Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a

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1 Intégrtion Les fonctions considérées ci-dessous sont des fonctions définies sur un intervlle réel I, à vleurs réelles ou complees ou, plus générlement, à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension finie sur K = R ou K = C. Pour lléger les énoncés, chque fois que l on prler d une fonction f à vleurs dns E, il ser sous-entendu que E est un espce vectoriel normé de dimension finie sur K = R ou K = C. Bien entendu cel inclut le cs des fonctions réelles (E = R) et le cs des fonctions complees (E = C). Dns tous les cs on noter l norme de (même si E est un espce vectoriel normé utre que R ou C). Il est importnt de rppeler que l intégrle de Leesgue n est ps u progrmme du Cpes. Aucune définition rigoureuse de l notion d intégrle n est u progrmme. L clsse des fonctions intégrles est réduite à l clsse des fonctions continues pr morceu sur un intervlle fermé orné [, ]. Rppels Définition. Soit I un intervlle réel quelconque. Une fonction f : I E est continue pr morceu si, pour chque intervlle fermé orné [, ] I, f est continue sur [, ] suf u plus en un nomre fini de points, et si f dmet une limite à guche et à droite en chque point de [, ]. Nottion : On noter C M (I, E) l ensemle des fonctions continues pr morceu définies sur l intervlle I de R et à vleurs dns E. Définition 2. Soit I un intervlle réel, I et f : I E. On dit que f est dérivle u point, de dérivée m (élément de E) si m = lim I\{} f() f(). Lorsque f est dérivle en, on note f () l dérivée de f en. 2. Lorsque f est dérivle en tout point de I on dit que f est dérivle sur I et on ppelle dérivée de f l ppliction de I dns E définie pr f (). Définition 3. Soit I un intervlle réel et f : I E. On dit que F : I E est une primitive de f si F est dérivle sur I et si F = f. Définition 4. Soit I un intervlle réel et f : I E. On dit que f est de clsse C si f est dérivle sur I et si s dérivée f est continue. On note C (I) l ensemle des fonctions de clsse C sur I.

2 Université Lyon Cpes Mth Intégrles ordinires Aucune construction de l notion d intégrle n est u progrmme. L notion d intégrle est donc une notion première. L intégrle f(t) dt est définie pour tout intervlle compct [, ]. et toute fonction f continue pr morceu sur cet intervlle. Une telle intégrle est souvent ppelée une intégrle ordinire. Une phrse surde qui trîne souvent dns les copies est f est continue sur l intervlle compct [, ] donc l intégrle f(t) dt est convergente. Elle n est ps convergente, elle est ien définie. Théorème 5. Soit f : I E définie sur l intervlle compct [, ] Si f est constnte de vleur m f(t) dt = m( ). Théorème 6. Soit E un espce normé de dimension finie, et I = [, ] un intervlle compct. L ppliction f E. f(t) dt est une ppliction linéire de C M (I, E) dns Théorème 7 (Croissnce de l intégrle.). Soient f et g deu fonctions réelles continues pr morceu sur l intervlle compct [, ]. Si f g lors f(t) dt g(t) dt. Théorème 8. Soit [, ] un intervlle compct et f C M ([, ], E). Alors f(t) dt f(t) dt. Théorème 9. Soit f continue, réelle et positive sur l intervlle fermé orne [, ]. Si f(t) dt = 0 lors f est l fonction nulle sur [, ]. Définition 0. Lorsque [, ] est un intervlle compct et f C M ([, ], E) il est commode de définir f(t) dt, pr l formule f(t) dt = f(t) dt. On conviendr ussi lorsque < que l nottion [, ] représente l intervlle [, ]. On peut lors énoncer les trois théorèmes suivnt. Théorème (Reltion de Chsles). Soient,, c réels quelconques, c est à dire que l on ne fit ucune hypothèse sur leurs positions reltives. Si f est continue pr morceu sur [, ] et [, c] (et donc sur [, c]). Alors c f(t) dt = f(t) dt + c f(t) dt. Rppels : Intégrles générlisées 2 M. Deléglise

