Exercice 6 poins Les paries A e B peuven êre raiées de façon indépendane. Dans une usine, un four cui des céramiques à la empéraure de 000 C. À la fin de la cuisson, il es éein e il refroidi. On s inéresse à la phase de refroidissemen du four, qui débue dès l insan où il es éein. La empéraure du four es exprimée en degré Celsius ( C). La pore du four peu êre ouvere sans risque pour les céramiques dès que la empéraure es inférieure à 70 C. Sinon les céramiques peuven se fissurer, voire se casser. Parie A Pour un nombre enier naurel n, on noe T n la empéraure en degré Celsius du four au bou de n heures écoulées à parir de l insan où il a éé éein. On a donc T 0 =000. La empéraure T n es calculée par l algorihme suivan.. Déerminer la empéraure du four, arrondie à l unié, au bou de 4 heures de refroidissemen. n. Démonrer que, pour ou nombre enier n, on a : T n =0 0,8 +0. 3. Au bou de combien d heures le four peu-il êre ouver sans risque pour les céramiques? Parie B Dans cee parie, on noe le emps (en heure) écoulé depuis l insan où le four a éé éein. La empéraure du four (en degré Celsius) à l insan es donnée par la foncion f définie, pour ou nombre réel posiif par : f ( )=a e +b où a e b son deux nombres réels. On adme que f vérifie la relaion suivane : f ()+ f ( )=4.. Déerminer a e b sachan qu iniialemen, la empéraure du four es de 000 C. C es à dire que f (0)=000.. Pour la suie, on adme que, pour ou nombre réel posiif : f ( )=0 e +0.a. Déerminer la limie de f lorsque end vers +..b. Éudier les variaion de f sur [ 0 ;+ [. En déduire son ableau de variaion comple..c. Avec ce modèle, après combien de minues le four peu-il êre ouver sans risque pour les céramiques? 3. La empéraure moyenne (en degré Celsius) du four enre deux insans e es donnée par : ₂ f ( )d. ₁ 3.a. À l aide de la représenaion graphique de f ci-après, donner une esimaion de la empéraure moyenne θ du four sur les premières heures de refroidissemen. Expliquer vore démarche. Page
3.b. Calculer la valeur exace de cee empéraure moyenne θ e en donner la valeur arrondie au degré Celsius. 4. Dans cee quesion, on s inéresse à l abaissemen de empéraure (en degré Celsius) du four au cours d une heure, soi enre deux insans e (+). Ce abaissemen es donné par la foncion d définie, pour ou nombre réel posiif : d( )=f ( )f ( +). ( 4.a. Vérifier que, pour ou nombre réel posiif : d( )=0 e 4.b. Déerminer la limie de d() lorsque end vers + Quelle inerpréaion peu-on en donner? )e Page
CORRECTION Parie A. En uilisan la calcularice e l algorihme, on obien pour n=4 : T 0 =000 T =0,8 T 0 +3,6=83,6 valeur arrondie à l unié 84 T =0,8 T +3,6=678,9 valeur arrondie à l unié 679 T 3=0,8 T +3,6=60,34064 valeur arrondie à l unié 60 T 4 =0,8 T 3 +3,6=463,079348 valeur arrondie à l unié 463 Au bou de quare heures de refroidissemen la empéraure du four sera : 463 C.. On veu démonrer en uilisan un raisonnemen par récurrence que pour ou enier naurel n : T n =0 0,8n +0 Iniialisaion T 0 =000 e 0 0,80 + 0=0+0=000. La propriéé es vérifiée pour n=0 Hérédié Pour démonrer que la propriéé es hérédiaire pour ou enier naurel n, on suppose que : T n =0 0,8n +0 e on doi démonrer que : T n+=0 0,8 n+ + 0. Or T n+=0,8 T n +3,6=0,8 (0 0,8n +0)+3,6=0 0,8n+ +0,8 0+3,6 T n+=0 0,8 n+ +6,4+3,6=0 0,8 n+ +0 Conclusion Le principe de récurrence nous perme d affirmer que pour ou enier naurel n : T n =0 0,8n +0. 3. Pour déerminer le nombre d heures nécessaires pour ouvrir la pore du four, sans risque, il suffi de déerminer le plus pei enier naurel n el que T n < 70. 0 n = T n < 70 0 0,8 n + 0 < 70 0,8 < 0 ]0 ;+ [ La foncion ln es sricemen croissane sur n ln (0,8 ) < ln n ln(0,8) < ln 0 < 0,8 < donc ln(0,8) < 0 : ln (0,8) n > ln ln : ln(0,8)=4,994 à 03 près. Le plus pei enier naurel n el que T n < 70 es :. Conclusion Au bou de heures, on peu ouvrir,sans risque, la pore du four. Complémens (non demandés). On peu uiliser le logiciel Pyhon pour programmer l algorihme donné Page 3
