Signaux à emps coninu Hugues GARNIER hugues.garnier@univ-lorraine.fr
Signaux à emps coninu Définiion Ils son généralemen décris mahémaiquemen sous la forme d une foncion s() où la variable es associée au emps. La coninuié pore sur le emps, ceci par opposiion aux signaux à emps discre qui ne son définis que pour un ensemble dénombrable de valeurs du emps. s() s( k ) k
Sous-classes de signaux à emps coninu Classificaion en foncion de leur caracère périodique Signaux à emps coninu Périodiques Non périodiques Sinusoïdaux Périodiques composies Pseudo aléaoires Non ransioires Transioires 3
Signal périodique x( + kt ) = x( ), k Z Graphiquemen, un signal périodique x() es la répéiion à l infini d un signal défini sur une période appelé moif m(). x() peu s écrire comme la somme infinie des versions avancées/reardées du moif m() : Symérie par rappor à l axe des ordonnées x( ) = + m( +T ) + m( ) + m( T ) + + x( ) = m( kt ), k Z k= 4
Signal périodique esseniel : signal sinusoïdal C es le signal périodique par excellence. C'es une sinusoïde éernelle. C es donc un signal non causal. Sa loi d évoluion s exprime à l aide de la foncion sinus ou cosinus : s() = A sin( ω o +ϕ ) = A sin( ω o ( + τ )) A représene l ampliude maximale du signal ϕ() =ω ο + ϕ représene la phase insananée (phase à l insan ) ω ο es la pulsaion en rad/s e vérifie : ω o = π = πf T o o T o es la période du signal en s e f o la fréquence fondamenale en Hz ϕ =ω ο τ la phase à l origine (pour =) du signal en rad τ : le décalage en s du signal sinusoïdal par rappor à l origine des emps 5
Signal sinusoïdal s () A T o τ -A 6
Exemple concre d uilisaion de signaux sinusoïdaux onalié d'inviaion à numéroer sur un éléphone.5 "LA" parfai : sinus de fréquence 44 Hz.5 -.5 - T o =.3 ms -.5 3 4 5 emps (ms) 7
Aures exemples concres d uilisaion de signaux sinusoïdaux onalié d'occupaion sinus de fréquence 44 Hz d'une durée de.5s, suivie d'un silence de.5s onalié de sonnerie sinus de fréquence 44 Hz d'une durée de s, suivie d'un silence de 3s Signal enendu lors d un appel éléphonique à un numéro correspondan à celui d un Fax : e sur un Fax sinus de fréquence Hz e 4 Hz 8
Signaux non périodiques On disingue dans cee classe les signaux non ransioires des signaux ransioires don l exisence es éphémère. Les signaux ci-dessous son-ils ransioires? s () s () s 3 () A T 9
Inversion emporelle s( ) = x( ) Graphiquemen, s()=x(-) correspond à la version symérisée de x() par rappor à l axe des ordonnées Symérie par rappor à l axe des ordonnées
Décalage emporel (avance/reard) y( ) = x( + ) - Si >, on opère une avance : ranslaion horizonale de vers la gauche - Si <, on opère un reard : ranslaion horizonale de vers la droie Graphiquemen, le signal avancé x(+ ) ou reardé x(- ) correspond à la version ranslaée horizonalemen du signal original x() Translaion horizonale
Changemen d échelle (compression/dilaaion) y( ) = x(a ) a > Graphiquemen, y()=x(a) (avec a le faceur d échelle) Si <a<, y() es une version dilaée de x() Si a>, y() es une version comprimée de x() Dilaaion/ compression
Valeurs caracérisiques des signaux à emps coninu Valeur moyenne signal non périodique s = lim T T T T s( )d signal périodique de période T o T o s = s( ) d T o Valeur efficace Le carré de la valeur efficace ou valeur RMS (Roo Mean Squares) d un signal s() es défini par : T signal non périodique S eff = lim s ( )d T T T signal périodique de période T o T o S eff = s ( ) d T o 3
Exemple Soi un signal sinusoïdal de période T o el que : s( ) = sin π T o Calculer la valeur moyenne e efficace de ce signal s () s = T o S eff = = =,77-4
Puissance e énergie Moyenne (valeur moyenne) calculée sur [ ; ] d un signal s() : s ( T ) = T s( )d avec T = Energie (valeur quadraique) calculée sur [ ; ] d un signal s() : E s ( T ) = s( ) d avec T = Puissance moyenne (valeur quadraique moyenne) calculée sur [ ; ] d un signal s() : P s T s( ) d avec T = ( ) = T 5
Energie oale : E s = Puissance moyenne oale : On disingue alors : Classificaion énergéique P s = s( ) d s() périodique T o les signaux à énergie finie ou à puissance moyenne nulle : E s = s( ) d < les signaux à puissance moyenne finie non nulle (énergie infinie) : < P s = lim T T T / T / s( ) d < les signaux à puissance moyenne infinie (énergie infinie) : P s = lim T T T / T / s( ) d P s = lim T T s( ) d + T o T / T / s( ) d s() non périodique 6
