CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS MEMOIRE Présenté en vue d obtenr Le DIPLOME D ECONOMISTE du C.N.A.M Spécalté ACTUARIAT Par Géraldne KRAUTH PROVISIONNEMENT ET CORRELATION ENTRE BRANCHES Soutenu le 22 Jun 2007 JURY Présdent : M. Mchel FROMENTEAU Membres: M. Perre PETAUTON M. Serge VAN DER HEYDEN M. Patrck WARIN M. Franços WEISS
RESUME La prse en compte de la corrélaton dans le calcul des provsons technques est un sujet qu devent de plus en plus prégnant. L arrvée de «Solvency II», en mposant des crtères de Value-at-Rsk dans la fxaton du nveau des provsons et en nctant les compagnes d assurance à utlser un modèle nterne de détermnaton du beson en captal, systématse l utlsaton de méthodes stochastques de provsonnement. La dépendance dans le cadre du provsonnement peut être prse en compte au travers de dfférentes méthodes (parfos ancennes) que l on adapte alors à cette problématque, comme le Bootstrap, les modèles à choc commun et l utlsaton de la théore des copules. Ce mémore se propose de mettre en pratque ces tros méthodes sur la base des mêmes données et des mêmes hypothèses et de comparer leurs résultats notamment en terme de Value-at-Rsk, dans le cadre de Solvency II. MOTS CLES Provsonnement - Modèle Lnéare Généralsé - Bootstrap - Modèle à Choc Commun - Dépendance - Copule - Méthode de Monte-Carlo - Value-at-Rsk ABSTRACT The correlaton mpact n the level of techncal reserves s an ssue that becomes more and more mportant. The new european solvency system «Solvency II», by settng Value-at-Rsk crterons n the level of reserves and by nctng nsurance companes to use nternal model for estmatng the economc captal, needs the use of stochastc methods for reservng. Dependence n reservng can be taken nto account by dfferent methods lke the Bootstrap, the common shock model and the theory of copulas. Ths paper ntends to mplement these three methods, on the same data and under the same hypothess, and to compare ther results especally n terms of Value-at-Rsk n the framework of Solvency II. KEYWORDS Reservng - Generalzed Lnear Model - Bootstrap - Common Shock Model - Dependence - Copula - Monte- Carlo Method - Value-at-Rsk 2
REMERCIEMENTS Les travaux relatfs au présent mémore ont été effectués sous la drecton de M. Chrstan PARTRAT. La problématque des méthodes de provsonnement stochastques, ans que la prse en compte de la dépendance au travers de dfférentes méthodes ont toujours consttuées pour lu un sujet majeur, qu l a de nombreuses fos traté dans ses ouvrages ou lors de conférences. Son mplcaton mportante dans le domane de l actuarat ans que son grand sens pédagogque l ont condut à encadrer des génératons d étudants, dont j a eu la chance de fare parte, dans la réalsaton de leur traval de fn d études. Personnalté reconnue et respectée du monde de l actuarat, et ben que très occupé par ses dverses fonctons, l savat néanmons rester dsponble pour ses étudants. Je le remerce pour le temps et les consels qu l m a accordés et qu ont perms à cet ouvrage de vor le jour. Je déde ce traval à la mémore de M. Chrstan PARTRAT, décédé le 6 Octobre 2006. Je remerce auss M. Chrstan ROBERT, qu s est substtué à M. Chrstan PARTRAT pour effectuer la relecture de mon mémore, et qu m a prodgué ses consels éclarés. Je remerce enfn toutes les personnes qu m ont encouragée et soutenue tout au long de mon traval, au premer rang desquelles mon mar et ma famlle. 3
