Chapitre 14 Itervalle de fluctuatio des fréqueces. Estimatio Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Itervalle de fluctuatio Estimatio Itervalle de cofiace (*). Niveau de cofiace. Démotrer que si la variable aléatoire X suit la loi B (, p), alors pour tout α das ]0,1 o a : lim où I désige l itervalle p u α P( X I ) =1 α p(1 p) ; p+u α ] Coaître l'itervalle de fluctuatio asymptotique (*) au seuil de 95% : p 1,96 ; p+1,96 p(1 p) ] où p désige la proportio das la populatio. Estimer par itervalle ue proportio icoue à partir d u échatillo. Détermier ue taille d échatillo suffisate pour obteir, avec ue précisio doée, ue estimatio d ue proportio au iveau de cofiace 0,95. La démostratio ci-cotre doe l expressio d u itervalle de fluctuatio asymptotique (*) au seuil 1 α de la variable aléatoire fréquece F = X fréquece obteue f. qui, à tout échatillo de taille, associe la Avec les exigeces usuelles de précisio, o pratique cette approximatio dès que 30, p 5 et (1 p) 5. E majorat 1,96 p 1 p, o retrouve l itervalle de fluctuatio préseté e classe de secode. La problématique de prise de décisio, déjà recotrée, est travaillée à ouveau avec l itervalle de fluctuatio asymptotique. Les attedus de ce paragraphe sot modestes et sot à exploiter e lie avec les autres disciplies. Il est itéressat de démotrer que, pour ue valeur de p fixée, l itervalle F 1 ; F + ] 1 cotiet, pour assez grad, la proportio p avec ue probabilité au mois égale à 0,95. O éoce alors que p est élémet de l itervalle f 1 ] ; f + 1 avec u iveau de cofiace de plus de 95 %, où f désige la fréquece observée sur u échatillo de taille. Avec les exigeces usuelles de précisio, o utilise cet itervalle dès que 30, p 5 et (1 p) 5. La simulatio de sodages sur tableur permet de sesibiliser aux fourchettes de sodage. Il est importat de oter que, das d autres champs, o utilise l itervalle f 1,96 f (1 f ) ; f +1,96 f (1 f ) ] qu il est pas possible de justifier das ce programme. ] SVT] Aalyse de graphiques où les doées sot fouries par des itervalles de cofiace. (AP) Prise de décisio lors de la comparaiso de deux proportios (par exemple lors d u essai thérapeutique). (*) Avec les otatios précédetes : U itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F au seuil 1 α est u itervalle détermié à partir de p et de et qui cotiet F avec ue probabilité d autat plus proche de 1 α que est grad. U itervalle de cofiace pour ue proportio p à u iveau de cofiace 1 α est la réalisatio, à partir d u échatillo, d u itervalle aléatoire coteat la proportio p avec ue probabilité supérieure ou égale à 1 α, itervalle aléatoire détermié à partir de la variable aléatoire fréquece F qui, à tout échatillo de taille, associe la fréquece. Les itervalles de cofiace cosidérés ici sot cetrés e la fréquece observée f. Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 1/10
I. Itroductio Das ue populatio, o étudie u caractère doé préset das cette populatio. O distigue les deux situatios suivates : 1ère situatio : Itervalle de fluctuatio et Coformité d'ue hypothèse. O coaît la proportio effective p du caractère das la populatio totale. Soit 1. O prélève u échatillo de taille et o calcule la fréquece observée f obs. O recommece l'épreuve u grad ombre de fois. O costate que ces fréqueces observées f obs variet e état "suffisammet proches" de p das 95% des cas, par exemple. Le "suffisammet proches" déped aturellemet de la taille de l'échatillo. O dit que les fréqueces observées f obs fluctuet das u certai itervalle I. Ou ecore que I est l'itervalle de fluctuatio des fréqueces «au seuil de 95%» ou bie «au risque de 5%». Par coséquet : Si o prélève u échatillo de taille et o calcule la fréquece observée f obs. O peut émettre l'hypothèse H 1 que «pour ce caractère, l'échatillo est représetatif ou coforme à la populatio géérale». O pred la décisio suivate : Si f obs I, o peut affirmer que «au seuil de 95%, o peut accepter l'hypothèse H 1 de coformité» (répose positive) Si f obs I, o peut affirmer que «au risque (d'erreur) de 