 0 3. Calcler les de valers propres λ 1 W) e λ 2 W) de la marice AW). Afin de fier les noaions on ordonne les de valers propres selon λ 1 W) < λ 2 W). Proposer ne base associée de vecers propres à droie r 1 W), r 2 W)}. En dédire qe le sysème 2) es sricemen hyperboliqe. 4. Vérifier qe les champs 1 e 2 son vraimen non linéaires. 5. On noe I k l invarian de Riemann d k-ème champ caracérisiqe. Monrer q n choi possible por I 1 e I 2 es I 1 = p r)dr, I 2 = p r)dr. 6. Cherchons mainenan ne enropie por le sysème 1). Monrer qe la foncion es ne enropie d sysème avec fl d enropie ηw) = pr)dr 0 ΦW) = p). 7. Por n éa gache = L, L ) donné on cherche les éas W =, ) qi peven êre relié à par ne onde de choc enropiqe Considérons le 1-champ Monrer qe < L, < L. 1. Un eemple de loi de pression qi vérifie ces hypohèses es la sivane p) = γ, γ > 1, qi décri le comporemen d n gaz parfai polyropiqe isenropiqe. 3/19

4 Calcler en foncion de L, L e. Pls précisemen, monrer qe pe se mere s la forme = L + d L, ) en eplician la foncion d. Édier la foncion = L + d L, ) e racer son graphe dans le plan, ) Reprendre la qesion por le 2-champ. 8. Por n éa gache = L, L ) donné on cherche les éas W =, ) qi peven êre relié à par ne onde de déene Considérons le 1-champ Monrer qe > L, > L Calcler e σ 1 viesse d 1-choc) en foncion de L, L e. Pls précisemen, monrer qe pe se mere s la forme = L + r L, ) en eplician la foncion r. Édier la foncion = L + r L, ) e racer son graphe dans le plan, ) Reprendre la qesion por le 2-champ. 9. À l aide d dessin d onde dans le plan, ) résodre le problème de Riemann : por n éa gache e n éa droi on consrira ne solion composée d ne 1-onde e d ne 2-onde séparan n éa inermédiaire W. On précisera les valers de ce éa inermédiaire ainsi qe les viesses des ondes. Aide : il fa considérer cinq configraions différenes.) 4/19

5 Eercice III : éde d n schéma nmériqe por l approimaion d ne éqaion hyperboliqe linéaire monodimensionnelle On considère l éqaion d advecion linéaire qe l on approche par le schéma à n pas de emps n+1 j n j + a = 0 3) + a αn j+2 + β n j+1 + γ n j + δ n j 1 + ε n j 2 où e son respecivemen le pas d espace e de emps e α, β, γ, δ e ε des consanes. 1. Représener le sencil de cee famille de schémas. = 0 4) 2. À qelle condiion nécessaire e sffisane poran sr α, β, γ, δ e ε le schéma 4) es-il consisan avec l éqaion 3)? À qel ordre? 3. Mere le schéma sos forme conservaive. 4. Soi γ = ε e α = β = δ = 0. À qelle condiion nécessaire e sffisane poran sr c a le schéma correspondan es-il sable a sens L 2? On rappelle qe por édier la sabilié a sens L 2 d n schéma on considère des solions discrèes pariclières d ype n j = A n e iξj ) 5) où A es l amplide e ξ la fréqence de cee solion, andis qe i désigne la racine complee de 1. On di qe le schéma es sable a sens L 2 si A 1 por o ξ R. 5. Dans les condiions d poin précéden, le schéma es-il convergen? 5/19

6 Correcion de l eercice I On a + q) = 0 avec q) = 1 ) 2 1. L éqaion de la caracérisiqe de pied ξ, 0) es = 2, q ) = 1 2 2, q ) 1 r) = 1 2 r. ) ) = ξ + q 1 gξ)) = ξ + 2 gξ) = ξ + 1 2, si ξ < 0, ξ 3 2, si ξ > 0. L niqe solion enropiqe présene ne onde de choc qi par en 0, 0). Por calcler l éqaion = s) de l onde de choc on ilise les relaions de Rankine-Hgonio s ) = q Rs), )) q L s), )) R s), ) L s), ) = R 2 R) L 2 L) 2 R L ) = 1 R L 2 = 1 2 avec la donnée iniiale s0) = 0. On rove donc = s) = 1 2. L niqe solion faible enropiqe es donc, ) = 0, si < /2, 2, si > /2. = 0 = 0.5 = 1 2. L éqaion de la caracérisiqe de pied ξ, 0) es ) ) = ξ + q 1 gξ)) = ξ + 2 gξ) = ξ + 3 2, si ξ < 0, ξ + 1 2, si ξ < 0, ξ 1 2, si ξ > 0. 6/19

