DEUG MIAS 1 Année Premier et deuxième semestres Feuilles de Cours

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1 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 1 DEUG MIAS 1 Année Premier et deuxième semestres Feuilles de Cours Toutes les fiches de cours distribuées ux étudints pendnt l nnée sont réunies ici. Pour le premier semestre, elles prennent plutôt l forme d un résumé ; u deuxième semestre elles sont un peu plus détillées. Le cours du dernier tiers du deuxième semestre portnt sur les équtions différentielles, et sur l théorie des groupes, n ps donné lieu à distribution de fiches ux étudints. Je remercie Stephn de Bièvre : son polycopié servi de bse commune ux enseignements du premier semestre, et ussi à une lrge prt du deuxième semestre, dns les qutre sections du Deug Mis. Les fiches réunies ici ne devient servir ux étudints que de résumé ide-mémoire cr ils bénéficiient déjà du support donné pr le polycopié de Stephn. J i enseigné à l section 3 u premier semestre et ux sections 3 et 4 u deuxième semestre. Jen-Frnçois Burnol, le 4 juin mi 2006 : petites méliortions dns les sections 1 à 7 du chpitre de présenttion de l intégrle de Riemnn. Tble des mtières I Nombres 5 1 Arithmétique Nombres rtionnels Nombres réels II Suites et Séries 8 1 Suites et limites Séries

2 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 2 III Fonctions continues 10 1 Définition et premières propriétés Théorème des vleurs intermédiires Fonctions réciproques Quelques fonctions prticulières Deux démonstrtions difficiles IV Limites (finies ou infinies) de fonctions en un point (ou à l infini) 13 V L Dérivée, notion fondtrice du Clcul, notion fondmentle pour toutes les Mthémtiques 16 1 Définition Règles de Clcul Dérivée et sens de vrition : le Théorème Fondmentl Le Théorème des ccroissements finis et utres «gros» théorèmes Nottion différentielle VI Les fonctions trigonométriques, exponentielle, logrithme 22 1 Continuité, dérivbilité, et encdrement des fonctions trigonométriques Logrithme et exponentielle Représenttions de l fonction exponentielle, fonctions hyperboliques 25 4 Représenttion de l fonction logrithme VII Dérivées secondes, convexité, DL à l ordre 2 27 VIII Les Nombres Complexes 28 1 Coordonnées crtésiennes et polires Anneux et corps en très bref Le corps des nombres complexes Rcines, Équtions, Exponentielle Complexe

3 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille Polynômes, fonctions polynomiles, division euclidienne, fctoristion, en TRÈS bref IX Développements Limités 36 1 Définitions Formule de Tylor et Applictions Règles de clcul Équivlents X L intégrle de Riemnn 42 1 Premiers énoncés principux Quelques démonstrtions Fonctions continues Reltion de Chsles, linérité, positivité Autres propriétés de l intégrle de Riemnn Fonctions en esclier Les théorèmes fondmentux du Clcul L formule d intégrtion pr prties Les deux formules de chngement de vrible Intégrles «impropres» Rectngles, Trpèzes, Simpson Théorèmes de l Moyenne Polynômes d interpoltion XI Primitives et Frctions Rtionnelles 57 1 L nottion intégrle pour les primitives Décomposition en éléments simples et Primitives de frctions rtionnelles Quelques intégrles indéfinies que l on sit exprimer vec l ide des «fonctions élémentires», sin, cos, exp, sh, ch, log, de leurs fonctions réciproques et des frctions rtionnelles

4 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 4 XII Algèbre linéire 60 1 Méthode de réduction de Guss-Jordn Espces vectoriels et indépendnce linéire Théorème de l dimension Théorème de l bse incomplète Intersections, sommes de sous-espces Théorème du Rng Applictions linéires Chngement de bse Morphismes Équtions et espces ssociés à une mtrice Inverses, Déterminnts, Crmer

5 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 5 I Nombres 1 Arithmétique Entiers nturels, entiers reltifs, frctions. Ensembles N, Z, Q. Première évoction de R : 2 / Q,10 1/3 Q. Divisibilité : b. Congruences «modulo m». Addition et multipliction «modulo m». Division euclidienne : quotient euclidien et reste euclidien. Restes et congruences. On écrit k b si k b et k est le plus grnd possible. Si 2 k n et 2 l m lors 2 k+l nm (on peut utiliser cel pour montrer x Q x 2 2,x 3 10, etc...). L règle pour les mrche ussi vec 3 ou 5 à l plce de 2 mis ps vec 4 ou 6. Nombres premiers et nombres composés. Tout entier 2 dmet un diviseur premier. L liste des nombres premiers ne s rrête jmis (Y! + 1). Tout entier non nul est le produit d un signe (±1) et d un nombre fini de nombres premiers. Le Lemme d Euclide : si p ne divise ni ni b lors il ne divise ps b. Ou encore : si p b lors p ou p b (ou les deux, le «ou» n est jmis exclusif en mthémtiques). Plus générlement si p premier ne divise ucun des termes d un produit lors il ne divise ps le produit. En prticulier si p ne divise ps lors p ne divise ps n. Si p est premier et p k m et p l n lors p k+l mn. L décomposition en fcteurs premiers est unique à l ordre des fcteurs près. Critère de divisibilité fourni pr l décomposition en fcteurs premiers. Notion de pgcd(, b). Clcul grâce à l décomposition. Si d et d b lors d pgcd(, b). Notion de ppcm(,b). Clcul grâce à l décomposition. Si X et b X lors ppcm(,b) X. pgcd(, b)ppcm(, b) = b. L lgorithme d Euclide découle de pgcd(, b) = pgcd(b, Y b) en prticulier = pgcd(b,r) vec = qb + r (division euclidienne). Dernier reste non nul est le pgcd. Il existe x,y Z vec pgcd(,b) = x + yb. Entiers premiers entre eux. Si 1, 2,..., n sont chcun premiers vec b lors le produit 1 n est premier vec b. Théorème de Bezout : les entiers de l forme x + yb sont exctement les multiples de pgcd(, b).

6 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 6 En prticulier et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe x,y Z vec x + yb = 1. Le Théorème de Guss : si bc et si est premier vec b lors c. Équtions linéires vec des congruences. Équtions diophntiennes linéires (solution prticulière pr Bezout, puis solution générle pr le Théorème de Guss). Une frction A/B est dite écrite sous forme irréductible si A et B sont premiers entre eux et B 1. Existence et unicité, toutes les utres expressions sont de l forme ka/kb (grâce u théorème de Guss). Si A/B est irréductible lors A n /B n est irréductible. Si un nombre rtionnel une puissnce qui est un entier lors il s gissit déjà d un entier. Le Petit Théorème de Fermt. Le système RSA. 2 Nombres rtionnels Si 0 < A < B l lgorithme de l École Primire fournit les «chiffres près l virgule» pour l frction A B : 10A = x 1B +R 1, 10R 1 = x 2 B +R 2, etc...donnent 0,x 1 x 2 x 3... Si B est premier vec 10 : on considère l ensemble C B des entiers compris entre 0 et B et premiers vec B. L ppliction F de «multipliction pr 10» modulo B est une ppliction de C B sur lui-même. Le N e chiffre près l virgule est obtenue en ppliqunt F N 1 fois à x = A ce qui donne y puis finlement on envoie ce y sur le quotient euclidien de 10y pr B. On 10 N 1[B] vec N = #C B. Vleur de #C B pour B = p premier, ussi pour B = pq. Si L est le plus petit vec 10 L 1[B] lors toutes les orbites de F sur C B ont longueur L. Toute frction irréductible A B vec B premier vec 10, et B > 1 des «chiffres près l virgule» périodiques, vec une période (u plus) L, tout de suite près l virgule. Si B est de l forme 2 k 5 l les chiffres sont tous nuls u delà des mx(k,l) premiers. Si B = 2 k 5 l C vec C > 1 premier vec 10, l période commence mx(k,l) chiffres près l virgule. Aprté ensembliste : pplictions injectives, surjectives, bijectives. Vers les nombres réels : sommes infinies, séries, limites. Théorème : A B = k=1 x k En prticulier 1/9 = k=1 1. Plus générlement 1 10 k 99 = 1 1 k=1, 100 k 999 = 1 k=1 etc k, 1000 k Si l période débute près l virgule et est de longueur N lors A B = 10 N 1 vec A Y = x 1...x N (écriture en bse 10). Si B est irréductible cel montre que B est Y

7 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 7 premier vec 10 et que N vérifie 10 N 1[B]. Compte tenu de ce qui précède on obtient que l longueur de l période (pour B premier vec 10) est indépendnte de A et est égle u plus petit L vec 10 L 1[B]. Exemples. Les nombres «réels» : c est ce que l on obtient en utorisnt n importe quels chiffres 0, 1,..., ou 9 près l virgule sns contrinte de périodicité. 3 Nombres réels Nous dmettons le théorème suivnt : il existe un ensemble R dont les éléments sont ppelés «nombres réels». Cet ensemble R contient Q comme sous-ensemble et vérifie : A : il y sur R des notions de <,,+,,,/, comptibles vec ce qui se psse sur Q, et respectnt les mêmes règles (x > 0 et y > 0 implique xy > 0, x(y + z) = xy + xz, etc...). B : à tout nombre réel x est ssocié un entier reltif noté [x] ou E(x), ppelé «prtie entière de x», et qui est l unique entier n tel que n x < n + 1. C : si le nombre réel x vérifie toutes les inéglités 1 N < x < 1 N, pour les entiers N 1, lors il est nul : x = 0 (xiome dit d Archimède qui interdit les «infiniment petits»). D : Pour tout choix de chiffres x k {0,1,...,9}, k N,k 1, il existe dns R un nombre réel x qui est l «somme infinie» x k k=1. Somme infinie = limite 10 k des sommes prtielles (une limite d une suite, si elle existe, est unique pr l xiome d Archimède C). L intuition : «nombres réels = points sur une droite», en fit une droite grduée pr les entiers reltifs n Z, puis plus finement pr les n 10, plus finement encore pr, etc...est une bonne intuition. les n 100 On peut effectivement «construire» R pr différents procédés, et l méthode directe qui consiste à définir un nombre réel compris entre 0 et 1 comme une suite de chiffres près l virgule est d illeurs l un de ces procédés. Mis l vérifiction de A est lors fstidieuse, cr il fut expliquer comment on dditionne, comment on multiplie, puis vérifier toutes les règles usuelles. De plus une telle construction ferit jouer à 10 un rôle spécil qui n est en rien intrinsèque à R (et puis il y les mbiguïtés du type 0, = 0, , mis on peut montrer qu il s git là de l seule mbiguïté : si 0 x < 1 il lui est ssocié des «chiffres près l virgule» x k uniquement déterminés pr x = k=1 x k 10 k et l interdiction que cel se termine pr une infinité de 9 ). Comme il y plusieurs constructions distinctes possibles de R, on peut se demnder si il n y ps en fit plusieurs ensembles «R»...En tnt qu ensembles, oui il y en plusieurs. Mis ils sont tous mutuellement en bijection, d une mnière respectnt l ddition et l multipliction et les inéglités, et ces bijections sont uniques. C est en ce sens que «R» est unique. Un point essentiel à retenir c est que l notion de limite (donc de suites et de séries) est intrinsèque à l fbrique même de R.

8 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 8 Le pssge de Q à R prît être une chose compliquée, en fit c est ussi une simplifiction qui nous éloigne des mystères de l rithmétique. Cette trnsition est nécessire pour nous fire psser dns le domine de l Anlyse : suites, fonctions, continuité, dérivbilité, etc... II Suites et Séries 1 Suites et limites Une suite (u n ) n N de nombres réels est (simplement) une ppliction n u n de N vers R. Prfois les indices n ne débutent que en n = 1 ou même plus loin. Notions de suite mjorée, minorée, bornée, croissnte, décroissnte, constnte, à vleurs positives, négtives, monotone, strictement monotone, sttionnire à prtir d un certin rng, etc... On dit que «l suite (u n ) tend vers L lorsque n tend vers l infini» ou plus brièvement «l suite (u n ) tend vers L» ou encore «u n tend vers L» ou encore «u n converge vers L» ou encore «u n dmet L pour limite» si le critère suivnt est vérifié : ǫ > 0 M n M u n L ǫ. On note lim u n = L n le «n» étnt optionnel. Le nombre réel L, si il existe est unique et on l ppelle «limite de l suite (u n )». Prfois on écrit u n L u lieu de lim u n = L. On dit que «u n tend vers +» si C M n M u n C. On note : lim u n = + n et on dit que «+ est l limite de l suite (u n )». Notion nlogue pour. On dit qu une suite converge si elle dmet une limite finie. Donc, si elle dmet + comme limite on dit qu elle «diverge vers +». Une suite qui n dmet ps de limite finie est dite «divergente». Elle peut lors dmettre + ou comme limite, mis peut ussi n voir ucune limite. Une suite convergente est nécessirement bornée, mis le contrire est fux : une suite peut-être bornée tout en étnt divergente. Une suite qui converge vers une limite non nulle tous ses termes non nuls à prtir d un certin rng. Le Théorème des suites monotones est très importnt. Il dit que toute suite croissnte qui est mjorée est convergente et que toute suite décroissnte qui est minorée est convergente. Si une suite croissnte n est ps mjorée, elle tend vers l infini. Une suite croissnte dmet donc toujours une limite : soit + soit une limite L finie. De même toute suite décroissnte soit diverge vers soit tend vers une limite L finie.

9 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 9 Autrement dit une suite monotone est convergente si et seulement si elle est bornée. Des suites (u n ) et (v n ) sont dites djcentes si l suite u n est croissnte, l suite v n est décroissnte, si de plus pour tout n on u n v n et finlement si de plus lim(v n u n ) = 0. Théorème des suites djcentes : Des suites djcentes sont nécessirement convergentes vers une limite finie commune L qui est l unique nombre réel stisfisnt toutes les inéglités u n L v n. On ussi le Théorème des encdrements : si pour tout n on u n v n w n et si les suites u n et w n ont l même limite L (éventuellement + ou ) lors l suite v n ussi L comme limite. Attention : près un pssge à l limite les inéglités strictes doivent être remplcées pr des inéglités lrges : si lim u n = L 1 et lim v n = L 2 et si pour tout n (ou pour tout n suffismment grnd) on u n < v n lors on L 1 L 2 mis L 1 = L 2 est possible. Règles diverses pour les sommes, les produits, les quotients (ttention à ne ps diviser pr zéro), les trnsltions, les multiples, les inéglités. Il est équivlent de dire ou d écrire u n L ou u n L 0 ou lim u n = L ou lim u n = L ou u n n L n (pour des risons typogrphiques, dns les formules mthémtiques insérées dns du texte on trouve plus souvent n que, mis à l min on utilise toujours l n deuxième option). Soit k N fixé. Si lim u n = L lors pour l suite déclée v n = u n+k on ussi lim v n = L. On lim n = +, lim 1/n = 0, lim n n k = + pour k 1, lim 10 n = +, lim 10 n = 0, lim n = 0 pour < 1, = 1 pour = +1, = + pour > 1, n dmet ps de limite pour 1, on lim n! = +. n On lim k n 10 = 0, et lim n 10n n! = 0. Autrement dit «les fctorielles tendent plus vite vers l infini que les puissnces de dix, qui elles mêmes tendent plus vite vers l infini que n importe quel polynôme en n». 2 Séries Une série de terme générl x n, n 1, est une suite de nombres réels le plus souvent notés S N (pour N 1), qui sont ppelés «les sommes prtielles de l série» et qui vlent S N = x x N, de sorte que S 1 = x 1, S 2 = x 1 + x 2, et S N+1 = S N + x N+1 pour tout N 1. Pr convention S 0 = 0, cette convention pouvnt être utile pour certines démonstrtions pr récurrence. Au niveu des nottions on écrit S N = N k=1 x k, ou S N = 1 k N x k. Prfois l indice de sommtion k débute en 2 ou plus loin ou encore en 0 (si x 0 été défini, et lors S 0 = x 0 ). On peut ussi ne sommer que sur les vleurs pires de k ou impires, etc..., tout cel étnt précisé en dessous du signe «somme» (Σ, lettre grecque qui est le «sigm mjuscule» mis que l on prononce simplement «somme» dns une série).

10 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 10 Les notions de convergence pour les suites sont ppliquées en prticulier ux séries. Si les sommes prtielles S N de l série de terme générl x k, k 1, ont une limite L (éventuellement + ou ) on écrit L = k=1 Si L n est ni + ni on dit que l série est convergente. Une série à termes positifs ses sommes prtielles formnt une suite croissnte et donc toujours une limite, soit finie, soit +. Comme ppliction du Théorème des suites djcentes, on le Théorème des séries lternées : une série est dite lternée si son terme générl est lterntivement positif et négtif, et si de plus il est décroissnt en vleur bsolue, et si de plus il tend vers zéro. Toute série lternée est convergente, vers une limite L qui est encdrée pr les sommes prtielles de rngs pirs et impirs (qui forment des suites djcentes). Pr exemple il existe un nombre réel L = k=1 ( 1) k k. k=1 x k ( 1) k k et il existe ussi un nombre réel Pr contre l série hrmonique k=1 1 k est divergente : k=1 1 k = +. Cependnt 1 l série de terme générl est convergente. On (Euler) : k 2 k=1 1 = π2 k 2 6. L série géométrique est fondmentle en Mthémtiques. Il s git de l série de terme générl k, pour k 0 (vec l convention 0 = 1). Elle est convergente pour < 1 de somme 1/(1 ), mis divergente pour 1. < 1 k=0 k = 1 1 Pour qu une série soit convergente il est nécessire que son terme générl tende vers zéro. Dns le cs de l série géométrique, c est suffisnt, mis l exemple de l série hrmonique montre que cel ne suffit ps en générl pour grntir l convergence de l série. Dns une série lternée, non seulement le terme générl tend vers zéro, mis de plus on le suppose décroissnt en vleur bsolue, et lterntivement positif et négtif. III Fonctions continues 1 Définition et premières propriétés Une fonction f(x) définie sur un domine D (typiquement un intervlle ou une union d intervlles) est dite continue en x 0 (qui pprtient à D) si pour toute suite u n à vleurs dns D et tendnt vers x 0 on lim f(u n ) = f(x 0 ). Lorsque D = [,b] et que x 0 = on prle de «continuité à droite en x 0 =». Pour b on dit «à guche».

11 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 11 On montre que l on boutit à une notion équivlente si l on convient qu une fonction f(x) définie sur D est continue en x 0 si et seulement si le critère suivnt dit «epsilon-delt» est stisfit : ǫ > 0 δ > 0 x D : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) ǫ Ce critère est souvent pris comme définition, et notre première définition est lors ppelée «critère de continuité pr les suites». Dns le critère «epsilon-delt», on peut utiliser les vrintes vec x x 0 δ u lieu de x x 0 < δ et/ou f(x) f(x 0 ) < ǫ u lieu de f(x) f(x 0 ) ǫ. Montrer que cel boutit à l même notion est un exercice qui nécessite de bien comprendre ce que («quel que soit») et («il existe») signifient exctement. Mis il est indispensble de mintenir ǫ > 0 et δ > 0, sinon l significtion en serit toute bouleversée. Les constntes, trnsltées, multiples, sommes, produits, quotients (ttention de ne ps diviser pr zéro) de fonctions continues en x = x 0 sont continus en x 0. Une fonction polynomile est continue en tout point du domine D choisi (pr exemple D = R). L fonction f(x) = 1/x vec D = R \ {0} est continue en tout x 0 de son domine de définition. Une fonction f(x) est dite «continue sur l intervlle I» si I D et si f(x) est continue en tout x 0 I. Si I = [,b] on dit continue à droite pour, continue à guche pour b. Si f(x) de domine D est continue en x 0 D et si les vleurs prises pr f sont toutes dns le domine de définition E ssocié à une fontion g(y) et si g(y) est continue en y 0 = f(x 0 ) lors l fonction composée g(f(x)) est continue en x 0. Ainsi si f(x) est continue sur [,b] et prtout non nulle, lors l fonction 1/f(x) est ussi continue sur [, b]. 2 Théorème des vleurs intermédiires L notion de continuité en un seul point est ssez délicte à ppréhender, mis on peut se représenter de mnière stisfisnte les fonctions qui sont continues sur tout un intervlle [,b] comme étnt celles dont on peut trcer le «grphe» (le lieu dns le pln des points de coordonnées crtésiennes (x, f(x)), x [, b]) sns lever l crie du tbleu (ou le stylo de l pge). Cel est souligné pr le très importnt Théorème des vleurs intermédiires : Si f(x) est continue sur [,b] lors toute vleur intermédiire entre f() et f(b) est tteinte en (u moins) un x dns l intervlle [,b]. 3 Fonctions réciproques Si f(x) est continue sur [,b] et est strictement croissnte lors pour tout y vec f() y f(b) il existe un unique x [,b] vec f(x) = y. On note x = f 1 (y) et

12 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 12 on dit que l fonction f 1 de domine E = [f(),f(b)] est l fonction réciproque (ou inverse) de l fonction f. L fonction réciproque d une ppliction strictement croissnte est elle-même strictement croissnte. De même, si f est strictement décroissnte, elle dmet une fonction réciproque (elle ussi strictement décroissnte d illeurs). Théorème de continuité des fonctions réciproques : l fonction réciproque d une ppliction continue strictement monotone est elle-même une fonction continue sur tout son intervlle de définition. 4 Quelques fonctions prticulières Les fonctions «rcines nième» x 1/N (N 1) sont définies sur [0,+ [ comme fonctions réciproques des fonctions x x N. Noter que l on écrit x u lieu de y pour l vrible dns l fonction réciproque, le choix d une lettre étnt indifférent. Les fonctions «rcines nième» sont des fonctions continues. En prticulier l fonction x x est continue sur [0, [. L fonction de Heviside H(x) définie selon H(x) = 1 pour x 0 et H(x) = 0 pour x < 0 est continue en tout x 0 0 mis elle est discontinue en x 0 = 0. L fonction f(x) qui vut 1 si x Q mis qui vut 0 si x Q n ucun point de continuité. On montre à cette occsion que pour tout nombre réel x 0 on peut trouver d une prt une suite u n vec lim u n = x 0 et de plus n u n Q et d utre prt une suite v n vec lim v n = x 0 et de plus n v n Q. L fonction xf(x) est continue en x 0 = 0 mis elle est discontinue en tout x 0 0. Ne ps confondre (sur l bse d une générlistion hâtive du comportement de l fonction 1/x) «être discontinue en x 0» vec «ne ps être définie en x 0». Pour qu une fonction puisse être continue en x 0 il fut qu elle soit définie en x 0, mis elle peut tout-à-fit être définie en x 0 sns y être continue. On peut construire une fonction qui est continue en tout nombre irrtionnel, mis qui est discontinue en tout nombre rtionnel. Les points de continuité et de discontinuité d une fonction peuvent donc être terriblement entremêlés. Mis dns l suite du Cours nous urons principlement à considérer des fonctions qui sont continues sur tout un intervlle à l exception de u plus un nombre fini de discontinuités (suts à l Heviside, ou singulrités comme 1/x ou log x en x = 0). 5 Deux démonstrtions difficiles Nous reproduisons ici, de mnière concise et brégée, deux démonstrtions difficiles : Toute suite croissnte mjorée converge : Soit u n une suite croissnte et mjorée strictement pr C. Soit v n = (u n u 0 )/(C

