Feuille de TD MP Lycée Clemeceau Septembre 208 Baque CCP Exercice : O cosidère deux suites umériques u IN et v IN telles que u v + Démotrer que u et v sot de même sige à partir d u certai rag 2 Détermier le sige, au voisiage de l ifii, de : u = sih ta Exercice 2 : O cosidère la série de terme gééral u = l α où 2 et α IR a Cas α 0 E utilisat ue mioratio très simple de u, démotrer que la série diverge b Cas α > 0 Étudier la ature de la série Idicatio : O pourra utiliser la foctio f défiie par fx = 2 Détermier la ature de la série 3 e + e l 2 + 2 xl x α Exercice 3 : Soit u N ue suite de réels strictemet positifs et l u réel positif strictemet iférieur à u + Démotrer que si lim = l, alors la série u coverge + u u + Idicatio : écrire, judicieusemet, la défiitio de lim = l, puis majorer, pour assez grad, u + u par le terme gééral d ue suite géométrique 2 Quelle est la ature de la série!? Exercice 4 : Soiet u N et v N deux suites de ombres réels positifs O suppose que v N est o ulle à partir d u certai rag Motrer que : u v = u et v sot de même ature + 2 Étudier la covergece de la série i l si 2 + 3 i est ici le ombre complexe de carré égal à Exercice 5 : Soit x 0 IR O défiit la suite u par u 0 = x 0 et, N, u + = Arctau a Démotrer que la suite u est mootoe et détermier, e foctio de la valeur de x 0, le ses de variatio de u b Motrer que u coverge et détermier sa limite
2 Détermier l esemble des foctios h cotiues sur R telles que : x R, hx = harcta x Exercice 6 : O cosidère la série : cos π 2 + + Prouver que, au voisiage de +, π 2 + + = π + π 2 + απ + O 2 où α est u réel que l o détermiera 2 E déduire que 3 cos π 2 + + coverge cos π 2 + + coverge-t-elle absolumet? 2
2 Suites Exercice 7 : Calculer les limites des suites défiies par leur terme gééral u das les exemples suivats : a! d 3 k 2 e k= b 2 + + 2 c kx, x IR f k= 2! α, α IR! 2 + k k= Exercice 8 : Soit u IN ue suite complexe Soit p IN tel que p > O suppose que les suites extraites u p+k IN, avec k [0, p ], sot covergetes et ot toutes la même limite l C Motrer que u IN est covergete et préciser sa limite Exercice 9 : Soiet u IN et v IN deux suites réelles telles que la suite u 2 + u v + v 2 IN coverge vers 0 Motrer que les suites u IN et v IN coverget vers 0 Exercice 0 : Soiet K u réel strictemet supérieur à et ε IN ue suite de réels positifs covergeat vers 0 Soit u IN ue suite de réels de [0, ] vérifiat La suite u IN coverge-t-elle vers 0? IN, 0 u + u + ε K Exercice : Soit u IN ue suite réelle à termes strictemet positifs telle que la suite vers l a Motrer que, si l < alors u 0 2 b Motrer que, si l > alors u + c Que peut-o dire si l =? a Motrer que la suite u IN coverge aussi vers l b Motrer que la réciproque est fausse c Détermier les limites de u IN, où u = 2k Exercice 2 : Comparer lim lim m + + Exercice 3 : Pour tout IN, o pose m, lim S = k= lim + m + k= + k et S = u+ m et lim + k k= k u IN coverge Etablir que pour tout p >, E déduire la limite de S p+ p dx x p p dx p x 2 Etablir que S 2 = S E déduire la limite de S Exercice 4 : Étudier la covergece de la suite u défiie par : u 0 = a >, IN u + = u + a 2 u 2 u 0 = 0, IN u + = u 2 + α 3
3 u 0 > 0, IN u + = α u Exercice 5 : Soit u IN ue suite réelle, de limite 0 Si o suppose u + u + 2, a-t-o toujours u? 2 Motrer que, si o a u + u 2 3 2, alors u Exercice 6 : Motrer que les suites suivates sot adjacetes et leur limite commue est irratioelle IN u = 2+ k 2k!, v = u + 4 + 4! Exercice 7 : Etudier les suites défiies par : u 0 ]0, + [ a u 2 IN u + = + 7u 2 b u 0 IR IN u + = u2 4 Exercice 8 : Soit u IN ue suite complexe covergeat vers l C O pose, pour IN, w = 2 2 k= ku k Motrer que la suite w IN coverge aussi vers l Exercice 9 : Soit u IN ue suite réelle borée O suppose qu il existe a, b IR IR tel que : a b Q et les suites e i au IN, e i bu IN Motrer que la suite u IN est covergete sot covergetes 4
