U. PARIS VI et ÉCOLE POLYTECHNIQUE 7 anver 04 Spécalté Probablté et Fnance du Master de Scences et Technologe EXAMEN DU COURS ANALYSE NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES EN FINANCE verson 03/0/04 F. Bonnans Copes rédgées en franças ou en anglas ; aucun document autorsé. Les deux partes sont ndépendantes Parte I: Dfférences fnes avec centrage partel I.A : Une seule varable d espace Sot l EDP suvante, avec dmenson d espace égale à un : { Vt + bx, tv x + ax, tv xx + fx, t = 0, x, t IR [0, T ], V x, T = gx, x IR. On suppose a, b, f et g lpschtzens et bornés, et a à valeurs postves. Afn de dmnuer l erreur de consstance, on va étuder comment centrer autant que possble le terme du premer ordre en espace, tout en gardant la monotone smple. L dée est de combner les schémas centré et décentré. Rappelons les notatons x + := maxx, 0, x := mnx, 0, t k := k, x :=, ans que D h v := v + v ; h v := v + + v v ; ϕ k := ϕx, t k, pour ϕ = a, b. I. On consdère le schéma partellement centré explcte u k uk Ce schéma nclut un coeffcent de centrage h + β k b k u k + uk + β k b k + D h u k + b k D h u k h + ak h u k + f k = 0; Z, k = 0,..., N, u N = gx, Z. I. I.3 β k [0, ], pour tout, k. I.4 Quand β k = resp. βk = 0 pour tout, k, on obtent le schéma centré resp. décentré upwnd étudé dans les notes de cours. Queston. Rappeler les avantages et nconvénents des schémas centré et décentré. Queston. Mettre le schéma sous forme ordonnée. Queston 3. Montrer que, s le pas de temps est plus pett qu une valeur qu on précsera dépendant des autres paramètres, le coeffcent de u k dans la forme ordonnée est postf. Queston 4. On suppose dans la sute que b + a. h Dédure des questons précédentes pour quelles valeurs des β k,, le schéma est smplement monotone. On dstnguera les cas suvant le sgne de b k, et on calculera β k, la valeur dans [0, ] le plus proche possble de, compatble avec la monotone smple du schéma. I.5
Queston 5. Quand α := nf ax, t est strctement postf, peut-on assurer que β k de dscrétsaton h sont assez petts? = s les pas Queston 6. Donner l expresson du schéma partellement centré mplcte correspondant au schéma explcte I.3. Queston 7. Pour quelles valeurs de β k peut-on assurer la monotone smple du schéma partellement centré mplcte? On notera ˆβ k la valeur la plus proche de, qu on comparera avec β k. Queston 8. Dscuter la stablté l de ce schéma mplcte. Consdérons l EDP suvante n V t + b x, tv x + = I.B : Pluseurs varables d espace n a l x, tv x x l + fx, t = 0, x, t IR n [0, T ],,l= V x, T = gx, x IR n. On rappelle que la matrce de dffuson à l échelle est défne par a h x, t l := ax, t l /h h l et qu on pose a h,k := a h x, t k, avec t k := k, Z n, et notant par e les éléments de la base naturelle de R n, x := n = h e. Etant donné un stencl Ξ Z n contenant les e, on suppose connue une décomposton de la matrce de dffuson sur le stencl : a h,k = η k,ξ ξξ, pour tout, k, η h,k,ξ I.6 0. I.7 On rappelle que, quand b = 0, le schéma explcte basé sur la décomposton de stencl a pour expresson v k vk + η k,ξ v N = gx, Z n. v+ξ k + vk ξ vk + f k = 0, Z n, k = : N, Queston 9. Formuler le schéma décentré correspondant. Est-l smplement monotone? Queston 0. Formuler un schéma partellement centré explcte. On assocera un coeffcent de centrage β, k pour chaque composante = à n du vecteur bx, t. Queston. Sous quelles condtons peut-on assurer que ce schéma sot smplement monotone? Queston. On suppose que b = 0 et ax, t est constante, on notera donc η h ξ = ηh,k,ξ. Formuler le schéma mplcte. Est-l smplement monotone? Queston 3. Avec les mêmes hypothèses, dscuter la stablté l du schéma de la queston précédente. Pour cec, étant donné 0 Z n, et posant E := { 0 + qξ, q Z}, on pourra évaluer la quantté F := E vk +ξ + vk ξ vk vk. Parte II: Un modèle d opton asatque Interprétant x R + comme la valeur d un sous acent de dynamque dx = xrdt + σdw et y comme sa prmtve, sot dy = xdt, on peut formuler l EDP d une opton asatque plus exactement foncton du sous acent et de sa moyenne temporelle sous la forme I.8 u t + rxu x + σ x u xx + xu y = 0, x R + ; y R, t 0, T, II.
