1 DENOMBREMENT 1 ) ENSEMBLES Défiitio - propositio : U esemble E est fii s il existe u etier aturel o ul et ue bijectio de 1, sur E. Si E est fii, l etier est uique, appelé cardial de E, oté card(e) ou E ou #E. Par covetio, l esemble vide est fii de cardial 0. U esemble est dit ifii s il est pas fii. Cocrètemet, pour u esemble fii, le cardial est le ombre d élémets de l esemble. Si o veut motrer l uicité du cardial (partie propositio), o a besoi de propriétés qui vieet après et qui «parasitet» la compréhesio ituitive aturelle que l o a du cardial. Soiet (m, ) Z 2 avec m <. L esemble m, est-il fii? Doer so évetuel cardial. Vocabulaire : O appelle sigleto, tout esemble de cardial 1. Deux esembles E et F sot dits équipotets (équi comme relatio ) s il existe ue bijectio f: E F. Soiet E et F deux esembles tels que, E est fii o vide et E est e bijectio avec F. Alors, F est fii, o vide et card(e) = card(f). Utile pour motrer qu u esemble est fii et détermier alors so cardial. Soiet E et F deux esembles fiis o vides. card(e) = card(f) il existe ue bijectio de E sur F. Deux esembles de même cardial sot e bijectio. Attetio, le fait d avoir ue bijectio etre deux esembles implique e rie le fait que ces esembles sot fiis. Doer ue bijectio etre N et N. cardial d ue partie d u esemble Soiet E u esemble fii et A ue partie de E. Alors, A est u esemble fii et card(a) card(e). Motrer que l esemble des etiers aturels N est ifii (o pourra raisoer par l absurde e otat so cardial et détermier ue partie de N de cardial supérieur strict à ). cardial d ue partie d u esemble Soiet A et E deux esembles fiis. A E A = E { card(a) = card(e) Voilà ue ouvelle méthode (autre que la double iclusio), pour motrer que deux esembles sot égaux : o motre ue iclusio et l égalité des cardiaux. Soiet E et F deux esembles fiis de même cardial et f ue applicatio de E sur F. f est bijective f est ijective f est surjective
2 O serait teté d écrire bie d autres propositios ituitivemet aturelles du type : Soiet E et F deux esembles, avec E fii et f ue applicatio de E sur F. Alors : f(e) est fii et card(f(e)) card(e) f ijective card(f(e)) = card(e) f surjective card(f(e)) = card(f) card(e) opératios sur les cardiaux Soiet A et B deux esembles fiis et disjoits, o a : card(a B) = card(a) + card(b) Soiet A sous-esemble d u esemble E fii et A le complémetaire de A das E, o a : card(a) = card(e) card(a ) Soiet A et B deux esembles fiis, o a : card(a B) = card(a) + card(b) card(a B) Soiet (A i ) i 1, des esembles fiis, deux à deux disjoits, o a le lemme des bergers : card ( i 1, A i ) = card(a i ) Soiet A et B deux esembles fiis, o a : card(a B) = card(a) card(b) Soiet (A i ) i 1, des esembles fiis, o a : card ( A i ) = card(a i ) Souveos-ous que : A B = A (B A) et B = (B A) (A B). Les élémets d u produit cartésie de p esembles sot appelés des p-listes ou p-uplets. pricipe des bergers Toute réuio disjoite de esembles de même cardial p est u esemble de cardial p. Le om de «lemme des bergers» proviet de «mère ature» et du comptage des pattes des moutos pour «déombrer» les aimaux (e divisat par 4, sauf O.G.M. ). ombre d applicatios etre deux esembles Soiet E et F deux esembles fiis, tous deux o vides. card(f E ) = card(f) card(e) Rie «d extraordiaire» das cette relatio qui se compred bie si o se doe u esemble E = {a 1,, a } et u esemble F = {b 1,, b p } et que l o déombre l esemble des applicatios de E das F (oté F(E, F) ou F E das le chapitre Esembles, applicatios et relatios d équivalece). Cela va deveir itéressat si o cherche à déombrer l esemble des applicatios ijectives de E das F. Patiece Et les applicatios surjectives? Dur Ecrire l esemble des applicatios de {1, 2} das {1, 2, 3}. Déombrer les applicatios ijectives. Mêmes questios (sas les écrire) avec l esemble des applicatios de {1, 2} das {1, 2, 3, 4, 5}.
