Universié Aboubekr Belkaïd Tlemcen A.U. 2018/2019 Faculé des Sciences / Déparemen de Mahémaiques Final : Equaions Différenielles [Licence L3 S5] 14 janvier 2019 2h00 Exercice 1: Soi l edo écrie sous la forme différenielle 2xy x 2 y 1 3 y3 dx x 2 y 2 dy. E 1. Monrer que E n es pas aux différenielles oales e qu elle adme un faceur inégran x à déerminer. 2. Résoudre E avec le faceur inégran x rouvé. Exercice 2 : 1. Déerminer une edo E d ordre 1 don la soluion générale es donnée par la famille de courbes à un paramère réel C x,y,c : x C 2 y 2 1 0. Indicaion : éliminer C par dérivaion par rappor à x. 2. Monrer que cee famille adme une enveloppe L à déerminer. Dans une figure, illusrer cee enveloppe e un cerain nombre de courbes de la famille. 3. L équaion E adme-elle une soluion singulière? Expliquer. Exercice 3 : 1.Soi le sysème différeniel linéaire homogène X AX, où E es un espace de Banach e A EndE, I R. Rappeler ce qu es la résolvane R, 0 e monrer que la soluion X. elle que X 0 X 0 donné vérifie X R, 0.X 0. 2. Soi donc X R, 0.C la soluion générale de l équaion homogène. Déerminer la soluion pariculière. du sysème différeniel linéaire non homogène X AX B, B coninue, elle que 0 0. En déduire l expression de la soluion générale du sysème non homogène. Exercice 4 : I) Soi le sysème différeniel linéaire S x x 2y y 4x 3y. 1. Sans le résoudre, expliquer pourquoi S adme des soluions non bornées e d aures qui enden vers 0,0 quand. 2. Résoudre le sysème S par la méhode de la résolvane (exponenielle d une marice). II) Résoudre l edo linéaire scalaire d ordre 4 suivane x 4 2x 1 0 en mean en évidence un sysème fondamenal de soluions.
Universié Aboubekr Belkaïd Tlemcen A.U. 2018/2019 Faculé des Sciences / Déparemen de Mahémaiques Final : Equaions Différenielles [Licence L3 S5] 14 janvier 2019 2h00 Exercice 1:[5 ps] Soi l edo écrie sous la forme différenielle 2xy x 2 y 1 3 y3 dx x 2 y 2 dy 0 1. Monrer que E n es pas aux différenielles oales e qu elle adme un faceur inégran x à déerminer. 2. Résoudre E avec le faceur inégran x rouvé. E M y 1. Posons Mx,y 2xy x 2 y 1 3 y3 e Nx,y x 2 y 2. Comme 2x x 2 y 2 2x N x, l équaion E n es pas aux différenielles oales. Cependan (voir le cours pour les déails), sachan que M y N x 1 ne dépend pas de N y, on peu rouver un faceur inégran ne dépendan que de x, soluion de l edo d dx M y N x N qui se résoud facilemen pour donner x Ce x. Choisissons C 1. 2. On peu rouver une foncion Ux,y différeniable elle que e x 2xy x 2 y 1 3 y3 dx e x x 2 y 2 dy dux, y U x x, ydx U y x, ydy 2.5 ps Ainsi U x x, y e x 2xy x 2 y 1 3 y3 a U y x,y e x x 2 y 2 En inégran a par rappor à la variable, sachan par de simples inégraions par paries on rouve que xe x dx xe x e x ce e x 2 e x dx x 2 e x 2xe x 2e x ce, ona b Ux,y... 1 3 y3 e x yx 2 e x hy, où hy es une foncion dérivable arbiraire de y. De b e de la dérivaion de ce qui précède par rappor à y, nous avons e x x 2 y 2 h y e x x 2 y 2 h y C, C R. Finalemen, la soluion générale de E es donnée par Ux,y 1 3 y3 e x yx 2 e x C, C R. 2.5ps
Exercice 2 :[5 ps] 1. Déerminer une edo E d ordre 1 don la soluion générale es donnée par la famille de courbes à un paramère réel C x,y,c : x C 2 y 2 1 0. Indicaion : éliminer C par dérivaion par rappor à x. 2. Monrer que cee famille adme une enveloppe L à déerminer. Dans une figure, illusrer cee enveloppe e un cerain nombre de courbes de la famille. 3. L équaion E adme-elle une soluion singulière? Expliquer. 1. En dérivan l égalié 0 par rappor à x e en considéran donc y comme une foncion de x,ona 2xC2yy 0, d où x C yy. En remplaçan x C par yy dans la première égalié, on obien alors l EDO d ordre 1 en y 1 p E y 2 y 2 1 1. 2. Si l enveloppe de la famille exise, elle doi vérifier au moins les équaions suivanes x,y,c 0 x C 2 y 2 1 0, C x, y, C 0 x C 0 y y=+1 y=-1 x La première équaion devien alors y 2 1 0 d où y 1. La famille donnée es consiuée de ous les cercles du plan x,y, de cenre C,0 e de rayon 1. 1.5 ps La figure monre bien que la réunion des deux droies y 1 e y 1 es bien une enveloppe de ces cercles, selon la définiion donnée en cours. 1.5 ps 3. yx 1 e yx 1 son des soluions riviales de E e ne son pas des membres de la famille 0 (aucune valeur de C ne donne y 1). L enveloppe es donc formée de deux soluions singulières de E. 1 p Exercice 3 :[5 ps] 1.Soi le sysème différeniel linéaire homogène X AX, où E es un espace de Banach e A EndE, I R. Rappeler ce qu es la résolvane R, 0 e monrer que la soluion X. elle que X 0 X 0 donné vérifie X R, 0.X 0.