avec r > 0 et σ > 0 constants, et la condton fnale, où g : R + R + R : ux, y, T = gx, y, x R + ; y R. II. Notons qu on pourrat lmter dans les applcatons y à R +. Pour la théore l est plus pratque d étendre son domane à R. On pose := R + R et Q := 0, T. Sot D l ensemble des fonctons de classe C, à support compact sur. On défnt : H := L ; V := {v H; xv x H; xv y H}, II.3 V := {fermeture de D dans V }. On consdère le problème perturbé, où ε > 0, avec la même condton fnale : II.4 u t + rxu x + σ x u xx + xu y + εx u yy = 0, x, y, t Q, II.5 On défnt les formes blnéares suvantes, où u, v sont dans D : a u, v := x u x v x dxdy; a u, v := xu x vdxdy; a 3 u, v := xu y vdxdy; a 4 u, v := x u y v y dxdy. II.6 Queston. Explquer pourquo la formulaton orgnale II. ne peut pas rentrer dans le cadre de la formulaton varatonnelle théore du second chaptre des notes de cours. Queston. On désre écrre II.5 sous la forme varatonnelle abstrate, où a, est une forme blnéare contnue sur V u t, v V + au, v = 0, pour tout v V, pour presque tout t [0, T ]. II.7 Explcter au, v comme combnason des formes blnéares a,, quand u et v sont dans D. Queston 3. Montrer que la forme blnéare au, v est contnue sur V V. Queston 4. Montrer que la forme blnéare au, v est sem coercve. Queston 5. En dédure, suvant la nature de la condton fnale g, un résultat d exstence de la soluton de l EDP dans un espace à précser. Queston 6. Reprendre les prncpales étapes de l analyse dans le cas gx, y = maxx, y K + le strke K > 0 est donné, utlsant des espaces avec pods. 3
U. PARIS VI et ÉCOLE POLYTECHNIQUE 0 anver 03 Spécalté Probablté et Fnance du Master de Scences et Technologe CORRECTION DE L EXAMEN DU COURS ANALYSE NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES EN FINANCE F. Bonnans On abrègera négalté de Cauchy-Schwarz en ICS. Correcton de la parte I: Dfférences fnes avec centrage partel I.A : Une seule varable d espace Réponse à la queston. Le schéma centré a une erreur de consstance plus pette, en + h au leu de +, mas pour un pas de temps assez pett n est que condtonnellement smplement monotone, suvant les valeurs des fonctons a et b. Réponse à la queston. La forme ordonnée du schéma est u k = β k b k h 0 h a k u k + a k h h βk b k β k b k + a k + βk b k + β k b k + u k u k + + f k, Z, k = 0,..., N. I-I.A. Réponse à la queston 3. Le coeffcent de u k est postf s pour tout et k : β k b k + a k. h I-I.A. Réponse à la queston 4. Le schéma est smplement monotone quand les facteurs de u k, uk ± sont postfs ; celu de u k est postf d après I.5. Reste à vérfer que a k βk b k β k b k 0, I-I.A.3 a k + βk b k + β k b k + 0. I-I.A.4 S b k < 0 la premère relaton est touours satsfate et la seconde l est ss βk ak /bk. S b k 0 la seconde relaton est touours satsfate et la premère l est ss β k ak /bk. Au total la smple monotone est obtenue quand I.5 est assuré et 0 β k β k ; βk := mn a k, b k. I-I.A.5 Réponse à la queston 5. D après le résultat précédent, on peut prendre β k = quand bx, t α pour tout x, t R [0, T ], et donc en partculer s α/ b.
