Modélisaion d un maériau viscoélasique par formulaion incrémenale éablie en relaxaion Éablie par : Omar Saifouni Jean François Desrebecq Rosand Mouou-Pii CLUB CAST3M - 22
Plan de la présenaion Comporemen viscoélasique ; Formulaions incrémenales ; Implémenaion sous Cas3m ; Simulaion numérique ; Conclusions & perspecives. 2
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions σ (). Comporemen viscoélasique linéaire Cerains maériaux son caracérisés par un comporemen différé, qui se manifese de la manière suivane : xpérience de fluage ε () ε () xpérience de relaxaion σ () σ ε xp. de fluage xp. de recouvrance xp. de relaxaion xp. d effacemen Lois de comporemen J, d J : fonc. de fluage (Équaions de Bolzmann), d R : fonc. de relaxaion R Mise en œuvre numérique 3
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 2. Résoluion d un problème viscoélasique Formulaion incrémenale en relaxaion Incrémener sur un pas de emps fini R (série de Dirichle) Approximaion sur ~ his : Δσ Δε σ Δσ quaion linéaire (hermoélasique équivalen) libre 4
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 2. Foncion de relaxaion : On écri la foncion de relaxaion sous la forme d une série de Dirichle : R, r e avec η r e : paramères du modèle rhéologique de Maxwell r η r Maxwell généralisé 5
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 2.2 Approximaion sur la viesse de déformaion : Approximaion sur Approche linéaire Approche de Simpson Approcher déformaion par une forme linéaire ε τ = ε = consane ε τ = 8 k ε ε Approcher déformaion par un polynôme de Lagrange du 2 ième degrés Δ 2 ε ε + Δε 2 Avec = + Δ 2 τ Δ 2 + Δε Δ 6
Inroducion Simulaion Conclusions Formulaion Incrémenale Implémenaion σ σ Δε Δσ, libre his ~ : r e ~ σ e σ μ r μ Δ α his μ Avec Module d élasicié Ficif hisoire de chargemen Incrémenale linéaire : r e 4 4 ~ Δ α Δ α σ e σ μ μ μ r μ Δ α his μ 2 8 Avec Incrémenale Simpson : 7 2.3 Forme finale :
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 3. Implémenaion élémens finis sous Cas3m Débu Données : Géomérie, Caracérisiques mécaniques (Maxwell), chargemen. Calcul viscoélasique : - Marice de rigidié ficive his - Conraine hisoire - Résoluion (MF),, - Acualisaion des variables Résulas - Déformaions - Conraines Pas de calcul suivan Fin Organigramme du programme implémené sous Cas3m 8
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 3.2 Choix du pas de emps / Approche de Simpson ière éape : Par muliplicaion des pas de emps : Déermine le plus grand pas de emps qui sera uilisé pour faire la ranslaion. Le ier pas de emps : calcul Classique, les aures pas de emps : Simpson ( i+ =2 i ) 2 ième éape : Par ranslaion e chevauchemen des pas de emps : Pour une précision souhaiée d un pas choisi, on coninu par ranslaion avec des pas de emps consan ( i+ = i ) selon le schéma suivan : 2 3 4 5 6 emps Par muliplicaion 2 3 4 5 Par ranslaion 6 9
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 3.3 Validaion de l approche de Simpson On calcul la déformaion d une barre en compression sous cas3m par les deux approches incrémenales (linéaire e Simpson). Les résulas son comparés aux résulas analyiques exaces. Modèle rhéologique proposé es un Zener. η Modèle de Zener
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 3.4 Comparaison approches Courbe de déformaion (courbe de fluage) Déformaion x -6,2,,8,6,4,2 Courbes de l erreur relaive calculée par rappor aux résulas analyiques exaces., 2 3 4 5 rreur Temps/θ 3,5-4 Linéaire 3,-4 Simpson 2,5-4 2,-4,5-4,-4 5,-5,+ 2 3 4 5 Temps/θ
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 4. Simulaion d une armaure d angle Présenaion du modèle Caracérisiques du béon Classe C25/3 ν c =,2 Âge 2 ans c = 34,6 GPa 2 A L2 Caracérisiques de l acier ν s =,3 s = 2 GPa 2
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 4. Lois de comporemen Mulimaériaux à comporemen différen Béon Viscoélasique Acier Élasique 3