5%, o peut rejeter l'hypothèse H 1 de coformité» ( répose égative). Nous avos vu e Secode : Si la proportio effective du caractère p 0,2 ; 0,8] et si o prélève u échatillo de taille > 25, alors l'itervalle de fluctuatio des fréqueces f obs au seuil de 95% est doé par : Nous allos améliorer ce résultat. I = p 1 ; p+ 1 ], c'est-à-dire : P( f obs I) = 0,95 = 95%. Exemple 2de : O lace ue pièce de moaie 2500 fois. O ote la fréquece d'apparitio du côté «Face». O recommece cette opératio plusieurs fois, e otat à chaque la fréquece d'apparitio du côté «Face». O costate que ces fréqueces e sot pas idetiques. 1 ) Détermier l'itervalle de fluctuatio de ces fréqueces au seuil de 95%, e supposat que la pièce de moaie soit parfaitemet équilibrée. 2 ) Si o ote 1100 apparitios du côté «Face» sur les 2500 lacers, peut-o e déduire que la pièce soit «parfaitemet équilibrée»? Justifier votre répose. 2ème situatio : Estimatio de la proportio effective par Itervalle de cofiace. O e coaît pas la proportio effective p du caractère das la populatio totale. Nous allos faire u sodage sur u échatillo de taille das cette populatio. Sous certaies hypothèses sur et p, ous pouvos faire ue estimatio de la proportio p par itervalle de cofiace. Nous avos vu e Secode : Si la proportio effective p du caractère est comprise etre 0,2 et 0,8 et si o prélève des échatillos de taille > 25, alors 95% des itervalles associés f 1 ; f + 1 ] cotieet p. Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 2/10
Par coséquet : O prélève u échatillo de taille, et o calcule la fréquece observée f obs du caractère das cet échatillo. Si >25 et 0,2 < p < 0,8 alors la proportio p appartiet à l'itervalle de cofiace IC au seuil de 95%, avec IC = f 1 obs ; f + 1 obs, c'est-à-dire : P( p IC) = 0,95 = 95%. ] Exemple historique : source (Istitut de sodage IPSOS : http://www.ipsos.fr) ÉLECTIONS PRÉSIDENTIELLES 2002 EN FRANCE : DATE DU TERRAIN: Le 21 avril 2002. ECHANTILLON : 1089 persoes costituat u échatillo atioal représetatif de la populatio fraçaise âgée de 18 as et plus et iscrite sur les listes électorales. METHODE : Echatillo iterrogé par téléphoe. Méthode des quotas (sexe, âge, professio du chef de famille, catégorie d'agglomératio et régio). INTENTIONS DE VOTE AU 1er TOUR (Istitut IPSOS) : 20% pour J.CHIRAC, 18% pour L.JOSPIN et 14% pour J.M.LEPEN. O se prépare à u duel etre J.CHIRAC et L.JOSPIN au 2ème tour. 1. Détermier les itervalles de cofiace au iveau 95% doat des estimatios de la proportio de vote pour chacu des trois cadidats. 2. Les résultats effectifs du 1er tour sot les suivats : 19,88% pour J.CHIRAC, 16,18% pour L.JOSPIN et 16,68% pour J.M.LEPEN. Ces résultats sot-ils coformes avec les itervalles de cofiace trouvés das la questio 1? 3. Aalyser la situatio avec les outils de la classe de 2de. Qui a voté quoi?. Les motivatios de vote. 4. Repredre l'exercice à la fi du chapitre pour aalyser la situatio avec les outils de la classe de Termiale. II. Itervalle de fluctuatio 2.1) Le théorème de MOIVRE-LAPLACE Das ue populatio, o étudie u caractère doé, préset das cette populatio. Das ce paragraphe, o suppose qu'o coaît la proportio effective p du caractère. Pour tout etier aturel o ul, o prélève u échatillo aléatoire de taille, cest-à-dire e effectuat tirages successifs idépedats (avec remise) das cette populatio. E gééral, o suppose que l'effectif total de la populatio est suffisammet grad pour supposer que les tirages sot effectués avec remise. o appelle X la variable aléatoire qui compte le ombre de succès, c'est-à-dire le ombre d'idividus ayat le caractère étudié. X suit la loi biomiale B (, p), de paramètres et p. O sait que : E(X ) = p, V(X ) = σ 2 = p(1 p) et σ= V ( X )=p(1 p) Efi, o défiit ue ouvelle variable aléatoire Z de la maière suivate : Z = X m = X p σ p(1 p) Z est ue variable aléatoire cetrée réduite associée à X : E(Z ) = 0 et s(z ) = 1. Efi, ous avos besoi aussi de la variable aléatoire cetrée réduite Z qui suit la loi ormale N(0,1) et défiie das la chapitre précédet par : x b 1 P (a Z b)= 2 a 2π e 2 dx Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 3/10