13 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 13 u 0 ). L suite v n est croissnte à vleurs dns [0,1[ et si elle converge lors l suite u n ussi. On peut donc supposer que l suite u n elle-même est en fit à vleurs dns [0,1[. Soit N 1. Regrdons les 10 N intervlles Ik N = [ k, k+1 [ pour 0 k < 10 N. 10 N 10 N Si l un de ces intervlles contient une vleur u m de l suite, lors les intervlles sur s guche ne peuvent contenir que les u n vec n < m, donc u plus un nombre fini de n possibles. Il existe donc exctement l un des intervlles Ik N tel que tous les u n seront dns cet intervlle pour n suffismment grnd. Soit A N l entier k correspondnt à l intervlle en question. Posons y N = A N. Pour n suffismment grnd les u 10 N n sont dns l intervlle I N+1 A N+1 et celui-ci est donc inclus dns IA N N, donc y N y N+1 < y N +10 N. Cel implique que les N premiers chiffres près l virgule pour y N+1 sont ceux de y N, utrement dit on psse de y N à y N+1 en joutnt un (N +1)ième chiffre près l virgule, que nous noterons x N+1. Soit L le nombre réel L = 0,x 1 x 2 x 3 = x k k=1 10 k (nous vons dmis l convergence dns R de séries de ce type). On voit que y N L y N + 10 N, et comme y N u n < y N + 10 N pour tout n suffismment grnd on ussi u n L 10 N pour tout n suffismment grnd. Donc lim u n = L. Le Théorème des vleurs intermédiires : Soit f(x) une ppliction continue sur l intervlle [,b], < b. Supposons pr exemple f() f(b) et soit y vec f() y f(b). Nous définissons pr récurrence une pire de suites djcentes (u n ) et (v n ), vec pour tout n : f(u n ) y f(v n ). On pose, u 0 = et v 0 = b. Supposons connus u n et v n. Si f( un+vn 2 ) y on pose u n+1 = un+vn 2 et v n+1 = v n. Sinon on pose u n+1 = u n et v n+1 = un+vn 2. Dns les deux cs on f(u n+1 ) y f(v n+1 ) et de plus u n u n+1 v n+1 v n et de plus v n+1 u n+1 = (v n u n )/2. Pr récurrence sur n, on v n u n = (b )/2 n n 0. Il s git donc bien d une pire de suites djcentes. Soit L leur limite commune. Comme u n L et que f est continue en L, on f(u n ) f(l). Mis pour tout n on f(u n ) y. Donc f(l) y. Pr illeurs de v n L il vient f(v n ) f(l) mis pour tout n on f(v n ) y donc f(l) y. Ainsi f(l) = y. IV Limites (finies ou infinies) de fonctions en un point (ou à l infini) Soit f(x) une fonction définie sur un certin domine de définition D (une union d intervlles, ouverts ou fermés, llnt ou non jusqu à plus, ou moins, l infini). Soit un nombre réel qui peut pprtenir à D, mis qui peut ussi n être un «pointfrontière» de D. Alors il y plusieurs notions de «limite de f(x) lorsque x tend vers» : limite (dite «à droite») pour x tendnt vers pr vleurs strictement supérieures (définie si il existe b > vec ],b[ D), limite «à guche» pour x tendnt vers pr vleurs strictement inférieures (si il existe b < vec ]b,[ D), limite lorsque x tends vers pr vleurs distinctes, limite lorsque x tend vers (sns utre précision). Chque notion une définition précise et une nottion précise. Pr exemple : on dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers pr vleurs strictement supérieures si ( ) ǫ > 0 δ > 0 x D et < x < + δ f(x) L ǫ

14 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 14 Ce qui précède est une définition. L nottion ser : lim f(x) = L x x> Si il existe effectivement un L qui mrche dns l définition lors il est unique (on impose à D de contenir un intervlle du type ],b[, b > ), et donc on bien le droit de l ppeler «LA limite lorsque etc...». On dit que L est l limite à droite de f(x) en x =. Autre possibilité, très fréquemment employée : on dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers pr vleurs distinctes de si ( ǫ > 0 δ > 0 x D et 0 < x < δ) f(x) L ǫ Ce qui précède est une définition. L nottion ser : lim x x f(x) = L Lorsque est un «point-frontière guche» de D cel équivut à l notion de limite à droite, lorsque un «point-frontière droit» de D, cel équivut à l limite à guche, lorsque D contient un intervlle ] η, + η[ (η > 0), suf peut-être lui-même, l définition équivut à : il y une limite à guche et une limite à droite et elles sont égles. Finlement on dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers si ( ǫ > 0 δ > 0 x D et x < δ) f(x) L ǫ Ce qui précède est une définition 1. L nottion ser : lim f(x) = L x Si / D c est l même chose que l notion précédente, mis si D cel signifie que d une prt l limite L lorsque x tend vers pr vleurs distinctes existe, et que d utre prt L se trouve être exctement f(). Le domine de définition D n est ps reproduit dns l nottion. Il est prfois plus prudent de le rjouter explicitement : lim f(x) = L x, x D À vri dire, c est uniquement si on restreint l fonction f(x) à deux domines D 1 et D 2 tels que D 1 =]0,1[ et D 2 =]1,2[ que l on pourrit voir un problème puisque l même nottion serit lors employée pour une limite à guche en 1 puis une limite à 1. 4 juin 2003 (cette note est pour les collègues) : si dns l définition de lim x f(x) = L on utilise 0 < x < δ lors il est fux que lim x f(x) = L et lim y L g(y) = M impliquent lim x g(f(x)) = M. Je préfère donc (mis ce choix se discute) l convention doptée ici. L nottion lim x x permet d imposer x ; pour les dérivées cel est tcitement entendu.

15 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 15 droite en 1, qui n ont ucune rison d être les mêmes. On pourrit considérer qu une fonction n de sens que lorsque son domine de définition est précisé, et que si on chnge de domine de définition, c est que l on chngé de fonction, et donc on urit tort d employer l même nottion f(x) dns les deux cs. Cette vision est trop rigide, cr on ne veut ps voir à introduire deux nottions différentes, pr exemple pour x 1 x sous prétexte qu on l étudie d bord sur ]0,1[, puis sur ]1,2[. Non, l bonne ttitude c est simplement de toujours svoir exctement ce que l on écrit et si le contexte est suffismment clir pour qu il n y it ps d mbiguïté. De toute fçon si le domine D contient ] η, + η[ (pour un η > 0), suf peut-être, lors l limite si elle existe ne dépend ps de D, cr elle ne dépend que du comportement de f(x) dns ] η, + η[\{}. Il y ussi une définition de lim x f(x) = + (ou ) que vous vous ferez un plisir d écrire vec des «grnd C» et «delt». Et ce pour vec toutes les fçons possibles pour x de «tendre vers». Retour sur l définition de l continuité : Si est dns le domine de définition D, lors on équivlence entre «f(x) est continue u point» et «l limite de f(x) lorsque x tend vers pr vleurs distinctes existe et est égle à f()». Toujours si D on ussi équivlence entre «f(x) est continue u point» et «l limite de f(x) lorsque x tend vers existe» (cr si elle existe elle est forcément égle à f() puisque l on n ps imposé à x de ne prendre que des vleurs distinctes de ). Bref, l continuité de f(x) en x =, qui n de sens que lorsque D, s exprime pr lim x, x = f(x) = f(), ou encore pr lim x f(x) = f(). Dns le polycopié qui vous été distribué, les limites sont presque toujours prises pour x tend vers, x distinct de, mis le symbole x n est ps jouté à l nottion, pour économiser de l sueur typogrphique. Critère fondmentl pr les suites pour l existence et l vleur d une limite : pour que l limite de f(x) existe lorsque x tend vers (suivnt l une des différentes options envisgées) il fut et il suffit que pour toute suite (u n ) n N de limite (et stisfisnt les contrintes u n D et éventuellement u n > ou u n < ou u n suivnt l option envisgée) l suite f(u n ) it une limite et que cette limite soit l même pour toutes les suites (u n ) comptibles à l option envisgée. Le critère pr les suites est souvent utilisé dns le sens réciproque : si lim u n = et si f(x) est continue u point lors lim f(u n ) = f(). Théorème des encdrements : Si f(x), g(x), k(x) sont trois fonctions de même domine de définition, si pour tout x dns ce domine on f(x) g(x) k(x), et si lim x f(x) et lim x k(x) existent et sont égles lors lim x g(x) existe ussi et l même vleur. Ce théorème vut pour toutes les fçons pour x de «tendre vers», à condition bien sûr, que cette option soit ppliquée simultnément ux trois fonctions f, g, k. Le théorème vut ussi lorsque l limite commune est égle à + ou à. Limites à l infini : Lorsque D contient un intervlle ]A,+ [ on peut définir l notion de lim x + f(x), ce que je vous lisse fire pr vous-même en séprnt les cs de limite finie et de limite + ou encore. L limite si elle existe ser d illeurs

16 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 16 indépendnte de A. Notions nlogues pour x. Le théorème des encdrements vut ussi pour les limites à l infini. Sommes, produits, quotients de limites : L limite d une somme est l somme des limites, l limite d un produit est le produit des limites, l limite d un quotient est le quotient des limites sous condition que le dénominteur it une limite non-nulle. Ce qui précède pour des limites finies mis il y ussi certines règles simples (que vous préciserez vous-même) lorsque l une (ou les deux) des limites est plus ou moins l infini. Et tout ce qui précède est pour x (vec x > ou x < ou x ou ucune condition) ou même x ou x. V L Dérivée, notion fondtrice du Clcul, notion fondmentle pour toutes les Mthémtiques 1 Définition On dit qu une fonction f(x) est dérivble en un point de son domine de définition D si l limite suivnte existe : f(x) f() lim x x Si elle existe 2 cette limite est ppelée «dérivée de f u point» et est notée f (). Il est implicite dns cette limite que l on x, puisque l on ne peut ps former le quotient des ccroissements respectifs de f et de x si x =. On peut spéciliser en une notion de dérivée à droite et une dérivée à guche, l «vrie» dérivée n existnt en un point intérieur à D que si les dérivées à droite et à guche coïncident. L formultion suivnte est souvent utile : f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h 2. l phrse «si l limite existe» est musnte, puisque qu est-ce que quelque chose si ce quelque chose n existe ps, et donc si l limite n existe ps est-il même licite de dire «si l limite existe» puisque qu est-ce que «l limite» si elle n existe ps justement? Je vous lisse méditer sur cette question (que, comme vous l urez remrqué, je viens de poser deux fois successivement à l identique). Un élément de réponse c est que lorsqu un mthémticien prle de «limite» son cerveu pense à toute l définition et en prticulier «limite» est ussi une référence à une vision dynmique du quotient différentiel. Le mot «limite» fit référence à l fois à cette vision dynmique qui existe toujours, et à l quntité f () qui elle peut exister ou non. Cel est un exemple où l on voit qu il y toujours plus dns le lngge mthémtique que ce qu ont été cpble de trnscrire en symboles les formlistes, mlgré l illusion dns lquelle semble vivre ces formlistes. C est grâce à cette puissnce du lngge, qui prend s source dns ses mbiguïtés, que certins mthémticiens ont l crétivité qui fit progresser cette discipline de l pensée, lors qu ucun ordinteur jmis n ur de vision poétique de ce que peut-être le futur des mthémtiques, même et surtout si on lui fit ingurgiter l version produite pr un collectif de mthémticiens idéologues frnçis du milieu du vingtième siècle, qui se sont fit ppeler «Bourbki», et qui derrière l fçde d un communutrisme églitire étient des utoritristes crriéristes ssocint l prtique des mthémtiques à l rélistion d un phntsme de pouvoir, de domintion et de présénce.

17 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 17 Lorsque f () existe on dit que l éqution y f() = f ()(x ) est l éqution de l droite tngente u grphe de l fonction f(x) u point de coordonnées (bscisse, ordonnée) : (,f()). On constte en effet que cette éqution s obtient en pssnt à l limite (lorsque b tend vers pr vleurs distinctes) dns l éqution de l droite contennt l corde relint (,f()) à (b,f(b)), éqution qui est y f() = f(b) f() b (x ). Si l fonction est dérivble u point x = elle est ussi continue u point. Mis il existe des fonctions continues non-dérivbles en certins points (comme f(x) = x ) et même il existe des fonctions prtout continues qui ne sont nulle prt dérivbles (c est plus difficile de donner un exemple...). Très souvent l dérivée existe en tout point dns un intervlle ] 0, 1 [, on lors une nouvelle fonction x f (x) sur cet intervlle, que l on ppelle «fonction dérivée de l fonction f(x)». On dit que f est de clsse C 1 sur un intervlle si elle est dérivble vec une dérivée continue sur cet intervlle, de clsse C 2 si elle est dérivble et que s dérivée est de clsse C 1, de clsse C 3 si s dérivée est de clsse C 2, etc.... Si f est dérivble on dit que (f ) est l dérivée seconde (ou du deuxième ordre) de f, et on l note f. Attention, pour que f () puisse être définie il fut que f (x) existe pour tout les x dns un certin intervlle ] η, + η[ contennt. De même on une notion de dérivée tierce (ou du troisième ordre) f. Plus générlement on noter f (n) l nième dérivée de f si elle existe (donc f (2) = f,f (3) = f, etc...). On dit que f est de clsse C (sur un intervlle) si elle dmet des dérivées de tous les ordres (en tout point de cet intervlle). Et, on dit simplement que f est de clsse C 0 si elle est continue. 2 Règles de Clcul L dérivée de l fonction sur R : x x n est l fonction x n x n 1 (n N, n 1 ; vlble ussi pour n = 0 vec l convention que x 0 = 1 et donc l dérivée est nulle.) L dérivée de l fonction sur ]0, [ : x x 1/N est l fonction x 1 N x 1 N 1 (N N, N 1). Il n y ps de dérivée en x = 0 (ou plutôt l dérivée est + ), suf pour N = 1. L somme, le produit, le quotient de deux fonctions dérivbles (en un point) est une fonction dérivble (en ce point) (pour le quotient on demnde que le dénominteur ne soit ps nul en ce point). L dérivée d une combinision linéire αf + βg est l combinison linéire αf + βg des dérivées. Une fonction polynomile est de clsse C, et on P (n) = 0 pour n > deg(p). L dérivée d un produit est donnée pr l Formule de Leibniz : (fg) () = f ()g() + f()g ()

18 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 18 L dérivée d un quotient est donnée pr : ( ) f () = f ()g() f()g () g g 2 () Attention on noté g 2 () pour (g()) 2, que l on peut ussi écrire g() 2, et qui ne doit ps être confondu vec g(g()) ni vec g (). Pr illeurs l fonction f g est l fonction x f(x) g(x). Théorème de l dérivée d une fonction composée : Si f est à vleurs dns E et que g définie sur E est dérivble en f() et que f est dérivble en lors (g f)(x) = g(f(x)) est dérivble en et (g f) () = g (f())f () Plus générlement : (k g f) () = k (g(f())) g (f()) f () (l k g f) () = l (k(g(f()))) k (g(f())) g (f()) f () Théorème de l dérivée d une fonction réciproque : Soit f une fonction continue et strictement croissnte (ou strictement décroissnte) sur un intervlle I (fini ou infini) et soit f 1 son ppliction réciproque de f(i) (qui est un intervlle) vers I. Si f est dérivble en et si f () 0 lors f 1 est dérivble en b = f() et (f 1 ) (b) = 1 f () = 1 f (f 1 (b)) Le théorème est vlble même si est un point-frontière de I mis il s git lors de dérivée à droite ou à guche suivnt les cs de figure. Attention à l nottion très dngereuse f 1 qui ne doit ps être entendue comme fisnt référence à l fonction x 1/f(x) ou encore à une «dérivée d ordre 1» (primitive) de f. À ce propos on dit que F est une primitive de f si f = F. 3 Dérivée et sens de vrition : le Théorème Fondmentl Théorème. Soit f(x) une fonction dérivble sur un intervlle I. Si f (x) est à vleurs positives ou nulles, lors f(x) est croissnte. Si f (x) est à vleurs strictement positives lors f(x) est strictement croissnte. Si f (x) est à vleurs négtives ou nulles, lors f(x) est décroissnte. Si f (x) est à vleurs strictement négtives lors f(x) est strictement décroissnte. Si f (x) est identiquement nulle lors f(x) est constnte. Réciproquement si f est constnte s dérivée est identiquement nulle, si f est croissnte s dérivée est prtout positive ou nulle, si f est décroissnte s dérivée est prtout négtive ou nulle. Mis si f est strictement (dé)croissnte, il peut y voir tout de même des points où s dérivée s nnule. Attention : lorsque l on dit

19 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 19 «croissnte sur [,b]» on ne dit ps seulement f() f(b), mis en fit on dit : x,y [,b] x y f(x) f(y). Nous vons donné deux démonstrtions de ce théorème. L deuxième démonstrtion consiste à le déduire du Théorème des Accroissements finis, conséquence du Lemme de Rolle, qui lui-même nécessite le Théorème du Mximum, et donc indirectement ussi le Théorème de l Borne Supérieure. Nous donnons ici une vrinte de notre première démonstrtion, qui est indépendnte de ces importnts théorèmes, et qui est ussi plus simple que celle donnée en mphi cr celle-ci utilisit tout de même le théorème de l borne supérieure. Démonstrtion du Théorème Fondmentl : Supposons f 0 sur l intervlle I. Nous voulons montrer que l fonction est croissnte. Une première stuce est de considérer f η (x) = f(x) + ηx vec η > 0. Si nous montrons que f η (x) est croissnte, en pssnt à l limite lorsque η 0 dns f η (x) f η (y) pour x y on obtient que f est croissnte. Mis l dérivée de f η est f + η, donc strictement positive. Il suffit donc d étblir l croissnce de f sous l hypothèse que f est prtout strictement positive. Risonnons pr l bsurde et soit x < y dns I vec f(x) > f(y). Posons u 0 = x,v 0 = y. Nous construisons pr dichotomie des suites djcentes vec pour tout n, v n u n = (v 0 u 0 )/2 n et f(u n ) > f(v n ). Supposons u n et v n connus. Soit α = (u n + v n )/2. Si f(α) > f(v n ) on pose u n+1 = α et v n+1 = v n. Si f(v n ) f(α) on pose u n+1 = u n et v n+1 = α. On bien lors f(u n+1 ) > f(v n+1 ). Soit l limite commune à cette pire de suites djcentes. Comme f () > 0 il existe un δ > 0 tel que pour 0 < h < δ on f( + h) f() h 1 2 f () > 0 Donc si 0 < h < δ lors f( + h) > f() et si δ < h < 0 lors f( + h) < f(). Pour n suffismment grnd on ur δ < u n donc f(u n ) f(). Et pour n suffismment grnd on ur v n < + δ donc f(v n ) f(). Mis lors f(u n ) f(v n ) ce qui contredit l propriété f(u n ) > f(v n ). L hypothèse initile à svoir l existence de x et y étit donc bsurde, et l croissnce de f est démontrée. Toutes les utres ffirmtions du théorème sont des conséquences fciles : si f > 0 on sit que f est croissnte, si elle n étit ps strictement croissnte il y urit lors un sous-intervlle où elle serit constnte, mis lors s dérivée y serit identiquement nulle. Contrdiction. Donc f est strictement croissnte ; si f est négtive lors f une dérivée négtive, donc f est croissnte, donc f est décroissnte ; si f est identiquement nulle lors f est à l fois croissnte et décroissnte, donc constnte. Les utres ffirmtions, réciproques, sont très simples. Si l intervlle I est [, b] et que l on suppose f continue sur [, b] et dérivble sur ], b[ (et donc ps nécessirement dérivble en et b) lors le théorème s pplique encore. Le petit rgument été donné en cours je ne le reproduis ps ici. Comme une fonction de dérivée nulle est constnte, deux primitives d une même fonction diffèrent pr une constnte. Attention u piège : si f est définie sur ]0,1[ ]2,3[ et de dérivée nulle, lors f est constnte dns chcun des deux intervlles, mis ces deux constntes peuvent être

20 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 20 distinctes, donc on ne peut ps dire «f est constnte» (on dit que f est loclement constnte). En utilisnt l reltion fondmentle entre le signe de l dérivée et l monotonie d une fonction, on peut étblir des encdrements : Théorème : Si F (x) G (x) sur [0, [ lors F(x) F(0) G(x) G(0) sur [0, [. Le même théorème s pplique sur [,b[ vec < b et remplçnt 0. On ussi l vrinte vec à l plce de. 4 Le Théorème des ccroissements finis et utres «gros» théorèmes Nous vons démontré chcun des gros théorèmes qui suivent, vous pourrez retrouver les démonstrtions dns le polycopié du Professeur de Bièvre. Théorème de l borne supérieure : Tout sous-ensemble E non-vide de R possède une borne supérieure supe qui est soit un nombre réel soit +. Elle est définie comme étnt le plus petit mjornt de E (en considérnt + comme étnt toujours un mjornt). Il existe une suite croissnte (x k ) à vleurs dns E et de limite supe ce qui distingue supe prmi tous les mjornts de E. Lorsque supe est dns E on dit qu il est le mximum de E. Le mximum peut ne ps exister, soit prce que E n est ps borné supérieurement (supe = + ) soit prce que, tel [0,1[, E ne contient ps s borne supérieure. Notions semblbles de borne inférieure et de minimum. Théorème du mximum : Toute fonction continue f(x) sur un intervlle fermé et borné [,b] tteint son mximum : l borne supérieure M des f(x), x b est finie, et il existe (u moins) un x vec M = f(x). Théorème semblble du minimum. Principe des extrem locux : Si l fonction f(x) est dérivble en x 0 et si f(x 0 ) est supérieur ou égl à tous les f(x) pour x 0 η x x 0 +η (η > 0, et cet intervlle doit être tout entier dns le domine de définition de f) lors f (x 0 ) = 0. Même conclusion si f un minimum locl en x 0. Lemme de Rolle : Si f est continue sur [,b] ( < b) et dérivble sur ],b[ et si f() = f(b) lors il existe x vec < x < b et f (x) = 0. Théorème des Accroissements Finis : Si f est continue sur [,b] ( < b) et dérivble sur ],b[ lors il existe x vec < x < b et f (x) = f(b) f() b. Le Théorème des Accroissements Finis (TAF) permet de démontrer instntnément le théorème fondmentl sur les liens entre monotonie de l fonction f et signe de l fonction dérivée f. Il d utres conséquences : Inéglité des Accroissements Finis : Si f est continue sur [,b] ( < b) et dérivble sur ],b[ et si f (x) C pour tout x ],b[ lors f(b) f() C(b ). Cel est une conséquence immédite du Théorème des Accroissements finis. En prticulier si f est de clsse C 1 sur l intervlle [,b] lors elle l propriété de