TABLE DES MATIERES INTRODUCTION... 5 PARTIE I : PRESENTATION DU MEMOIRE... 6 I. L ASSURANCE... 6 I. L hstore de l assurance.... 6 I.2 Quelques notons sur les rsques et les snstres.... 6 II. LES PROVISIONS.... 8 II. Réglementaton... 8 II.2 Les Provsons pour Snstres A Payer (PSAP)... 8 III. LES DONNEES ET OUTILS UTILISES.... 0 III. Bases de données... 0 III.2 Outls... PARTIE II : FONDEMENTS THEORIQUES... 2 I. LES METHODES DE CALCUL DES PROVISIONS... 2 I.. Méthode Chan-Ladder... 3 I.2 Extenson du Chan-Ladder en stochastque : le modèle de Mack... 4 I.3 Modèles GLM... 5 II. DEPENDANCE ENTRE BRANCHES.... 2 II. Corrélaton... 2 II.2 Bootstrap... 25 II.3 Modèle à chocs communs... 30 II.4 La théore des copules... 33 PARTIE III : APPLICATION... 44 I. CALCULS PREALABLES... 44 I. Calcul des coeffcents de corrélaton sur les trangles de règlements... 44 I.2 Calcul des provsons par dfférentes méthodes... 46 I.3 Calcul des coeffcents de corrélaton sur les trangles de probabltés... 57 II. MODELISATION DE LA CORRELATION.... 65 II. Par la technque du Bootstrap... 65 II.2 Par le modèle à chocs communs... 78 II.3 Par la théore des copules... 88 II.4 Mesures de rsque... 0 CONCLUSION... 2 ANNEXES... 5 ANNEXE : Tableau des règlements... 5 ANNEXE 2 : Résultats des modélsatons GLM retenues... 20 ANNEXE 3 : Résultats des tests sur résdus... 28 ANNEXE 4 : Résultats par catégore mnstérelle des dfférentes méthodes... 33 ANNEXE 5 : Résultats détallés de la méthode Bootstrap... 37 ANNEXE 6 : Résultats détallés du modèle à choc commun... 43 ANNEXE 7 : Résultats détallés du modèle avec copules... 49 BIBLIOGRAPHIE... 55 4
INTRODUCTION L un des travaux mportants de tout actuare en assurance IARD est d estmer le montant des provsons pour snstres à payer (PSAP), c est à dre la somme à mettre en réserve pour fare face au coût total des snstres pour chaque année de survenance écoulée. Cette estmaton est d une mportance consdérable car ce montant représente la parte la plus mportante du blan des réserves à consttuer. Ce montant aura donc une nfluence sur le nveau de rentablté d une branche d actvté. La précson de cette estmaton ntéresse de plus le légslateur, pour des rasons de protecton des ntérêts des assurés, et les nstances fscales, pour la vson du bénéfce mposable. La réglementaton oblge donc l assureur à consttuer ces réserves, alors même que ce coût total défntf lu est encore nconnu. L actuare met alors en pratque pluseurs méthodes de calcul des provsons, chaque méthode donnant un résultat possble. Les nombreuses méthodes qu exstent ont toutes été développées dans le but de paller un problème spécfque (manque de données, hstorque nsuffsant, développements longs, envronnement ncertan, ). Généralement, l actuare se fat une dée médane du montant des réserves à retenr en utlsant pluseurs technques. Ce montant de réserves n en demeure pas mons une estmaton, dont la précson peut être plus ou mons grande. La seconde problématque de l actuare est donc de détermner l ncerttude autour du montant qu l a estmé. Pour ce fare, l peut : - sot calculer drectement la varablté par des ntervalles de confance lorsqu l travalle dans un cadre théorque utlsant des los connues : modèle à chocs communs et théore des copules - sot utlser une méthode d échantllonnage permettant de détermner une lo de dstrbuton emprque lorsque les los réelles sont nconnues ou trop complexes à estmer (trop de paramètres), c est la technque du Bootstrap Le calcul des provsons s effectue généralement par branche d actvtés (Automoble, Dommages aux Bens, RC Générale, ). Ce calcul séparé suppose donc que les branches étudées sont ndépendantes. En pratque, cette hypothèse est dffclement admssble. Effectvement, une augmentaton du coût des sons médcaux, touchant aux snstres corporels, aura des effets à la fos en RC Automoble, en RC Générale et pour les Accdents du Traval (cf. mémore de O. Belguse). De même, l nfluence des événements naturels sur les