N - ANNEAUX EUCLIDIENS

N - ANNEAUX EUCLIDIENS Dans ce qu sut A est un anneau untare, mun de deux opératons notées addtvement et multplcatvement. Le neutre de l addton est noté 0, celu de la multplcaton est noté e. On pose A = A\{0}, et on désgne par I l ensemble des éléments nversbles de A. L nverse d un élément a de I est noté a 1. Donnons tout d abord une proprété générale dans les anneaux commutatfs. Proposton 1 On défnt une relaton d équvalence R dans A par ab b s et seulement s a bi. La classe de a est ai. L ensemble A + = A /I peut être mun canonquement d une multplcaton assocatve, commutatve, de neutre I, sans autre élément nversble que I. On a avec e nversble. La relaton est donc réflexve. S, l on a avec u nversble, alors avec u 1 nversble. La relaton est symétrque. S l on a avec u et v nversbles, alors b = au a = ae a = bu b = au 1 et c = bv c = a(uv) avec uv nversble. La relaton est transtve. C est donc une relaton d équvalence. La classe d un élément a est alors ȧ = ai. S l on a on a donc avec u et v nversbles, donc ar a et br b a = a u et ab = a b (uv) b = b v

N 2 avec uv nversble. Donc On peut donc poser abr a b. ab = ȧ ḃ. Toutes les proprétés de la multplcaton dans A passent alors aux classes d équvalences. L élément neutre est alors ė = I. Cherchons les éléments nversbles de A +. S ȧ est nversble, l exste ḃ tel que sot ȧ ḃ = ė, ab = ė. cela sgnfe que ab est nversble dans A. Il exste c tel que (ab)c = e sot Donc a est nversble, et Le seul élément nversble de A + est donc I. a(bc) = e. ȧ = I. Défnton 1 Un anneau euclden est un anneaux commutatf ntègre untare A, mun d une applcaton d de A dans N telle que ) pour tout couple (a,b) d éléments de A d(ab) max(d(a),d(b)) ) pour tout couple (a,b) d éléments de A tels que b sot non nul, l exste un couple (q,r) d éléments de A tels que a = bq + r avec r = 0, ou r 0 et d(r) < d(b). Les éléments q et r sont appelés quotent et reste de la dvson eucldenne de a par b. Proposton 2 On peut remplacer dans la défnton précédente ) par ) pour tout couple (a,b) d éléments de A, s b dvse a, alors d(b) est nféreur ou égal à d(a).

N 3 S l on a ) et s b dvse a, alors l exste c dans A tel que a = bc et donc d(b) max(d(b),d(c)) d(a). Récproquement, s l on a ), comme a et b dvse ab, on a d(a) d(ab) et d(b) d(ab) et donc max(d(a),d(b)) d(ab). Proposton 3 On a mn d(x) = d(e). x A Pusque e dvse tout élément de A, on a, pour tout a dans A d(e) d(a) et donc mn d(x) = d(e). x A Proposton 4 Un élément u de A est nversble s et seulement s d(u) = d(e). Sot u tel que Il exste q et r tels que avec r = 0, ou r 0 et d(r) < d(u). d(u) = d(e). e = uq + r S l on supposat r non nul, alors d(r) < d(e). Mas pusque d(e) est mnmal, cec n est pas possble. Donc e = uq

N 4 et u est nversble. Récproquement, s u est nversble, sot q sont nverse. On a donc e = uq et l résulte de ) que et pusque d(e) est mnmal, on a L applcaton d est donc constante sur I. d(u) d(e), d(u) = d(e). Proposton 5 Sot a un élément non nul de A. S l on a a = bc alors c est nversble s et seulement s d(a) = d(b). S c est nversble, on a d une part donc et d autre part et donc On a ben Récproquement, s l exste u et v tels que avec v = 0, ou v 0 et d(v) < d(a) = d(b). a = bc d(a) d(b), b = c 1 a d(b) d(a). d(a) = d(b). d(a) = d(b), b = ua + v S l on suppose v non nul donc b = ua + v = ubc + v v = b(e uc),