3 Université Lyon Cpes Mth Théorème 2 (Théorème fondmentl du clcul différentiel et intégrl). Soit I un intervlle réel, f : I E une fonction continue, et I. L fonction F de f définie sur I pr F () = est l primtive de f qui prend l vleur 0 en. f(t) dt. Théorème 3 (Intégrtion pr chngement de vrile). Soit u une ijection de clsse C de l intervlle [, ] sur l intervlle J = [u(), u()] et f C M (J, E). Alors f(u())u () d = u() u() f(u) du. Théorème 4 (Intégrtion pr prties). Soit [, ] un intervlle fermé orné, et u et v deu éléments de C ([, ], E). Alors u()v() u()v() = u ()v() d + u()v () d. Théorème 5. Soit [, ] un intervlle compct et f C M ([, ], E). n ( ) lim f(ξ k ) = f(t) dt n + n k=0 pourvu que, pour tout k, 0 k < n, on it + k n Intégrles générlisées ξ k + (k + ) n. Dès que l on sort du cdre des fonctions définies sur un intervlle fermé on entre dns le domine des intégrles générlisées, ou intégrles impropres. Le lecteur est prié de relire vnt, ou près ce rppel, le rppel reltif u séries numériques, fin de constter l étroite nlogie relint les notions de séries et d intégrles générlisées. Définition 6. Soit R, R {+ }, et f : [, [ E, continue pr morceu. Pour tout [, [, on ppelle intégrle prtielle jusqu à l intégrle ordinire S (f) = f() d. On dit que l intégrle générlisée à droite ou l intégrle générlisée en ou encore l intégrle impropre en qund tend vers. Dns ce cs on note f()d est convergente lorsque S (f) dmet une limite f() d = lim S (f) = lim f() d. Remrque : Il est importnt de remrquer que l on ne chnge ps l nture d une intégrle impropre f() d, c est à dire le fit qu elle soit convergente ou non, en remplçnt l intervlle [, [ pr un intervlle [, [, vec <. En effet si on note S, (f) = f(t) dt, pr l reltion de Chsle S (f) = f(t) dt + S,(f). Donc pour que S, (f) dmette une limite qund + il fut et il suffit qu il en soit de même pour S (f). Rppels : Intégrles générlisées 3 M. Deléglise

4 Université Lyon Cpes Mth Définition 7. Lorsque l intégrle générlisée à droite f() d est convergente, on ppelle reste d ordre de cette intégrle l quntité R (f) = f() d f() d = f() d. L notion d intégrle générlisée à guche se définit ectement de l même fçon. Définition 8. Soit R, R { }, et f : ], ] E, continue pr morceu. on ppelle intégrle prtielle jusqu à l intégrle ordinire S (f) = On dit que l intégrle générlisée à guche f() d. f()d est convergente lorsque S (f) dmet une limite qund tend vers. Dns ce cs, on note, pr définition, f(t) dt = lim S (f) = lim f() d. Définition 9. Lorsque l intégrle générlisée à guche f() d est convergente, on ppelle reste d ordre de cette intégrle l quntité R (f) = f() d f() d = f() d. Eemple: Soit [, [= [, + [, et f() =. Puisque une primitive de f est 2 /, pour tout >, l intégrle prtielle jusqu à est S (f) = d 2 =. On lim + S (f) =, et, pr définition, ceci prouve que l intégrle impropre + f() d est convergente, et que f() d =. Eemple: Soit [, [= [, + [, et f() =. Puisque une primitive de f est ln, pour tout > l intégrle prtielle jusqu à est S (f) = d = ln. Lorsque + S (f) tend vers +. On insi prouvé que l intégrle impropre + d f() d est divergente. On écrir ussi pr us de lngge = +, mis l intégrle impropre est une intégrle impropre divergente. Théorème 20. Soit f : [, [ E (resp. f : ], ] E) continue, et F une primitive de f. Pour que l intégrle impropre en (resp. en ) f() d soit convergente il fut et il suffit que lim F () (resp. lim F ()) eiste. Dns ce cs on f() d = lim F () F () (resp. lim F () F ()) Rppels : Intégrles générlisées 4 M. Deléglise

5 Université Lyon Cpes Mth Intégrles impropres de fonctions positives. De nomreu théorèmes simplifient l étude des intégrles impropres de fonctions réelles positives. Rppelons ici les principu. On note R + l ensemle des réels positifs ou nuls. Théorème 2. Soit < et Soit f : [, [ R + (resp. f : ], ] R + ) une ppliction continue pr morceu, à vleurs positives. Pour que l intégrle impropre en (resp. en ) f() d soit convergente il fut et il suffit que les intégrles prtielles (resp. f() d) soient mjorées. f() d Preuve : Si l intégrle est impropre en, notons S (f) = f() d. Puisque f() 0, S (f) est une fonction croissnte de et elle dmet une limite qund pr vleurs inférieures si et seulement si elle est mjorée. Si l intégrle est impropre en, notons S (f) = f() d. Puisque f() 0, S (f) est une fonction décroissnte de et elle dmet une limite qund pr vleurs supérieures si et seulement si elle est mjorée. Théorème 22 (Fonctions puissnces). Pour réel, > 0, l intégrle impropre d α est convergente si et seulement si α >. Soient < deu réels. L intégrle impropre en (resp. en ) ( ) d d ( ) α resp. ( ) α est convergente si et seulement si α <. Théorème 23 (L règle de comprison). Soit < et f, g continues pr morceu sur I = [, [ (resp. I =], ]), telles que 0 f() g() pour tout I.. Si l intégrle impropre g() d est convergente, lors f() d est convergente, et, de plus 0 f() d g() d. 2. Si l intégrle impropre f() d est divergente, lors g() d est divergente. Théorème 24 (L règle des équivlents). Soient f, g C M ([, [, R + ) des fonctions positives telles que lorsque on it f() g(). Alors les intégrles impropres f() d et g() d sont de même nture, c est à dire toutes les deu convergentes, ou toutes les deu divergentes. De plus. Si elles sont toutes deu divergentes, lorsque, leurs sommes prtielles d ordre sont équivlentes, c est à dire f(t) dt g(t) dt. Rppels : Intégrles générlisées 5 M. Deléglise

