Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r e posat r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3.... C 0 r = C 0 (1 + T) Doc C = C 0 (1 + T) = C 0 r Exercice 1 a) Au bout de combie d'aées u capital placé à taux auel de 5% double-t-il? b) La valeur acquise d'u capital iitial de 10'000 fracs placé durat 7 as à u taux icou T s'élève à 12'510 fracs. Quel est le taux? c) O a placé u capital C 0 pedat 10 as. Les 5 premières aées le taux était de 3.5%, les 5 aées suivates de 3%. La valeur acquise, après 10 as de ce capital s'élève à 11'014.85 fracs. Trouver C 0. Quel taux uique, appliqué pedat les 10 as, aurait produit la même valeur acquise? d) 1. Créer ue table (Excel) qui présete, aée après aée, la valeur acquise d'u capital iitial pour u taux doé. 2. Créer ue table (Excel) qui, état doés u capital iitial, u taux et u ombre d'aées, affiche la valeur fiale. Remarque : l'outil "valeur cible" d'excel permet de détermier ue des valeur doée e fixat la valeur acquise. e) O désire placer 10'000 CHF durat 3 as. O a deux possibilités de placemet, soit o place cette somme à 3% sur u compte suisse, soit o place cette somme à 4% sur u compte e Euro. 1 s'achète 1.48 CHF et l'o admet que das 3 as, 1 se vede 1.44 CHF. Quel placemet est le plus itéressat? Optio spécifique applicatios des maths Algèbre fiacière page 1
A u taux auel T a correspod des taux particuliers pour des périodes plus courtes. Calculos le taux jouralier T j équivalet à u taux auel T a. jour capital e fi de jourée 1 C 0 + T j.c 0 = C 0 (1 + T j ) = C 0 r j e posat r j = 1 + T j 2 2 C 0 r j + C 0 r j T j = C 0 r j (1 + T j ) = C 0 r j 3 3 C 0 r j....... 365 C 0 r 365 j = C 0 (1 + T j ) 365 Cette somme C 0 (1 + T j ) 365 doit être égale à C 0 (1 + T a ) Doc (1 + T j ) 365 = (1 + T a ) => T 365 1+ T 1 j = a Exercice 2 a) Calculer la valeur acquise par u placemet d'u motat C 0 pedat six mois (180 jours) au taux auel de 3.5%. b) Trouver ue formule de coversio etre u taux auel T a et u taux mesuel T m. c) U établissemet fiacier vous propose de placer 100'000 fracs au taux auel de 3% pedat 10 mois, 3.5% pedat 8 mois, puis 4% pedat 6 mois. Quel est le taux auel moye de ce placemet? Exercice 3 Sur u compte éparge, o dispose de 1000 fracs le 1 er javier. Le taux d'itérêt est alors de 3.25%. Durat l'aée, o assiste à quelques modificatios dues à des versemets, à des prélèvemets et à des modificatios de taux. Les chagemets sot décrits das le tableau suivat. Compléter ce tableau (Excel) Date Durée Texte Taux Opératio Capital Capital oté réel 01.01.2002 0 Report 3.25% 1'000.00 1'000.00 21.01.2002 20 Versemet 3.25% 300 1'300.00 01.04.2002 70 Taux 3.00% 1'300.00 15.05.2002 44 Retrait 3.00% -600 700.00 01.07.2002 47 Versemet 3.00% 800 1'500.00 21.09.2002 82 Taux 3.50% 1'500.00 05.10.2002 14 Versemet 3.50% 200 1'700.00 31.12.2002 87 Mise à jour 3.50% Optio spécifique applicatios des maths Algèbre fiacière page 2
Exercice 4 Le 1 er javier 2002, o a achète ue actio au prix de 1'235 fracs. O suit alors régulièremet l'évolutio de sa valeur e otat so prix de vete. Utiliser u tableur pour calculer le taux auel moye de cette actio aisi que le taux auel qui prévaut etre deux relevés du prix de vete de l'actio. Date Prix Taux Taux récet moye 01.01.2002 1235.- 21.01.2002 1221.- 01.04.2002 1227.- 15.05.2002 1250.- 01.07.2002 1235.- 21.09.2002 1263.- 05.10.2002 1278.- 31.01.2003 1300.- Exercice 5 O possède u capital de 1'800 fracs. Deux optios de placemet sot proposées : pas de frais, taux auel de 3 % 40. de frais fixe pris sur le capital, taux auel de 5 % Utiliser u tableur (Excel) pour détermier les valeurs acquises f (x) et g(x) pour chaque optio après x jours de placemet, pour x [0 ; 730]. Représeter graphiquemet les foctios f et g avec le tableur Exercice 6 Deux capitaux dot le motat total est de 70'000 fracs sot placés, pedat 8 as, le premier à 4.5%, le secod à 3,5%. Le capital fial total s'élève à 95'335.38 fracs. Calculer les deux capitaux. Exercice 7 Ue persoe partage ue somme totale de 30'000 fracs etre trois persoes âgées respectivemet, le jour du partage, de 12 as, 13 as, 16 as. Le partage est effectué de faço à ce que chaque bééficiaire dispose à sa majorité de la même somme, après capitalisatio à 4%. Effectuer le partage. Optio spécifique applicatios des maths Algèbre fiacière page 3