N 5 et b dvse v. On a alors d(b) d(v) d où une contradcton. C est donc que v est nul. Alors b(e uc) = 0, et comme l anneau est ntègre et b non nul, on en dédut que e = uc, donc que c est nversble. Proposton 6 Tout déal I de A non rédut à {0} est monogène. Sot I un tel déal. Comme d est à valeurs entères postves, elle attent son mnmum sur I \ {0} en un élément u. Sot alors a non nul dans I. On a Il exste a et r tels que d(u) d(a). a = uq + r avec r = 0, ou r 0 et d(r) < d(u). Supposons r non nul. Alors r = a uq est un élément non nul de I et donc On a donc une contradcton, et l on a Donc I est engendré par u. d(r) d(u). a = uq. Remarque : dans un anneau ntègre A, s δ et δ engendrent le même déal, alors, l exste u nversble tel que δ = uδ. En effet, on a à la fos donc et, pusque A est ntègre, on en dédut ce qu montre que u est nversble. δ = uδ et δ = u δ δ = uu δ, e = uu,

N 6 Proposton 7 Sot B une parte non vde de A. On suppose que pour tout couple (a,b) de B 2, le couple (q,r) de la dvson eucldenne est auss dans B 2. S d vérfe la proprété ) pour tout couple (a,b) d éléments dstncts de B, on a d(a b) max(d(a),d(b)), alors le couple (q,r) de la dvson eucldenne est unque. Sot a = bq + r = bq + r deux décompostons de a dans la dvson eucldenne de a par b. S r est nul, r = b(q q ), donc, s r est non nul d(r ) d(b) ce qu est en contradcton avec la défnton de la dvson eucldenne. Donc r est nul également et l on a bq = bq ce qu, pusque A est ntègre, mplque l égalté de q et q. Il y a donc uncté dans ce cas. (On remarquera que cela est vra sans l hypothèse )). Supposons mantenant que n r, n r ne sont nuls, et supposons les dstncts. Alors r r = b(q q), d où Mas d autre part d(b) d(r r ). d(r r ) max(d(r),d(r )) < d(b), d où une contradcton. On en dédut que r = r, pus que q = q. Exemple : s A = Z et d(n) = n, on montre que A est un anneau euclden. On n a pas uncté des couples (p,q) sur Z. Par exemple, en dvsant 3 par 2, on a 3 = 2 1 + 1 = 2 2 1. Par contre sur N, on a r r max(r,r ) et l y a uncté.

N 7 Défnton 2 On dt que deux éléments de A sont premers entre eux ou étrangers, s les seuls éléments de A qu les dvsent l un et l autre sont les éléments nversbles de l anneau. Proposton 8 Théorème de Bézout. Deux éléments a et b de A sont premers entre eux s et seulement s l exste deux éléments x et y de A tels que ax + by = e. Sot a et b premers entre eux. L déal qu ls engendrent est formé des éléments de la forme xa + yb où x et y décrvent A. Comme les déaux de A sont monogènes, cet déal est engendré par un élément δ. Alors a et b sont dvsbles par δ, donc δ est nversble. Alors e = δδ 1 est auss dans l déal, et l déal est A tout enter. Il en résulte qu l exste x et y dans A tels que ax + by = e. Récproquement, sot a et b lés par une relaton de la forme S δ est un dvseur commun à a et à b, on a donc ax + by = e. a = δa et b = δb δ(a x + b y) = e, ce qu prouve que δ est nversble, et donc que a et b sont premers entre eux. Proposton 9 Sot a et b deux éléments de A. Il exste δ dans A tel que 1) δ dvse a et b. 2) S δ dvse a et b, alors d(δ ) d(δ). S δ dvse a et b, on a à la fos d(δ ) d(a) et d(δ ) d(b). Donc d est bornée sur l ensemble des dvseurs communs de a et b, et l exste un élément δ tel que d(δ) sot maxmum. Défnton 3 Un élément tel que celu défn par la proposton précédente est appelé PGCD de a et b.