Inroducion Simulaion Conclusions Formulaion Incrémenale Implémenaion Loi de comporemen viscoélasique 3D e : paramères du modèle de Maxwell Maxwell généralisé adimensionnel 2 2 r r Tenseur de relaxaion isorope : R(, ) = ρ(, ) A c r e, r e d ε R σ, 4 4.2 Béon / Formulaion incrémenale : cas 3D isorope
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 4.2 Béon / Formulaion incrémenale : cas 3D isorope Finalemen : σ A ε d c, ~, : Δσ A : Δε his σ Tenseur d élasicié Ficif Tenseur d hisoire de chargemen Avec ~ A σ his r r e A c e σ μ 5
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 4.2 Béon / Idenificaion des paramères Calcul de la foncion de fluage j(, ) proposée par l C2 r, ( e ) Branche (jour - ) -,62 2,,77 3,,28 4,,93 Idenificaion des paramères du modèle de Maxwell (moindres carrés) r c Calcul de r(, ) par l inversion de la foncion de fluage j(, ) j,r, τ, r,τ dτ j τ Courbe de relaxaion 6
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 4.3 Armaure / Modèle proposé Couche d épaisseur (e) se ransforme en oxydes. Oxydes e R-e ξe R-e Avan ransformaion Après ransformaion L épaisseur (e) es donnée par la loi de Faraday qui exprime la viesse de pénéraion en foncion du couran de corrosion. Pr, 63 i cor [Pr en mm/an ; i cor en µa/cm²] e, 63 i cor i i : insan du débu de corrosion 7
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 4.3 Armaure / Comporemen hermo-élasique équivalen La variaion de rayon de la barre es inerpréée comme résulan d une déformaion libre équivalene, soi sur l inervalle de emps Δ : Δε cor R R Δε cor e R Loi de comporemen élasique équivalene de l armaure : : Avec : cor Δσ A : Δε Δσ A : Δε s s Δσ cor A : es le enseur d élasicié de l armaure s cor 8
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 4.4 Résulas / Déformée Éa iniial Éa déformé 9
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 4.4 Résulas / Conraines principales Diagramme conraines principales 2
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 4.4 Résulas / Comparaison calcul élasique σ (MPa) 3,5 3 2,5 2,5,5 lasique Viscoélasique A L2 2 2 4 6 8 Posiion (mm) Conraine principale de racion sur le paremen (ligne L2) 2 A Durée = 5 ans i cor =.2 Age du béon = 25ans Durée ξ =.5 = 5 ans i cor =.2 μa/cm² ξ =.5 nrobage Barre Ф2 = 3mm Barre de diam. 2mm nrobage = 3mm Le calcul élasique suresime largemen la conraine dans le béon; La conraine maximale es aeine à l aplomb de l armaure (poin A) 2
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 4.4 Résulas / simaion du emps de fissuraion σ (MPa) 2 8 C = 2 mm C = 3 mm C = 5 mm 6 4 fcm 2 2 4 6 8 TF2 Temps (an) voluion de la conraine principale de racion au poin A au cours du emps: calcul viscoélasique (rai coninu), calcul élasique (rai disconinu) La viesse d évoluion de la conraine dépend de l enrobage. TF3 La fissuraion survien lorsque σ = f cm (2,56 MPa) A 2 La durée de vie (emps de fissuraion) augmene avec l enrobage. 22
i cor (µa/cm²) i cor (µa/cm²) i cor (µa/cm²) Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 4.4 Résulas / nrobage à prévoir,2,8,6,4,2 ξ =.5 2 3 4 5 C(mm) 2 4 6 8 2 4 6 Temps de Fissuraion (an),2,8,6,4,2 ξ = 2. 2 3 4 5 C (mm) 2 4 6 8 Temps de fissuraion (an) Relaion enre l enrobage, le couran de corrosion e le emps de fissuraion pour rois valeurs du coefficien d expansion ξ Déerminaion de l enrobage à prévoir pour un délai de fissuraion souhaié (durée de vie), sous des condiions de corrosion données (i cor e ξ).,2,8,6,4 ξ = 3.,2 2 3 4 5 C(mm) 2 3 4 Temps de fissuraion (an) 23
Inroducion Formulaion Incrémenale Implémenaion Simulaion Conclusions 5. Conclusions & Perspecives La formulaion incrémenale proposée basée sur la méhode de Simpson es plus précise que l approche incrémenale linéaire ; La formulaion en relaxaion donne une loi de comporemen incrémenale exprimée en rigidié ce qui présene l avanage de ne pas inverser la marice de rigidié du sysème ; La formulaion es généralisée dans le cas ridiminsionnel isorope ; La simulaion de la barre d armaure enrobée pourra êre améliorée en inégran une loi d endommagemen incrémenale pour le béon de conac. 24
Merci pour vore aenion