21 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 21 Lipschitz : il existe C vec x y f(x) f(y) C x y. Cel découle de l inéglité des ccroissements finis, en prennt C = sup x b f (x) qui est fini pr le Théorème du Mximum puisque l on supposé f (x) continue sur [,b]. 5 Nottion différentielle On peut considérer le clcul de l dérivée comme une opértion qui nécessite une nottion spécile, indépendmment de l fonction à lquelle on pplique ce clcul. Cette nottion est d d dx («dé sur dé x»), ou d, ou d dz, etc...selon le nom de l vrible entrnt dns les fonctions. Le «dé» symbolise un ccroissement «infinitésiml», étnt entendu qu un ccroissement fini est souvent noté («Delt» dont l première lettre est un «dè»). Autrement dit u lieu d écrire f (x) on écrit d d dxf(x) ou dx (f)(x). En fit une nottion encore plus proche de l définition est f = df dx. L étpe suivnte est de poser y = f(x) (ou z = f(x) ou w = f(x) etc...) et d écrire lors : f (x) = dy dx Comme toute nottion stucieuse, elle nécessite pour s mnipultion correcte de svoir ce que l on écrit. Certins clculs sont grndement fcilités pr son emploi. Les théorèmes de l dérivée d une fonction composée, et d une fonction réciproque ffirment : L formule de Leibniz s écrit : dz dx = dz dy dy dx et dx dy = 1 dy dx d(yz) dx = dy dx z + y dz dx Mis l forme sous lquelle Leibniz l écrivit est : d(yz) = (dy)z + y(dz) = z dy + y dz Il n y plus de dx! D illeurs on obtiendrit à prtir de là une formule vlble en «divisnt» pr dw vec w une fonction (à peu près quelconque, mis risonnble, disons de clsse C 1, vec une dérivée prtout non-nulle) de x...le clcul différentiel qui n est ps u progrmme de DEUG première nnée, est un ensemble de définitions et de théorèmes qui permet de donner un sens précis à cette formule de Leibniz. Mis nous ne nous utoriserons ps cette génile séprtion du dy et du dx! On se contenter de noter que l Théorie de l Reltivité Générle de Einstein est une illustrtion qu il est prfois importnt de s intéresser à des reltions (telles celle de Leibniz) qui sont invrintes du choix de l «coordonnée» x que l on utilise, et de pouvoir les

22 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 22 écrire sous une forme ne fisnt même plus pprître cette «coordonnée» x. Une utre motivtion plus simple est que lorsque l on étudie pr exemple une courbe dns un pln on peut s intéresser à des propriétés qui ne dépendent que de l courbe et ps de l prmétristion de cette courbe. Le clcul différentiel de Leibniz permet de réliser cet objectif. Les dérivées («fluxions») de Newton, elles, vient initilement pour objectif principl de clculer (donc en premier lieu de définir...) des vitesses, des ccélértions, en fonction du temps, qui servit de «coordonnée bsolue». Mis les outils développés vient une ppliction immédite à d utres problèmes que ceux du mouvement de points corporels ; pr exemple Newton pplique imméditement son clcul pour étblir une formule pour (1 + x) qui générlise à tout l formule du binôme vlble uniquement pour N (nous en reprlerons peut-être). Pr illeurs Newton s est ussi intéressé à des questions indépendntes de l prmétristion : pr exemple il pplique imméditement son clcul nouvellement créé à l détermintion du cercle le plus tngent à une courbe en un point, ce qui donne l notion de ryon de courbure. VI Les fonctions trigonométriques, exponentielle, logrithme 1 Continuité, dérivbilité, et encdrement des fonctions trigonométriques Pour une discussion sérieuse des fonctions trigonométriques sin(x) et cos(x) il serit nécessire d étudier le problème de l mesure du cercle, c est-à-dire de l mesure de s circonférence et de son ire, ou plus générlement de l rc et de l ire d un secteur ngulire (le premier problème, non-trivil, étnt déjà de définir ces notions). Si votre Professeur est courgeux il rédiger un petit compte-rendu spécil à ce sujet (il s est cheté un comps et une équerre, spécilement dns cet objectif, et envisge d pprendre le grec pour lire Archimède), mis un tritement réellement stisfisnt occuperit plusieurs dizines de pges et irit d illeurs à l fois u-delà du progrmme de DEUG, et en deç, cr il fut revenir à des notions de géométrie plne qui étient, sont peut-être encore, étudiées dns le primire et le secondire. Pr exemple, rien que pour prler de l ire d un tringle, cel prend du temps. Si vous pensez svoir ce qu est l ire d un tringle, je vous lnce le défi suivnt : montrez que lorsque l on découpe n importe comment un grnd tringle en un nombre fini de petits tringles, l ire du grnd tringle est l somme des ires des petits tringles. Je connis deux solutions stisfisntes (à prt celle qui consiste à fire un modèle pré-découpé en bois et à le mettre sur une blnce, ssemblé ou en vrc), dont une est bordble à votre niveu et se résume en une formule : x 1 y 2 y 1 x 2 +x 2 y 3 y 2 x 3 + x 3 y 1 y 3 x 1. Comprenne qui pourr... Bref, comme expliqué en cours, sur l bse de l méthode d exhustion de Archimède pour l mesure du cercle, nous vons un nombre π, défini comme ire du disque de ryon 1, nous vons un théorème qui dit que l circonférence du cercle est 2πR et l ire du disque est πr 2, nous vons des fonctions sinus sin(x) et cosinus cos(x) insi

23 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 23 que les formules : sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) cos(x + y) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y) Un risonnement utilisnt des encdrements provennt de clculs d ires permet de montrer : À prtir de là on montre : sin(h) 1 cos(h) lim = 1 (d où l on déduit lim = 0) h 0 h h 0 h Théorème : les fonctions sin(x) et cos(x) sont dérivbles (et donc elles sont ussi continues) sur R. L dérivée de sin(x) est cos(x) tndis que l dérivée de cos(x) est sin(x). 1. Comme cos(x) 1 sur [0, [ on sin(x) x sur [0, [. 2. Puis 1 cos(x) x Mis lors sin(x) x x Puis 1 cos(x) x2 2 x4 24 donc cos(x) 1 x On continue : sin(x) x x3 6 + x Puis 1 cos(x) x2 2 x x Ainsi sin(x) x x3 6 + x5 120 x On donc : donc cos(x) 1 x2 2 + x4 24. donc cos(x) 1 x2 2 + x4 24 x et insi de suite... x 0 x x3 6 + x5 120 x7 x3 sin(x) x x5 120 x 0 1 x2 2 + x4 24 x6 x2 cos(x) x Comme cos(x) est une fonction pire, ces encdrements sont vlbles pour x 0, mis comme sin(x) est une fonction impire, pour x 0 il fut remplcer les pr des. Lorsque 0 x 1 10 cel permet de clculer sin(x) et cos(x) presque «à l min» vec plusieurs chiffres près l virgule. Puis en combinnt vec cos( ) et sin( 10 ) on obtient cos(x ) et sin(x+ 10 ), soit les fonctions cos(x) et sin(x) pour 10 x 2 10, etc...une personne suffismment motivée peut donc tbuler vec plusieurs chiffres près l virgule (et l précision peut être ugmentée pr des encdrements d ordre supérieur) les vleurs de sin(x) et cos(x) pour x = k 100 et 0 k 79 (pourquoi 79?), vec une quntité de clculs reltivement risonnble. Si l on besoin d une vleur de sin(x) pour un x intermédiire on peut fire une interpoltion linéire entre les

24 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 24 deux plus proches k/100 (ou quelque chose de plus stucieux puisque l on ussi une pproximtion des dérivées). Évidemment de nos jours, les clculteurs électroniques font tout cel qusi-instntnément. Encore fut-il disposer pour leur progrmmtion (ou conception) d rguments théoriques comme ceux ci-dessus qui mènent à des lgorithmes de clculs efficces. Nous reviendrons sur ce qui se psse lorsque nous continuons à l infini ce processus d encdrement des fonctions sin(x) et cos(x). 2 Logrithme et exponentielle Le Théorème suivnt est très importnt, mis ne ser démontré que u deuxième semestre : Théorème : Toute fonction continue f sur un intervlle I dmet une primitive F : il existe une fonction F sur f qui est dérivble en tout point et dont l fonction dérivée est f. Nous svons déjà que deux primitives d une même fonction sur un intervlle diffèrent pr une constnte dditive. Une primitive est donc déterminée pr s vleur en un point. On ppelle logrithme (Népérien) l fonction sur ]0, [ qui s nnule en x = 1 et qui est une primitive de x 1/x. On l note log(x), ou ln(x), ou prfois Log(x). Comme on peut dériver utnt de fois que l on veut l fonction 1/x, l fonction logrithme est ussi infiniment dérivble. L fonction log(x) est une fonction continue strictement croissnte, et qui étblit une bijection entre ]0, [ et ]lim x 0 log(x),lim x + log(x)[. On montre : lim x 0 log(x) =, lim x + log(x) = +, donc log est une bijection de ]0,+ [ sur R. On ppelle exponentielle l fonction sur R à vleurs dns ]0, + [ qui est l fonction réciproque de l fonction logrithme. On l note y exp(y) donc x = log(y) y = exp(x). Elle est donc continue et dérivble. On montre que l fonction logrithme les propriétés :,b > 0 log(b) = log() + log(b), log(1/) = log(), log( n ) = n log() (pour n N, vec l convention 0 = 1 pour le cs n = 0), log( 1/N ) = 1 N log() (N N, N 1). On montre que l fonction exponentielle les propriétés : u,v R exp(u + v) = exp(u)exp(v), exp(u) > 0, exp( u) = 1/exp(u), exp(nu) = (exp(u)) n, exp( 1 N u) = (exp(u)) 1/N. On utilise les fonctions logrithme et exponentielle pour définir les fonctions puissnce : pr définition, pour x > 0 et R on pose x = exp(log(x)). Pour N ou 1/ N cel redonne les nciennes notions. Pour fixé, x x est une fonction sur ]0, [ à vleurs dns ]0, [. Cependnt pour entier on utorise x dns R tout entier, pour pouvoir utiliser x n comme on svit le fire vnt. Pour = 0

25 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 25 on convient x 0 = 1. Cel vut ussi pour x = 0, donc pr convention 0 0 = 1. Pour N entier impir, on utorise ussi x dns R tout entier (pr exemple pour N = 3 on l rcine cubique) : x 1/N est l unique solution dns R à l éqution y N = x, ou encore pour x < 0, x 1/N = x 1/N. Attention cel est uniquement pour N entier impir. Pour N entier pir, pr exemple pour N = 2 l nottion x 1/2, ou x n de sens que pour x > 0 (et ussi en x = 0 où l on convient que ç vut 0). Bref les fonctions puissnces ont les propiétés ttendues : x y = (xy), x +b = x x b, (x ) 1 = x = (1/x), (x ) b = x b. Soit e l unique nombre réel positif tel que log(e) = 1. On e > 1, en fit e = 2, Avec l nottion fonction puissnce on exp() = exp(log(e)) = e. Dorénvnt on écrir plus souvent e y que exp(y). L utre propriété fondmentle de l fonction exponentielle est qu elle est s propre dérivée : d dy ey = e y Elle est donc ussi infiniment dérivble. Plus générlement on pour chque t > 0 fixé, l églité d dy ty = log(t)t y comme fonctions de y R On pour chque y R et sur l intervlle ]0,+ [ pour t : d dt ty = y t y 1 Nous vons démontré : Théorème : Soit f(y) une fonction sur un intervlle I qui vérifie l éqution différentielle : y f (y) = f(y). Alors il existe une constnte C de sorte que y f(y) = Ce y. 3 Représenttions de l fonction exponentielle, fonctions hyperboliques Nous vons montré : x R e x = lim N (1 + x N )N. Cependnt nous vons ussi étbli que l convergence est très lente. Une bien meilleure représenttion est donnée pr l écriture de e x comme série infinie : x R n=n e x x n = lim N n! = x n n! n=0 n=0 Nous vons démontré cette formule en distingunt x 0 et x 0. Pour x 0 nous vons en utilisnt le Théorème fondmentl sur les liens entre monotonie et dérivée étbli des encdrements, en fit étbli que les sommes prtielles de l série sont lterntivement u-dessus et en dessous de e x. Cel donne un moyen très efficce pour évluer pr exemple e, en clculnt en fit des encdrements pour 1/e. Pour x 0, il s git d une série à termes positifs, les sommes prtielles forment une suite croissnte et en montre vec les dérivées que ces sommes prtielles sont toutes mjorées pr e x. Mis on vérifie que l Nième somme prtielle est u moins égle à

26 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 26 (1 + x N )N. L limite lorsque N est donc à l fois u moins égle à e x et u plus égle à e x. D où l identité. Les fonctions hyperboliques ch(x) (cosinus hyperbolique) et sh(x) (sinus hyperbolique) sont les prties pires et impires de l fonction exponentielle : ch(x) = ex + e x 2 sh(x) = ex e x 2 e x = ch(x) + sh(x) L fonction sh(x) est une fonction impire, continue et strictement croissnte, et elle est bijective de R vers R. L fonction ch(x) est pire, à vleurs dns [1,+ [, et surjective de [0, + [ sur [1, + [. L dérivée de l fonction ch(x) est l fonction sh(x) et l dérivée de l fonction sh(x) est l fonction ch(x). d d ch(x) = sh(x) dx sh(x) = ch(x) dx L ressemblnce vec les fonctions cos et sin est renforcée pr les formules d ddition : ch( + b) = ch()ch(b) + sh()sh(b) sh( + b) = sh()ch(b) + ch()sh(b) ch 2 (x) sh 2 (x) = 1 On introduit églement l fonction tngente hyperbolique th(x) = sh(x)/ch(x). Elle étblit une bijection continue de R sur l intervlle ] 1,+1[. On est mené à regrder ussi les fonctions hyperboliques réciproques, en prticulier l fonction rgsh(y) réciproque u sinus hyperbolique (pour y R) et l fonction rgth(y) réciproque à l tngente hyperbolique (pour y ] 1, +1[). On : d dy rgsh(y) = y 2 d dy rgth(y) = 1 1 y 2 On peut ussi donner des représenttions explicites : rgsh(y) = log(y y 2 ) rgth(y) = 1 ( ) 1 + y 2 log 1 y 4 Représenttion de l fonction logrithme Nous vons étbli qu il est possible pour 0 < x < 2 de représenter l fonction logrithme comme somme d une série infinie : pour cel on écrit plutôt x = 1 + h, vec 1 < h < +1 et on lors : 1 < h < 1 log(1 + h) = j 1 ( 1) j 1hj j

27 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 27 Pour 0 < h < 1 il s git d une série lternée et les sommes prtielles donnent successivement des mjortions et des minortions. D illeurs l formule est ussi vlble pour h = 1 et donne une formule pour log(2). Mis pour clculer log(2) il est bien plus efficce de clculer en fit 2log( 2) cr l série pour h = 2 1 converger bien plus vite que pour h = 1. On peut en fit prtir de cette formule, et vérifier qu elle définit une primitive de 1/(1 + h). C est un peu délict cependnt. Une fois que l on une primitive L(x) qui s nnule en 1 de 1/x sur l intervlle ]0, 2[, l fonction L(1/x) fournir une primitive qui s nnule en 1 et est définie sur l intervlle ] 1 2,+ [. Ç se recolle donc pour donner une fonction sur ]0, [ tout entier. Remrque : pr illeurs nous vons donné suivnt une méthode semblble à celle employée pour log(1+h) une série pour rctn(h) vlble pour h < 1 et même pour h = 1 ce qui donne une série pour π/4. Voir en pge 98 le sujet de l exmen de rttrpge pour une intéressnte représenttion de log x vlble pour tout x > 0. VII Dérivées secondes, convexité, DL à l ordre 2 Si l fonction f est dérivble sur un intervlle contennt (en son intérieur) et dmet une dérivée seconde en, lors suivnt le signe de f (), on : si f () > 0 il existe η > 0 tel que le grphe de l courbe est u-dessus de l tngente sur ] η, + η[, le seul point de contct étnt en (,f()) si f () < 0 il existe η > 0 tel que le grphe de l courbe est en-dessous de l tngente sur ] η, + η[, le seul point de contct étnt en (,f()) si f () = 0, tous les cs de figure peuvent se présenter : u-dessus, en-dessous, trverse, trverse et coupe l tngente une infinité de fois u voisinge de. L notion de convexité est importnte. On dit que l fonction est convexe sur l intervlle I si pour tout < x < b le point d bscisse x sur le grphe de l fonction est situé en-dessous de l corde relint (,f()) à (b,f(b)). On dit que l fonction est concve si pour tout triplet < x < b le point d bscisse x sur le grphe de l fonction est situé u-dessus de l corde relint (,f()) à (b,f(b)). Si f est convexe lors f est concve, et si f est concve, lors f est convexe. Les seules fonctions à l fois convexe et concve sont les fonctions linéires (dont le grphe est sur une droite). Le pendnt du Théorème fondmentl «dérivée monotonie» est le Théorème «dérivée seconde convexité». Théorème : si l fonction est deux fois dérivble sur I lors elle est convexe si et seulement si s dérivée seconde est prtout positive ou nulle. Elle est concve si et seulement si s dérivée seconde est prtout négtive ou nulle. En fit, si on ne dispose ps de l dérivée seconde, on peut ussi exminer l convexité sur l dérivée première :Théorème : si l fonction est une fois dérivble sur I lors elle est convexe si et seulement si s dérivée première est croissnte.

28 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 28 L fonction log(x) est concve. L fonction exp(x) est convexe. L ssertion «le point d bscisse x sur le grphe de l fonction est situé en-dessous de l corde relint (,f()) à (b,f(b))» se trduit de mnière équivlente pr plusieurs inéglités. En voici une : f(x) b x b f() + x b f(b) Cette inéglité, pour tout les < x < b dns I est donc équivlente à l convexité de l fonction f sur I. Nous vons démontré le théorème suivnt (théorème du développement limité à l ordre deux) : Théorème : si f est dérivble u voisinge de et dmet une dérivée seconde en lors f(x) f() f ()(x ) lim x (x ) 2 = f () 2 Ce théorème permet de retrouver les ffirmtions reltives ux positions reltives du grphe et de l tngente. Plus trd nous étudierons l notion de développement limité d ordre supérieur, qui fit intervenir les dérivées tierce, qurtuple, etc...en. VIII Les Nombres Complexes 1 Coordonnées crtésiennes et polires L notion de coordonnées crtésiennes (x,y) d un point P dns un pln est fmilière. En nottions vectorielles, elle correspond à l églité OP = x u + y v, le point O et les vecteurs u et v formnt un repère orthonormé. L xe des x est selon u, l xe des y est selon v. À vri dire, peut-être cel ne vous est ps si fmilier, et vous vous posez peut-être l question : «qu est-ce qu un vecteur?». Je seris lors tenté de surenchérir pr «qu est-ce qu un pln? qu est-ce qu une droite? qu est-ce qu un point?». Un mthémticien me répondrit peut-être (mis ttendez, ce n est ps l réponse finle) : pr définition le pln c est l ensemble des couples (x, y) vec x R, y R. Un point P c est un couple (x,y) et on ppelle x et y ses coordonnées. Le point (0,0) est ppelé origine et est noté O. Une droite D c est l ensemble des points (x,y) stifisnt une certine éqution x + by = c (vec ou b ou les deux non nuls). Qu est-ce qu un vecteur lors? et bien ç se complique. Première notion : un vecteur V c est simplement un couple (P,Q) de deux points, de sorte que l on écrit ussi V = PQ. Le point P ser l origine et le point Q l pointe du vecteur. Deuxième notion : on veut pouvoir dditionner les vecteurs, suivnt l fmeuse règle du prllélogrmme, mis vec l première notion on ne peut fire ç que pour les vecteurs qui ont l même origine P. Donc, dns l deuxième notion on s utorise à déplcer prllèlement à eux-mêmes les vecteurs. Autrement dit lors un vecteur c est ussi simplement un couple (α,β) de nombres réels (et si P = (x,y), et V