branches Automoble et Dommages aux Bens n est plus à démontrer. Dès lors, on peut se demander quel est l mpact de cette dépendance entre branches sur le nveau d ncerttude se rapportant au montant des provsons. Nous nous proposons donc dans ce mémore, après une revue de quelques-unes des méthodes de calcul des provsons exstantes et des modèles de prse en compte de la dépendance, de pratquer une analyse comparée de ces dfférents modèles notamment en terme de varablté du montant des provsons en cas de dépendance. Pour cela, nous avons décdé de partr du même jeu de données et de lu applquer ces tros méthodes. 5
PARTIE I : PRESENTATION DU MEMOIRE I. L ASSURANCE. I. L hstore de l assurance. C est en Angleterre, dans le domane martme que l assurance prend nassance. La perte des navres, et de leur contenu, étant souvent une cause de fallte des armateurs, ceux-c ont essayé de s en prémunr en mutualsant le rsque sous forme de coassurance. Les armateurs partagent les mêmes rsques, chacun prenant une part du rsque sur chaque bateau qu navgue. En France, c est Colbert, ntendant des Fnances de Lous XIV, qu est l artsan du cadre légal de la toute premère lo sur l assurance martme. En 68, une nouvelle ordonnance royale lance offcellement le commerce de l assurance. En 686, la premère «Compagne générale pour les assurances martmes en France» vot le jour. Complémentares à l assurance martme, des assurances «terrestres» apparassent au XVIIème sècle pour assurer, par exemple, les transports des marchandses arrvées par mer. L assurance ncende, ben que prévue dès 686, ne verra le jour qu un sècle plus tard : sous l mpulson des frères Pérer, drecteurs de la Compagne des Eaux, est créée la premère compagne d assurance contre le feu. Quelques mutuelles furent ensute autorsées sous le Consulat et l Empre, mas leur essor vértable commence à partr de la Restauraton, en 85. Les Compagnes d assurance à prmes apparassent alors. I.2 Quelques notons sur les rsques et les snstres. a] Les catégores de rsques Les rsques couverts en assurance Iard (Incende, Automoble, Rsques Dvers) sont très hétérogènes. En assurance Iard (auss appelée Non-Ve), on consdère les assurances de choses (assurance contre leur détéroraton) et les assurances de responsablté (on se garantt so-même contre sa propre faute). Rsques courts / rsques longs Au-delà de la dstncton de nature que l on vent de cter entre rsques de bens et rsques de responsabltés, ces deux types de rsques ont des comportements très dfférents. Ans, les snstres dts de Dommages aux Bens ( = DAB : vol, ncende, dégâts des eaux, ) sont déclarés et réglés rapdement (en 2-3 ans) alors que les snstres de responsablté cvle sont déclarés parfos ben après la survenance. C est par exemple le cas des snstres amante, pour lesquels l assuré n a connassance du snstre dont l a été l objet qu une fos la malade déclarée, c est à dre des années après. Qu plus est, ces snstres 6
donnent leu à expertse, contre-expertse, réclamaton et sont souvent en contenteux ce qu a pour cause de retarder le remboursement. Les rsques «courts» sont assez smples à estmer : leur charge est souvent fable et est évaluée à un coût moyen. Rsques de fréquence / rsques à forte volatlté Les rsques (hors RC) touchant le marché des partculers ans que les rsques automobles sont dts des rsques de fréquence (par l observaton du passé, on peut prédre des probabltés de survenance). Ce sont des rsques observables sur un grand nombre d ndvdus (rsques de masse) et ayant une probablté de survenance parm les plus élevées. Il en va dfféremment pour les rsques ndustrels qu, s ls sont mons fréquents, présentent une forte volatlté dans la survenance et la