Théorème 1 de Moivre-Laplace : Soit p u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. O suppose que, pour tout etier 1, X ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale de paramètres et p. O appelle Z = X p la variable aléatoire cetrée réduite associée à X. p(1 p) Alors, pour tous ombres réels a et b tels que a < b, o a : P a Z b =P a Z b c'est-àdire : lim lim P a X p p 1 p b =P a Z b où Z est la variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réuite N(0,1). Théorème admis. Par coséquet : Corollaire 1 du théorème de Moivre-Laplace Soit p u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. O suppose que, pour tout etier 1, X ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale de paramètres et p. O appelle Z = X p la variable aléatoire cetrée réduite associée à X. Alors, p(1 p) si 30, p 5 et 1 p 5, pour tous ombres réels a et b tels que a < b, o a l'approximatio suivate : P (a Z b) P (a Z b) où Z est la variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réuite N(0,1), ou ecore : P (a X p p(1 p) b) P(a Z b) Coséquece immédiate du théorème ci-dessus. 2.2) Itervalle de fluctuatio des fréqueces Soit p u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. Pour tout etier 1, o prélève d'ue maière aléatoire u échatillo de taille et o calcule la fréquece observée du caractère das l'échatillo. Soit X ue variable aléatoire égale au ombre de succès das l'échatillo. X suit la loi biomiale B (, p) de paramètres et p. De même, o appelle F la variable aléatoire égale à la fréquece du succès das l'échatillo. O peut calculer sa moyee et so écart-type à partir de ceux de X. Comme pour tout 1 : F = X = 1 X o obtiet : et E(aX) = a E(X), V(a X) = a²v(x), Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 4/10
p(1 p) E(F ) = p, V(F p(1 p) ) = et σ( F )= V ( F )= = Soit a u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. O désige par I l itervalle : I = p u ] α ; p+u α où P (u α Z u α )=1 α et Z suit la loi ormale N(0,1). Théorème 2 Soit a et p deux ombres réels (fixés) compris etre 0 et 1. O suppose que, pour tout etier 1, X ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale de paramètres et p. Soit F est la variable aléatoire égale à la la fréquece du succès das l'échatillo de taille. Alors, avec les otatios ci-dessus, o a : lim P (F I )=1 α + c'est-à-dire : ou ecore : P( lim p u α + lim + P( X I ) =1 α ) F p+u α =1 α Défiitio : Soit a u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. L itervalle I aisi défii : I = p u ] α ; p+u α s'appelle l'itervalle de fluctuatio asymptotique des fréqueces au seuil de 1 a (pour ue répose positive) ou au risque de a (pour ue répose égative). Démostratio du théorème 2 (ROC) E trois "petites" étapes : O trasforme la double iégalité du théorème de Moivre-Laplace, de X e F = X etre a et b, puis o écrit l'égalité des probabilités des deux évéemets ; O écrit la formule du théorème de Moivre-Laplace avec la limite de probabilités ; O itroduit a et u a avec la loi ormale cetrée réduite., 1ère étape : Pour tous ombres réels a et b tels que a < b, o a : a Z b (ssi) a X p p 1 p b (ssi) a p 1 p X p bp 1 p Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 5/10
(ssi) (ssi) (ssi) (ssi) (ssi) a p 1 p X p b p 1 p e divisat partout par a p 1 p X 2 p b p 1 p e posat 2 = 2 au déom. a p 1 p X p b p 1 p a p 1 p F p b p 1 p après simplificatio avec F = X p a p 1 p F p b p 1 p p 1 p b =P p 1 p p 1 p p a F p a Par coséquet : P a X p 2ème étape : D'après le théorème de Moivre-Laplace, o sait que : P lim a X p p 1 p b = P a Z b par suite : lim e rajoutat p aux trois termes. P p a p 1 p F p b p 1 p =P a Z b 3ème étape : Soit a u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. O sait qu'il existe u ombre réel u a tel que P u Z u =1. O pose alors : a = u a et b = u a O obtiet alors : lim P p u p 1 p p 1 p F p u =1. CQFD 2.3) Itervalle de fluctuatio au seuil de 95% Corollaire 1 ( ) Si a = 0,05, u 0,05 = 1,96. Doc si 30, p 5 et 1 p 5, alors l'itervalle de fluctuatio asymptotique des fréqueces au seuil de 95% est doé par : Démostratio : I = p 1,96 ; p+1,96 ] C'est ue coséquece directe du théorème précédet pour a = 0,05. Or, d'après le cours chapitre précédet], o sait que u 0,05 = 1,96. d'où le résultat. Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 6/10