N 8 Proposton 10 Sot a et b deux éléments de A et δ un dvseur de a et b. On la les proprétés équvalentes suvantes ) δ est un PGCD de a et b. ) l exste a 1 et b 1 premers entre eux tels que ) l exste x et y premers entre eux tels que a = δa 1 et b = δb 1 ax + by = δ v) l exste x et y tels que v) tout dvseur commun de a et b dvse δ. ax + by = δ ) ) S l on a a = δa 1 et b = δb 1 Sot δ un dvseur de a 1 et b 1. Alors δδ est un dvseur de a et b, et pusque δ est un PGCD de a et b, d(δδ ) d(δ). Mas comme l négalté nverse a touours leu, on a égalté et cela mplque que δ est nversble. Les seuls dvseurs de a 1 et b 1 sont les éléments nversbles, ce qu prouve que a 1 et b 1 sont premers entre eux. ) ) S a 1 et b 1 sont premers entre eux, l exste x et y tels que a 1 x + b 1 y = e et x et y sont auss premers entre eux. En multplant par δ, on trouve avec x et y premers entre eux. ) v) est évdent. ax + by = δ v) v) S δ dvse a et b, l dvse ax + by donc δ. v) ) S δ dvse a et b, l dvse δ et donc d(δ ) est nféreur ou égal à d(δ), ce qu prouve que δ est un PGCD de a et b.

N 9 Proposton 11 Sot δ un PGCD de deux éléments a et b de A. L ensemble des PGCD de a et b est consttué des éléments de la forme uδ, où u parcourt I. D après les proprétés équvalentes ) et v) de la proposton précédente, s δ et δ sont deux PGCD de a et b, ls se dvsent mutuellement. Ils engendrent donc le même déal, et donc, l exste u nversble tel que δ = uδ. Récproquement, s u est nversble et s δ est un PGCD de a et b, l est clar que uδ dvse a et b et l on a d(uδ) = d(δ) donc uδ est auss un PGCD de a et b. Proposton 12 S a dvse bc, et s a est premer avec b, alors a dvse c. Il exste k tel que et l exste x et y tels que On a alors d où On en dédut ben que a dvse c. ak = bc, ax + by = e. aky = bcy = c(e ax), a(ky + cx) = c. Proposton 13 S a et b sont premers entre eux et s a et b dvsent c, alors ab dvse c. S l on a c = aa = bb, l en résulte que b dvse aa, mas comme b est premer avec a, l dvse a, par sute ab dvse aa donc c. Proposton 14 L algorthme d Euclde est valable dans un anneau euclden. Il permet de détermner un PGCD δ de deux éléments a et b, ans que les éléments x et y tels que ax + by = δ.

N 10 Sot R 0 et R 1 deux éléments de A. On construt par récurrence une sute (R n ) de la façon suvante : s R n 2 et R n 1 sont construts et non nuls, on appelle R n un élément tel que avec R n = 0, ou R n 0 et d(r n ) < d(r n 1 ). R n 2 = Q n 1 R n 1 + R n, La sute (d(r n )) est une sute strctement décrossante d enters postfs et ne peut comporter qu un nombre fn de termes dstncts. Sot R p+1 le premer élément nul de la sute (R n ). Montrons par une récurrence décrossante que, pour tout n comprs entre 0 et p, l élément R p dvse R n. On a et donc R p dvse R p 1. R p 1 = Q p R p Supposons que pour tout n tel que m n p, l élément R p dvse R n. On a R m 1 = Q m R m + R m+1. Comme R p dvse R m et R m+1 l dvse auss R m 1. Par sute R p dvse R 0 et R 1, donc leur PGCD δ. Montrons alors par récurrence que δ dvse R n, pour tout n comprs entre 0 et p. C est vra pour les ordres 0 et 1. Supposons que cela sot vra usqu à l ordre m. On a R m+1 = Q m R m + R m 1 et comme δ dvse R m et R m 1, l dvse R m+1. En partculer l dvse R p. Par sute R p est un PGCD de R 0 et R 1. Le derner reste R p non nul est un PGCD de R 0 et R 1. Sot la sute (S p n ) 0 n p défne par S 0 = e, S 1 = Q p 1 et la relaton de récurrence, pour 0 n p 2, S p n = S p n 2 + Q n S p n 1. Montrons par une récurrence décrossante que S p n 2 R n = S p n 1 R n+1 + ( e) p n R p.

