Corrigé du baccalauréat S Polynési juin 1 EXERCICE 1 L plan st rapporté à un rpèr orthonormal On considèr ls points B1 ; 1 t C 5 ; O ; i ; j. 5 t la droit D d équation y = x. On not f la fonction défini sur R dont la courb rprésntativ, noté Γ, st donné n annx. On suppos d plus qu il xist dux réls a t b tls qu : pour tout x rél, f x= x ax+b. ls points B t C appartinnnt à la courb Γ. 1. a. B1;1 Γ 1= f 1 1= 1 1a+b 1= 1a+b b. =1a+ b. 5 C 5 ; 5 = f 5 5 1 = 5 5a+b = 5a+b 5a+ b = 1 1a+ b = L coupl a ; b st donc solution du systèm : 5a+ b= 1 1a+ b = 5a+ b= 1 { a=,1 b= 1 Donc, pour tout x rél, f x= x,1x 1.. On sait qu lim,1x 1 = + t lim x + x=+ on a finalmnt lim lim x + { 1a+ b= { 1a+ b = 1a+ b = 1 b= 1 y + y = + d où f x=+ x + { 1a = 1 b= 1 lim x +,1x 1 = + t comm y yy = d où par composition d li-. a. Pour tout x rél, f x= x,1x 1 = 1,1x,1x 1 = 1,1x,1x b. lim,1x = t n posant y =,1x, lim x mits lim f x= x 4. f st dérivabl sur R t pour tout x rél on a : f x=1,1x 1 + x,1,1x 1 = 1+,1x,1x 1. Comm,1x 1 > qul qu soit l rél x, la dérivé a l sign du factur 1+,1x. Comm 1+,1x >,1x > 1 x > 1, la fonction st croissant sur [ 1 ; + [, décroissant aillurs. f 1= 1,1 1 1 = 1 1,5 st donc l minimum d la fonction sur R. D où l tablau d variations suivant :
x 1 + f x + + f x 5. Pour tout x rél on a : f x x = x,1x 1 1. 1 Avc,1x 1 1,1x 1 1 1,1x 1 1,1x 1 par croissanc d la fonction xponntill,1x 1 x 1. On a donc l tablau d signs suivants : x 1 + x + +,1x 1 1 + f x x + + La courb Γ st donc n dssous d la droit D sur ] ; 1] t au dssus aillurs. Γ t D ont dux points communs : B t C. 6. a. Posons pour tout t rél; ut = x t v t =,1t 1 on a alors u t =1 t vt =1,1t 1. Ls fonctions u, v, u t v sont continus sur R car dérivabls sur [ ; 1] d où par intégration par partis on obtint : 1 f t d t = [ t 1,1t 1] 1 1 1,1t 1 d t = 1 1 1 [ 1,1t 1] 1 = 1 1 1 1 = 1 b. La courb Γ st donc n dssous d la droit D sur [ ; 1] donc on a A = 1 1 t ft d t 1 = t d t [ t ] 1 = = 5 1 11 99 f t d t. Polynési 8 juin 1
EXERCICE Dans l plan complx rapporté au rpèr orthonormal dirct O, u, v, on considèr ls points A, B t C d affixs rspctivs a= +i, b= 6i t c = 1. La figur d l xrcic st donné n annx. Ell put srvir à émttr ds conjcturs, à vérifir ds résultats. 1. L triangl ABC smbl rctangl n C. 6i 1 4 6i C A, C B =arg = arg = arg +i 1 +i L triangl ABC st donc bin rctangl n C. ii +i = argi= π. a. L écritur complx d la rotation r d cntr B t d angl π st : z 6i= iπ z+ +6i z = iz+ i 6+ 6i z = iz 9 i. b. L affix du point A imag d A par r st a = i +i 9 i= 11 5i a+ a c. L affix s du point S miliu d [AA +i 11 5i ] st s= = = 1 i. d. L triangl ABC étant rctangl n C l cntr d son crcl circonscrit st Ω l miliu d [AB] qui a pour affix 5 i. Son rayon st ΩA= +i 5 i = 1 + 4i 65 = Or ΩS = 1 i 5 i = 8 + 1 65 i = donc S st bin sur l crcl circonscrit au triangl ABC.. On construit d la mêm manièr C l imag d C par la rotation d cntr A t d angl π, Q 4. l miliu d [CC ], B l imag d B par la rotation d cntr C t d angl π [BB ]. On admt qu ls affixs rspctivs d Q t d P sont q = 1 + 5 i t p = 5i. a. Démontrr qu s