2.4) Prise de décisio Si o prélève u échatillo de taille et o calcule la fréquece observée f obs. O peut émettre l'hypothèse H 1 que «pour ce caractère, l'échatillo est représetatif ou coforme à la populatio géérale». O pred la décisio suivate : Si f obs I, o peut affirmer que «au seuil de 95%, o peut accepter l'hypothèse H 1 de coformité» (répose positive) Si f obs I, o peut affirmer que «au risque (d'erreur) de 5%, o peut rejeter l'hypothèse H 1 de coformité» ( répose égative). Exemple : Baccalauréat S Asie 18 jui 2013] (source APMEP) À des fis publicitaires, u grossiste affiche sur ses plaquettes : «88 % de otre thé est garati sas trace de pesticides». U ispecteur de la brigade de répressio des fraudes souhaite étudier la validité de l affirmatio. À cette fi, il prélève 50 boîtes au hasard das le stock du grossiste et e trouve 12 avec des traces de pesticides. O suppose que, das le stock du grossiste, la proportio de boîtes sas trace de pesticides est bie égale à 0,88. O ote F la variable aléatoire qui, à tout échatillo de 50 boîtes, associe la fréquece des boîtes e coteat aucue trace de pesticides. 1 ) Doer l itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 95 %. 2 ) L ispecteur de la brigade de répressio peut-il décider, au seuil de 95 %, que la publicité est mesogère? Corrigé : 1 ) O vérifie tout d abord que les hypothèses sot satisfaites : = 50 et 50 > 30 et p = 0,88 ; p = 50 0,88 = 44 et 44 > 5 ; (1 p) = 50 0,12 = 6 et 6 > 5. O sait alors que l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % est égal à : I 50 = p 1,96 ; p+1,96 ] 0,88 0,12 I 50 = 0,88 1,96 ; 0,88+1,96 0,88 0,12 50 50 ] Coclusio : L itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % est égal, au cetième près, à : I 50 = 0,79 ; 0,98]. 2 ) Calcul de la fréquece observée : f obs = 50 12 0,76. 50 L ispecteur de la brigade de répressio costate ue proportio de lots sas pesticides d'eviro f obs 0,76. Or 0,76 I 50. Par coséquet, l ispecteur de la brigade de répressio costate doc qu'au risque de 5 %, l'hypothèse de coformité est rejetée. Coclusio : l ispecteur de la brigade de répressio décide qu'au risque de 5 %, la publicité du grossiete est mesogère. Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 7/10
2.5) Coséquece Corollaire 2 (ROC) : Versio simplifiée vue e secode Si a = 0,05, u 0,05 = 1,96. Doc, pour assez grad, c'est-àdire si 30, p 5 et (1 p) 5, alors l itervalle I = p 1/ ; p+1/] cotiet les fréqueces observées avec ue probabilité au mois égale à 0,95. Ue approximatio de l'itervalle de fluctuatio asymptotique des fréqueces au seuil de 95% est doé par : I = p 1 ; p+ 1 ] Démostratio : O suppose que les coditios du corollaire 1 sot vérifiées. O défiit ue foctio f par : f ( p)=1,96 ou f ( p)= 1,96 p p2 La foctio f est défiie et cotiue sur l'itervalle 0 ; 1] et dérivable sur ]0 ; 1 et pour tout p ]0 ; 1 o a : f ' (x)= 1 2 p. Le sige de f '( x) est le même 2 que celui de 1 2p. O obtiet le tableau de variatios suivat : p 0 1/2 1 f ' ( p) + 0 f ( p) f (1/2) 0 0 Or, f ( 1 2) = 1,96 1 2 1 2 doc f ( 1 2) = 1,96 2 < 1. La foctio f admet doc u maximum pour p = 1/2. Doc, pour tout etier aturel o ul et tout ombre réel p 0 ; 1] o a : f p f 1 2 1 Par coséquet : p 1,96 puisque 1,96 < 2. ] ; p+1,96 ] p 1 ; p+ 1 Or, si A et B sot deux évéemets tels que A B, alors P ( A) P (B). P( ]) Or, o sait que p 1,96 ; p+1,96 =0,95 doc : P p 1 ; p ] 1 0,95 Coclusio : Si 30, p 5 et 1 p 5, alors l'itervalle de fluctuatio asymptotique des fréqueces F au seuil de 95% est coteu das l'itervalle : I = p 1 ; p+ 1 ]. Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 8/10