N 11 Pour n = p 2, on obtent S 0 R p 2 = S 1 R p 1 + R p, ce qu, compte tenu des valeurs de S 0 et de S 1, est vra d après ce qu précède. Supposons la relaton vrae usqu à l ordre m. On a R m 1 = Q m R m + R m+1 et, en multplant par S p m 1, on tre, grâce à l hypothèse de récurrence, S p m 1 R m 1 = Q m R m S p m 1 + (S p m 2 R m ( e) p m R p ), d où S p m 1 R m 1 = R m (Q m S p m 1 + S p m 2 ) + ( e) p m+1 R p, et fnalement S p m 1 R m 1 = R m S p m + ( e) p m+1 R p, ce qu donne la formule à l ordre m 1. En partculer, pour n = 0, et donc, s l on pose on obtent S p 2 R 0 = S p 1 R 1 + ( e) p R p, x = ( e) p S p 2 et y = ( e) p+1 S p 1, xr 0 + yr 1 = δ. Proposton 15 Les éléments a et b de A sont premers entre eux s et seulement s e est un PGCD de ces éléments. Les seuls éléments dvsant a et b sont les éléments nversbles. Proposton 16 Tout anneau euclden fn est un corps. Tout corps commutatf est un anneau euclden. S A est un anneau euclden fn (ou s d ne prend qu un nombre fn de valeurs sur A ), sot a un élément de A. Aucune pussance de A n est nulle, et la sute (d(a n )) est une sute crossante d enters. Comme cette sute ne content qu un nombre fn d éléments dstncts, elle est constante à partr d un certan rang. Il exste n tel que d(a n ) = d(a n+1 ). Mas cette égalté mplque que a est nversble. Donc A est un corps.

N 12 S A est un corps commutatf, on a I = A. S c est de plus un anneau euclden, alors, d est constante sur I donc sur A. Inversement, sur un corps commutatf, n mporte quelle applcaton constante d défnt une structure d anneau euclden, pusque de toute façon, on aura avec r = 0 et q = ab 1. a = bq + r Proposton 17 S A est un anneau euclden, on a alors ar b s et seulement s d(a) = d(b), et on peut défnr sur A + une applcaton d en posant d(ȧ) = d(a). S a et b sont dans la même classe, on a avec u nversble, donc a = bu d(a) = d(b). Donc d est constante sur les classes. Cela permet de défnr d. Récproquement, on a vu que l égalté d(a) = d(b) équvaut à avec u nversble. a = bu Défnton 4 Un élément a non nversble de A est premer s les seuls dvseurs de a sont les éléments de I ai. Proposton 18 S a est premer, tout élément de ai est premer Evdent. Proposton 19 S a et b sont premers, ou ben d(a) = d(b), ou ben a et b sont premers entre eux.