q p a = 1 i 1 5 i 5i+ i b. On a donc = 7 4i 4 7i = 4i+7i 4 7i = i. t P l miliu d AP ; QS = arg i = π. Ls droits AP t QS sont donc prpndicu- lairs. D plus s q p a = QS = i = 1 donc qu ls sgmnts [AP] t [QS] sont d mêm AP longuur. p s q b = 5i+ 1 + i 1 + 5 i++6i = 17 7 i 7 + 17 i = i. On a donc BQ ; SP =arg i= π. Ls droits BQ t SP sont donc prpndiculairs. On montr d mêm qu ls droits CS t PQ sont prpndiculairs. Ls droits AP, BQ t CS sont donc ls trois hauturs du triangl PQS donc sont concourants Polynési 8 juin 1
EXERCICE PARTIE A Lorsqu N = l algorithm ffctu trois boucls avant d s arrêtr. À la fin d la boucl pour k = on a U = ; à la fin d la boucl k = 1 on a U = 1 t à la fin d la boucl corrspondant à k = on obtint U = 9. L affichag n sorti st donc 9. PARTIE B On considèr la suit u n défini par u = t, pour tout ntir naturl n, u n+1 = u n n+. 1. u 1 = t u = 1.. a. Démontrons par récurrnc, pour tout ntir naturl n, la propriété P n : u n n. u = donc la propriété P st vérifié. Supposons la propriété P n vrai pour un valur d n qulconqu. u n+1 = u n n+ n n+ n+ n+ 1 la propriété st donc alors vérifié au rang n+ 1. Conclusion : la propriété st vrai au rang t si ll st vrai au rang n ll st vrai au rang n + 1 : d après la propriété d récurrnc on n déduit qu pour tout ntir naturl n, u n n. b. d après l théorèm d comparaison lim u n =+.. Pour tout ntir naturl n ; u n+1 u n = u n n+ u n = u n n+ donc la suit u n st croissant. 4. Soit la suit v n défini, pour tout ntir naturl n, par v n = u n n+ 1. a. Pour tout ntir naturl n v n+1 = u n+1 n+1+1=u n n+ n 1+1=u n n+1= v n+1 = v n. La suit v n st un suit géométriqu d prmir trm v = 1 t d raison. b. Pour tout ntir naturl n, v n = n t u n = v n + n 1 donc u n = n + n 1. 5. Soit p un ntir naturl non nul. a. La suit u n tnd vrs+ donc on put affirmr qu il xist au moins un ntir n tl qu, pour tout n n, u n 1 p. b. u p = p + p 1=7 p + p 1 7 p 1 p donc n = p st un valur d n tll qu u n 1 p ; n étant la plus ptit d cs valurs, on a donc n p c. u 6 = 74 t u 7 = 19 donc pour la valur p = ; n = 7. d. Algorithm qui, pour un valur d p donné n ntré, affich n sorti la valur du plus ptit ntir n tl qu, pour tout n n, on ait u n 1 p. Polynési 4 8 juin 1
r Entré Saisir l nombr ntir naturl non nul p. Traitmnt Affctr à U la valur Affctr à k la valur Tant qu U < 1 p Affctr à U la valur U k+ Affctr à k la valur k+ 1 Fin tant qu Sorti Affichr k Polynési 5 8 juin 1
EXERCICE 4 Si on not ls évènmnts : B : «l cub st blu» R : «l cub st roug» C : «l cub a ss facs marqués d un crcl» L : «l cub a ss facs marqués d un losang» E : «l cub a ss facs marqués d un étoil». On a l arbr suivant : 6% B 4% % C L 4% E % C 4% R x % L 8 x% E PARTIE A xpérinc 1 1. La probabilité qu soit tiré un cub marqué d un losang st égal à : 6% %+4% x %=,6,+,4 x 1 =,1+,4x.. Notons PL la probabilité d tirr un cub marqué d un losang t PE cll d tirr un cub marqué d un étoil. PL=PE,1+,4x =,6,4+,4 8 x 1,1+,4x =,4+,,4x,8x =,44 x= 55 La probabilité d tirr un cub marqué d un losang st égal à cll d tirr un cub marqué d un étoil pour x = 55.. Ls évènmnts «tirr un cub blu» t «tirr un cub marqué d un losang» sont indépndants équivaut à P B L= PL=P R L soit pour x=. PL B,6, 4. Dans ctt qustion qu x= 5. P L B= = PL,1+,4 5 =,1, =,75 La probabilité qu soit tiré un cub blu sachant qu il st marqué d un losang st donc, 75. 