29 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 29 correspond à (α,β) lors Q = (x + α,y + β) pour que V = PQ) mis que l on voit comme correspondnt à une trnsformtion du pln dns lui-même prticulière, en fit l ppliction qui envoie chque point (x,y) sur le point (x + α,y + β). Pour retrouver V il suffit de connître le point A sur lequel il envoie l origine O, on ur donc V = OA. Plus générlement si le vecteur V envoie le point R sur le point S lors on ussi RS. Dns l première notion on considérit que OA et RS étient deux choses différentes, dns l deuxième on considère que ce sont en fit deux nottions différentes pour l même entité. Un peu perdu(e)? le pire n est ps encore rrivé... En fit dns ce cs comme dns d utres ce qui importe surtout ce n est ps tnt de svoir ce qu est un vecteur, c est ce que l on fit vec les vecteurs. Revenons u problème du pln. Dns ce qui précède, il y une notion qui n est ps du tout encore incorporée, c est celle de distnce. Et bien, dns notre pproche on définir l distnce d(p,q) comme étnt donnée pr l formule (x x) 2 + (y y) 2 si P = (x,y) et Q = (x,y ), et l longueur (ou norme) d un vecteur V = PQ est définie selon V = d(p, Q). Évidemment près il fut démontrer les propriétés ttendues, comme d(p,r) d(p,q) + d(q,r) vec églité seulement si Q est sur le «segment» [P,R] (notion que je vous lisse définir)...ce n est ps totlement évident, mis on peut y rriver, pr un risonnement ne fisnt intervenir que les règles du clcul vec les nombres réels. Et le théorème de Pythgore dns tout cel? ce n est plus un théorème c est une définition! Petit mlise...s en extirper, si on le veut vriment, n est ps simple. Il fudrit tout reprendre. Ce qu il fut ce n est ps trouver un pln, c est identifier un petit nombre d xiomes dont on postule l vlidité, et tout en déduire ; u début c est fstidieux, mis ensuite on ccumule les résultts, et les risonnements en sont d utnt fcilités. Si un jour on obtient une contrdiction, et bien on n plus qu à jeter les xiomes à l poubelle et en trouver de meilleurs. Ce n est jmis rrivé encore en Mthémtiques, suf dns l fmeuse «théorie des ensembles» qui, ironiquement est censée nous fournir l rchitecture sur lquelle tout le reste s ppuie. Et bien c est justement dns les premières tenttives de formliser cette rchitecture que les mthémticiens, et ps des rigolos, ont commis des erreurs. Leurs xiomes menient à des contrdictions...tout est sous contrôle prît-il ujourd hui, mis dns le processus certins spects inttendus ont été mis à jour, les fmeux théorèmes de Gödel sur les propositions indécidbles. En ce qui concerne l xiomtistion de l géométrie plne dns le pln, elle été fite pr le mthémticien Hilbert u dix-neuvième siècle. Il fut tout un livre... L essentiel du trvil vit en fit été effectué pr les grecs deux millénires uprvnt : ce sont eux les inventeurs de l méthode xiomtique. Pendnt plus de 2000 ns, beucoup ont cru que l un des xiomes des grecs étit superflu, qu il étit une conséquence des utres, puis u dix-neuvième siècle des mthémticiens ont découvert qu il existit d utres géométries, vec toutes les propriétés, suf justement cet «xiome des prllèles» que l on pensit superflu. Dns ces géométries l somme des ngles d un tringle n est plus égle à π, l circonférence d un cercle n est plus donnée pr l formule 2πR,... Nous llons mintennt prler des coordonnées polires ρ et θ d un point P = (x, y). Pour ρ c est très simple on pose ρ = x 2 + y 2. Pour θ c est plus subtil cr il n est défini que «modulo 2π». De plus il fut exclure de l discussion l origine O des coordonnées crtésiennes. L coordonnée ngulire θ est définie comme étnt un

30 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 30 nombre réel tel que x = ρcos(θ) et y = ρsin(θ). Pr exemple pour x > 0 on peut prendre θ = Arctg( y x ) qui pprtient à l intervlle ] π 2,+π 2 [. Pour x < 0 on prend θ = Arctg( y x )+π qui pprtient à ]+ π 2,+3π 2 [. Pour x = 0 et y > 0 on prend θ = +π 2, pour x = 0 et y < 0 on prend θ = π 2. Remrquez que dns cette discussion nous utilisons des outils de l nlyse, comme les théorèmes qui permettent de prouver l existence de l fonction Arctg, lors que l notion d ngle, est une notion qui nous semble être un priori de l pensée. On pourrit essyer de définir θ comme étnt l «longueur à prcourir sur le cercle en prtnt du point (0,1) et en llnt dns le sens contrire des iguilles d une montre jusqu u point ( x ρ, y ρ )» (cel donne-t-il le même θ que plus hut?). Mis justement pour définir cette «longueur sur le cercle» il n y ps d échpptoire ux notions de suites, de limites, de continuité (même si l on veut rester le plus proche possible de Archimède pr exemple). L écrt qu il fut frnchir en mthémtiques entre certines notions géométriques qui nous pprissent ssez évidentes, et l formlistion finle qui nécessite tout un ttiril, reste, pour l uteur de ces notes, un mystère qui n est ps expliqué, et qui peut-être est lié intimement à l biologie de nos sens et de notre pensée. Cel étnt dit soit α R, lors l rottion d ngle α du pln vers lui-même est l ppliction R α qui envoie le point P de coordonnées polires ρ et θ sur le point Q de coordonnées ρ et θ + α (et ussi R α (O) = O). Clirement R α+2π = R α et R α+β = R α R β = R β R α. Il est très importnt que cette rottion prenne une forme très simple lorsque l on exprime son ction en coordonnées crtésiennes : on trouve R α (x,y) = (cos(α)x sin(α)y,sin(α)x + cos(α)y) (on noté R α (x,y) plutôt que R α ((x,y))). À tout nombre ρ 0 on ssocie l dilttion du pln D ρ qui envoie chque point Q = (x,y) sur le point (ρx,ρy). Finlement à tout point P du pln on ssocie l trnsformtion T P du pln sur lui même qui envoie chque point Q sur D ρ (R θ (Q)), vec ρ et θ les coordonnées polires de P (si P = O on définit T P comme l ppliction qui envoie chque Q sur O). Le mircle c est que en coordonnées crtésiennes tout est très simple : T (x,y) (x,y ) = (xx yy,xy + yx ) Introduisons mintennt l nottion P Q pour T P (Q) : P Q = (x,y) (x,y ) = (xx yy,xy + yx ) Nous vons un produit, où est l ddition? et bien on poser P + Q = (x,y) + (x,y ) = (x + x,y + y ) Ainsi nous vons muni le Pln, que nous ppelerons dorénvnt «ensemble des nombres complexes» C de deux opértions qui prennent chcune deux points et en donnent un troisième. L une est une ddition +, et l utre une multipliction, et C muni de ces deux opértions est un corps. Nous devons donc fire une digression sur les nneux et les corps vnt de démontrer ce point fondmentl.

31 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille Anneux et corps en très bref Répétons brièvement ce qui été vu en cours : un nneu commuttif A, c est un ensemble muni de deux opértions + et, c est-à-dire, à chque fois que l on et b dns A on leur ssocie un élément c de A, noté + b et un élément d de A, noté b, et les régles suivntes sont vérifées : On + b = b + (commuttivé de l ddition). On ( + b) + c = + (b + c) (ssocitivité de l ddition). Il existe un élément spécil 0 vec A 0 + = + 0 =. Tout élément dmet un opposé : + = + = 0. Cet opposé est unique, on le note, et u lieu d écrire + ( b) on écrit b On b = b (commuttivé de l multipliction ; c est pour cel que l on dit que l nneu est commuttif). On ( b) c = (b c) (ssocitivité de l multipliction). Il existe un élément spécil 1, différent de 0, vec A 1 = 1 =. On pour tout, b, c : (b+c) = b+ c (distributivité de l multipliction pr rpport à l ddition) Voilà. Signlons un horrible bus de nottion : si l on dditionne 1 n-fois vec luimême, on obtient un élément, notons le n A dns A. Autrement dit on une ppliction cnoniquement définie de N dns A, qui ssocie n A à n (et 0 A = 0...), et comme tout élément dns A un opposé on même une ppliction cnonique de Z dns A. Et bien, l élément ssocié à l entier n dns Z, ser encore noté n dns A : on lisse tomber n A. Signlons que l on peut lors voir des équtions étrnges comme 2 = 0. En effet sur l ensemble A = {0,1} vec deux éléments on une structure d nneu (unique), je vous lisse déterminer comment fire pour définir l vleur de + b et de b pour tout et tout b de sorte que (A,+, ) soit un nneu. Les ensembles Z, Q, R, munis de l ddition et de l multipliction usuelles sont des nneux. L ensemble N n est ps un nneu cr, à prt 0, ses éléments n ont ps d opposés. Bon, il y un nombre tellement infini de choses à dire, que l on se contenter d une remrque : l formule du binôme est vri dns tout nneu commuttif, près voir convenu bien sûr que n signifie fois fois,...n-fois (et 0 = 1). On dit que l nneu A est intègre si b est nul seulement si soit soit b, soit les deux sont nuls. Un exemple d nneu non-intègre est donné, comme nous l vons vu pr l ensemble Fonct(R R) de toutes les fonctions de R à vleurs dns R. Pour tout ensemble X l ensemble F onct(x R) des fonctions sur X à vleurs numériques est nturellement un nneu pour l ddition et l multipliction des fonctions f +g : x f(x)+g(x), f g : x f(x)g(x). Le sous-nneu Pol(R R) des fonctions polynomiles (voir plus loin) est intègre, mis F onct(r R) n est ps intègre. Finlement on dit que l nneu commuttif A est un corps si tout élément non-nul est inversible : 0 b b = b = 1. Les nneux Q et R sont des corps. L nneu Z n est ps un corps (seuls ±1 sont inversibles dns Z). Un nneu est intègre si et seulement si il est un sous-nneu d un corps. L construction de Q à prtir de Z se générlise à tout nneu intègre et permet de construire ce que l on ppelle son

32 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 32 corps des frctions. Ps de pnique ce sont simplement les expressions b, b 0, vec les mêmes règles de mnipultions que dns le pssge de Z à Q. 3 Le corps des nombres complexes Je m perçois que l reprogrphie v bientôt fermer, lors je vis ller de plus en plus en vite. De toute fçon vous vez pris des notes en mphi, j espère. Donc, on notre Pln, dont les éléments sont des points P identifiés à des couples (x,y). On décidé de noter C ce pln, et on défini une ddition et une multipliction. L grnde ffire c est que C est un corps! De plus en ssocint u nombre réel x R le point (non, mintennt on dir le nombre complexe) (x,0) dns C, on évidemment une injection de R dns C, mis le truc importnt c est que c est comptible ux dditions (dns R et dns C) et ux multiplictions. Donc on considérer dorénvnt que R est un sous-ensemble (un sous-corps) de C. Pour l vérifiction de l structure d nneu, tout ou presque est très immédit à prtir des formules en coordonnées crtésiennes pour P + Q et pour P Q. En prticulier on voit l commuttivité de l multipliction. Bien sûr 0 c est (0, 0) et 1 c est (1, 0). Le seul truc moins immédit c est l ssocitivité de l multipliction : on peut l étblir en revennt ux rottions et dilttions qui nous ont mené à l formule choisie pour P Q. Le point essentiel c est de trouver pour tout point complexe (à l venir on ne dir plus point, mis nombre) P non nul son inverse multiplictif : trouver Q vec P Q = Q P = 1. Si l on revient à l définition en terme de rottion et dilttion, c est clir ; si les coordonnées polires de P sont ρ et θ il fut prendre pour Q le point de coordonnées polires 1 ρ et θ. En effet l multipliction complexe consiste à multiplier les coordonnées rdiles et dditionner les coordonnées ngulires! Donc l inverse de P = (x, y) existe bien, et si l on repsse en coordonnées crtésiennes on trouve 1 P = ( x y x 2 + y 2, x 2 + y 2) Vérifiez, ç mrche! Dorénvnt, comme on est tout de même un peu ml à l ise vec «1 divisé pr un point P», on utiliser plutôt les lettres z, w, etc...pour désigner les nombres complexes. Bon il est temps d introduire le nombre complexe i : c est (0,1). Nous vons vu que R peut-être vu comme un sous-corps de C et c est clir que si R et z = (x,y) lors z = (x,y). Donc en fit : z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = x + y (0,1) = x + y i L nottion est lourde, on v lisser tomber toute nottion et écrire l multipliction pr juxtposition : z = x + yi = x + iy Nous recueillons le fruit de nos efforts : que vut i 2? on trouve i 2 = 1. Voilà, nous vons un corps dns lequel l éqution X 2 = 1 une solution (en fit deux, +i et

33 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 33 i). D illeurs vec z = x + iy, w = x + iy et i 2 = 1 on retrouve (x + iy)(x + iy ) = xx yy + i(xy + yx ) Donc il n y rien d utre à mémoriser que i 2 = 1! 4 Rcines, Équtions, Exponentielle Complexe J ccélère frnchement. Si z = x + iy, x R, y R, on ppelle x l prtie réelle et y l prtie imginire de z. On note x = Re(z), y = Im(z). On note z et on ppelle module de z l quntité réelle, positive ou nulle : x 2 + y 2. On zw = z w, z + w z + w. Et si z R, z est l bonne vieille vleur bsolue de z. Le conjugué complexe de z est x iy et est noté z. On zw = z w et zz = z 2. Rcines crrées : tout nombre complexe z non nul, possède exctement deux rcines crrées, w = + ib et w. On trouve et b en résolvnt le système 2 + b 2 = x 2 + y 2, 2 b 2 = x, les signes respectifs étnt fixés pr 2b = y. Éqution qudrtique : toute éqution qudrtique αw 2 +βw+γ = 0, vec α 0 possède deux rcines w 1, et w 2 (éventuellement identiques) que l on obtient en se rmennt pr l complétion bbylonienne du crré à l extrction d une rcine crrée. Éqution bi-qudrtique : toute éqution bi-qudrtique αw 4 + βw 2 + γ = 0, vec α 0 se résoud en posnt dns un premier temps Z = w 2, en résolvnt pour Z puis en extrynt les rcines crrées. Rcines n-ièmes pr les coordonnées polires : Si z 0 lors il y exctement n rcines à l éqution w n = z. Ce sont les nombres complexes dont les coordonnées polires r et α sont telles que r n et nα sont des coordonnées polires pour z. Autrement dit r = z 1 n et pour α on doit prendre θ n, ou θ n + 2π n, ou θ n +22π n, ou θ n +32π n,..., ou θ n + (n 1)2π n, vec θ une coordonnée ngulire fixée pour z. Les rcines cubiques de 1 sont 1, j et j, vec j = i 3 2. Exponentielle complexe : Pr définition exp(x + iy) = exp(x)(cos(y) + i sin(y)). On note ussi e z u lieu de exp(z) de sorte que : L écriture e iθ = cos(θ) + isin(θ) z = ρe iθ vec ρ > 0, θ R est équivlente à dire que ρ et θ sont les coordonnées polires de z. En prticulier : e iπ = 1 On l formule fondmentle : z,w e z+w = e z e w Une exponentielle complexe n est jmis nulle. Tout nombre complexe non-nul est l exponentielle complexe d une infinité d utres nombres complexes : si w est solution

34 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 34 de e w = z lors les utres solutions sont les nombres complexes de l forme w+k2πi, k Z. Si z = ρe iθ lors on peut prendre w = log(ρ) + iθ. Formule de Moivre : (cos(θ) + isin(θ)) N = cos(nθ) + isin(nθ) Théorème de d Alembert-Guss : toute éqution polynomile n z n z + 0 = 0 de degré n 1 ( n 0), à coefficients complexes (en prticulier à coefficients réels), possède u moins une solution. Nous vons montré comme corollire que l on peut trouver n nombres complexes uniques (pour «unique» en théorie on fit ç vendredi 10 jnvier) z 1,..., z n, éventuellement vec des répétitions d un même nombre complexe dns l liste, qui sont tels que z n z n z + 0 = n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ) On dit que les z j sont les rcines du polynôme. Ce sont exctement les nombres complexes où le polynôme s nnule. le nombre de fois qu une rcine pprît est ppelée l multiplicité de l rcine. L fctoristion ci-dessus est nlogue (en plus simple peut-être) à l fctoristion de tout nombre entier en un produit de nombres premiers et de ±1 (élément inversible dns Z). 5 Polynômes, fonctions polynomiles, division euclidienne, fctoristion, en TRÈS bref [ps le temps de discuter ici des fonctions polynomiles sur R ou C, voir vos notes de cours] Nous vons défini l notion de polynôme à coefficients dns un nneu commuttif A quelconque. L ensemble des polynômes à coefficients dns A est lui-même un nneu commuttif noté A[X]. Notion de degré. Lorsque l nneu A est intègre, formule pour le degré d un produit. Pr convention deg(0) =. Dorénvnt dns ce chpitre nous supposerons que A est un corps K, (yez en tête Q ou R ou C). Les éléments inversibles de K[X] sont exctement les polynômes de degré nul : utrement dit ce sont les éléments non nuls de K, vu comme étnt des polynômes constnts. Il y une notion de division euclidienne (rppel : K est un corps) : pour tout polynôme non-nul B et tout polynôme A il existe une écriture unique A = QB + R vec deg(r) < deg(b). On ppelle Q le quotient et R le reste dns l division euclidienne de A pr B.

35 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 35 Pr exemple si B = X k c est extrêmement simple : on met dns R tous les monômes de degré < k de A. Si B = (X ) k, on fit une substitution : on pose Y = X, X = Y +, on reécrit A comme un polynôme en Y, et on ne retient que les termes de degré < k pour former le reste R. Comme R est exprimé comme polynôme en Y il fut ensuite resubstituer Y = X pour trouver son expression comme polynôme en X. Il y ussi une utre méthode, qui s pplique disons lorsque l on trville dns R[X] : on regrde l fonction polynomile f(x) = A(x). Comme f(x) = Q(x)(x ) k +R(x) et que le degré de R est u plus k 1, il n est ps difficile de montrer f() = R(), f () = R (),..., f (k 1) () = R (k 1) (). Ces dérivées suffisent à déterminer R(x) (cette méthode mène à l résolution d un système linéire d équtions pour les coefficients de R et est donc déconseillée suf pour k = 1, k = 2, voire k = 3). Il y une notion de divisibilité dns K[X] tout-à-fit comme dns Z. L lgorithme d Euclide permet de clculer pgcd(a, B) : le dernier reste non nul D. On montre que ce D divise à l fois A et B et que tout utre polynôme E vec cette propriété en fit divise D. De plus on une identité de Bezout qui ffirme que D peut s écrire de l forme AU + BV, U,V K[X]. Dns Z on vit convenu que un pgcd(,b) étit choisi toujours strictement positif, dns K[X] on normlise D en le multiplint pr un élément non nul de K de mnière à rendre son terme de plus hut degré de l forme X d, d = deg(d) (on dit que D est rendu unitire). De même on ppcm(a,b) et l formule pgcd(a,b)ppcm(a,b) = cab vec un certin c K, c 0. On une notion de polynôme irréductible (nlogue des nombres premiers) : un polynôme P est dit irréductible si deg(p) > 0 et si les seuls polynômes qui le divisent sont les constntes non nulles, et les Q = cp, c K, c 0. On le dit normlisé, si il est unitire. On montre le théorème de décomposition en un produit d un inversible et d un certin nombres de polynômes irréductibles normlisés ; existence, et unicité à l ordre des fcteurs près. Dns C[X] les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1. Dns R[X] ce sont d une prt les polynômes de degré 1, d utre prt les polynômes de degré 2 qui n ont ps de rcines réelles. Dns Q[X] il y des professeurs qui sont pyés pendnt plusieurs décennies pour étudier les polynômes irréductibles qui pprissent. FIN DU PREMIER SEMESTRE

36 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 36 DEUXIÈME SEMESTRE IX Développements Limités 1 Définitions Pour une fonction polynomile f(x), à vleurs réelles, définie sur R, de degré u plus n, on peut écrire : f(x) = c 0 + c 1 x + + c n x n Un clcul simple mis crucil donne les formules suivntes : c 0 = f(0),c 1 = f (0),c 2 = f (0),...,c n = f(n) (0) 2 n! On noter que l formule c k = f(k) (0) k! reste vlble pour k > n à condition de convenir que c k = 0 pour k > n. On obtient l représenttion : f(x) = k 0 f (k) (0) x k k! où l somme est en fit une somme finie vec u plus n + 1 termes. L question se pose lors nturellement de l vlidité d une telle formule pour d utres fonctions f(x). Nous vons déjà, lors du premier semestre, obtenu des représenttions de ce type pour sin(x), cos(x), exp(x), sh(x), ch(x) et même pour 1/(1+x), log(1+x), Arctg(x), cependnt pour ces trois dernières uniquement pour x < 1. Importnt : il fut connître pr coeur l série infinie qui pprît pour chque fonction de l liste précédente. Les mthémticiens ont progressivement compris qu il fllit décomposer le problème en deux étpes : d une prt l pproximtion que l on peut fire d une fonction vec un nombre fini de termes, d utre prt l question de l convergence lorsque l on prend un nombre de plus en plus grnd de termes 3. Ici, nous n borderons que l première question : soit f(x) une fonction définie dns un voisinge de x = 0, et soit n un entier, peut-on lors trouver des nombres réels c 0,..., c n tels que f(x) soit à peu près c 0 + c 1 x + + c n x n dns un voisinge de x = 0? Définition : on dit que l fonction polynomile P(x) = c 0 + c 1 x + + c n x n est un développement limité à l ordre n de l fonction f(x) u point x = 0 si f(x) P(x) lim x 0 x n = 0 3. cette question est fort subtile : l fonction exp( 1 x 2 ) qui été évoquée en mphi s série de Tylor en = 0 identiquement nulle. Donc certes l série infinie converge pour tout x mis ne représente ps l fonction. D utres exemples montrent que l série infinie peut ne converger prfois que pour x = 0.