Exercice 8 Ue persoe place durat trois as 12'000 fracs à u taux T 1 et 15'000 fracs à u taux T 2. Le capital total fial s'élève à 29'771.87 fracs. Si cette persoe avait placé durat ces trois as 12'000 fracs au taux T 2 et 15'000 fracs à u taux T 1 alors so capital total fial aurait été de 29'752.66 fracs. Détermier les taux T 1 et T 2. Actualiser ue somme future c'est détermier sa valeur actuelle e teat compte d'u taux d'actualisatio. Exercice 9 Quelle est la valeur actuelle d'u capital de 200'000 fracs das 3 as; le taux d'actualisatio état de 4%. Exercice 10 U ivestisseur doit choisir etre deux type de cotrats pour u versemet iitial de 100'000 fracs. 1) percevoir 117'000 fracs das 4 as 2) percevoir 122'000 fracs das 5 as Quelle est la solutio la plus itéressate? 2. Capitalisatio par versemets réguliers O verse, au début de chaque aée, ue somme fixe a (auité). O cherche la valeur acquise A à la fi de la me aée. aée début de l'aée fi de l'aée 1 a a + at = a (1 + T) = a r e posat r = 1 + T 2 a + a r (a + a r) r = a r + a r 2 3 a + a r + a r 2 a r + a r 2 + a r 3... a r + a r 2 + a r 3 + + a r Doc A = a ( r + r 2 + r 3 +... + r Optio spécifique applicatios des maths Algèbre fiacière page 4
Remarque 2 3 r+ r + r + + r est ue progressio géométrique de raiso r. Sa somme S vaut S = r Démostratio de la remarque S = r + r 2 + r 3 +... + r -1 + r S 1 = r + r 2 + r 3 +... + r -1 r S S r S S ( 1) = r = S = r r r O obtiet aisi les formules. r+ r + r r + + r = r 1 2 r 1 1 r r r + + + + = 2 1 1+ r+ r + + r = 2 3 1 La valeur acquise par le versemet d'ue auité a durat aées est doc doée par la formule : A = a r Exercice 11 Ue persoe place chaque aée, durat 10 as, 10'000 fracs au début de l'aée au taux de 3%. Quelle somme cette persoe possédera-t-elle à la fi de ces 10 as? Quelle somme uique cette persoe aurait-elle du placer pour obteir la même somme fiale? Exercice 12 Sur u compte qui produit u itérêt auel de 3.5%, o décide de verser 500 fracs chaque mois jusqu'à ce qu'il dépasse 10'000 fracs. Créer u tableau qui doe mois après mois l'état du compte. Optio spécifique applicatios des maths Algèbre fiacière page 5
3. Remboursemet d'ue dette Ue dette D est remboursée à l'aide de auités a, versées e début d'aée. Exercice 13 Compléter le tableau ci-dessous: aée dette e début dette e fi d'aée d'aée (itérêt) 0 D 1 2 3........... = D La dette est remboursée si D = 0. Exercice 14 Pour costruire ue maiso o emprute 500'000 fracs à u taux semestriel de 3%. O s'egage à rembourser 18'000 fracs tous les 6 mois. a) Après combie d'aées la dette est-elle effacée? b) A combie faut-il fixer la demi-auité pour rembourser la dette e 25 as? Exercice 15 U prêt de 500'000 fracs est coseti le 1 er javier 2002, au taux de 8%, pour fiacer u ivestissemet. Le remboursemet s'effectue par auités costates. La derière auité échéat fi 2012, calculer le motat de l'auité et dresser le tableau d'amortissemet de l'emprut. Exercice 16 Quelle somme u particulier pourrait-il empruter sur ue durée de 15 as sachat que sa capacité de remboursemet auel est de 60'000 fracs et que le taux proposé par so baquier est de 5%? Pour calculer le taux auel T d'u emprut dot o coaît le motat D, la valeur a et le ombre des auités à payer pour so remboursemet, il faut résoudre l'équatio : Dr a = 0 Optio spécifique applicatios des maths Algèbre fiacière page 6
Exercice 17 Créer ue table (Excel) qui calcule l'état d'u emprut dot o précise le motat, le ombre et le motat des mesualités et le taux auel. Utiliser alors l'outil "Valeur cible" ou "solveur" pour calculer le taux auel d'u emprut 10'000 fracs remboursables e 24 mesualités d'u motat 480 fracs. E utilisat l'outil : "Valeur cible" "Solveur" Exercice 18 Écrire u programme VB qui calcule le taux auel réel d'u emprut D remboursable e mesualités d'u motat m. Exercice 19 Comparer les taux : Procrédit 10'000 458.-- 24 mois Crédisca 10'000 460.-- 24 mois Procrédit 20'000 530.-- 48 mois Crédisca 20'000 523.-- 48 mois Optio spécifique applicatios des maths Algèbre fiacière page 7