3 séries umériques Exercice 20 : Détermier la ature de la série de terme gééral : u = l 2 ch 2 u = + l 3 u = l l e 4 u = + 5 u = e 2 6 u = l l 7 u = l l ll π 8 u = ta 4+ cos π 9 u = cos a + b si a e ab + c avec a, b, c IR 3 Exercice 2 : Même questio avec : u = l 2 u = + 2 2 + 3 u = + 4 u = l + 5 u = 6 u =! 3 l + Exercice 22 : Calculer les sommes des séries suivates après avoir motrer leur covergece : 2 3 =0 =0 = 4 4 + 2 + 6 3 + 2 + 3 2 Exercice 23 : a = π 2 2 + 3, et b = π 2 Que peut-o dire de si a + b? 2 3 2 Démotrer que lim + si a = 0 3 Etudier la covergece de la série si a 4 5 =2 =2 l + l 2 Exercice 24 : O cosidère la foctio f : x l e x et la suite défiie par u0 IR et IN u + = fu x Étudier la suite u IN, puis la série u Exercice 25 : O cosidère la suite S IN défiie par IN, S = Motrer que cette suite est borée sik 2 O cosidère maiteat la série si a Exprimer les sommes partielles de cette série e foctio de S b E déduire que la série est covergete et doer sa somme 5
Exercice 26 : Soit u IN ue suite de complexes telle que u k Motrer que l k l + k= O admettra que = l + γ + o k k= Exercice 27 : Pour tout etier IN, o pose u = Trouver ue relatio de récurrece etre u et u +2 π 4 2 Trouver u équivalet de u lorsque ted vers l ifii 3 Doer la ature de la série de terme gééral u 0 k= u k ta t dt l C + 4 Discuter, suivat les valeurs de α IR, la ature de la série de terme gééral u α Exercice 28 : O cosidère les suites h IN et u IN défiies par : IN h = k= u = h l E étudiat la série de terme gééral u + u, motrer que la suite u IN est covergete O ote γ sa limite 2 Justifier le fait que h = l + γ + o Motrer qu il existe deux réels a et b que l o détermiera, tels que IN 2 k= k k = ah 2 bh E déduire la formule suivate : k= k k = l2 3 O cosidère α IR Soit w IN la suite défiie par w = α si est u multiple de 4 et w = sio Pour IN o pose S = w k k= a Motrer que la suite S 4 IN est covergete si et seulemet si α = 3 b O suppose que α = 3 Etablir la covergece de la série w et calculer sa somme Exercice 29 : Soit a IR Motrer que la série de terme gééral arcta + a arcta est covergete 2 O pose Sa = arctak + a arcta k Trouver lim Sa a + 6
4 Avec Pytho Exercice 30 : O défiit pour IN : k 2i + si = 2k + i=0!! = k 2i si = 2k et par covetio 0!! = i= Soit U IN la suite défiie par : pour IN, U = 2 2!! 2!! a Représeter les 30 premiers termes de la suite U IN Cojecturer la ature de la suite b Représeter les 30 premiers termes de la suite 2U 2 U IN et cojecturer le comportemet de cette suite 2 Motrer la cojecture de la questio a e précisat la limite 3 Motrer qu o peut trouver deux costates a et b telles que U+ l + a + a + = b 3 + o 3 Détermier a et b Exercice 3 : O pose pour IN, u = arcta + arcta a Soit ε IN {0, } IN Motrer que la série ε u coverge U Soit S sa somme, motrer que S [ 0, π 2 ] b Soit x [ 0, π 2 ] O cosidère la suite ε x IN {0, } IN défiie par ε 0 x = { 0 si x u 0 sio i Ecrire ue foctio Pytho otée Suitex, qui revoie 0 si x ε k xu k + u + et IN, ε + x = sio ε k xu k ii Tester la foctio pour quelques valeurs de x pour {00, 000, 0000} iii Cojecturer le comportemet de la suite c Démotrer la cojecture 2 Gééralisatio Soit u IN vérifiat H : Soit λ = =0 Soit P : x [0, λ], x = { u coverge u IN est décroissate positive u et x [0, λ] O cosidère ε IN {0, } IN défiie comme das la première questio =0 ε xu a O cosidère, pour IN, u = 2 3 + i Motrer que u IN vérifie H ii Adapter la foctio Suite et la tester pour x {025, 050, 075, 095} et plusieurs valeurs de iii u IN vérifie-t-elle P? Justifier b O suppose que la suite u IN vérifie, pour tout IN, u Motrer que la suite vérifie P + k=+ u k 7
Exercice 32 : Soit u IN la suite défiie par, pour tout IN, u = + O défiit la suite v IN par, pour u k IN, v = k +! Ecrire ue foctio v qui calcule le terme v Que peut-o cojecturer sur le comportemet de cette suite? 2 O cosidère ue suite u IN qui coverge vers 0 O défiit la suite v IN par, pour IN, v = u k Motrer le résultat proposé à la questio précédete das ce cas gééral k +! p k Das la suite o défiit la suite p IN par p 0 = et, pour tout IN, p + = k +! 3 Défiir ue foctio p qui calcule la liste des + premiers termes de la suite, c est à dire qu il calcule la liste [p 0, p,, p ] Calculer p pour différetes valeurs de 4 Supposos que la suite p IN coverge O ote l la limite A l aide d u calcul à la physiciee trouver ue relatio vérifiée par l et établir que l = e 5 Ecrire ue foctio emois qui calcule ue approximatio de e à la précisio 0 6 Vérifier la cohérece avec les résultats de la questio 3 6 Prouver la covergece de la suite p IN 8