37 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 37 Définition : on dit que l fonction polynomile P(x) = c 0 +c 1 (x )+ +c n (x ) n est un développement limité à l ordre n de l fonction f(x) u point x = si f(x) P(x) lim x (x ) n = 0 On dir que f(x) dmet un développement limité à l ordre n u point x = si on peut trouver (u moins) une fonction polynomile P(x) vérifint l propriété ci-dessus. Théorème : si l fonction f(x) dmet un développement limité à l ordre n u point x =, lors l fonction polynomile P(x) est unique. Attention, lorsque l on prle du «polynôme du développement limité u point» on fit référence u polynôme bstrit Q(T) = c 0 + c 1 T + + c n T n. L «fonction polynomile du développement limité» est lors P(x) = Q(x ). Pr exemple pour répondre à l question «quelles sont les coefficients du polynôme du développement limité u point» il fut donner c 0, c 1,..., et non ps les coefficients de P(x) = Q(x ) obtenus en développnt pr rpport à x, ce qui serit une chose bsurde à fire puisque l on regrde non ps ce qui se psse pour x petit mis pour x petit. On dopter l nottion suivnte : pour h 0 suffismment petit on pose ǫ(h) = f(+h) P(+h) h n. Pour h = 0 on pose ǫ(0) = 0. On peut donc écrire : f( + h) = P( + h) + h n ǫ(h) lim ǫ(h) = 0 h 0 Et réciproquement, si on peut trouver une fonction polynomile P(x) de degré u plus n et une fonction ǫ(h) continue en h = 0 vec ǫ(0) = 0 et telle que f(x) = P(x) + (x ) n ǫ(x ) pour x dns un voisinge de, lors c est que P(x) est le développement limité de f u point à l ordre n. Comme le polynôme du développement limité si il existe est unique, on dopte une nottion, pr exemple DL(f,;n), de sorte que f( + h) = DL(f,;n)(h) + h n ǫ(h). Prfois c est à P(x) que l on veut donner une nottion spécile, pr exemple P f,,n (x). Ainsi P f,,n (x) = DL(f,;n)(x ). On ppelle l différence f(x) P(x) le reste, ou terme d erreur. Je préfère ne ps tenter de choisir une nottion. Noter cependnt que l écriture f(x) = P(x) + (x ) n ǫ(x ) est ussi ppelée «développement limité de f en» (lors que jusqu à présent c est seulement P(x) que nous vons désigné insi ; prfois on fit donc référence à l éqution complète). 2 Formule de Tylor et Applictions Les deux théorèmes qui suivent sont fondmentux :

38 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 38 Théorème de l formule de Tylor vec reste de Young : si f dmet n dérivées en (sous-entendu n 1 dérivées dns un voisinge de et f (n) () existe) lors le développement limité à l ordre n u point existe et prend l forme suivnte, dite de Tylor-Young : f(x) = 0 k n f (k) () (x ) k + (x ) n ǫ(x ), lim ǫ(h) = 0 k! h 0 Théorème de l formule de Tylor vec reste de Lgrnge : on fit des hypothèses plus fortes que pour Tylor-Young, à svoir on demnde que f soit dérivble n + 1 fois en tout point d un certin voisinge de. L conclusion c est que on peut écrire : f(x) = 0 k n f (k) () k! (x ) k +(x ) n+1f(n+1) (c), c = (1 θ)+θx, 0 < θ < 1 (n + 1)! On noter que c est compris strictement entre et x, c est-à-dire c = si x =, < c < x si x >, x < c < si x <. Attention il peut y voir plusieurs c (ou θ) qui mrchent pour un x donné. L nottion c x est possible (de toute fçon préférble à c(x)) mis il fut comprendre que l on ucun renseignement sur c x si ce n est qu il est entre et x. Pour une fonction telle cos(x) ou exp(x) l formule de Lgrnge est très utile cr elle permet de mjorer explicitement en fonction de x le terme d erreur : en effet on clcule fcilement toutes les dérivées, et pr exemple pour f(x) = cos(x) on n ur qu à dire que f (n+1) (c x ) 1 quelle que puisse être l vleur de c x. On noter d illeurs que bien que les hypothèses de l formule de Lgrnge soient plus fortes que pour celles de Young, on ne peut isément déduire celle de Young de celle de Lgrnge que si l on sit priori que f (n+1) est bornée dns un voisinge de. Cel ser le cs si cette fonction dérivée est continue en. Choisissons lors η > 0 et M n+1 tels que f (n+1) (y) M n+1 pour y η. On lors : x η f(x) P f,,n (x) M n+1 x n+1 (n + 1)! ou encore vec l fonction ǫ(h) : ǫ(h) M n+1 (n+1)! h qui tend bien vers 0 lorsque h tend vers 0. Lemme : soit A(h) et B(h) définies et dérivbles pour 0 < h < K, vec B et B ne s nnulnt ps dns ]0,K[, et telles que lim h 0 A(h) = 0, lim h 0 B(h) = 0. Alors : h ]0,K[ h 1 0 < h 1 < h et A(h) B(h) = A (h 1 ) B (h 1 ) On le même lemme pour h < 0 vec lors h < h 1 < 0. Démonstrtion du Lemme : On fixe h > 0 et on considère l fonction de k définie pr l formule C(k) = A(h)B(k) B(h)A(k) pour 0 < k h et C(0) = 0. Les hypothèses du Lemme de Rolle s ppliquent cr C(0) = C(h) = 0 et on donc h 1 ]0,h[ vec C (h 1 ) = 0.

39 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 39 Soit mintennt une fonction f(x) stisfisnt les hypothèses de l formule de Tylor- Young et soit P(x) le polynôme de Tylor à l ordre n u point. Posons A(h) = f(+h) P(+h) et B(h) = hn n!. L remrque fondmentle c est que A(0) = A (0) = = A (n 1) (0) et de même pour B(h) donc en ppliqunt le lemme plusieurs fois on obtient h > h 1 > > h n 1 > 0 tels que A(h) B(h) = A (h 1 ) B (h 1 ) = = A(n 1) (h n 1 ) B (n 1) (h n 1 ) = A(n 1) (h n 1 ) A (n 1) (0) h n 1 Le quotient différentiel tend vers A (n) (0) lorsque h tend vers 0 puisqu lors h n 1 tend vers 0 (u lecteur : à rédiger proprement). Or A (n) (0) = f (n) () P (n) () = 0 cr P été construit de mnière à ce que ses n premières dérivées soient identiques en à celles de f. L conclusion c est que f( + h) P( + h) lim = 0 h 0 h>0 h n n! ce qu il fllit montrer (on triter de même pour h < 0) et étblit l vlidité de l formule de Tylor-Young. Pour l formule de Lgrnge, on pplique l même strtégie à f( + h) P( + h) h n+1 (n+1)! mis cette fois-ci on ppliquer le Lemme n + 1 fois. Le θ de l formule ser tel que h n+1 = θ x. Les détils sont lissés u lecteur. En mphi l démonstrtion de l formule de Tylor-Young été donnée suivnt une méthode différente, qui consistit essentiellement à étblir directement l importnt corollire suivnt : Corollire de l formule de Tylor-Young, position du grphe pr rpport à l tngente : soit f définie dns un voisinge de et vérifint les hypothèses de Tylor-Young (pour un certin n 2). Si de plus f () = f (3) () = = 0 mis que f (n) () > 0 lors : le grphe de l fonction f pour < x < + η, η suffismment petit est strictement u-dessus de l tngente. Pour η < x < il est strictement u-dessus si n est pir, strictement en-dessous si n est impir. Si f (n) () < 0 on échnger «u-dessus» vec «en-dessous». Si n est impir on donc un «point d inflexion» : un point où le grphe trverse (tngentiellement) l droite tngente. Si n est pir et que f () = 0 on un minimum locl en si f (n) () > 0, un mximum locl en si f (n) () < 0. Toutes ces informtions se déduisent du fit que sous les hypothèses énoncées on pr l formule de Tylor-Young : Les détils sont lors lissés u lecteur. f(x) f() f ()(x ) lim x (x ) n = f(n) () n!

40 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille Règles de clcul D bord un wrning : ce n est ps prce que une fonction dmet un développement limité à l ordre n en que ses dérivées existent en jusqu à l ordre n. Tout ce que l on peut dire c est que les deux premiers coefficients du développement limité donnent correctement f() et f () (utrement dit, si n 1, f est continue en et dérivble en nécessirement) mis l fonction f n est ps nécessirement dérivble deux fois en même si elle dmet un développement limité à un ordre supérieur à deux en. Chllenge : illustrer l phrse précédente pr un exemple. On peut toujours tronquer un D.L. : si f un D.L. à l ordre n en, elle en ussi à l ordre m pour tout m, il suffit de retenir les premiers termes du D.L. donné à l ordre n. Addition : si f un D.L à l ordre n en et g ussi en mis à l ordre n, lors f + g un D.L. à l ordre min(n,n ) obtenu en fisnt l somme terme à terme. Attention à ne ps conserver de termes u-delà de cet ordre, si n n. Multipliction : si f(x) = P(x) + (x ) n ǫ 1 (x ), g(x) = Q(x) + (x ) n ǫ 2 (x ) lors f(x)g(x) = R(x) + (x ) n ǫ 3 (x ) où R(x) est obtenu en fisnt le produit P(x)Q(x) et en ne retennt que les termes jusqu à l ordre n dns le développement en puissnce de x. Autrement dit on tronque à l ordre n le produit P(x)Q(x) vu comme polynôme de x. Pour P()Q() 0 on fer ttention u cs où l on donne le D.L. de f à l ordre n et celui de g à l ordre n, on ne pourr obtenir de D.L. pour fg que à l ordre min(n,n ). On peut donc commencer pr tronquer à l ordre min(n,n ). Pour P() ou Q() nul, on peut obtenir un résultt précis u delà de l ordre min(n,n ) ; je vous lisse regrder ce qui se psse sur l exemple (x 2 x 3 + x 4 + x 5 ǫ 1 (x))(x + x 2 + x 4 ǫ 2 (x)) = x 3 + x 6 + x 6 ǫ 3 (x). On vit f à l ordre 5 et g à l ordre 4 et on tout de même fg à l ordre 6 (dns cet exemple on bien sûr = 0). Division : j explique l règle pour g(0) non nul. Nous vons lors montré l chose suivnte : si f(x) = P(x) + (x ) n ǫ 1 (x ) et si g(x) = Q(x) + (x ) n ǫ 2 (x ) dns un voisinge de vec Q() 0 lors f(x) g(x) = P(x) Q(x) + (x )n ǫ 3 (x ) Il suffit donc pour compléter le clcul d obtenir DL(k,;n) pour l fonction k(x) = P(x) Q(x), ce que l on fit pr exemple pr l méthode de l division pr les puissnces croissntes expliquée en cours. Substitution : lorsque l on recherche le D.L. d une fonction composée g(f(x)) u point. Il fut donc connître le D.L. de g(y) u point b = f(). L méthode est l suivnte : on commence pr écrire f( + h) = b + c 1 h + + c n h n + h n ǫ 1 (h) g(b + k) = d + d 1 k + + d n k n + k n ǫ 2 (k) Puis on remplce k dns l deuxième formule pr c 1 h +..., et on développe en puissnce de h chque puissnce de k. Pour cette substitution on peut s éprgner

41 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 41 d incorporer à k le terme h n ǫ 1 (h) puisque toutes ces contributions iront dns le terme d erreur à l fin. On observe de plus que pr exemple dns l contribution de k 2 il est inutile de conserver le terme c n h n dns k, etc...on peut donc tout de suite écrire : g(b + k) = d + d 1 (c 1 h + + c n 2 h n 2 + c n 1 h n 1 + c n h n ) + d 2 (c 1 h + + c n 2 h n 2 + c n 1 h n 1 ) 2 + d 3 (c 1 h + + c n 2 h n 2 ) 3. + d n c n 1h n + h n ǫ 3 (h) Il fut lors expliciter chque puissnce en ne retennt que les termes d ordre u plus n en h. Si c 1 est nul, lors il y des simplifictions supplémentires ; pr exemple pour obtenir un développement limité à l ordre n pour g(f(+h)) il suffir de l voir à l ordre [n/2] pour g(b+k) puisque k ser déjà de l ordre u plus deux en h. Il vut mieux triter u cs pr cs que d énoncer une règle générle. 4 Équivlents Si l fonction g(x) est définie dns un voisinge de 0 suf peut-être en 0 et est prtout non-nulle on écrit f(x) g(x) (sous-entendu lorsque x tend vers 0 ; il fut mieux le préciser explicitement : f(x) x 0 g(x)) si lim x 0 f(x) g(x) = 1. Notions semblbles lorsque x ou x. Très souvent l fonction f(x) est donnée et on cherche g(x) de l forme c x r, r R, ou g(x) = xlog(x), etc.... On noter que écrire f(x) L est une utre fçon d écrire lim f(x) = L, suf que L = 0 est exclu d une telle nottion. Si f 1 (x) c x n et f 2 (x) d x m lors f 1 (x)f 2 (x) cd x n+m et f 1(x) f 2 (x) c d xn m. On prendr note que ici c 0, d 0 et nécessirement f 2 (x) 0 dns un voisinge de 0, suf peut-être en x = 0. Attention à l ddition : il n y de règle générle que si l un des équivlents est «un infiniment petit» pr rpport à l utre. Pr exemple si f 1 (x) x et f 2 (x) x 2 lors (f 1 (x) + f 2 (x)) x (lorsque x 0 : si l équivlent est pour x + c est x 2 qui l emporte bien sûr). Ou encore si f 1 (x) 1/x et f 2 (x) 1/x 2 lors (f 1 (x)+f 2 (x)) 1/x 2. Ou encore si f 1 (x) 1/x et f 2 (x) log x lors (f 1 (x) + f 2 (x)) 1/x. Si f 1 (x) 2x et f 2 (x) cx lors on pourr ffirmer (f 1 (x) + f 2 (x)) (c + 2)x pour c 2 ; pr contre si c = 2 on ne peut rien dire de précis. L nottion «petit o» (c est l lettre o ps un zéro!) L écriture des termes de reste dns les D.L. vec une fonction epsilon est pénible à l longue, vec tous ces numéros que l on doit introduire à chque étpe, pour distinguer toutes les fonctions epsilon qui pprissent. Ne pourrit-on remplcer ces epsilon pr des petits points? Non, c est trop dngereux : 1/(1 h) = 1+h+...,1/(1+h) = 1 h+...,cos(h) = 1 h 2 /2+... donc 1/(1 h)+1/(1+h)+cos(h) = 3 h 2 /2+... Or le résultt correct est 3+3h 2 /2+h 2 ǫ(h). L solution retenue est d écrire f(h) = o(h n ) f(h) dès que lim h 0 h = 0. Donc on écrit non plus h n ǫ(h) mis o(h n ). Attention il ne n s git ps d une nottion ensembliste : o(h 2 ) ne représente ps nécessirement une

42 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 42 fonction pire lors que ǫ(h 2 ) est une fonction pire. Comme un o ne représente ps une fonction, mis une propriété d une fonction, il n y plus ucune rison de numéroter comme vec les epsilon. À condition de svoir ce que l on fit, l nottion en «petit o» est l meilleure (ttention de ne ps écrire un grnd O, qui un sens différent). X L intégrle de Riemnn Bernhrd Riemnn, , un très grnd mthémticien, mort de l tuberculose ; il introduit plusieurs idées révolutionnires en mthémtiques et ussi pensé profondément les rpports entre mthémtiques et modélistion du monde nturel. Son héritge immensément vste inclut entre utres choses une pproche à l géométrie utilisée pr Einstein pour l théorie de l grvittion, et de mgnifiques découvertes sur les nombres premiers. 1 Premiers énoncés principux Dns ce chpitre les fonctions sont à vleurs réelles : pour une fonction à vleurs complexes on considère séprément Re(f) et Im(f). Soit donc f une fonction à vleurs réelles, définie sur un intervlle borné [,b], < < b < +. Nous supposerons que f est bornée. 4 On peut lors lui ssocier une intégrle inférieure I (f) et une intégrle supérieure I + (f). On commence pr quelques définitions : une subdivision A c est l donnée d un nombre fini de points 0 =, 1, 2,..., N = b vec j 1 < j pour 1 j N. On peut mélnger deux subdivisions, ce qui en donne une troisième plus «fine». Le j-ième intervlle de l subdivision c est I j = [ j 1, j ] 5. Les nombres réels m j et M j sont définis selon m j = inf x Ij f(x) et M j = sup x Ij f(x). L somme de Drboux inférieure ssociée à A c est l quntité : S (f, A) = ( j j 1 )m j 1 j N L somme de Drboux supérieure c est : S + (f, A) = 1 j N ( j j 1 )M j On donc toujours : S (f, A) S + (f, A). On montre en fit que pour deux subdivisions quelconques A et B on toujours S (f, A) S + (f, B). Nous en donnerons une preuve plus loin. Donc : sup S (f, A) = I (f) I + (f) = inf S +(f, B) tous les A tous les B 4. l théorie de Riemnn procède en deux temps : d bord on ne considère que les fonctions bornées sur les intervlles bornés ; ensuite on une deuxième définition (intégrles «impropres»), pr une limite, si l intervlle est infini, ou si l fonction n est ps bornée en + ou en b. 5. on pourrit utoriser j 1 j ; certins des I j pourrient lors être vides.

43 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 43 On dir que l fonction (bornée) f est intégrble u sens de Riemnn (ou plus simplement R-intégrble) sur l intervlle [,b] si I (f) = I + (f). On ppelle intégrle de Riemnn de f l vleur commune, que l on note temporirement ici I(f) pour très rpidement dopter l nottion b pr n importe quelle utre : b f(x)dx = b f(x)dx (not bene : l lettre x peut être remplcée f(y)dy = b f(u)du =...). Nous donnerons plus loin les preuves des ffirmtions suivntes : Toute fonction monotone est intégrble u sens de Riemnn. Toute fonction continue est intégrble u sens de Riemnn. Si f est intégrble u sens de Riemnn sur [,b] lors f est intégrble u sens de Riemnn sur tout intervlle [c,d] [,b]. Si l fonction f est intégrble u sens de Riemnn sur [,b] et sur [b,c] lors elle est intégrble u sens de Riemnn sur [,c] ( < b < c). De plus on : c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx Si A est une subdivision on ppelle «ps de A» l vleur mximle des j j 1, 1 j n. On l noter ici δ(a). On noter pr illeurs (A) l écrt S + (f, A) S (f, A) entre l somme inférieure et l somme supérieure pour l subdivision A. Clirement (A) < ǫ = I + (f) I (f) < ǫ. De plus (A) < ǫ = S (f, A) > S + (f, A) ǫ I + (f) ǫ I (f) ǫ. De même (A) < ǫ = S + (f, A) < I + (f)+ǫ. Et dns l utre sens si I (f) ǫ < S (f, A) et S + (f, A) < I + (f)+ǫ lors (A) < 2ǫ+I + (f) I (f). Théorème : Si f est R-intégrble lors quel que soit ǫ > 0 il existe δ > 0 tel que toute subdivision A vec δ(a) δ vérifie : I(f) ǫ S (f, A) I(f) S + (f, A) I(f) + ǫ L démonstrtion n est ps immédite : nous l verrons plus loin. À toute subdivision A et tout choix subordonné ξ = (ξ j ) 1 j N de points ξ j, c est-àdire ξ j I j pour 1 j N, on ssocie l somme de Riemnn : On toujours : S(f, A,ξ) = 1 j N ( j j 1 )f(ξ j ) S (f, A) S(f, A,ξ) S + (f, A) Soit ǫ > 0 et soit δ > 0 ynt l propriété du Théorème pour ce ǫ. Si δ(a) δ lors S(f, A,ξ), qui est entre S (f, A) et S + (f, A), pprtient à l intervlle [I(f) ǫ,i(f) + ǫ]. Donc : δ(a) δ S(f, A,ξ) I(f) ǫ On insi le théoréme suivnt : Théorème : Soit f intégrble u sens de Riemnn. Si on choisit des subdivisions A (n), n 1, sous l seule contrinte que δ(a (n) ) tende vers zéro lorsque n tend vers l infini, lors quels que soient les choix pour chque A (n) des points subordonnés

44 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 44, 1 j N (n), les sommes de Riemnn ssociées convergent vers l intégrle de Riemnn de f : ξ (n) j lim n δ(a(n) ) = 0 I(f) = lim n S(f, A(n),ξ (n) ) Ce théorème permet de comprendre l nottion b f(x)dx : le symbole est une lettre S stylisée, comme dns «Somme», le dx représente les ccroissements j j 1, et f(x)dx est donc là pour rppeler f(ξ j )( j j 1 ), ξ j [ j 1, j ]. En prticulier on, si f est R-intégrble : b b f(x)dx = lim N N ( f() + f( + b N ) + f ( + 2 b N ) ( + + f cr on utilisé ici les subdivisions «équidistntes» dont le ps b N lorsque N tend vers l infini. + (N 1) b N tend vers zéro Si on prend l fonction très bizrre sur [0,1] ( = 0, b = 1) qui vut 1 si x Q et 0 sinon, lors les sommes de Riemnn simples ci-dessus vlent toutes 1 et donc convergent. Pourtnt si entre j 1 = j 1 N et j = j N on choisit ξ j irrtionnel, ce qui est toujours possible (pr exemple ξ j = j 1 N N ), on obtient d utres sommes de Riemnn, qui seront elles toutes nulles. Si l fonction étit intégrble u sens de Riemnn l limite devrit être l même dns les deux cs, ce qui n est ps le cs. Cette fonction bizrre n est donc ps intégrble u sens de Riemnn. ) ) 2 Quelques démonstrtions Regrdons ce qui se psse lorsque l on joute un point α à une subdivision A pour obtenir l subdivision A. Si α coïncide vec l un des j on n rien chngé. Sinon on j 1 < α < j pour l un des j. L somme de Drboux inférieure ssociée à A diffère de celle ssociée à A pr le fit que (α j 1 )inf j 1 x α f(x) + ( j α)inf α x j f(x) remplce ( j j 1 )m j. Or certinement inf j 1 x α f(x) m j puisque m j = inf j 1 x j f(x). De même inf α x j f(x) m j. Donc S (f, A ) S (f, A). Si on itère on obtient que si C est obtenue à prtir de A en joutnt un nombre fini de points lors nécessirement S (f, C) S (f, A). Pr contre on se convinc que c est le contrire qui se psse pour les sommes supérieures : S + (f, C) S + (f, A). Mintennt soient A et B deux subdivisions quelconques. Formons C en combinnt les points utilisés dns A et dns B. Comme C est «plus fine» que (ou égle à) A on S (f, C) S (f, A) cr on peut imginer psser de A à C en lui joutnt un pr un des points supplémentires distincts des précédents. Comme C est «plus fine» que B on S + (f, C) S + (f, B). Ainsi S (f, A) S (f, C) S + (f, C) S + (f, B) et donc : A, B S (f, A) S + (f, B) Soit lors E le sous-ensemble de R de toutes les vleurs possibles pour les sommes inférieures S (f, A) ssociées à toutes les subdivisions possibles A et soit F le sousensemble de R de toutes les vleurs possibles pour les sommes supérieures S + (f, B)

45 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 45 ssociées à toutes les subdivisions possibles B. Tout élément de F est un mjornt de E donc u moins égl à supe. Ce nombre supe est donc un minornt de F donc u plus égl à inf F. En définissnt I (f) = supe et I + (f) = inf F on donc : I (f) I + (f) Montrons qu il y églité si f est croissnte sur l intervlle [,b]. Notons d bord que l fonction f est bien bornée puisque x f() f(x) f(b). Prenons l subdivision A N à ps constnt b N. Dns chque I j comme f est croissnte on ur m j = f( j 1 ) et M j = f( j ) de sorte que : S (f, A N ) = b N S + (f, A N ) = b N ( ( f() + f ( ( f + b N + b N Donc (A N ) = b N (f(b) f()). Ainsi : N 1 ) ( + + f ) ( + + f + (N 1) b N + (N 1) b N I + (f) I (f) b (f(b) f()) N ) ) ) + f(b) ce qui en fisnt tendre N vers + donne I + (f) = I (f). Donc f est bien intégrble u sens de Riemnn. Avnt de montrer que cel mrche ussi dns le cs où f est une fonction continue, nous ttquons l démonstrtion du difficile théorème vec ǫ et δ. Soit f une fonction R-intégrble. Elle est donc bornée pr hypothèse, on noter M = supf et m = inf f. Réexminons ce qui se psse lorsque l on joute un point α à une subdivision A pour obtenir A. On : S (f, A ) S (f, A) = (α j 1 ) inf f(x)+( j α) inf f(x) ( j j 1 )m j j 1 x α α x j On minore m j pr m et on mjore les deux utres inf pr M, ce qui donne : (0 ) S (f, A ) S (f, A) ( j j 1 )(M m) δ(a)(m m) Supposons que l on psse lors de A à B en K étpes, on ur (puisque δ(a) mjore les ps de chcune des subdivisions intermédiires entre A et B) : On prouve de même et donc S (f, B) S (f, A) + Kδ(A)(M m) S + (f, B) S + (f, A) Kδ(A)(M m) (B) (A) 2Kδ(A)(M m) lorsque B est obtenu en joutnt u plus K points à A. )