7 0 1 La solion présene a moins de ondes de choc qi paren l ne de 0, 0), l are de 1, 0). Por calcler l éqaion = s) de ces de ondes on ilise les relaions de Rankine-Hgonio : choc de pied 0, 0) : s ) = q Rs), )) q L s), )) R s), ) L s), ) = R 2 R) L 2 L) 2 R L ) = 1 R L 2 = 1 avec la donnée iniiale s0) = 0 ; on rove = s) = ; choc de pied 1, 0) : s ) = q Rs), )) q L s), )) R s), ) L s), ) = R 2 R) L 2 L) 2 R L ) = 1 R L 2 = 0 avec la donnée iniiale s0) = 1 ; on rove = s) = 1. Les de ondes s inersecen en 1, 1) donc la solion faible enropiqe por 0 < < 1 es 1, si <,, ) = 0, si < < 1, 1, si > 1. Por > 1 les de ondes de choc von ineragir e on obien ne niqe onde de choc don l éqaion es calclée encore à parir des condiions de Rankine-Hgonio : s ) = q Rs), )) q L s), )) R s), ) L s), ) = R 2 R) L 2 L) 2 R L ) = 1 R L 2 = 1 2 avec la donnée iniiale s1) = 1 ; on rove = s) = L niqe solion faible enropiqe por > 0 es donc 1, < min, },, ) = 0, min, } < < ma , 1}, 1, > ma , 1}. 7/19

8 = 0 = 0.5 = 1 = 1.5 8/19

9 Correcion de l eercice II 1. On a V + FV) = 0 avec V = ), FV) = 2. On développe les dérivées d sysème 1) por des solions réglières : = 0, + p ) = 0, e on rove le sysème qasi-linéaire sivan : ) p ) 0 ) ) = ) 0. 0 ). p) 3. On cherche les de solions λ k W) de l éqaion deaw) λw)id) = 0, i.e. de l éqaion λ) 2 p )) 2 = 0. On obien λ 1 W) = p ) < 0 < λ 2 W) = + p ). On pe alors prendre ) ) 1 r 1 W) = 1 p, r 2 W) = ) p. ) Pisqe p ) 0, les valers propres son réelles e disinces donc le sysème 1) es sricemen hyperboliqe. 4. Por déerminer la nare des de champs caracérisiqes on calcle λ k r k por k = 1, 2 : ) ) p ) p ) λ 1 W) r 1 W) = + p ) = p 2 > 0, 1-champ VNL, p ) ) p ) λ 2 W) r 2 W) = p ) p ) Éan donné q acn champ es LD, il n y ara acne disconinié de conac. 5. On vérifie qe I k W) r k W) = 0 por k = 1, 2 : ) p r)dr 0 I 1 W) r 1 W) = + ) p r)dr 0 I 2 W) r 2 W) = = p 2 < 0, 2-champ VNL. p ) p r)dr + p 0 ) ) p ) + 0 p r)dr 6. Por vérifier qe η es ne enropie d sysème 1) avec le fl d enropie Φ, on monre qe W ΦW) = W ηw) AW). = 0, = 0. Or, donc W = ), ΦW) = p), W ΦW) = p ) ) p) 9/19

10 e d où Donc W ηw) AW) = ηw) = pr)dr 0 W ηw) = ) T p) ) p). ) 0 1 p = ) 0 p ) ) = p) W ΦW). Il ne rese à prover qe la conveié de l enropie en calclan la marice hessienne : d 2 p ) ) 0 ηw) =. 0 1 Pisqe p ) < 0 l enropie es bien convee. 7. Éde des chocs. On cherche à déerminer les éas drois W =, ) qi peven êre reliés à n éa gache = L, L ) par ne disconinié de viesse σ champ : la condiion d enropie La) por k = 1 demande à ce qe la viesse σ 1 d 1-choc vérifie λ 1 W) < σ 1 < λ 2 ), σ 1 < λ 1 ), c es-à-dire p ) < σ 1 < p L ), σ 1 < p L ), donc p ) < σ 1 < p L ) < 0. Pisqe p es convee alors p es croissane donc < L. En ilisan les relaions de Rankine-Hgonio on rove σ1 = L L, σ 1 = p) p L) L, donc, pisqe σ 1 < 0, on a < L. On concl donc qe les éas W =, ) qi peven êre reliés à n éa gache = L, L ) par n 1-choc doiven saisfaire les de inégaliés < L, < L En éliminan σ 1 dans les relaions de Rankine-Hgonio on rove = L + d L, ) por < L avec d L, ) = p L ) p)) L ) e la viesse d 1-choc es p) p σ 1 = L ). L De pls, ) = p ) L ) + p) p L ) 2 p) p L )) L ) > 0, por < L, ) = < 0, por < L. 10/19