charge. b] Notons de snstres L actvté de l assurance consste à couvrr un rsque aléatore moyennant une prme. La survenance du rsque s appelle un snstre. Tros notons de date sont mportantes en matère de snstre : la date à laquelle le snstre a leu = date de survenance la date à laquelle l est déclaré = date de déclaraton les dates auxquelles l est remboursé à l assuré = date de règlement survenance déclaraton remboursement total Ces tros dates ne correspondent jamas et l s écoule souvent pluseurs années entre la date de survenance et la date à laquelle le snstre est réglé défntvement. Il peut ans s écouler un temps plus ou mons long entre la date de survenance du snstre et sa date d ouverture, et ce pour pluseurs rasons : contrantes admnstratves (envo du courrer) ou structurelles (les conséquences de certans snstres ne sont connus que longtemps après leur survenance). Les snstres RC médcale seront par exemple qualfés de snstres à déclaraton lente, car l s écoule couramment pluseurs années entre la survenance du snstre et le moment où les conséquences apparassent. Une fos le snstre ouvert, celu-c n est réglé rapdement que dans les cas smples, qu ne nécesstent pas ou peu d expertse et dont le coût moyen est connu. C est le cas des snstres DAB des Partculers qu correspondent aux rsques courts. Inversement, comme on l a vu, les snstres corporels sont des snstres à lqudaton lente. L assureur peut ans être nformé rapdement de l exstence d un snstre corporel (sute à un accdent automoble, par exemple), mas son règlement total ne pourra pas ntervenr, en tout état de cause, avant que toutes les conséquences en terme de santé ne soent connues, c est à dre que l état de santé de l assuré ne sot stablsé (c est la phase dte de consoldaton). 7
II. LES PROVISIONS. II. Réglementaton L artcle R.33- du Code des Assurances stpule que les assureurs sont tenus de consttuer des «provsons technques suffsantes pour le règlement ntégral de leurs engagements vs-à-vs des assurés ou bénéfcares des contrats». Le calcul de ces provsons pour snstres à payer dot se fare par année de survenance (art. R.33-5). L évaluaton se fat brute de réassurance : l assureur est tenu de consttuer ntégralement les provsons dont l est contractuellement responsable. Les provsons ne peuvent être escomptées. Les rsques sont regroupés au sen de catégores homogènes de rsques, et communes à toutes les compagnes d assurance. Il s agt des «Catégores mnstérelles» des rsques d assurance, dont nous ctons c les composantes dans le cadre de l assurance dommages : 20 - Dommages corporels ndvduels 2 - Dommages corporels collectf 22 - Automoble Responsablté Cvle 23 - Automoble Dommages 24 - Dommages aux bens partculers 25 - Dommages aux bens professonnels 26 - Dommages aux bens agrcoles 27 - Catastrophes naturelles 28 - Responsablté Cvle Générale 29 - Protecton jurdque 30 - Assstance 3 - Pertes pécunares dverses 34 - Transport 35 - Constructon Dommages-Ouvrage (DO) 36 - Constructon RC Décennale (RCD) 38 - Cauton II.2 Les Provsons pour Snstres A Payer (PSAP). Comme on l a vu, la réglementaton oblge les compagnes d assurance Iard à mputer le coût total d un snstre sur son année de survenance. Or, comme nous l avons auss vu précédemment, un snstre est rarement réglé en totalté l année même de sa survenance. D où la nécessté, et même l oblgaton, pour les compagnes d assurance d estmer le coût défntf des snstres afn de provsonner la dfférence entre ce coût estmé défntf et les règlements déjà effectués. Ces provsons, rensegnées pour chaque snstre ouvert (et donc connu de l assureur) s appellent les provsons dosser/dosser (D/D). Pour les snstres relevant des rsques de fréquence ce coût défntf est souvent un coût moyen. 8