46 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 46 Soit ǫ > 0. Il existe C 1 vec I(f) ǫ S (f, C 1 ) I(f) et C 2 vec I(f) S + (f, C 2 ) I(f) + ǫ. En combinnt C 1 et C 2 en une seule subdivision plus fine C on ur donc I(f) ǫ S (f, C) S + (f, C) I(f) + ǫ. Soit K le nombre de points de C. Soit A quelconque et formons B en joutnt à A les K points de C. On ur (A) (B) + 2K(M m)δ(a) 2ǫ + 2K(M m)δ(a) On utilisé l stuce que comme B est plus fine que C on (B) (C) 2ǫ. En prennt δ > 0 suffismment petit on peut donc imposer (A) 3ǫ pour tout A vec δ(a) δ, ce qu il fllit montrer u 3 près qui n est ps importnt (on prendr le δ qui mrche pour ǫ/3). On remrque que le point crucil dns cette preuve c est que l entier K ne dépend que de ǫ, vi le choix de C, ce qui est complètement indépendnt de A. Le théorème epsilon-delt est démontré. 3 Fonctions continues Pour montrer l R-intégrbilité des fonctions continues, on procède de l mnière suivnte, déjà expliquée en mphi, donc je seri bref. Soit f continue sur [,b] et soit ǫ > 0. Si pour tout x on f(x) f() < ǫ on pose 1 = b. Sinon il existe x vec f(x) f() ǫ et pr le théorème des vleurs intermédiires il existe y vec f(y) f() = ǫ. On prend 1 égl u infimum de tous ces y. En utilisnt l continuité de f on constte que 1 vérifie f( 1 ) f() = ǫ. Donc 1 > et pour tout x [, 1 ] on f(x) f() ǫ. Si 1 < b on réitère à prtir de 1, obtennt insi 2, 3,... Cel peut-il continuer indéfiniment? Non, cr sinon on urit une suite croissnte ( j ) donc convergente. Soit L s limite. Comme f est continue et que f( j+1 ) f( j ) = ǫ on obtient en pssnt à l limite f(l) f(l) = ǫ. Contrdiction. Donc u bout d un nombre fini d étpes on finit pr voir N = b. Remrquons que cel permet de voir que f est bornée sur l intervlle [,b] (ce que l on svit déjà pr le Théorème du Mximum). Les points j définissent une subdivision A. Mjorons (A) : dns chque intervlle I j de l subdivision on f( j 1 ) ǫ f(x) f( j 1 ) + ǫ, donc f( j 1 ) ǫ m j M j f( j 1 ) + ǫ donc M j m j 2ǫ. Ainsi : (A) 2(b )ǫ Cel prouve I + (f) I (f) 2(b )ǫ mis comme ǫ > 0 est rbitrire, c est que I + (f) = I (f). L fonction continue f est bien intégrble u sens de Riemnn. En mphi, nous vons utilisé les points spéciux j pour prouver que l fonction f est uniformément continue : ǫ > 0 δ > 0 x,y [,b] x y δ f(x) f(y) ǫ Cel dépend crucilement du fit que l intervlle [, b] est fermé : l fonction 1/x sur ]0, 1] n est ps uniformément continue. Nous vons donc presque tout démontré ce qui étit énoncé. Il nous reste juste deux ou trois bricoles. Supposons que f soit R-intégrble sur [,b] et soit [c,d] [,b].

47 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 47 Certinement f est à nouveu bornée sur [c,d]. Soit ǫ > 0 et soit A une subdivision de [,b] telle que l écrt entre s somme supérieure et s somme inférieure est u plus ǫ. On peut jouter les points c et d à A ce qui ne peut que diminuer cet écrt. Finlement soit B l subdivision de [c,d] obtenue en ne retennt des points de A que ceux dns cet intervlle. Un moment de réflexion montre que l écrt entre l somme inférieure et l somme supérieure pour B sur l intervlle [c, d] est mjoré pr l écrt pour A sur [,b] donc pr ǫ. Comme ǫ est rbitrire les intégrles inférieure et supérieure de f sur [c, d] coïncident, ce qu il fllit montrer. Si on suppose que f est R-intégrble sur [,b] et sur [b,c] lors d bord elle est clirement ussi bornée sur [,c] ( < b < c). Puis en prennt une subdivision de [, c] contennt le point b et suffismment fine dns chcun des sous-intervlles [, b] et [b, c] on rend l écrt entre sommes inférieure et supérieure sur [, c] rbitrirement petit. Donc f est R-intégrble sur [,c] tout entier. En ce qui concerne l formule c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx pour < b < c il suffit de prendre des sommes de Riemnn pour des subdivisions contennt le point intermédiire b et de psser à l limite lorsque que le ps tend vers zéro. 4 Reltion de Chsles, linérité, positivité Notons en prélble l formule utilisée constmment b 1 dx = b, immédite en prennt l limite de sommes de Riemnn, cr elles vlent toutes b pour l fonction constnte 1. On conviendr que f(x)dx = 0 quelque soit f (définie u point ). Et on poser b f(x)dx = b f(x)dx si b. On lors pour tout, b, c, contenus dns un intervlle où f est R-intégrble, quel que soit l ordre : c f(x)dx = b ce qui constitue l Reltion de Chsles. f(x)dx + c b f(x)dx Si f est R-intégrble lors il est évident que pour tout λ R l fonction λf est R-intégrble et b λf(x)dx = λ b f(x)dx. Si f et g sont R-intégrbles lors f + g l est ussi. D bord elle est certinement bornée. Ensuite soit ǫ > 0. Prenons A vec f (A) ǫ (nottion uto-explictive) et B vec g (B) ǫ. Combinons en une seule subdivision C on ur à l fois f (C) ǫ et g (C) ǫ. Sur le j-ième intervlle on m j (f) f(x) M j (f) et m j (g) g(x) M j (g) donc m j (f)+m j (g) f(x)+g(x) M j (f)+m j (g) donc m j (f +g) m j (f) + m j (g) et M j (f + g) M j (f) + M j (g) donc M j (f + g) m j (f + g) (M j (f) m j (f)) + (M j (g) m j (g)) donc f+g (C) f (C) + g (C) 2ǫ. Comme ǫ est rbitrire c est que f + g est R-intégrble. En utilisnt une somme de Riemnn on obtient l formule de linérité : b (λf(x) + µg(x))dx = λ b f(x)dx + µ b g(x)dx

48 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 48 Si f est R-intégrble et à vleurs positives ou nulles lors son intégrle est positive ou nulle (propriété de positivité) : immédit en écrivnt l intégrle comme une limite de somme de Riemnn. Plus générlement : x f(x) g(x) b f(x)dx b g(x)dx On ppelle cel l propriété de monotonie de l intégrle de Riemnn. ATTENTION : b dns cette inéglité! On utilise ussi souvent l conséquence (ttention ici ussi b) : x m f(x) M m(b ) b f(x)dx M(b ) Si f est R-intégrble lors f l est ussi. Preuve : On v utiliser pour cel l inéglité x y x y. Exercice : montrer pour toute fonction bornée (sup α x β f(x)) (inf α x β f(x)) = sup α x,y β f(x) f(y). En déduire sup α x β f(x) inf α x β f(x) sup α x β f(x) inf α x β f(x). En déduire que pour toute subdivision f (A) f (A). Conclure. Comme l fonction f f est à vleurs positives ou nulles on b f(x) dx b f(x)dx et comme l fonction f +f est à vleurs positives ou nulles on b f(x) dx b f(x)dx d où : b b b f(x)dx f(x) dx L formule à utiliser si on ne sit ps b est : b f(x)dx b. f(x) dx 5 Autres propriétés de l intégrle de Riemnn Si on modifie f en un nombre fini de points elle reste R-intégrble et b f(x)dx reste identique! Je vous lisse cette ffirmtion comme un excellent exercice : il suffit (pourquoi?) de triter les fonction f nulles suf en un nombre fini de points... Si f et g sont toutes deux R-intégrbles sur l intervlle [,b] lors il en est de même de f g : tout d bord ce produit est bien borné. Ensuite, nous commençons pr observer qu il suffit de montrer que l fonction x (f(x) + C)g(x) est R-intégrble, pour une constnte C choisie rbitrirement. En effet f(x)g(x) = (f(x)+c)g(x) Cg(x) et on sit déjà que toute combinison linéire de fonctions R-intégrbles est R-intégrble. On prendr C de sorte que x f(x) + C 0. De même il suffit de montrer que (f(x) + C)(g(x) + D) est R-intégrble, vec un D quelconque : on le prendr de sorte que x g(x)+d 0. On noter que tout cel est possible prce que pr hypothèse les fonctions f et g sont bornées (ce qui fit prtie des conditions pour être R-intégrble). En fin de compte, quitte à remplcer f pr f + C et g pr g + D, on pourr supposer f 0 et g 0. En utilisnt les nottions de l note précédente, on sur le jième intervlle d une subdivision A quelconque : 0 m j (f) f(x) M j (f) 0 m j (g) g(x) M j (g)

49 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 49 Ainsi (notez bien que c est grâce ux 0... que l on le droit) : d où : m j (f)m j (g) f(x)g(x) M j (f)m j (g) m j (f)m j (g) m j (fg) M j (fg) M j (f)m j (g) Or M j (f)m j (g) m j (f)m j (g) = (M j (f) m j (f))m j (g) + m j (f)(m j (g) m j (g)) donc 0 M j (fg) m j (fg) (M j (f) m j (f))sup(g) + (M j (g) m j (g))sup(f) On, bien sûr, noté sup(f) et sup(g) les bornes supérieures respectives de f et de g sur [,b]. Si on prend mintennt A de sorte que f (A) ǫ et g (A) ǫ, on en déduit fg (A) (sup(f) + sup(g))ǫ Cel montre que l on peut choisir A de sorte à rendre fg (A) rbitrirement petit : utrement dit on prouvé l R-intégrbilité de l fonction fg. Supposons que f soit R-intégrble sur [,b] et ussi sur [b,c] : lors elle est R- intégrble sur [, c]. Plus générlement si on peut subdiviser [, b] en intervlles et que sur chcun f est R-intégrble, lors elle est intégrble sur [,b], et son intégrle est l somme des intégrles sur les sous-intervlles. On peut ussi jouter (exercice!) que si f est bornée et R-intégrble sur chque [ + η,b] (η > 0) lors elle est R-intégrble sur [,b]. L fonction 1 [,x] (t) qui est définie comme prennt l vleur 1 pour t x et 0 pour t > x (vec x fixé, dns l intervlle [,b]), est R-intégrble. On vérifie que pour toute fontion f(t) qui est R-intégrble sur [,b], s restriction à [,x] est ussi R-intégrble et x f(t)dt = b 1 [,x] (t)f(t)dt 6 Fonctions en esclier On dit que f est en esclier si on peut trouver une subdivision A telle que f soit constnte sur chque ]x j 1,x j [, 1 j N. Les vleurs de f ux x j sont rbitrires. Pr l reltion de Chsles, l fonction f est intégrble u sens de Riemnn et I(f) = b f(x)dx = j (x j x j 1 )f(ξ j ) où ξ j est choisi rbitrire dns ]x j 1,x j [. Mis les sommes de Drboux S (f, A) et S + (f, A), telles que nous les vons définies sont ffectées pr les vleurs f(x j ). Pour diminuer leur influence on prend ǫ > 0 et on dédouble les x j en x j ± ǫ (tndis que devient et + ǫ,...), ce qui donne (vérifier) des subdivisions A ǫ telles que S + (f, A ǫ ) S (f, A ǫ ) (4N sup f )ǫ. Comme ǫ > 0 est rbitrire ceci confirme l R-intégrbilité de l fonction en esclier f. Soit f une fonction R-intégrble, soit A une subdivision quelconque. On considère l fonction en esclier U qui vut m j = inf [xj 1,x j ] f(x) sur ]x j 1,x j [ et vut inf [,b] f ux points x j. Cette fonction en esclier U vérifie x U(x) f(x). De plus b U(x)dx est

50 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 50 exctement identique vec l somme de Drboux inférieure S (A,f). De même si on définit V comme vlnt M j = sup [xj 1,x j ] f(x) sur ]x j 1,x j [ et sup [,b] f ux points x j, lors x f(x) V (x) et S + (A,f) = b V (x)dx. On peut donc, si f est R-intégrble, trouver pour tout ǫ > 0 donné U et V en escliers telles que x U(x) f(x) V (x) et b (V (x) U(x))dx ǫ. Réciproquement, si U f lors certinement les sommes de Drboux inférieures pour U minorent celles pour f donc b U(x)dx I (f), et si pr illeurs V f lors les sommes de Drboux supérieures pour V mjorent celles pour f donc b V (x)dx I + (f). Donc I + (f) I (f) b V (x)dx b U(x)dx à chque fois que U f V. Si on peut rendre b (V (x) U(x))dx plus petit que tout ǫ > 0 c est donc que f est R-intégrble. On donc crctérisé les fonctions R-intégrles (réelles) comme étnt les fonctions que l on peut encdrer pr deux fonctions en esclier U et V de sorte que b (V (x) U(x)) dx soit rbitrirement petit. Que cette condition soit suffisnte n utilise ps que U et V sont en escliers : l même preuve montre que f est R-intégrble si pour tout ǫ > 0 on peut trouver U et V Riemnn intégrbles vec d une prt b (V (x) U(x))dx ǫ et d utre prt U f V. En prticulier si f est l limite uniforme d une suite de fonctions f n R-intégrbles lors elle est R-intégrble. En effet pour tout ǫ > 0 et pour N 1 on f N ǫ f f N + ǫ et 2(b )ǫ est rbitrirement petit. 7 Les théorèmes fondmentux du Clcul Le Théorème suivnt est importnt : Théorème : Si f est R-intégrble sur [,b] lors l fonction x x f(t)dt est une fonction continue de x sur [,b]. Le Théorème suivnt est fondmentl (en ou en b, lire continuité ou dérivbilité «à droite» ou «à guche» suivnt le cs) : Théorème : Si f est R-intégrble sur [,b] et si x 0 est un point de continuité de f lors l fonction est dérivble u point x 0 et on : F(x) = x f(t)dt F (x 0 ) = f(x 0 ) Son corollire (existence de primitives) est souvent ppelé «Théorème fondmentl du clcul» :

51 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 51 Théorème fondmentl du Clcul : Si f est continue sur [,b] lors l fonction F(x) = est dérivble sur [,b] et on : x f(t)dt x [,b] F (x) = f(x) Autrement dit, lorsque f est continue : d dx x f(t)dt = f(x) On noter soigneusement le signe moins qui pprît lorsque l on dérive pr rpport à l utre borne d intégrtion : d dx b x f(t)dt = f(x) Avec les définitions à l oeuvre dns l formule de Chsles, ces reltions sont vries que x soit inférieur ou supérieur à ou à b, sous l contrinte bien sûr que f soit définie et continue sur tout l intervlle llnt de x à l utre borne fixée. Nous voyons donc que toute fonction continue dmet une primitive. Cel peut être une pproche justifint l existence de l fonction logrithme : log(x) = x 1 1 t dt.... Mis comme vous l vez vu en fisnt l nuit des centines de clculs d intégrles, on utilise l pluprt du temps ce théorème dns le sens contrire : pour clculer l intégrle d une fonction on en recherche une primitive, pr exemple en consultnt des tbles de dérivées. L formule fondmentle est lors : si F = f : b f(t)dt = [F(t)] b = F(b) F() Pour l preuve à prtir du Théorème fondmentl, on remrque que l formule est certinement vrie pour l primitive prticulière F(x) = x f(t)dt, et donc pour toute primitive cr elle ne diffèrer de celle là que pr une constnte dditive. Cet rgument suppose l fonction f continue. En fit l formule est vlble sous l seule hypothèse que f = F est Riemnn-intégrble : Deuxième Théorème fondmentl du Clcul : si f est R-intégrble sur [, b] et si elle dmet une primitive F lors : b f(t)dt = [F(t)] b = F(b) F() De mnière équivlente : si l fonction dérivble F une dérivée f = F qui est R-intégrble lors l formule vut.

52 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 52 Preuve : soit N 1 et posons x j = +j b N pour 0 j N. On écrit F(b) F() = (F(x 1 ) F(x 0 )) + (F(x 2 ) F(x 1 )) + + (F(x N ) F(x N 1 )), et on pplique le théorème des ccroissements finis à chque terme ; on voit donc pprître une somme de Riemnn pour f = F. On fit tendre N vers l infini, et on utilise l hypothèse que f est R-intégrble pour conclure. 8 L formule d intégrtion pr prties Nous l énoncerons pour deux fonctions C 1, F(x) et G(x) : b b F(x)G (x)dx = [FG] b F (x)g(x)dx L preuve : FG est une primitive de FG + F G. 9 Les deux formules de chngement de vrible Dns l première formule on remplce l vrible d intégrtion t pr une nouvelle vrible u dont t est fonction. Autrement dit on fit une substitution. Théorème : Soit f une fonction continue sur un domine de définition D et soit et b tels que [,b] D (ou [b,] D si b < ). Soit φ une fonction de clsse C 1 sur un intervlle [α,β] (ou [β,α]) vec φ(α) = φ(β) = b φ([α,β]) D Alors on (rppel : = φ(α), b = φ(β)) : b f(t)dt = β α f(φ(u))φ (u)du On noter bien que l convention usuelle est à l oeuvre lorsque les bornes d intégrtion sont «dns un ordre inversé». Dns ce type de chngement de vribles les vleurs prises pr φ(u) peuvent tout-à-fit sortir de [,b] et il peut y voir plusieurs u qui correspondent u même t. Pr exemple 1/2 0 dt = 13π/6 9π cos(u)du (ici t = sin(u), dt = cos(u)du). Dns le deuxième type de chngement de vrible, on remplce t pr une nouvelle vrible v qui est fonction ψ(t) de t. Mis lors on doit exiger que ψ n expédie sur un même v que un seul t. Pour exprimer cel de l mnière l plus simple possible, on exige que ψ soit C 1 et que ψ (t) it un signe constnt : ou bien pour tout t, ψ (t) > 0 uquel cs ψ est continue, strictement croissnte et étblit une bijection de [, b] sur [ψ(),ψ(b)], ou bien pour tout t ψ (t) < 0 uquel cs ψ est continue, strictement déroissnte et étblit une bijection de [, b] sur [ψ(b), ψ()] (pour simplifier j i pris < b ici). Dns les deux cs on l formule donnée pr le théorème suivnt :

53 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 53 Théorème : Soit f une fonction continue sur [,b] (ou [b,] si b < ). Soit ψ une fonction de clsse C 1 sur [,b] dont l dérivée est prtout non-nulle (donc ψ est soit strictement croissnte, soit strictement décroissnte). Alors on : b f(t)dt = ψ(b) ψ() f(ψ 1 1 (v)) ψ (ψ 1 (v)) dv L formule prît ssez terrifinte mis elle est très simple dns l prtique. On écrit : v = ψ(t), dv = ψ (t)dt = ψ (ψ 1 (v))dt, donc : dt = dv ψ (ψ 1 (v)) cette écriture ynt une utilité mnémotechnique et étnt interprétée rigoureusement dns les cours de Licence (clcul différentiel). Il ne reste plus qu à mettre cel dns l intégrle, à remplcer f(t) pr f(ψ 1 (v)) et bien sûr à juster les bornes d intégrtion. 10 Intégrles «impropres» Si f, disons continue, n est ps bornée sur ]0,1], mis l est sur [,1] pour tout > 0 on définit 1 0 f(t)dt = lim 1 0 f(t)dt si cette limite existe (éventuellement ± ). Si elle n existe ps ou est infinie on dit que l intégrle diverge, sinon on dit qu elle converge. Si t f(t) 0 lors cel donne toujours un sens à 1 0 f(t)dt dns [0,+ ]. Si on ussi un problème en 1, on exmine c 0 et 1 c (0 < c < 1, c quelconque). Ce n est que si les deux existent, vec u plus une des deux infinie, ou toutes les deux +, ou toutes les deux, que l on obtient un sens pour 1 0. On discute de l même mnière les intégrles sur un intervlle infini : A 0 f(t)dt = lim A + 0 f(t)dt si cette limite existe. Et pour + il fut séprément 0 et Rectngles, Trpèzes, Simpson Soit f(x) une fonction R-intégrble sur [, b]. Considérons : R N = b ( N T N = b N S N = b 6N f() + f ( + b ) ( b ) ) + + f + (N 1) N N ( 1 2 f() + f( + b ) ( b + + f + (N 1) N N ( f() + 4f ( + b ) ( b ) + 2f + 2N N +4f ( + 3 b ) ( b + 2f + 2 2N N ) f(b) ) ) f ( + (2N 1) b 2N ) + f(b) ) L somme définissnt R N est une somme de Riemnn, les deux utres sont des

54 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 54 générlistions 6. On utilise N points pour R N, N + 1 points pour T N et 2N + 1 points pour S N. Lorsque N tend vers l infini, ce sont des suites qui convergent toutes vers b f(t)dt. Cependnt si f est suffismment lisse, lors en générl R N converge moins vite que T N qui converge moins vite que S N, comme on le voit grâce ux théorèmes suivnts : Théorème : Si f est dérivble : b (b ) 2 sup x b f (x) N 1 f(t)dt R N 2N ( ) Si de plus f b est R-intégrble lors lim N N f(t)dt R N = b ( ) 2 f(b) f(). Si f est deux fois dérivble : b (b ) 3 sup f N 1 f(t)dt T N 12N 2 et si de plus f est R-intégrble, lors : b ) lim N2( f(t)dt T N = N Si f est qutre fois dérivble : N 1 b et si de plus f (4) est R-intégrble, lors : b ) lim N4( f(t)dt S N = N (b )2 ( f () f (b) ) 12 f(t)dt S N (b ) 5 sup f (4) 2880N 4 (b )4 ( f () f (b) ) 2880 L impressionnnt 2880N 4 doit plutôt se lire 180(2N) 4 cr on évlue en à peu près 2N points dns l méthode Simpson. On psse de l somme Rectngle à l somme ( Trpèze en tennt compte de l correction liée à l vleur donnée pour lim N N ) b f(t)dt R N. En corrigent l somme trpèze pr l vleur donnée pour l écrt limite, on crée une nouvelle pproximtion qui n est ps une somme de Simpson, mis dont on peut montrer (lorsque f (4) existe et est R-intégrble, pr exemple lorsque f (4) existe et est continue) qu elle est comme l somme de Simpson mjorée pr un 1/N 4. En fit, on peut montrer que cette pproximtion est un peu meilleure, en un certin sens, que Simpson (mis elle utilise explicitement les dérivées f () et f (b)). Il est très importnt de bien comprendre que si l on une fonction qui n est ps dérivble, ne serit-ce qu en un seul point de l intervlle [, b] lors il n y ( priori) ucun vntge prticulier à utiliser Simpson, ou Trpèze, de préférence à Rectngle : un seul point de non-dérivbilité peut fire en sorte que l erreur ne tende ps vers zéro plus vite qu un 1/N. Nous vons démontré en cours plusieurs des résultts ci-dessus, et en prticulier le très difficile résultt de mjortion pour Simpson. Je rppelle ici, non ps toutes les démonstrtions, mis surtout certins résultts qui nous ont été utiles : 6. L somme R N est ssociée à l subdivision à ps constnt (b )/N, vec le choix du point guche de chque sous-intervlle. Notons R N l somme de Riemnn pour l même subdivision, mis vec le choix du point à droite. Alors T N = (R N + R N)/2. Notons R N l somme ssociée u choix des points u milieu de chque sous-intervlle. Alors S N = (R N + 4R N + R N)/6. Ainsi si f est R-intégrble on lim R N = lim T N = lim S N = R b f(t)dt.