6 Université Lyon Cpes Mth Si elles sont toutes deu convergentes, lorsque leurs restes d ordre sont équivlents, c est à dire De même f(t) dt g(t) dt. Théorème 25 (L règle des équivlents). Soient f, g C M (], ], R + ) des fonctions positives telles que lorsque on it f() g(). Alors les intégrles impropres f() d et g() d sont de même nture, c est à dire toutes les deu convergentes, ou toutes les deu divergentes. De plus. Si elles sont toutes deu divergentes, lorsque, leurs sommes prtielles d ordre sont équivlentes, c est à dire f(t) dt g(t) dt. 2. Si elles sont toutes deu convergentes, lorsque leurs restes d ordre sont équivlents, c est à dire f(t) dt g(t) dt. Attention : Cet énoncé est en générl fu si f et g ne sont ps à vleurs positives. Le lecteur pourr le vérifier en considérnt f() = sin ( et g() = f() + sin ). Il démontrer que f et g sont équivlentes u voisinge de + lors que les intégrles générlisées f() d et g() d ne sont ps de même nture. Intégrles impropres de fonctions non positives. Lorsque l fonction f n est ps une fonction positive, un on moyen de prouver l convergence d une intégrle impropre f() d est d utiliser l notion de convergence solue. Définition 26. Soit E = R ou E = C, ou encore E un espce vectoriel de dimension finie sur K = R ou K = C. Soit f : [, [ E (resp. f : ], ] E) une ppliction continue pr morceu. On dit que l intégrle impropre f() d est solument convergente si l intégrle impropre de fonction positive est convergente. f() d Rppels : Intégrles générlisées 6 M. Deléglise

7 Université Lyon Cpes Mth Théorème 27. Soit f : [, [ E (resp. f : ], ] E) une ppliction continue pr morceu. Pour que l intégrle impropre en (resp. en ) f() d soit convergente il suffit qu elle soit solument convergente. Dns ce cs on de plus f() d f() d. Intégrles impropres non solument convergentes Lorsque on ne sit ps prouver qu une intégrle impropre est solument convergente on peut prfois prouver qu elle est convergente u moyen d une intégrtion pr prties. Un eemple typique est le suivnt : On sétudie l nture l intégrle impropre à droite, sin Une intégrtion pr prties, vec u() = / et v () = sin donne sin [ S = d = cos ] cos 2 d = cos cos Puisque cos d. cos 2 0 qund +, l intégrle prtielle S une limite qund tend vers + si et seulement si si et seulement si l intégrle impropre d. cos d une limite qund +, c est à dire 2 + cos d est convergente. Or cette intégrle impropre est solument convergente prce que cos (règle de comprison). 2 2 Pr le théorème 27 elle est donc convergente. Ceu qui ont lu les rppels de cours sur les séries numériques se persuderont que l sommtion d Ael ppliquée à l convergence + sin n de l série est l même méthode que celle employée ci-dessus, en remplçnt n n= l notion de fonction I E pr l notion de suite à vleur dns E. Intégrles doulement générlisées Définissons enfin l notion d intégrle doulement générlisée. Définition 28. Soit f C(], [) vec, R = R {, + } et <. On dit que l intégrle doulement générlisée 2 f(t) dt est convergente si chcune des intégrles générlisées c f(t) dt et c f(t) dt est convergente, pour un élément c ], [. Si cette conditin est stisfite, elle l est encore en remplçnt c pr n importe quel élément de ], [. Rppels : Intégrles générlisées 7 M. Deléglise

8 Université Lyon Cpes Mth Attention : Une grve fute serit d écrire, Pour prouver l convergence de l intégrle doulement générlisée f(t) dt dmet une limite qund pour tout, mis f(t) dt il suffit de prouver que S (f) = +. Pr eemple lorsque f(t) = t on + + t dt n est ps une intégrle générlisée convergente. t dt = 0 Rppels : Intégrles générlisées 8 M. Deléglise