. Exécuion du programme pour n=4 On obien 463 C. On peu aussi uiliser un algorihme pour déerminer le plus pei enier naurel n el que : T n < 70. Programmaion de l algorihme en Pyhon. Exécuion du programme On obien heures. Parie B apparien à l inervalle [ 0;+ [ f ( )=a e +b On adme que f vérifie la relaion suivane : f ()+ f ( )=4. f (0)=a e0 +b=a+ b=000 (e ) = e donc f ()= a e e f (0)= a f (0)+ f (0 )=4 a + (a +b)=4 b=4 a + b=000 a=0000=0 Pour ou nombre réel apparenan à l inervalle [ 0 ;+ [ : b=0 f ( )=0 e +0..a. lim + ( )= X e =0 e Xlim donc lim e =0 + Conséquence : lim ( 0 e + ) + 0 =0 soi lim f ( )=0. + 0.b. Pour ou nombre réel de l inervalle [ 0 ;+ [, f ()= e. Page 4
Or e >0 donc f ()< 0. La foncion f es sricemen décroissane sur [ 0 ;+ [. Tableau de variaion de f.c. 0 = 0 ln es une une foncion sricemen croissane sur ]0 ;+ [ ln e < ln < ln > ln es exprimé en heure pour obenir le emps en minues on doi muliplier par 60. ln 60=89,789 à 03 près. Valeur arrondie à l unié : 893. Au bou de 893 minues, on peu ouvrir la pore du four, sans risque. f ( )< 70 0 e +0< 70 e < 3. la empéraure moyenne (en degré Celsius) sur les quinze premières heures dev refroidissemen es : f ( )d = f ( )d. 0 0 0 3.a. f ( )d es l aire, en unié d aire,de la parie de plan comprise enre la courbe représenaive de f, 0 l axe des abscisses, e les droies d équaions x=0 e x=. Pour donner une esimaion de l aire de cee parie, on race une ligne brisée «voisine» de la courbe représenaive de f, en uilisan le quadrillage proposé, e on calcule une somme d aires de rapèzes ou recangles. On propose de donner deux exemples simples pour remarquer la différence des résulas possibles. Pour le premier exemple, on choisi une ligne brisée siuée au dessus de la courbe représenaive de f donc nécessairemen l esimaion sera supérieure à la valeur exace de l aire. Page
(000+ 400) =700 =300 uniés d aire. Aire du deuxième rapèze (hachuré en bleu) : ( 400+00) 4=300 4=00 uniés d aire. Aire du roisième rapèze (hachuré en ver) : ( 00+00) 4=0 4=600 uniés d aire. Aire du recangle (hachuré en jaune) : 00 =00 uniés d aire. On obien pour esimaion de l aire sous la courbe : 300+00+600+00=00 uniés d aire 00 00 = e pour esimaion de la empéraure moyenne θ = 367 C à l unié près. 3 Pour le deuxième exemple, la ligne brisée es plus «voisine» de la courbe représenaive de f, mais on ne peu pas préciser si l esimaion es supérieure ou inférieure à la valeur exace de l aire demandée. Aire du premier rapèze (hachuré en rouge) : (000+00) 3=70 3=0 uniés d aire. Aire du deuxième rapèze (hachuré en viole) : (00+00) =30 =70 uniés d aire. Aire du premier rapèze (hachuré en rouge) : Page 6
( 00+00) =0 =70 uniés d aire. Aire du recangle (hachuré en jaune) : 00 =00 uniés d aire. On obien pour esimaion de l aire sous la courbe : 0+70+70 +00=490 uniés d aire e 490 pour esimaion de la empéraure moyenne θ = 330 C. 3.b. a es un nombre réel non nul. a G( )= e g ( )=ea a G es une primiive de g sur R. Aire du roisième rapèze (hachuré en ver) : g ( )=e G( )=e Pour ou nombre réel de l inervalle [ 0;+ [ f ( )=0 e +0 donc la foncion F définie par F( )= 0 e +0 =4900 e +0 es une primiive de f sur [ 0;+ [. f ( )d = F()F(0)=4900 e3 +0 (4900)=4900 e3 +300 +4900=004900 e3 0 θ = 004900 e3 = 330 C à l unié près. 4.a. d ( )=f ( )f ( +)=0 e + 00 e d ( )=0 e 4.b. e (e ). + 0 = 0 ( e e e ) > 0 e lim e =0 donc lim d ( )=0 + + À long erme la empéraure du four ne variera plus pour une différence d une heure donc la empéraure du four rese sable (au degré près). Page 7