Energie e Puissance moyenne : Exemple Soi un signal sinusoïdal de période T o el que : Calculer l énergie e la puissance de ce signal s( ) = sin π T o E s = s( ) d P s = s( ) d = S T eff o T o s () s() P s = S eff =,5 T o T o - s = S eff = = =,77 E s = P s = S eff =,5 7
Classificaion énergéique des signaux à emps coninu Signaux à emps coninu Energie finie Energie infinie Puissance moyenne nulle Puissance moyenne finie (non nulle) Puissance moyenne infinie Signaux physiquemen mesurés ou ransioires Echelon, consane, Signaux périodiques,... Signaux divergens dans le emps 8
Classificaion énergéique des signaux Exemples Ces signaux son-ils à énergie finie, à puissance moyenne finie, infinie? Rec () Aire = T u () T - T s () r() T o - 9
Signaux usuels La rampe uniaire r() r() = pour < pour L'échelon unié u() = pour < pour u () La foncion signe sgn () sgn( ) = > < = -
Signaux usuels La fenêre recangulaire Rec () Aire = rec( ) = > - Signal rès uilisé en raiemen du signal, noammen au ravers des noions de filrage, de fenêrage, d échanillonnage, La fenêre riangulaire ri( ) = ri () Aire = > -
Signal esseniel : l'impulsion de Dirac Définiion praique : considérons la limie de la fenêre recangulaire de largeur T ci-dessous lorsque T end vers T T Rec (/T) Aire= lim T T Rec( T ) = δ( ) δ () + δ( )d = - T T δ() n es pas une foncion. C es un êre à valeur infinie en un poin e à valeur nulle parou ailleurs qui n es pas représenable graphiquemen. Par convenion, la représenaion graphique d une impulsion de Dirac es une flèche vericale placée en = de haueur proporionnelle à la consane de pondéraion ici égale à.
Signal esseniel : l'impulsion de Dirac Mahémaiquemen, l impulsion de Dirac n es pas une foncion e se défini rigoureusemen grâce à la héorie des disribuions qui perme d éendre le calcul inégral ordinaire aux impulsions en conservan les noaions employées habiuellemen pour les foncions L applicaion aveugle du calcul différeniel ou inégral ordinaire à des impulsions de Dirac peu donc conduire à des résulas erronés Il fau ici considérer la héorie générale des disribuions (éablie par Lauren Schwarz) don les résulas esseniels son rappelés + s()δ()d = s() L impulsion de Dirac es un opéraeur qui exrai la valeur s() d une foncion s() coninue en. 3
Propriéés de l impulsion de Dirac D une manière générale, pour ou signal s() coninu en = o, on a : + s()δ(- o )d = s( o ) s() s() En pariculier + δ()d = (si s() = e o = ) Produi d un signal par une impulsion de Dirac δ( ) δ - ) ( s( )δ( o ) = s( o )δ( o ) s( )δ( ) = s( )δ( ) ( o = ) Changemen de variable δ(a ) = a δ( ) + s() δ ( ) = s( ) s() δ( o ) s( o ) 4
Le peigne de Dirac Un peigne de Dirac es une suie d impulsions de Dirac se répéan sur l axe des emps avec une période T e + k= δ Te ( ) = δ( kt e ) k Z δ T e T e () Signal rès uilisé noammen au ravers des noions d échanillonnage, 5
Signal esseniel : le sinus cardinal La foncion obenue en effecuan le rappor d une foncion sinusoïdale e de son argumen joue un rôle rès imporan en raiemen du signal. Elle pore le nom de sinus cardinal e es définie par : Propriéés : sinc( ) = Elle es paire (par définiion) sinc( ) = si = k Z * sinc( ) = sinπ π sinc() + + sinc( )d = sinc ( )d = -7-7 6
Définiion Convoluion + x( )* y( ) = x(τ )y( τ )dτ = y(τ )x( τ )dτ + Le produi de convoluion es rès uilisé en raiemen du signal, noammen pour : le filrage l échanillonnage les différenes echniques de modulaion 7
Propriéés du produi de convoluion Commuaivié Associaivié x( )* y( ) = y( )* x( ) ( ) = ( x( ) y( )) z( ) = x( ) y( ) z( ) x( ) y( )* z( ) Disribuivié sur «+» e «-» x( ) ( y( ) + z( )) = x( ) y( ) + x( ) z( ) Elémen neure : impulsion de Dirac x( ) δ( ) = δ( ) x( ) = x( ) 8
Convoluion d un signal par une impulsion de Dirac Convoluer un signal s() par une impulsion de Dirac posiionnée en o revien à décaler le signal de o s( ) δ( o ) = s( o ) s() δ( ) s( ) = s()* δ( ) 9
Convoluion d un signal par un peigne de Dirac Convoluer un signal s() par un peigne de Dirac revien à périodiser le signal à la période T e + k= s( ) δ Te ( ) = s( kt e ) s() δ Te () -T e T e T e s()*δ Te () -T e T e T e 3