11 On a donc les graphes sivans : L = σ 1 L champ : la condiion d enropie La) por k = 2 demande à ce qe la viesse σ 2 d 2-choc vérifie λ 2 W) < σ 2, λ 1 ) < σ 2 < λ 2 ), c es-à-dire p ) < σ 2, p L ) < σ 2 < p L ), donc 0 < p ) < σ 2 < p L ). Pisqe p es convee alors > L. En ilisan les relaions de Rankine-Hgonio on rove σ2 = L L, σ 2 = p) p L) L, d où < L. On concl donc qe < L, > L Les relaions de Rankine-Hgonio donnen assi = L + d L, ) por > L avec d L, ) = p) p L )) L ) e la viesse d 2-choc es De pls, σ 2 = ) = p ) L ) + p) p L ) 2 p) p L )) L ) p) p L ). L < 0, por > L, ) = > 0, por > L. On a donc les graphes sivans : 11/19

12 L = σ 2 L 8. Éde des déenes. On cherche à déerminer les éas drois W =, ) qi peven êre reliés à n éa gache = L, L ) par ne onde de déene champ : Dans ne déene les invarians de Riemann son conservés. Ici k = 1 d où I 1 ) = I 1 W) donc = L + p y)dy. L Pisqe p es convee, la condiion λ 1 ) < λ 1 W) impliqe > L e > L On obien ainsi = L + r L, ) por > L avec r L, ) = p y)dy. De pls, L ) = p ) > 0, por > L, ) = p ) p ) < 0, por > 2 L. On a donc les graphes sivans : L = λ 1 ) = λ 1 ) L champ : Dans ne déene les invarians de Riemann son conservés. Ici k = 2 d où I 2 ) = I 2 W) donc = L p y)dy. L Pisqe p es convee, la condiion λ 2 ) < λ 2 W) impliqe < L e > L. 12/19

13 On obien ainsi = L + r L, ) por < L avec r L, ) = L p y)dy. De pls, On a donc les graphes sivans : ) = p ) < 0, por < L, ) = p ) p ) > 0, 2 por > L. L L = λ 2 ) = λ 2 ) Récapilaif : qel qi soi = L, L ), le demi-plan R + R se décompose en qare zones séparées par les qare demi-corbes 1-choc, 2-choc, 1-déene e 2-déene. L III 2-déene IV 1-déene I II L 2-choc 1-choc 9. Soi n problème de Riemann avec les de éas consans donnés sivans : ) ) L R =, =. La solion es consiée de rois éas consans séparés par de ondes. L R 13/19

14 1-onde W 2-onde Por eplicier cee solion on cherche à définir l inconne W ) = à l aide de l éde des ondes précèden. On a cinq cas possibles : Cas 1) 1-choc e 2-choc il correspond a cas où apparien à la zone II) = σ 1, W ) = σ 2 W, ) W L niqe solion faible enropiqe es, W, ) = W,, si < σ 1 L, ), si σ 1 L, ) < < σ 2, R ), si > σ 2, R ), avec σ 1 L, ) = σ 2, R ) = p ) p L ) L, p R ) p ) R e e es l niqe solion d sysème = L p ) p L )) L ), R = p R ) p )) R ). Cas 2) 1-choc e 2-déene il correspond a cas où apparien à la zone III) 14/19

15 = σ 1, W ) W = λ 2 W ) = λ 2 ) L niqe solion faible enropiqe es, si < σ 1 L, ), W, si σ 1 L, ) < < p ), W, ) = W 2 de, si p ) < < p R ),, si > p R ), avec W 2 de = σ 1 L, ) = f ), f ) p s)ds p ) p L ) L, ) γ, fξ) ξ ) 2 γ+1 e e l niqe solion d sysème = L p ) p L )) L ), R R = p y)dy. Cas 3) 1-déene e 2-choc il correspond a cas où apparien à la zone I) = σ 2 W, ) = λ 1 ) = λ 1 W ) W L niqe solion faible enropiqe es, W W, ) = 1 de, W,, si < p L ), si p L ) < < p ), si p ) < < σ 2, R ), si > σ 2, R ), avec σ 2, R ) = p R ) p ) R, 15/19

16 f W 1 de = ), ) γ f ) p, fξ) s)ds ξ e e l niqe solion d sysème = L + L p y)dy, R = p R ) p )) R ). Cas 4) 1-déene e 2-déene sans formaion d vide il correspond a cas où apparien à la zone IV e les donnés de Riemann ne son pas rop éloignées) ) 2 γ+1 = λ 1 ) = λ 1 W ) W = λ 2 W ) = λ 2 ) L niqe solion faible enropiqe es, si < p L ), W 1 de, si p L ) < < p ), W, ) = W, si p ) < < p ), W 2 de, si p ) < < p R ),, si > p R ) avec f W 1 de = ), ) f f ) p, W 2 de = ), ) γ f s)ds ) p, fξ) s)ds ξ e e l niqe solion d sysème = L + R = L R p y)dy, p y)dy. Cas 5) 1-déene e 2-déene avec formaion d vide il pe se générer le vide lorsqe apparien à la zone IV ) ) 2 γ+1 = λ 1 ) = λ 2 ) 16/19