N 13 S δ est un PGCD de a et b, ou ben δ est dans I et a et b sont premers entre eux, ou ben δ est dans ai, alors l n est pas nversble et se trouve auss dans bi, d où d(a) = d(δ) = d(b). Proposton 20 Tout élément de A non nversble possède un dvseur premer. Sot p la borne nféreure des nombres d(b) lorsque b parcourt l ensemble des dvseurs non nversbles de a. Comme l ensemble des valeurs prses par d est dscret, l exste c tel que et c est un dvseur non nversble de a. d(c) = p. S f est un dvseur non nversble de c, on a nécessarement d(f) d(c). Mas d autre part f est un dvseur non nversble de a donc Il en résulte que p = d(c) d(f). d(c) = d(f), ce qu prouve que f est dans ci. Donc c est premer. Défnton 5 On dt que ȧ est premer dans A + s a est premer dans A. Proposton 21 Décomposton en facteurs premers. 1) Tout élément ȧ de A + s écrt de manère unque sous la forme ȧ = J ȧ n, où J désgne l ensemble des éléments premers de A + et les n sont des enters postfs tous nuls sauf un nombre fn d entre eux. 2) S A = {a J} est un système de représentants des classes de nombres premers, alors, tout élément de A s écrt de manère unque sous la forme a = u J a n, où u est dans I et les n sont des enters postfs tous nuls sauf un nombre fn d entre eux.

N 14 Le premer résultat se dédut du second par passage aux classes. Le nombre de dvseurs premers de ȧ est fn. Supposons le contrare. Sot a n une famlle dénombrable extrate de la famlle des représentants des nombres premers dont tous les éléments dvsent a. Posons b n+1 = a n b n = a 1 a 2 a n. D après la proposton 13 tous les b n dvsent a. Mas la sute (d(b n )) est une sute d enters crossante maorée par d(a). Elle est donc statonnare. S l on a d(b n ) = d(b n+1 ) on en dédut que a n est nversble ce qu donne une contradcton, pusqu un nombre premer n est pas nversble. S b est un nombre premer dvsant a, l exste un enter m tel que b m dvse a sans que b m+1 ne le fasse. La sute (d(b m )) est une sute crossante. S, pour tout enter m, le nombre b m dvse a, cette sute est une sute d enters crossante maorée par d(a). Elle est donc statonnare. S l on a d(b m ) = d(b m+1 ) alors b est nversble et n est pas premer, ce qu n est pas possble. Il exste donc un enter m tel que b m ne dvse pas a. Appelons m + 1 le plus pett de ces enters. Alors b m dvse a sans que b m+1 ne le fasse. L élément a étant donné, appelons ȧ 1,...,ȧ m les dvseurs premers de ȧ, et, pour tout, sot n l enter trouvé dans le paragraphe précédent. Posons alors b = m =1 a n. On montre faclement par récurrence que b dvse a. Sot alors u tel que a = bu. S u n état pas nversble, l exsterat un dvseur premer c de u. Ce dvseur dvserat auss a, donc fgurerat dans la lste {a 1,,a m }. Mas, s c = a, alors a n +1 dvserat a ce qu n est pas possble. Donc u est nversble. On obtendra ben la décomposton cherchée. Il est facle de vor par alleurs que cette décomposton est la seule possble.

N 15 Proposton 22 S A = {a J} est un système de nombres premers, et s l on a a = u J a n, avec u nversble, alors les dvseurs de a sont les éléments de la forme d = v J a m, où v est nversble et, pour tout de J 0 m n. Evdent. Proposton 23 Le nombre de dvseurs d un élément de A + est fn. En effet, s ȧ = m =1 les dvseurs de ȧ s obtennent en chosssant pour chaque ȧ une pussance comprse entre 0 et n. le nombre de dvseurs est donc m (n + 1). =1 Proposton 24 On suppose chos un système de représentants A = {a = J} de nombres premers. Pour tout élément de A non nul, sot Φ(a) l élément de I ntervenant dans la décomposton de a en facteurs premers. L applcaton Φ est une applcaton multplcatve et surectve de A sur I. ȧ n, L applcaton Φ est surectve, car sa restrcton à I est l dentté de I. On a donc en partculer S a et b sont dans A, on a a = Φ(a) J a n Φ Φ = Φ. et b = Φ(b) J a m, et donc ab = Φ(a)Φ(b) J a n +m.