6 1 PARTIE B xpérinc 1. La probabilité d n tirr aucun cub roug st : 6! = 57!! 1! 97!! = 6 59 58 1 99 98 = 59 9 5 11 49 = 1711 885,1 La probabilité d tirr au moins un cub roug st donc 1 1711 885 = 674 885,788. Polynési 6 8 juin 1
. D après ls calculs précédnts la probabilité qu ls trois cubs soint blus st 1711 885. La probabilité qu ls trois cubs soint rougs st : 4 1 = 4! 7!! 1! 97!! = 4 9 8 1 99 98 = 1 19 5 11 49 = 494 885,61. La probabilité qu ls cubs tirés soint d la mêm coulur st donc 1711 885 + 494 885 = 5 885,7. Il y a cubs marqués d un crcl donc la probabilité d avoir tiré xactmnt un cub marqué d un crcl st = 1 68 7 17 67 5 7 11 = 5467 1175,458. 1 68 67 = 1 99 98 6 La probabilité d tirr xactmnt un cub marqué d un crcl st nviron, 451 au millièm près. Polynési 7 8 juin 1
EXERCICE 5 Spécialité PARTIE A On considèr l équation E : 5x 18y = 1 où x t y sont ds ntirs rlatifs. 1. 5 1 18 = 5 4 = 1, l coupl 1 ; st bin solution d l équation 5x 18y = 1.. x ; y =1 ; st un solution particulièr d l équation E. x ; y st solution d E équivaut à 5x x =18y y avc 5 t 18 prmir ntr ux donc 18 divis x x On a donc x x = 18k avc k ntir rlatif d où alors y y = 5k. L nsmbl ds coupls d ntirs rlatifs solutions d l équation E st { 1+18k ; +5k k Z }. PARTIE B Dans ctt parti, a désign un ntir naturl t ls nombrs c t g sont ds ntirs naturls vérifiant la rlation 5g 18c = 1. 1. Soit x un ntir naturl. Si x a [7] alors x a st divisibl par 7. D mêm x a [19] ntraîn x a divisibl par 19. Or 7 t 19 sont prmirs ntr ux donc x a divisibl par 7 19=1. C qui s écrit ncor x a [1]. Donc si x a [7] t x a [19], alors x a [1].. a. On suppos qu a n st pas un multipl d 7. 7 st prmir t a n st pas un multipl d 7 donc d après l ptit théorèm d Frmat on a a 6 1 [7]. D plus 18=6 18 donc a 18 = a 6 18 1 18 [7] 1 [7]. On a donc a 5 g = a 5g = a 1+18c a a 18 c a 1 c [7] a [7]. b. On suppos qu a st un multipl d 7. On a alors a [7] t a 5g = a 5 g 7] donc a 5 g a [7]. c. On admt qu pour tout ntir naturl a, a 5 g a [19]. D après ls qustions a. t b. on sait qu l on a aussi a 5 g a [7] on put donc n appliquant l résultat d la qustion 1. à x= a 5 g démontrr qu a 5 g a [1]. PARTIE C On not A l nsmbl ds ntirs naturls a tls qu : 1 a 6. Un mssag, constitué d ntirs appartnant à A, st codé puis décodé. La phas d codag consist à associr, à chaqu ntir a d A, l ntir r tl qu a 5 r [1] avc r < 1. La phas d décodag consist à associr à r, l ntir r 1 tl qu r 1 r 1 [1] avc r 1 < 1. Polynési 8 8 juin 1
1. r 1 r 1 [1] a 5 1 [1] avc g, c=1 ; vérifiant la rlation 5g 18c = 1 d après la parti A. D où d après la qustion. c. d la parti B, a 5 1 [1] a [1] donc finalmnt on bin r 1 a [1].. 18 5 [1] donc 18 1 5 1 [1] 11 [1] [1] 59 4 1 [1] [1] donc 59 1 = 59 4 59 59 [1] 1 [1] [1] L mssag initial était donc :. Polynési 9 8 juin 1