17 Correcion de l eercice III 1. Sencil : i,n+1) i 2,n) i 1,n) i,n) i+1,n) i+2,n) Si les cinq coefficiens α, β, γ, δ e ε son non nls alors on a n schéma à de pas en emps e à cinq poins en espace. 2. On pose c a. On remplace n i roncare par n i 1 par i, n ) où es ne foncion réglière e on défini l errer de [ ] i, n+1 ) + cα n i+2 + cβ n i+1 + cγ 1) n i + cδ n i 1 + cε n i 2. On fai des développemens de Taylor en aor d poin i qi condisen à n i i±2, n ) = i, n ) ± 2 i, n ) + 2 ) i, n ) + O ) 3 ) i±1, n ) = i, n ) ± i, n ) + ) i, n ) + O ) 3 ) = 1 i, n+1 ) [ ] + c α + ε) i, n ) + α ε)2 i, n ) + α + ε)2 ) i, n ) + O ) 3 ) [ ] + c β + δ) i, n ) + β δ) i, n ) + β + δ) ) i, n ) + O ) 3 ) } + cγ 1) i, n ) = = i, n+1 ) α + β + γ + δ + ε)c 1) i, n ) + + c2α + β δ 2ε) i, n )+ + c2α + β + δ + 2ε) ) i, n )+ + c O )3 ). En faisan n développemen de Taylor en aor d poin n on a i, n+1 ) = i, n ) + i, n ) + ) i, n ) + O ) 3 ). éan solion de l éqaion de ranspor, on a i, n ) = a i, n ) 17/19

18 e par dérivaion de l éqaion de ranspor d où 2 2 i, n ) = a i, n ) i n = α + β + γ + δ + ε)c i, n ) + + c2α + β δ 2ε) ) a i, n )+ ) + c2α + β + δ + 2ε) )2 + a i, n )+ + c O )3 ) + O ) 2 ). Donc le schéma es consisan si e selemen si α + β + γ + δ + ε = 0. Éan donné qe c a, on a n i = O ) + )) si e selemen si γ = α + β + δ + ε) e 2α ε) + β δ = 0 e on a n i = O ) 2 + ) 2 ) si e selemen si γ = α + β + δ + ε), 2α ε) + β δ = 0 e 2α + ε) + β + δ = Por mere le schéma n+1 i = n i a αn i+2 + β n i+1 + γ n i + δ n i 1 + ε n i 2) sos la forme conservaive n+1 i = n i + [ f n i 1/2 fi+1/2] n il fa calcler le fl nmériqe q ici es de la forme fi 1/2 n A n i 2 + B n i 1 + C n i + D n i+1 e il ne rese qe calcler les qare coefficiens A, B, C e D. On a donc n+1 i = n i + [ f n i 1/2 fi+1/2 n ] = = n i + [An i 2 + B A) n i 1 + C B) n i + D C) n i+1 D n i+2] A = aε, B A) = aδ, C B) = aγ, D C) = aβ, D = aα, e on obien D = aα, C = aα + β), B = aα + β + γ) e A = aα + β + γ + δ) = aε. 4. Soi γ = ε e α = β = δ = 0, c es-à-dire n+1 j = n j cγ n j n j 1), c a. Por édier la sabilié a sens L 2 d schéma on ilise l analyse de Forier : por k Z, le coefficien de Forier û n k) de la solion d schéma vérifie [ û n+1 k) = 1 cγ + cγe iπk2 )] û n k). En noan ξ 2πk, on a û n+1 k) = [ 1 cγ + cγe iξ] û n k). 18/19

19 Après simplificaion on obien avec û n+1 k) 2 = Ak) 2 û n k) 2 Ak) 2 [cγ cos ξ + 1 cγ)] 2 + cγ) 2 sin 2 ξ = = 1 + 2cγ1 cγ)cos ξ 1). On a Ak) 1 2cγ1 cγ)cos ξ 1) 0 c 1 γ. Por 0 c 1 γ on a Ak) 1 por oe fréqence k Z, ce qi prove qe le schéma es sable en norme L 2 sos la condiion CFL 0 c 1 γ. 5. Un schéma linéaire consisan e sable es convergen d après le héorème de La. Le schéma donné es donc convergen sos la condiion CFL ci-desss. 19/19