Réponse à la queston 6. Ce schéma est obtenu en remplaçant les ndces k par k + dans les termes de dérvées en espace, ce qu donne la forme de pont fxe u k = + β k b k + h 0 h a k a k h h βk b k β k b k u k + a k I-I.A.6 h + h βk b k + β k b k + u k + + u k+ + f k Z, k = 0,..., N. Réponse à la queston 7. On assure la proprété de contracton de l opérateur de pont fxe en mposant la postvté des coeffcents de u k ± dans l expresson c-dessus, ce qu revent à la même condton I-I.A.5 et donc ˆβ k = β k mas l n y a plus de restrcton sur. Réponse à la queston 8. Il sufft de reprendre les calculs effectués dans les notes de cours en ce qu concerne les schémas centré et décentré. Dans ce derner cas le terme de transport a une contrbuton nulle à l estmaton l et on obtent donc une estmaton semblable à celle du schéma centré. I.B : Pluseurs varables d espace Réponse à la queston 9. Comme vu dans les notes de cours le décentrage en dmenson n > peut se prendre en compte de la manère suvante, notant b k := bx, t k : v k vk + = + ηk,ξ v N = gx, Z n. n h b k, + v+e k v k + b k, v k v e k v+ξ k + vk ξ vk + f k = 0, Zn, k = : N, I-I.B.7 La smple monotone est assurée ss le coeffcent de v k autres coeffcents le sont par constructon et donc s dans la forme ordonnée est postf car les n b k, + η,ξ k h /, pour tout, k. I-I.B.8 = Remarque On pourrat plus généralement chercher une décomposton de la forme b k = γk,ξ ξ. Le terme correspondant de transport serat γ,ξ k +v+ξ k vk + γ,ξ k v k v+ξ k. I-I.B.9 Réponse à la queston 0. Le schéma partellement centré explcte s écrt v k vk + + n + = h ηk,ξ n h β,b k k, v k +e v k e = β, b k k, +v+e k v k + bk, v k vk e v+ξ k + vk ξ vk + f k = 0, Zn, k = : N, v N = gx, Z n. 5 I-I.B.0
Réponse à la queston. Dans la forme ordonnée, les coeffcent de v k, vk e et v k +e sont resp. n = h η k,e + η k,e + β k, b k, n = n = h η k,ξ β k,b k, β k,b k, h β,b k k, + β,b k k, + I-I.B. On sat que les coeffcents des v±ξ k, ξ e = à n sont touours postfs. Rasonnant suvant le sgne de b k,, on vot que le schéma est smplement monotone quand est assez pett pour que le coeffcent de v k sot postf, et que b k h, β, k ηk,e, pour tout k,,. I-I.B. Réponse à la queston. Le schéma mplcte s écrt v k+ v k + η ξ v +ξ k + vk ξ vk v N = gx, Z n. sot sous forme de pont fxe + η ξ + f k = 0, Z n, k = : N, I-I.B.3 v k = h 0 η ξ v +ξ k + vk ξ + v k + f k. I-I.B.4 Il est ncondtonnellement smplement monotone, car on sat que η ξ = O cf la théore du ch. des notes de cours. Réponse à la queston 3. De on dédut que v k +ξ + vk ξ vk v k = v k +ξ vk v k v k v k ξ vk I-I.B.5 F = v+ξ k + vk ξ vk v k = +ξ E Ev k vk. I-I.B.6 Multplant le schéma par v k et sommant en espace, on obtent donc avec l ICS l négalté suvante, qu assure la stablté l : v k + η ξ v+ξ k vk v k+, k = 0,..., N. I-I.B.7 Z n 6