55 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille Théorèmes de l Moyenne On, en utilisnt les nottions sup(f) = sup{f(x) x b}, inf(f) = inf{f(x) x b}, et en fisnt l hypothèse b : (b )inf(f) b f(t)dt (b )sup(f) Si de plus f est continue sur l intervlle ],b[ lors : c ],b[ b f(t)dt = (b )f(c) Plus générlement, si g(x) est une fonction à vleurs positives ou nulles, on inf(f) b g(t)dt b f(t)g(t)dt sup(f) Si de plus f est continue sur l intervlle ],b[ lors : b g(t)dt c ],b[ b f(t)g(t)dt = f(c) b g(t)dt À propos il est utile de svoir : si f(t) est continue, positive ou nulle, lors b f(t)dt > 0 suf si = b ou si f est identiquement nulle entre et b. Bien sûr si f n est ps supposée positive ou nulle, l nullité de l intégrle ne permet ucunement d en déduire que l fonction est nulle! Mis si l fonction f est continue et que son intégrle est nulle lors (suf si = b) l fonction f ser certinement nulle en u moins un point, pr le théorème de l moyenne. Démonstrtions reltives à l pproximtion de b f(t)dt pr R N : Not Bene : Les hypothèses du Théorème s ppliquent en prticulier si f est de clsse C 1, c est-à-dire si f existe et est continue sur tout l intervlle [, b]. Mis si l on suppose seulement que f (x) existe en tout x lors il n est ps grnti que sup f < (on désigne pr sup f l borne supérieure des vleurs prises pr f (x) sur [, b]). Dns le cs pthologique sup f = + les inéglités données dns le théorème sont vries mis sns ucun intérêt. Cependnt si f existe en tout x et est de plus R-intégrble, lors pr cette hypothèse on sit sup f <. Donc dns ce cs, on à l fois les inéglités données pr l première éqution du Théorème, et l limite donnée pr l deuxième éqution du Théorème. Lorsque f(b) f() l deuxième éqution montre que les inéglités donnent une idée correcte du comportement exct de b f(t)dt R N. Lorsque f(b) = f() il est possible que l convergence vers 0 de b f(t)dt R N soit plus «rpide» que ce qui est suggéré pr les inéglités. Pour N = 1, il s git de mjorer en vleur bsolue J = b f(t)dt (b )f(). On écrit J = b (f(t) f())dt. Pr le théorème des ccroissements finis on f(t) f() (t )sup f. Donc J sup f b (t )dt et insi b f(t)dt (b )f() (b )2 sup f 2

56 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 56 Supposons mintennt N > 1. On b f(t)dt R N = 1 k N J k vec, pour 1 k N : J k = +k b N +(k 1) b N f(t)dt b f( + (k 1)b N N ) On donc, pour chque k, J k (b )2 sup f, puisque le kième sous-intervlle est 2N 2 de longueur (b )/N : ici on peut prendre le sup de f sur [,b] tout entier cr c est u moins égl u sup sur le kième sous-intervlle. En sommnt ces N inéglités on obtient finlement b f(t)dt R N (b )2 sup f 2N et c est ce qu il fllit montrer. L seule hypothèse employée est que f est dérivble et que sup f <. Réexminons cel, vec en plus l hypothèse que f est R-intégrble. On regrde à nouveu J = b f(t)dt (b )f() = b f(t) f() (f(t) f())dt. Posons k(t) = t pour t >, k() = f (). L fonction k est continue. On pplique l version générle du théorème de l moyenne à J = b (f(t) f())dt = b k(t)(t )dt d où J = k(c) b (t )dt = k(c)(b )2 2 pour un certin c dns ],b[. Puis, pr le théorème des ccroissements finis sur l intervlle [,c] on voit que k(c) = f (d) pour un certin d dns ],c[ [,b]. Appliqunt cel non ps à et b mis à k 1 = + (k 1) b N et k = + k b N, on obtient : J k = k f(t)dt b k 1 N f( k 1) = f (b )2 (d k ) 2N 2 (d k [ k 1, k ]) Alors k J k = ( k f (d k ) b N ) b 2N. L somme entre prenthèses est une somme de Riemnn qui converge vers b f (t)dt = f(b) f() lorsque N tend vers l infini. Donc ( b ) lim N f(t)dt R N N = b ( ) f(b) f() 2 Pour les preuves reltives à T N et S N nous vons ussi utilisé : Lemme de Rolle générlisé : Soit f telle que f (N 1) existe et soit x 1 < x 2 < < x N tels que f(x 1 ) = f(x 2 ) = = f(x N ) = 0 : il existe lors y ]x 1, x N [ tel que f (N 1) (y) = 0. Plus générlement on peut dmettre que des x j coïncident, mis lors si pr exemple l un d entre eux est compté 3 fois, c est que l on suppose que f, f, et f sont toutes nulles en ce point. Alors on à nouveu y ]x 1, x N [ tel que f (N 1) (y) = 0 (si x 1 = x N et que donc on simplement un seul point x vec f(x) = = f (N 1) (x) = 0, évidemment on prend y = x, et on ne peut ps écrire y ]x, x[ puisque ce dernier intervlle dns ce cs dégénéré est vide. Prdon d être ttillon, c est importnt en mthémtiques.). 13 Polynômes d interpoltion L démonstrtion du terme d erreur dns l formule de Simpson utilise ussi l notion de polynôme d interpoltion. Supposons donnés N points x 1, x 2,..., x N. Supposons

57 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 57 les distincts (mis on peut générliser). Alors il existe exctement un unique polynôme P(x) de degré u plus N 1 qui prenne en ces points des vleurs données 1,..., N. Je fis l démonstrtion en utilisnt ce que nous vons ppris depuis en lgèbre linéire. L ensemble V des polynômes de degré u plus N 1 est un espce vectoriel de dimension N. L ppliction qui à P ssocie [P(x 1 ) P(x 2 )... P(x N )] t R n est une ppliction linéire de V vers R n, lui ussi de dimension n. On veut montrer que cette ppliction est bijective, et comme les espces ont l même dimension on sit qu il suffit de montrer que le noyu de f est réduit u vecteur nul. Or effectivement si P est dns le noyu lors P s nnule en les N points donc se fctorise P(T) = (T x 1 ) (T x N )Q(T), et ne peut être de degré u plus N 1 que si il est identiquement nul. QED. Méthode de Newton-Gregory : c est une méthode récursive qui construit le polynôme en prennt en compte les contrintes l une près l utre : on cherche P(T) comme combinison c 1 + c 2 (T x 1 ) + c 3 (T x 1 )(T x 2 ) + + c N (T x j ) 1 j<n L contrinte P(x 1 ) = 1 détermine c 1, puis l contrinte P(x 2 ) = 2 détermine c 2, etc.... D illeurs pr cette méthode on démontre églement l existence du polynôme : l démonstrtion d lgèbre linéire ci-dessus, c étit juste pour s muser. Le grnd vntge de cette méthode, c est que l on peut jouter des contrintes supplémentires, sns voir à tout recommencer à zéro. De plus elle s dpte fcilement si il y des contrintes du type : f(x 1 ) = 1,f (x 1 ) = 1,1,f (x 1 ) = 1,2, etc... Polynômes de Lgrnge : dns le cs où tout les points sont distincts on l formule excte pour le polynôme d interpoltion : P(T) = 1 i N i 1 j N,j i (T x j) 1 j N,j i (x i x j ) Mis si on rjoute un (N + 1)-ième point, il fut tout reclculer. XI Primitives et Frctions Rtionnelles 1 L nottion intégrle pour les primitives Compte tenu des «théorèmes fondmentux du Clcul», on utilise prfois l nottion f(t)dt + C pour désigner une primitive quelconque de f(t), l constnte dditive inconnue C étnt là pour rppeler que toutes les primitives d une même fonction diffèrent entre elles uniquement pr une constnte dditive (qui peut vrier d un intervlle à l utre, si le domine de définition de f est composé d intervlles disjoints). L nottion F(x) = x f(t)dt + C est peut-être un peu meilleure, puisqu elle permet d écrire explicitement l vrible x. Le C est un peu optionnel, et souvent on ne l écrit que dns l dernière ligne des clculs, et plusieurs lettres «C» sur des lignes différentes ne font ps forcément référence ux mêmes constntes réelles.

58 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 58 On prle ussi d intégrles «indéfinies» (ne ps confondre vec les «intégrles impropres», qui sont des intégrles sur des intervlles infinis, ou encore pour des fonctions non-bornées). 2 Décomposition en éléments simples et Primitives de frctions rtionnelles On sit, en principe, que l on peut clculer l primitive F(x) = x P(t) Q(t) dt de n importe quelle frction rtionnelle (en conservnt à l esprit le fit que les constntes d intégrtion sont susceptibles de chnger lorsque l on frnchit un nombre réel où l frction n est ps définie). Cel repose sur l existence de l décomposition en éléments simples (ttention : prfois le résultt finl peut s obtenir bien plus directement ; pr exemple on x Q (t) Q(t) dt = log Q(x) + C). α On ppelle élément simple toute frction du type (x c) (α,c R, n N,n 1) insi n βx+α que toute frction du type (x 2 +bx+c), vec b 2 4c < 0 (utrement dit x 2 +bx+c est n irréductible sur R). Si l on s utorise à trviller vec les nombres complexes, lors seul le premier type est qulifié d élément simple. Le Théorème de décomposition en éléments simples, démontré en cours, ffirme que toute frction rtionnelle P(t) Q(t) se décompose (de mnière unique) comme l somme d un polynôme et d une somme (finie) d éléments simples. Le problème du clcul d une primitive est donc rmené à celui des primitives des éléments simples. Nous vons vu différentes techniques pour obtenir les prties simples de l frction donnée. L prtie «polynôme» est simplement le quotient euclidien de P pr Q, et donc quitte à remplcer P pr son reste dns l division pr Q, on peut se rmener à deg P < deg Q. Il fut ensuite principlement connître le cs où Q est entièrement scindé sur R, vec des rcines sns multiplicité : Q(t) = (t j ) 1 j N vec 1,..., N, dns R et tous distincts. Alors : P(t) Q(t) = 1 j N α j t j et l on obtient α j en multiplint pr Q(t) puis en substitunt t = j. Cel donne α j = P( j )/ 1 k N,k j ( j k ), ou encore, de mnière équivlente : α j = P( j) Q ( j ) Si il y des rcines complexes, mis toutes sns multiplicité, on pplique l même méthode, ce qui donne les éléments simples sur C, et ensuite on réduit u même dénominteur l contribution d une rcine complexe et celle de l rcine conjuguée pour obtenir les éléments simples sur R. L sitution est plus compliquée si il y des

59 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 59 rcines multiples, ou, pire encore, des rcines complexes et multiples. On s en sort lors en générl en trouvnt des équtions linéires entre les inconnues entrnt dns l décomposition en éléments simples (en évlunt en des t prticulier). Il existe cependnt une méthode systémtique qui permet d écrire toute frction sous l forme A U + B V lorsque U et V n ont ucune rcine complexe commune. Cr lors ils sont «premiers entre eux» et on peut donc trouver vi l lgorithme d Euclide du clcul du PGCD (de polynômes) une identité de Bezout A 0 V + B 0 U = 1, d où P UV = PA 0 U + PB 0 V On remplce lors PA 0 pr son reste dns l division euclidienne pr U, idem pour PB 0 que l on remplce pr son reste dns l division euclidienne pr V, et on répète jusqu à voir réduit à des éléments simples. Le problème du clcul d une primitive est donc rmené à celui des primitives des éléments simples. Les formules sont : x 1 dt = log x c + C t c x (t c) ndt = + C (n 2) n 1 (x c) n 1 x 1 t 2 dt = Arctg(x) + C + 1 x t t dt = 1 2 log(x2 + 1) + C x 1 (t 2 + 1) n dt = 1 x 2n 3 x 1 2n 2 (x ) n 1 2n 2 (t 2 + 1) n 1dt + C (n 2) x t (t 2 + 1) n dt = n 1 (x 2 + C (n 2) + 1) n 1 Les éléments simples fisnt intervenir t 2 +bt+c se rmènent à ceux fisnt intervenir u pr le chngement de vrible t = b 2 + c b2 4 u. P UV 3 Quelques intégrles indéfinies que l on sit exprimer vec l ide des «fonctions élémentires», sin, cos, exp, sh, ch, log, de leurs fonctions réciproques et des frctions rtionnelles Si l on doit évluer x R(e λt )dt, vec R(T) une frction rtionnelle (et λ 0), on fit le chngement de vribles u = e λt, dt = du/(λu) cel rmène à l primitive d une frction rtionnelle en u. Si l on doit évluer x R( N t + b,t)dt, vec R(T,V ) une frction rtionnelle en deux vribles (et 0), on commence pr le chngement de vribles u = N t + b, cel rmène à l primitive d une frction rtionnelle en u. Si l on doit évluer x R( t 2 + bt + c,t)dt, vec R(T,V ) une frction rtionnelle en deux vribles (et 0, et b ou c non nul), on fit un chngement de vrible linéire

60 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 60 de mnière à rmener l rcine crrée, suivnt le signe de et de b 2 4c, à l une des trois formes u 2 + 1, u 2 1, 1 u 2. On fit ensuite suivnt le cs le chngement de vrible u = shv ou u = chv (ou u = chv si l on trville vec u ], 1[) ou u = sin v, et on est lors rmené soit à une frction rtionnelle en exp v soit à une frction rtionnelle en cos v et sin v. Dns le premier cs, le chngement de vrible w = exp v rmène u clcul de l primitive d une frction rtionnelle en w. Dns le deuxième cs, on est rmené à l sitution suivnte : Pour le clcul des primitives des frctions rtionnelles en cos v et sin v, il y un chngement de vrible qui mrche toujours, mis qui n est ps toujours le choix le plus simple : on pose u = tg(v/2). On lors : cos v = 1 u2 1 + u 2 sin(v) = 2u 1 + u 2 dv = u 2du et on est rmené u clcul de l primitive d une frction rtionnelle en u. Cependnt ne perdez ps de vue que souvent il existe des rccourcis pr rpport à l méthode générle : x dt t 2 1 = rgch(x) + C (x > 1) x dt t = rgsh(x) + C x dt 1 t 2 = rcsin(x) + C x t dt 1 t 2 = 1 x 2 + C x tg(t)dt = log cos x + C Pour des intégrles du type x f(t)cos(t)dt on prfois intérêt à intégrer deux fois pr prties le cos(t). Pr exemple, cel mrche pour x exp(t)cos(t)dt cr on obtient une reltion qui détermine l intégrle. D illeurs on urit ussi pu intégrer deux fois pr prties le exp(t). Similirement on étblit des reltions de récurrence pour des intégrles telles que x t n e t dt, en intégrnt (une fois) pr prties. Le pssge pr les complexes est prfois utile : pr exemple on peut écrire x x x exp(t)cos(t)dt = Re exp(t)e it dt = Re e (+i)t dt = Re e(+i)x + C + i d où : x ( i)e(+i)x exp(t)cos(t)dt = Re 2 + C = (cos x + sin x) ex C Plus udcieux est l emploi du «logrithme complexe», j en i prlé un peu en cours, inutile d ggrver l sitution ici. XII Algèbre linéire 1 Méthode de réduction de Guss-Jordn Dite ussi «méthode des pivots», ou «élimintion de Guss-Jordn», il s git d une méthode pour résoudre les systèmes d équtions linéires en des inconnues x 1,...,x n

61 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 61 (n inconnues), et les données y 1,...,y p (p équtions). Pr un procédé systémtique on combine les équtions (lignes) entre elles pour boutir à un système échelonné qui est équivlent u système initil. L première vrible de chcune des lignes finles contennt encore des x i est ppelée vrible pivot. Il y exctement utnt de vribles pivots que de lignes (contennt des x i ) finles. Les utres inconnues, si il y moins de pivots que d inconnues, sont ppelées vribles libres. On dit que le système est complètement réduit lorsque l on poursuivi les combinisons de lignes de mnière à nnuler tous les coefficients d une vrible pivot «u-dessus» de l ligne où elle pprît en première position, et si l on normlisé à 1 le premier coefficient de chque ligne non identiquement nulle. Si le nombre de vribles pivots est strictement inférieur u nombre p d équtions lors il y u moins une ligne du bs de l forme 0 = C k vec C k une combinison linéire des données y j, 1 j p. On ppelle contrintes ces équtions en les y j : pour que le système dmette des solutions il fut et il suffit que toutes les contrintes soient stisfites. Les contrintes sont elles-mêmes utomtiquement échelonnées en les y j de sorte que ucune ne peut se déduire des utres : elles pprissent utomtiquement en nombre miniml. Lorsque les contrintes sont stisfites, toutes les solutions s obtiennent en donnnt ux vribles libres des vleurs quelconques, puis en clculnt les uniques vleurs des vribles pivots en fonction des données y j et des vribles libres, de fçon à ce que les équtions du système (complètement réduit) soient vérifiées. Vribles pivots, vribles libres, contrintes : voir «Méthode de Guss- Jordn». Système homogène : Le système est dit homogène si les données sont nulles. Dns ce cs il n est plus question de contrintes, et l ensemble des vecteurs u = [x 1 x 2 x n ] t solution est utomtiquement non-vide cr il contient toujours le vecteur nul. Cet ensemble est un sous-espce vectoriel de R n, qui s ppelle le noyu du système, ou de l mtrice (p lignes, n colonnes) des coefficients. THÉORÈME : tout système homogène qui comporte strictement plus d inconnues que d équtions possède une solution non-trivile. En effet le nombre de vrible pivots est u mximum égl u nombre d équtions, donc est ici strictement inférieur u nombre totl d inconnues, et insi il existe des vribles libres, et donc des solutions utres que le vecteur nul. R m,n : l espce des mtrices vec m lignes et n colonnes. C est un espce vectoriel. Lorsqu il y une seule colonne on note R m u lieu de R m,1. Lorsque A est une mtrice on note i j ou A i j ou A i,j son coefficient à l intersection de l ième ligne et de l jème colonne, et on note (m lignes, n colonnes) : A = ( i j ) 1 i m, 1 j n 2 Espces vectoriels et indépendnce linéire Espces vectoriels : il s git d un ensemble non-vide dont les éléments sont ppelés «vecteurs» que l on peut dditionner entre eux, et ussi que l on peut multiplier

62 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 62 pr des «sclires». Pour les xiomes précis, cf vos notes de cours. Tout espce vectoriel E contient un élément prticulier, le vecteur nul 0 E. Très souvent on écrit 0 ou même 0 et non ps 0E. On note prfois les vecteurs vec une flèche, mis c est optionnel, et même, u bout d un moment, un peu lssnt. Sous-espce vectoriel : un sous-ensemble d un espce vectoriel qui est stble pr combinison linéire. Il est lors utomtiquement en lui-même ussi un espce vectoriel. Combinison linéire : se dit d une expression λ u + µ v + ν w... (vec un nombre fini de termes) impliqunt des sclires λ,µ,ν,... et des vecteurs u, v, w,.... Pr exemple on peut fire des combinisons linéires de mtrices, à condition qu elles ient toutes le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes. Lorsque l on multiplie pr λ une mtrice, c est que l on multiplié pr λ tous ses coefficients. On peut ussi fire des combinison linéires d pplictions linéires d un espce V vers un espce W. En effet l ensemble Lin(V,W) des pplictions linéires de V vers W est lui-même nturellement muni d une structure d espce vectoriel : λf + µg est défini pr u V (λf + µg)( u ) = λf( u ) + µg( u ). Sclires : les nombres réels (il y ussi une notion d espces vectoriels sur C, c est-à-dire, vec C comme corps des sclires ; plus générlement pour tout corps commuttif K il y une notion d espce vectoriel sur K). Indépendnce linéire : on dit que des vecteurs d un même espce vectoriel sont linéirement indépendnts, si ucun n est une combinison linéire des utres, ou de mnière équivlente si l seule combinison linéire qui donne le vecteur nul est l combinison vec tous les coefficients nuls. Système libre : notion équivlente à l indépendnce linéire ; on dit que des vecteurs en nombre fini forment un système libre si ils sont linéirement indépendnts. À noter que si des vecteurs sont libres dns un sous-espce W de V ils sont libres ussi vus comme vecteurs de V. À noter ussi que si des vecteurs sont libres, toute soussélection est libre ussi. Si l on un seul vecteur, il forme un système libre si et seulement si il est non nul. Système générteur : Des vecteurs u 1, u 2,..., u k d un espce vectoriel W forment un système générteur si tout vecteur de W est, d u moins une fçon, combinison linéire de u 1, u 2,..., et u k. On dit ussi que u 1, u 2,..., u k engendrent W. Vect(u 1,u 2,...,u k ) : Soit u 1, u 2,..., u k des vecteurs d un même espce vectoriel V. Il existe exctement un sous-espce vectoriel W de V qui contienne u 1, u 2,..., u k et pour lequel u 1, u 2,..., u k forment un système générteur. On dit que W est le sous-espce engendré pr u 1, u 2,..., u k et on le note Vect(u 1,u 2,...,u k ). On peut le décrire concrètement comme étnt le sous-ensemble de tous les vecteurs de V qui sont des combinisons linéires de u 1,u 2,...,u k, ou bstritement comme étnt l intersection de tous les sous-espces de V contennt u 1,u 2,...,u k, utrement dit le «plus petit» d entre eux. Bse : On dit que B = (u 1,...,u k ) est une bse de W si les vecteurs u 1,...u k forment un système libre qui engendre W. L espce vectoriel R n possède une bse