3 ombre de parties d u esemble Soiet E u esemble fii o vide. card(p(e)) = 2 card(e) 2 ) LISTES ET COMBINAISONS O va procéder à plusieurs «types» de déombremet : - Des listes d élémets (avec possibilité d utiliser plusieurs fois u même élémet, e teat compte de l ordre) ; - Des listes d élémets deux à deux disticts (e teat compte de l ordre) ; - Des listes de tous les élémets utilisés ue seule fois ; - Des listes d élémets deux à deux disticts (sas predre e compte l ordre). Illustrer par u exemple de la «vie courate» chacu des types de déombremet précédets. a) p-liste Défiitio : Soit E u esemble o vide fii de cardial et soit p u etier aturel o ul. O appelle p-liste ou p-uplet de E, toute élémet de E p. Ue p-liste état u élémet d u produit cartésie de p esembles, l ordre est évidemmet importat (u poit de coordoées (1,2) et (2,1) état pas le même) et u même élémet peut être «répété» (le poit de coordoées (1,1) existe!). Ue p-liste est pas u esemble (auquel cas l ordre iterviedrait pas). Les listes serot utiles lors du «comptage» (déombremet) de tirages aléatoires successifs avec remise. Soit E = {a, b, c}. Ecrire tous les mots de deux lettres (2-liste) que l o peut former avec les lettres de l esemble E et déombrer ces mots. Soit E u esemble o vide fii de cardial et soit p u etier aturel o ul. Le ombre de p-listes de E est p. Coséquece directe de la propositio sur le cardial d u produit cartésie. U code de portail est ue liste de ciq caractères parmi 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B. Combie de codes différets est-il possible de taper? Ce code à ciq caractères est costitué das l ordre de quatre chiffres suivis d ue lettre. Combie de codes est-il possible de taper? b) p-arragemet Défiitio : Soit E u esemble o vide fii de cardial et soit p u etier aturel o ul. O appelle p-arragemet de E, toute p-liste d élémets de E deux à deux disticts. Que dire si p >? L ordre est-il importat? U p-arragemet de E est ue ijectio de 1, p das E. Les listes serot utiles lors du «comptage» (déombremet) de tirages aléatoires successifs sas remise.
4 Ciq persoes sot iscrites pour ue compétitio. Doer tous les podiums possibles. Soiet p et des etiers aturels tels que 0 p. Le ombre de p-arragemet d u esemble de cardial est : A p =! ( p)! Cette propositio répod à la questio suivate : Soit Card(E) = p = Card(F), quel est le ombre d applicatios ijectives de E das F? Huit persoes (Usa Bolt iclus) sot iscrites e fial du 100 mètres e athlétisme. Doer le ombre de podiums possibles. E fait Bolt gage toujours. Déombrer les podiums possibles. c) Permutatio Défiitio : Soit E u esemble o vide fii de cardial. O appelle permutatio de E, tout -arragemet d élémets de E. E clair, o pred tous les élémets de l esemble que l o place exactemet ue fois. Remarquos que ce -arragemet (déjà ue ijectio) s opère etre deux esembles de même cardial. Doc Ue permutatio de E est ue bijectio de 1, das E. Le ombre de permutatios d u esemble de cardial est :! Cette propositio répod à la questio suivate : Soit Card(E) =, quel est le ombre d applicatios bijectives de E das E? Huit persoes (Usa Bolt iclus) sot iscrites e fial du 100 mètres e athlétisme. Doer le ombre de classemet possibles des huit coureurs. E fait Bolt gage toujours. Déombrer les classemets possibles. d) Combiaiso Défiitio : Soit E u esemble o vide fii de cardial et soit p u etier aturel o ul. O appelle p-combiaiso de E, toute partie de E de cardial p. Bie compredre la différece etre u p-arragemet et ue p-combiaiso. Ue combiaiso est u esemble! L ordre iterviet pas. Les combiaisos serot utiles lors du «comptage» (déombremet) de tirages simultaées ou tirages aléatoires successifs sas ordre et sas remise (élémets sas ordre et sas répétitio). Soiet p et des etiers aturels tels que 0 p. Le ombre de p-combiaiso d u esemble de cardial est : ( p ) =! p!( p)!
5 Voyez-vous le lie etre arragemet et combiaiso? Huit persoes (Usa Bolt iclus) sot iscrites e fial du 100 mètres e athlétisme. Doer le ombre de podiums possibles sas teir compte de l ordre des trois premiers. E fait Bolt gage toujours. Déombrer les podiums possibles sas teir compte de l ordre. Les combiaisos sot «propices aux jeux de cartes». Combie de «mais» de ciq cartes peut-o obteir avec u jeu de 52 cartes? 3 ) DEMONSTRATIONS COMBINATOIRES O procède à u «passage combiatoire» sur des otios vues e 1 e S mais aussi lors du chapitre Arithmétique das N Calculs algébriques. «symétrie» Soiet N et k N tel que 0 k. ( k ) = ( k ) «formule de Pascal» Soiet N et k N. ( k ) = ( 1 k 1 ) + ( 1 k ) «formule du biôme de Newto» Soiet a C, b C et N. (a + b) = ( k ) ak b k Applicatio : ombre de parties d u esemble Soiet E u esemble fii o vide. card(p(e)) = 2 card(e) Appliquer la formule du biôme avec a = 1 et b = 1. Iterpréter le résultat e faisat le lie etre les parties de cardial pair et celles de cardial impair. Soiet (m,, p) N 3. Démotrer la formule de Vadermode : E déduire que : p ( m k ) ( p k ) ( 2 k ) m + = ( p ) = ( 2 )