Correcton de la parte II: Un modèle d opton asatque II.A : Formulaton varatonnelle d un modèle perturbé Réponse à la queston. Multplant l EDP par une foncton test v et ntégrant en espace, on obtent en partculer le terme xu yvdxdy, dont la contnuté, a pror, nécesste de mettre dans la norme de V un terme ntégral avec u y dans l ntégrande. Mas alors on ne peut pas vérfer la coercvté de la forme blnéare. Réponse à la queston. L opérateur spatal DR + R est défn par Il vent, ntégrant par partes : Au := rxu x σ x u xx xu y εx u yy. au, v = σ a u, v + σ ra u, v a 3 u, v + εa 4 u, v. Réponse à la queston 3. Il est clar que a et a 4 sont contnue. Avec l ICS, l vent d où le résultat avec la queston. II-II.A. II-II.A. a u, v xu x H v H ; a 3 u, v xu y H v H, II-II.A.3 Réponse à la queston 4. On a avec la queston précédente, par l négalté de Young, pour tout η > 0 : a u, v η xu x H + η v H; a 3 u, v ε xu y H + ε v H, II-II.A.4 donc avec la queston, posant λ 0 := η σ r + ε, l vent au, u σ η σ r a u, v + εa 4u, v λ 0 v H. Chosssant η tel que σ η σ r = σ, on obtent donc au, u + λ u H α u V, avec II-II.A.5 α := mn σ, ε; λ := λ 0 + α. II-II.A.6 Note. On obtent un résultat plus précs en notant que, ntégrant par partes : a u, u = uxu x dxdy = u dxdy a u, u et donc a u, u = u dx, et de plus a 3 u, u = xu y dxdy = 0. II-II.A.7 Réponse à la queston 5. Comme explqué dans les notes de cours, on dédut, s g H, l exstence d une soluton à II.5 dans L 0, T ; V de dérvée dans L 0, T ; V. Réponse à la queston 6. Soent u et v dans D, et sot ρ : R une foncton de pods. Multplant l opérateur Au := rxu x + σ x u xx + xu y + εx u yy par ρv et ntégrant sur, l vent Aux, yvx, yρx, ydxdy = a ρu, v, avec a ρ u, v = σ u x x v x + xv + x vρ x /ρ + εx u y v y + vρ y /ρ ρdxdy II-II.A.8 rxu x + xu y vρdxdy. On chost H ρ := L,ρ ; V ρ := {v H ρ ; xv x H ρ ; xv y H ρ }, V := {fermeture de D dans Vρ }. 7 II-II.A.9 II-II.A.0
Avec l ICS on vérfe la contnuté de tous les termes de II-II.A.8, sauf ceux mplquant ρ x et ρ y, pour lesquels on est amené à supposer que xρ x /ρ et xρ y /ρ sont bornés. Alors on a par exemple pour le premer terme u x x vρ x /ρρdxdyx xρ x/ρ xu x Hρ v Hρ. II-II.A. II-II.A. Utlsant ces maoratons on vérfe asément la sem coercvté de a ρ. Dans le cas gx, y = maxx, y K +, et plus généralement quand g est à crossance lnéare, un chox possble de pods est ρx, y := + x + y 3. II-II.A.3 En effet II-II.A. est satsfat et on a ben g H ρ pusque + x + y / ρx, ydxdy = π r + r + r 3 dr <. II-II.A.4 0 Remarque. On a même, pour ce chox de pods, g V et on peut en dédure la seconde estmaton parabolque du cours. 8