III. Estimatio d'ue proportio 3.1) Itervalle de cofiace Soit u etier aturel o ul. O cherche à estimer la proportio effective p (icoue das ce pragraphe) d'u caractère das ue populatio doée. Pour tout etier aturel o ul, o prélève u échatillo aléatoire de taille, cest-à-dire e effectuat tirages successifs idépedats (avec remise) das cette populatio. E gééral, o suppose que l'effectif total de la populatio est suffisammet grad pour supposer que les tirages sot effectués avec remise. Sous certaies hypothèses sur et p, ous pouvos faire ue estimatio de la proportio effective p par itervalle de cofiace. Défiitio : Soit a u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1. Alors, u itervalle de cofiace pour ue proportio p à u iveau de cofiace 1 a, est la réalisatio d'u itervalle, oté IC (avec deux lettres) qui, pour assez grad, cotiet la proportio p avec ue probabilité au mois égale à 1 a, c'est-à-dire : P ( p IC) 1 α Seul le cas a = 0,05 est au programme de Termiale, c'est-à-dire u iveau de cofiace de 95%. Cela sigifie que, si o réalisait u grad ombre de sodages de même taille, et o calculait les itervalles de cofiace correspodats, alors plus de 95% de ces itervalles cotieet la proportio p. 3.2) Estimatio de p par itervalle de cofiace au iveau 95% Soit u etier aturel o ul. O prélève u échatillo aléatoire de taille. O appelle X ue variable aléatoire «ombre de succès», alors X suit ue loi biomiale de paramètres et p. Soit F est la variable aléatoire égale à la la fréquece du succès das l'échatillo de taille. Alors, o a les résultats suivats : Propriété admise : Soit p u ombre réel (fixé) compris etre 0 et 1 et u etier aturel o ul. Alors, pour suffisammet grad, l'itervalle aléatoire F 1 ;F + ] 1 cotiet la proportio p avec ue probabilité au mois égale à 95%. Coséquece pratique : Si f désige la fréquece observée sur u échatillo de taille alors, avec les exigeces usuelles de précisio, c'est-à-dire : si 30, f 5 et (1 f ) 5, Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 9/10
] l'itervalle IC = f 1 ; f + 1 est u itervalle de cofiace pour la proportio p au iveau de cofiace de 95%. Cet itervalle est aussi appelé «fourchette de sodage». Exemple : Das u échatillo de 100 voitures, prélevé au hasard das u parc de voitures de locatio, o a costaté que 88 'ot pas eu de siistre au cours des 6 deriers mois. Doer u itervalle de cofiace de la proportio p au iveau de cofiace de 95%, de voitures 'ayat pas eu de siistre au cours des 6 deriers mois. O suppose que le ombre de véhicule est suffisammet grad pour effectuer des tirages sas remise. Corrigé. O calcule la fréquece observée : f = 88 100. O vérifie les hypothèses : o a = 100, doc si 30 ; f = 88, doc f 5 et (1 f ) = 12, doc (1 f ) 5. Par coséquet ue réalisatio de l'itervalle de cofiace pour la proportio p au iveau de cofiace de 95% est doée par : IC = f 1 ] ; f + 1 = 0,88 1 100 100] ; 0,88+ 1 doc IC = 0,78; 0,98 ]. 3.3) Détermier la taille d'u échatillo Commet détermier ue taille d échatillo suffisate pour obteir, avec ue précisio doée, ue estimatio d ue proportio au iveau de cofiace 0,95. La précisio de l estimatio est doée par l amplitude de l itervalle de cofiace et déped de la taille de l échatillo. Défiitio : O appelle amplitude d'u itervalle a ; b] la logueur l = b a de cet itervalle. Propriété 1. : O cosidère u échatillo de taille. L'aplitude d'u itervalle de cofiace au iveau de cofiace 95% est égale à l= 2. E effet : l = b a = ( f + 1 ) ( ) f 1 = 2 Applicatio : Détermier ue taille d échatillo suffisate pour obteir, avec ue précisio d'amplitude iférieure à 0,06, ue estimatio d ue proportio au iveau de cofiace 0,95.. E effet, l 0,06 2 0,06 4 0,06 2 4 0,0036 1111,11 Coclusio : Pour obteir ue estimatio d ue proportio au iveau de cofiace 0,95 avec ue précisio d'amplitude iférieure ou égale à 6%, il faut prélever u échatillo d'ue taille d'au mois 1112 idividus. Term.S Ch.14 : Itervalle de fluctuatio - Estimatio Abdellatif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulages - Massy www.logamaths.fr Page 10/10