2. Soi donc X R, 0.C la soluion générale de l équaion homogène. Déerminer la soluion pariculière. du sysème différeniel linéaire non homogène X AX B, B coninue, elle que 0 0. En déduire l expression de la soluion générale du sysème non homogène. 1. Nommons L h le sysème linéaire considéré. La résolvane de L h es l unique soluion de l équaion différenielle maricielle R R A R, elle que R 0 Id EndE. On la noe donc R, 0 elle que R 0, 0 Id EndE. Soi X. la soluion de L h elle que X 0 X 0. Soi par ailleurs S : R, 0.X 0. On a S R, 0. X 0 A R, 0. X 0 A.R, 0. X 0 A. S. d aprèsr, Ainsi S es une soluion de L h. De plus, S 0 R 0, 0.X 0 X 0 par définion de la résolvane. Donc, par unicié de la soluion X S R, 0.X 0, I. 2 ps 2. Nommons L le sysème non homogène X AX B. On cherche la soluion pariculière de L, noé, elle que 0 0. La soluion générale de L s écrira alors R, 0.C. Par la méhode de la variaion de l a consane, on cherche sous la forme où C : I E es dérivable. D une par, e, d aure par, donne R, 0.C, A. B, car es une soluion de L, R, 0.C R, 0.C A R, 0. C R, 0. C, par définiion de la résolvane, AR, 0. C R, 0. C A. R, 0. C d après. On en dédui que R, 0.C B c es-à-dire que C R 1, 0.B R 0,.B d après la propriéé d inversibilié de la résolvane. Par inégraion, sachan que 0 0 donne C 0 0 à parir de, C R 0,.Bd, 0 ce qui donne la soluion pariculière cherchée
R, 0. R 0,. Bd 0 R, 0. R 0,. Bd 0 R,. Bd. 0 d après une propriéé de la résolvane. On en dédui la soluion générale de l équaion linéaire homogène L : R, 0.C R,.Bd, C E. 0 2.5 ps 0.5 p Exercice 4 :[5 ps] I) Soi le sysème différeniel linéaire S x x 2y y 4x 3y. 1. Sans le résoudre, expliquer pourquoi S adme des soluions non bornées e d aures qui enden vers 0,0 quand. 2. Résoudre le sysème S par la méhode de la résolvane (exponenielle d une marice). II) Résoudre l edo linéaire scalaire d ordre 4 suivane x 4 2x 1 0 en mean en évidence un sysème fondamenal de soluions. I) 1. La marice associée au sysème S es A 1 2 4 3 de race 4 e de déerminan 5; ainsi A adme deux valeurs propres réelles de signes opposés. L origine es un poin-selle. Donc la plupar des soluions ne son pas bornées e ceraines enden vers l origine quand. 1 p 2. L équaion caracérisique es 2 4 5 0 e a pour soluions 1 1 e 2 5 de muliplicié (e d indice de muliplicié) 1 chacune. Après des calculs simples, on rouve les espaces propres associées respecivemen aux valeurs propres 1 e 2 E 1, R, E 2 2, R. La soluion générale de S s écri alors, en enan compe de la muliplicié dans le calcul de l exponenielle des marices,
x y e. e AI e 5. e A5I 2 e I e 5. I 2 x e e 5, y e 2e 5. 2 ps II) Résoluion de l équaion différenielle homogène x 4 2x 0 : L équaion caracérisique es r 4 2r 2 0 de soluions r 1 0 de muliplicié 2, r 2 2 e r 3 2 oues deux simples. A r 1 corresponden les soluions élémenaires e 0 e e 0. A r 2 correspond la soluion e 2 eàr 3 la soluion e 2. La soluion générale de l edo homogène es l ensemble des combinaisons linéaires de 4 ces soluions linéairemen indépendanes, i.e. x C 1 C 2 C 3 e 2 C 4 e 2, C i R. Résoluion de l équaion complèe x 4 2x 1 : P.e, avec P 1 e 0. On cherche une soluion pariculière de la forme x p Qe 0 avec degq deg P m avec m la muliplicié de 0 comme soluion de l équaion caracérisique. Ainsi, degq 0 2, d où x p a 2 b c. En dérivan x p quare fois, en remplaçan ces dérivées dans l équaion complèe e par idenificaion nous obenons a 1/4, b, c arbiraires. Choisissons b c 0 pour avoir la soluion pariculière x p 2 4. Conclusion : la soluion générale de l équaion complèe es : x C 1 C 2 C 3 e 2 C 4 e 2 2 4, C i R. 2 ps.souviens-oi de on erreur, e u feras peu de faues. Proverbe arabe ;. Défendre son erreur es une nouvelle erreur. Proverbe danois