N 16 On en dédut que Φ(ab) = Φ(a)Φ(b). Proposton 25 L ensemble Φ 1 (e) est somorphe à A +. Sot a dans Φ 1 (e). Posons Ψ(a) = ȧ. L ensemble Φ 1 (e) est stable par multplcaton. En effet, s Φ(a) = Φ(b) = e on a Φ(ab) = Φ(a)Φ(b) = e. Alors Ψ est une applcaton multplcatve de Φ 1 (e) dans A +. S l on a Ψ(a) = Ψ(b), alors a = ub avec u nversble, mas, comme Φ est multplcatve, Φ(a) = Φ(u)Φ(b). On en dédut que Mas u étant nversble, on a Donc et, par sute, ce qu montre que Ψ est nectve. Φ(u) = e. Φ(u) = u. u = e, a = b, Sot ȧ dans A +. Posons b = Φ(a) 1 a. Comme Φ(a) 1 est dans I, on a ȧ = ḃ. On a auss Φ(b) = Φ(Φ(a) 1 )Φ(a) = Φ(a) 1 Φ(a) = e.

N 17 Cec montre que b est dans Φ 1 (e). Alors et Ψ est surectve. Ψ(b) = ȧ Défnton 6 On dt qu un élément de A est postf relatvement au système A, s Φ(a) = e. L ensemble des éléments postfs est donc somorphe à A +. Cette noton de postvté dépend du système de représentants choss. On le suppose fxé dans ce qu sut. Proposton 26 S l on a a = u J a n et b = v J a m alors le PGCD postf de a et b est δ = J a mn(n,m ). On le notera PGCD(a,b). Ce nombre δ dvse a et b. D autre part s a p dvse à la fos a et b, on a nécessarement p n et p m donc p mn(n,n ). Il en résulte que tout dvseur de a et b dvse δ. C est donc ben un PGCD de a et b. Proposton 27 Sot a et b premers entre eux. S d est un dvseur postf de ab, alors, d = PGCD(a,d)PGCD(b,d). Cela résulte mmédatement de la proposton précédente. En écrvant a = u p =1 a n et b = v q =1 b m où on n a fat apparaître que les nombres premers fgurant avec une pussance non nulle, avec {a 1,...,a p } {b 1,...,b q } =.

N 18 On a également avec donc ce qu donne ben PGCD(d,a) = d = p =1 a u q =1 b v u n et v m, p =1 a u et PGCD(d, b) = d = PGCD(a,d)PGCD(b,d). q =1 b v Proposton 28 Pour tout a non nul de A, sot S(a) la somme des dvseurs postfs de a. Alors a) Pour tout nombre premer postf a b) S x et y sont premers entre eux S(a n ) = e + a + + a n. S(xy) = S(x)S(y). c) S a admet comme décomposton en facteurs premers a = m =1 a n, alors m S(a) = (e + a + + a n ). =1 Remarquons que le nombre de dvseurs postfs de a est fn car c est le nombre de dvseurs de ȧ. a) La démonstraton est mmédate par récurrence en remarquant que S(e) = e et S(a n+1 ) = S(a n ) + a n+1. b) Sot x et y premers entre eux. Le seul dvseur postf commun de x et y vaut e. S d dvse xy d après la proposton précédente l peut s écrre sous la forme d = d 1 d 2 avec d 1 dvsant x et d 2 dvsant y et cec de manère unque. Récproquement, tout dvseur d 1 de x multplé par un dvseur d 2 de y donne un dvseur de xy. Il en résulte que S(xy) est obtenu en fasant la somme de tous les termes de la forme x y, où x et un dvseur postf de x et y un dvseur postf de y. Mas cette somme n est autre que le produt S(x)S(y). c) est une conséquence de a et b et de la décomposton en facteurs premers.