63 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 63 cnonique B et il est de dimension n. 3 Théorème de l dimension THÉORÈME DE LA DIMENSION : Si W possède une bse de crdinlité finie, lors toute utre bse possède l même crdinlité. Cette crdinlité finie s ppelle l dimension de W et est notée dim(w). Dimension : l crdinlité d une bse de W, si il en existe. Lorsque W est réduit à { 0 } on définit s dimension comme vlnt 0. Si W n est ps { 0 } et que ucun système fini de vecteurs n est générteur on pose dim(w) = +. Tout sous-espce vectoriel d un espce de dimension finie est ussi de dimension finie (on le montre dns l suite). Démonstrtion du théorème de l dimension, notions nnexes : Soit W un espce vectoriel. Montrons : si k vecteurs engendrent W lors l utres vecteurs quelconques de W sont nécessirement liés dès que l > k. Soient u 1,..., u k qui engendrent W. Prenons d utres vecteurs v 1,..., v l dns W. Cherchons une combinison qui donne zéro. On donc l inconnues. En exprimnt les v j en fonction des u i on voit qu il suffit que ces l inconnues stisfssent k équtions homogènes. Il y strictement plus d inconnues que d équtions : il y donc u moins une solution non-trivile, ce qu il fllit prouver. Montrons mintennt : si k vecteurs de W forment un système libre lors l < k vecteurs de W ne peuvent jmis engendrer W. Supposons que k vecteurs u 1,...,u k forment un système libre. Soit v 1,..., v l d utres vecteurs dns W. Si ils engendrent W lors, en ppliqunt l discussion précédente en ynt interverti le rôle des u et des v on obtient k l, cr si l on vit k > l les vecteurs u i ne pourrient ps être linéirement indépendnts. Supposons connus dns W des vecteurs u 1,...,u k linéirement indépendnts et qui engendrent W. Alors pr ce qui précède : si l > k tout système de l vecteurs est lié, et si l < k ucun système de l vecteurs ne peut engendrer W. Donc tout utre choix de vecteurs à l fois linéirement indépendnts et engendrnt W nécessite exctement ussi k vecteurs. Le théorème de l dimension est démontré. Dns un espce de dimension n tout système de n + 1 vecteurs ou plus est lié, et ucun système de n 1 vecteurs ou moins ne peut être générteur. Dns un espce de dimension n un système de n vecteurs est une bse dès que soit il est libre soit il est générteur : l un implique l utre. Pr exemple il existe dns R n, espce vectoriel des vecteurs colonnes à n composntes, une bse cnonique. S crdinlité est n donc dim(r n ) = n. Théorème de l bse extrite : Soit V = Vect(v 1,...,v p ). Il existe un choix des vecteurs v j qui donne une bse de V. En prticulier dim(v ) p.

64 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 64 Pour le prouver on donne un lgorithme (bstrit) qui sélectionne l bse extrite. On commence pr exminer v 1. Si il est nul, on le lisse de côté, sinon on le retient. Peut-être V = Vect(v 1 ) : lors v 1 engendre V, et en est à lui tout seul une bse (un système d un seul vecteur est libre si et seulement si ce vecteur est non nul). Sinon, c est que v 2, ou v 3, etc.. n est ps dns Vect(v 1 ). Pr exemple v 2. On vérifie que cel équivut à dire que v 2 et v 1 sont indépendnts. On répète et u bout d un nombre fini d étpes on ur sélectionné prmi les v j un sous-système libre qui engendre V. 4 Théorème de l bse incomplète Si W est un sous-espce vectoriel d un espce V de dimension finie : lors W est ussi de dimension finie et dim(w) dim(v). Preuve : si W = { 0 }, il n y rien à prouver. Sinon soit u 1 non nul dns W. Si W = Vect(u 1 ) on terminé. Sinon il existe u 2 dns W qui n est ps dns Vect(u 1 ) : utrement dit (u 1,u 2 ) est un système libre. Si W = Vect(u 1,u 2 ) on terminé, sinon etc...cel peut-il durer éternellement? Non cr on ne peut trouver strictement plus que dim(v ) vecteurs linéirement indépendnts. Donc il rrive un moment où les vecteurs u 1,..., u l engendrent tout W. Comme ils sont linéirement indépendnts, ils forment une bse de W. Il y en u plus dim(v ) : donc dim(w) dim(v ) (montrer : si dim(w) = dim(v ) lors W = V ). THÉORÈME DE LA BASE INCOMPLÈTE : Soit (u 1,...,u d ) une bse de V, et soit v 1,..., v k d utres vecteurs linéirement indépendnts. Alors on peut choisir d k vecteurs prmi les u i de mnière à ce que réunis vec les v j ils forment ensemble une bse de V. Preuve : Les vecteurs v 1,..., v k, u 1,..., u d, pris dns cet ordre, forment un système générteur de V uquel on peut ppliquer l lgorithme (bstrit) de l bse extrite. Il est clir que u début, cel revient simplement à conserver les v j puisque ceux-ci sont linéirement indépendnts. Ensuite l lgorithme sélectionne prmi les u i certins d entre eux et on obtient insi l bse recherchée. 5 Intersections, sommes de sous-espces Intersection : Lorsque l on des sous-espces vectoriels W 1, W 2,...en nombre fini ou infini d un même espce vectoriel V, le sous-ensemble de V des vecteurs qui sont simultnément dns tous les W j est un sous-espce vectoriel de V que l on ppelle l intersection des W j et que l on note j W j = W 1 W Réunion : cel ne donne PAS en générl des sous-espces vectoriels. Somme : Lorsque l on des sous-espces vectoriels W 1, W 2,...en nombre fini ou infini d un même espce vectoriel V, le sous-ensemble de V des vecteurs qui sont d u moins une fçon combinison linéire de vecteurs contenus chcun dns l un des W j, est un sous-espce vectoriel de V que l on ppelle l somme des W j et que l on note + j W j = W 1 + W Il s git du plus petit sous-espce vectoriel de V qui

65 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 65 contienne chcun des W j comme sous-ensemble. Somme directe : Deux sous-espces W 1 et W 2 sont dits être en somme directe si leur intersection est réduite à l espce nul. Dns ce cs on note W 1 W 2 leur somme. Tout vecteur w de l somme s écrit lors de mnière unique sous l forme w 1 + w 2 vec w 1 W 1 et w 2 W 2, et c est équivlent vec le fit que W 1 W 2 = {0}. Plus générlement des espces W j sont dits être en somme directe si tout vecteur de l somme + j W j s écrit de mnière unique sous l forme d une somme (finie) w 1 + w , w j W j. Cel équivut à exiger que pour tout j l intersection de W j vec l somme des W k, k j est l espce nul. Revenons u cs de W 1 et W 2. Si ils sont de dimension finies lors ils sont en somme directe si et seulement si dim(w 1 + W 2 ) = dimw 1 + dim W 2. On l formule générle en effet : dim(w 1 + W 2 ) = dimw 1 + dimw 2 dim W 1 W 2 Lorsque W 1 + W 2 est une somme directe l ppliction (linéire) qui ssocie à w W 1 W 2 l unique vecteur w 1 vec w w 1 W 2 est ppelée «projection sur W 1 prllèlement à W 2». 6 Théorème du Rng Revenons à un système d équtions linéires, et à l mtrice A ssociée, vec p lignes et n colonnes. Espce-Colonne, Espce-Ligne : On ppelle espce-colonne le sous espce vectoriel de R p engendré pr les colonnes de A, et espce-ligne le sous espce vectoriel de R 1,n engendré pr les lignes de A. Bse du noyu : On note Ker(A) le noyu du système homogène, c est-à-dire le sous-espce vectoriel de R n des solutions du système homogène ssocié à A. Soit k le nombre de vribles libres : en posnt successivement égle à 1 une vrible libre donnée, à 0 toutes les utres, et en clculnt l vleur des vribles pivots de mnière à ce que les équtions (du système complètement réduit) soient stisfites on obtient des vecteurs u 1, u 2,..., u k en nombre égl u nombre de vribles libres. On montre que ces vecteurs forment une bse B = (u 1,...,u k ) du noyu Ker(A). Bse de l espce-colonne : on prouve (cel été fit en cours) que les colonnes dont les numéros sont ceux des vribles pivots sont une bse de l espce-colonne. S dimension est donc égl u nombre de vribles pivots. Bse de l espce-ligne : on le fit importnt qu il ne chnge ps lors de l réduction de Guss-Jordn. S dimension est donc celle ssociée ux lignes du système échelonné, et on peut oublier les lignes du bs, identiquement nulles, si il y en. Celles qui ne sont ps identiquement nulles forment un système libre, comme on le vérifie fcilement, et dont l crdinlité est le nombre de vribles pivots. En combinnt ces résultts on obtient : THÉORÈME DU RANG : Pour toute mtrice A ses espces-colonne et espceligne ont l même dimension, qui est ussi le nombre de vribles pivots lorsque l on

66 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 66 pplique l méthode de réduction de Guss-Jordn. Cette dimension commune s ppelle le rng de l mtrice A (et du système d équtions linéires qui lui correspond). De plus on dim Ker(A) + rng(a) = n L dernière églité vient simplement du fit qu il y en tout n vribles inconnues, qui sont chcune soit une vrible pivot soit une vrible libre. Or le rng est le nombre de pivots et l dimension du noyu est le nombre de vribles libres. Prfois on ppelle dimkera l «nullité» de A. 7 Applictions linéires Appliction linéire : une ppliction d un espce vectoriel vers un utre est dite linéire si elle trnsforme toute combinison linéire de vecteurs en l combinison linéire de leurs imges formée vec les mêmes coefficients sclires. Mtrice ssociée : soit f : R n R p une ppliction linéire. On ppelle mtrice ssociée à f (dns les bses cnoniques) l mtrice A vec p lignes et n colonnes, où l on positionné en colonnes les vecteurs imges pr f des vecteurs de l bse cnonique de R n (dns l ordre). Réciproquement toute mtrice A R p,n correspond insi à une unique ppliction linéire f : R n R p. Le coefficient A i j est égl à l ième coordonnée dns l bse cnonique de R p de l imge pr f du jème vecteur de l bse cnonique de R n. Produit de mtrices : soit g : R n R p et f : R p R q deux pplictions linéires de mtrices ssociées B (pour g) et A (pour f). Alors l composition f g est une ppliction linéire de R n vers R q et il lui correspond donc une mtrice C R q,n. On dit que C est l mtrice-produit de A et de B, et on l note C R q,n C = AB A R q,p,b R p,n On l formule C i k = 1 j p A i j B j k Mtrice ssociée (suite) : soit f : R n R p une ppliction linéire et A s mtrice ssociée. Alors l ction de f peut s exprimer simplement pr le produit mtriciel pr A : 1 j n A 1 jx j x 1 x 1 1 j n A 2 jx j x 2 x 2. f. x n (n coordonnées) = A. x n =.. 1 j n A p jx j (p coordonnées)

67 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille Chngement de bse Coordonnées dns une bse : si V est un espce vectoriel, si B une bse de V et u un vecteur de V, lors on note [ u ] B l colonne vec dim(v ) éléments des coordonnées de u dns l bse B, c est-à-dire les coefficients de l unique fçon d exprimer u comme combinison linéire des vecteurs de l bse B (évidemment l ordre compte dns une bse : si l on intervertit deux vecteurs d une bse, on une utre bse). L ppliction φ B : V R dim(v ) qui envoie u sur [ u ] B est une ppliction linéire, qui est bijective. Mtrice de pssge : Si B et B sont deux bses d un même espce, on définit l mtrice de pssge S(B, B ) de l bse B vers l bse B comme étnt l mtrice qui exprime les vecteurs de B dns l bse B, utrement dit l mtrice dont l jème colonne est [v j ] B vec v j le jème vecteur de l bse B. L mtrice de pssge fit psser des coordonnées dns l bse B ux coordonnées dns l bse B : u [ u ] B = S(B, B )[ u ] B On noter que si B = B lors l mtrice de pssge est l mtrice identité I. Et ussi : S(B, B ) = S(B, B )S(B, B ) En prticulier : S(B, B )S(B, B) = I = S(B, B)S(B, B ) Mtrices inversibles : On dit qu une mtrice S est inversible si elle est crrée et si il existe une mtrice U vec SU = I = US. L mtrice U est lors unique et est notée S 1. Mtrice ssociée (suite) : Si f : V W est une ppliction linéire, si B est une bse de V et si C est une bse de W lors il existe une unique mtrice rectngulire A R dim(w), dim(v ) ssociée à f, c est-à-dire vérifint : u V [f( u )] C = A [ u ] B On construit A en mettnt dns s jème colonne les coordonnées dns C de l imge pr f du jème vecteur de l bse B. Chngements de bse : Soit f : V W est une ppliction linéire de mtrice A pour les bses B de V et C de W. Soient B et C deux nouvelles bses, et A l mtrice de f pour ces nouvelles bses. Alors : A = S(C, C) A S(B, B ) Supposons en prticulier V = W, C = B, C = B. Alors : A = S 1 A S vec S = S(B, B )

68 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille Morphismes Une ppliction linéire d un espce V vers un espce W est ussi ppelée «morphisme». Dns le cs où W = V on prle d «endomorphisme». Injectif, surjectif, bijectif : une ppliction linéire est dite injective si elle est injective u sens générl de l théorie des ensembles : f(u) = f(v) u = v. Il se trouve que pour une ppliction linéire cel équivut à f(u) = 0 u = 0. Pour surjectif et bijectif, rien de spécil à dire. Ah, si, pour que f soit bijective entre deux espces de dimensions finies il fut et il suffit que s mtrice representtive dns des bses quelconques soit une mtrice inversible. L mtrice inverse pour les mêmes bses est lors ssociée à l ppliction f ( 1) réciproque de f. Le mot isomorphisme est synonyme de «ppliction linéire bijective» (un «isomorphisme» n est donc ps forcément un «endomorphisme» et un «endomorphisme» n est ps forcément un «isomorphisme»...) Invrince de l dimension : si f : V W est un isomorphisme et si l un est de dimension finie lors l utre ussi et ils ont l même dimension. Noyu, Imge : Soit f : V W. Son noyu Ker(f) est le sous-espce vectoriel de V des vecteurs u vec f(u) = 0. Son imge Im(f) est le sous-espce vectoriel de W des vecteurs v pour lesquels il existe u moins un u vec f(u) = v. Supposons que V et W soient de dimensions finies et soient B et C deux bses respectives. Alors φ B (Ker(f)) R dim(v ) est le noyu de l mtrice A ssociée à f et φ C (Im(f)) R dim(w) est l espce colonne de l mtrice A. On ppelle «rng» de f le rng de A, qui est indépendnt du choix des bses cr il s git simplement de l dimension de Im(f). On l formule importnte dim Ker(f) + dimim(f) = dim(v ) Injectif, surjectif : si f : V W et dim(v ) = dim(w) < lors pour voir si f est bijective il suffit d étblir soit l injectivité, soit l surjectivité. 10 Équtions et espces ssociés à une mtrice Soit A une mtrice vec p lignes et n colonnes. Le système d équtions vec A comme mtrice et y 1,...,y p comme données équivut à l éqution : A 11 A 12 A 1 n x 2 y 1 A 21 A 22 A 2 n y 2 =.. A p1 A p2 A p n. y p Noyu, Imge : Si A est une mtrice vec p lignes et n colonnes, son noyu KerA est l espce des solutions du système homogène ssocié. Son imge ImA est pr définition x 1 x n

69 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 69 l espce-colonne. L imge est ussi crctérisée comme étnt l ensemble des colonnes y 1 y 2. y p pour lesquelles les contrintes de résolubilité sont stisfites. Co-Noyu, co-imge : ce sont le noyu et l imge de l mtrice trnsposée. Ainsi : Ker(A) R n coim(a) R n Im(A) R p coker(a) R p On peut ussi interpréter l co-imge comme étnt le trnsposé de l espce-ligne de l mtrice A. En ce qui concerne le co-noyu, c est essentiellement l espce des «reltions linéires» entre les lignes de A. Toute combinison linéire des lignes de A qui donne l ligne nulle correspond à un élément du co-noyu. Le co-noyu peut ussi se voir comme étnt lié ux contrintes qui pprissent lorsque l on fit l résolution de Guss-Jordn du système : les coefficients de ces contrintes, trnsposées sous l forme de colonnes, donnent une bse du co-noyu. L dimension du co-noyu est égle u nombre de contrintes pprissnt pr réduction de Guss-Jordn. Théorème : Les espces KerA et coima sont en somme directe, insi que les espces ImA et cokera. On R n = KerA coima n = dimkera + rng(a) R p = ImA cokera p = rng(a) + dim cokera Si f : R n R p est l ppliction linéire ssociée à A lors l restriction de f à coima étblit un isomorphisme de coima vers ImA. On peut utiliser cel pour montrer que A et l mtrice crrée A A t ont le même rng (insi que l utre mtrice crrée A t A), ce qui est importnt pour les lgorithmes d nlyse numérique. À noter vec ttention : supposons que l on trville vec une ppliction linéire f : V 1 V 2 bstrite. Alors Kerf = {u f(u) = 0} V 1 et Imf = {v u f(u) = v} V 2 sont intrinsèquement définis. Si de plus on choisit une bse B 1 de V 1 et B 2 de V 2 on des isomorphismes de V 1 vec R dim V 1 et de V 2 vec R dim V 2 d où pr les définitions ci-dessus un moyen de définir un cokerf dns V 2 et un coimf dns V 1. Mis cel dépend du choix des bses. On dit que ce n est ps cnonique. Cependnt il y bien un cokerf qui existe cnoniquement. L sitution est d illeurs embrouillée pr deux conventions possibles : on peut le voir soit comme un quotient de V 2 (c est le choix de l pluprt des livres), soit comme un sous-espce du dul de V 2 (c est mon choix préféré et il y de bonnes risons pour cel), mis ces deux rélistions ne sont ps cnoniquement isomorphes, elles sont en fit cnoniquement dules l une de l utre...même topo pour coimf...inutile de dire qu il fudrit ici donner plus de détils sur ces questions de «dulité», mis je me retiens cr cel fer le délice de vos cours d lgèbre dns l poursuite de vos études. 11 Inverses, Déterminnts, Crmer... Clcul de l inverse d une mtrice : On rppelle que seules les mtrices crrées

70 Deug Mis 1 Année J.-F. Burnol Université Lille 1 70 ont des inverses, et encore ps toujours. Pour déterminer si l mtrice A est inversible (ce qui équivut à ce qu elle soit de rng mximl) on met l mtrice A à côté de l mtrice I et on fit l réduction de Guss-Jordn sur A. Si l mtrice est inversible, et seulement dns ce cs, s forme complètement réduite (vec les coefficients des pivots normlisés à 1), est l mtrice identité. L mtrice qui pprît lors à l plce de I est l mtrice A 1. On utilise ce procédé lorsque l on cherche l mtrice de pssge de l bse cnonique vers une nouvelle bse : cr elle est l inverse de l mtrice de pssge de l nouvelle bse vers l bse cnonique (en générl on donne les vecteurs de l nouvelle bse pr leurs coordonnées dns l bse cnonique, donc cette mtrice de pssge est connue). Déterminnts : à toute mtrice crrée A (à coefficients réels) est ssociée un nombre réel ppelé «déterminnt de A». Je récpitule brièvement ce qui été dit en cours à ce sujet. Il est non-nul si et seulement si l mtrice est inversible. Le déterminnt d un produit est le produit des déterminnts. On des formules pour développer suivnt une ligne ou suivnt une colonne. Si on interchnge deux lignes, ou deux colonnes, le déterminnt chnge de signe. Le déterminnt de l mtrice trnsposée est identique u déterminnt de A. Si l mtrice se présente vec utour de l digonle des blocs crrés successifs A 1,..., A k et que des zéros en-dessous, et quoi que ce soit u-dessus, ou l inverse, lors deta est le produit deta 1 deta 2 det A k. Pr exemple si l mtrice est tringulire supérieure, ou tringulire inférieure, son déterminnt est le produit des éléments de l digonle principle. Pour une mtrice 3 3 on vu l règle d-hoc. Co-mtrice, formules de Crmer : l co-mtrice B de A est telle que B i j est ( 1) i+j fois le déterminnt de l mtrice obtenue en supprimnt de A l ième ligne et l jème colonne. On A 1 = 1 det A comt(a)t et cel correspond à des formules exctes pour résoudre un système inversible vec n inconnues, et n équtions, les formules de Crmer que je ne reproduis ps ici. Ce n est ps u progrmme du prtiel du 5 vril Trce : l trce Tr(A) d une mtrice crrée est l somme de ses coefficients digonux. On Tr(A B W Z) = Tr(Z A B W), dès que les mtrices rectngulires A, B,..., Z sont telles que les produits de mtrices écrits plus hut existent et sont des mtrices crrées (remrque : si l un des produits existe et est crré lors l utre existe ussi et est crré, mis ils ne sont ps forcément de l même tille). Si A est une mtrice crrée et S une mtrice inversible de l même tille lors A et S 1 AS ont l même trce et le même déterminnt. On peut donc ssocier de mnière cnonique à tout endomorphisme f d un espce vectoriel de dimension finie deux nombres réels, s trce et son déterminnt, puisque ces quntités pour une mtrice ssociée dns une bse donnée, ne dépendront ps du choix de l bse. Les cours portnt sur l théorie des groupes, et ceux sur les équtions différentielles, n ont ps donné lieu à distribution de fiches ux étudints. Se reporter u site de l uteur sur l toile pour les sujets d exmens et leurs corrigés.