Ces provsons peuvent toutefos ne pas être justes et seront alors revues à la hausse (ou à la basse), en foncton d nformatons supplémentares, ultéreurement. Ce sera ans le cas lorsqu un snstre RC, estmé et donc provsonné à X euros à un nstant t 0, aura un coût réel de X+200 lors de son règlement défntf en t +0. Ces montants sont alors des mal (le terme anglas est IBNER : ncurred but not enough reported). Inversement, dans le cas où le coût aurat été sur-estmé, des bon apparaîtront. Enfn, l ne faut pas oubler qu en rason du déla exstant souvent entre la date de survenance et la date de déclaraton, un certan nombre de snstres, déjà survenus, ne sont toujours pas connus de l assureur à la fn de l année calendare de survenance. Il n exste donc pas de provsons D/D à ce ttre. Ces snstres, pour lesquels l année d ouverture est postéreure à l année de survenance, sont appelés tardfs (IBNR : ncurred but not reported). L assureur dot alors consttuer des provsons complémentares pour y fare face. Tout le problème de l assureur sera alors de détermner la melleure estmaton possble du coût de ses snstres. 9
III. LES DONNEES ET OUTILS UTILISES. III. Bases de données. a] Données sélectonnées Dans un souc de confdentalté, nous avons utlsé les données relatves à une sélecton d affares ssues du portefeulle d une compagne françase d assurance IARD. Ces données sont homogènes dans le temps (elles n ont notamment pas été mpactées par une quelconque mgraton nformatque) et dans leurs caractérstques (elles n ont pas été non plus mpactées par une fuson entre dverses socétés). Nous avons alors reconsttué l hstorque «snstres» des affares de ce portefeulle. Il est à noter que ce portefeulle est fermé : l n y a pas ntégraton de nouvelles affares au fl du temps. Il y a en revanche les sortes naturelles du portefeulle, ce qu explque la décrossance des montants afférents aux années de survenance les plus récentes. Remarques : Les données ont été corrgées des snstres «Tempête 999» et «AZF» qu, par l ampleur des montants engendrés, rsquaent de perturber nos résultats. Nous avons travallé sur les montants de règlements, et n avons donc pas été soums à des problèmes de ruptures dans les données sute aux changements de forfat d ouverture (ceux-c concernant les provsons Dosser/Dosser n affectent que les charges observées). Notre problématque étant de comparer dfférentes méthodes de prse en compte de la corrélaton, nous sommes parts pour les tros méthodes étudées des mêmes données, à savor les trangles de règlements par catégores mnstérelles. Cela nous condura, pour le modèle à choc commun, à adopter une démarche légèrement dfférente de la démarche théorque (pour laquelle la modélsaton du choc commun se fat au nveau du nombre de snstres). Sute aux sélectons effectuées, les données sur lesquelles nous avons travallé sont donc des données ntégralement reconsttuées (que nous pourrons qualfer de «fctves»), et qu, en tout état de cause, ne sont jamas apparues dans des trangles réels utlsés au sen de la compagne dont elles sont ssues. 0
b] Ventlaton des règlements par catégore mnstérelle et par année d'nventare 994 995 996 997 998 999 2000 200 2002 2003 2004 Total 20+2 2 469 3 754 3 304 3 662 3 820 4 447 3 44 3 3 2 557 3 223 2 538 36 346 22C 7 943 27 325 39 738 42 987 43 52 46 589 48 93 6 643 67 729 75 22 47 99 508 44 22M 40 86 6 83 58 43 62 083 64 246 76 387 74 548 89 036 83 297 69 742 46 907 726 028 23 00 763 24 783 2 075 2 003 29 985 34 445 48 070 67 764 58 54 36 079 90 872 433 38 24 8 208 28 666 3 453 35 975 40 968 37 524 34 408 29 536 32 44 27 339 4 373 330 890 25 7 897 39 568 54 492 53 99 42 60 4 720 50 708 48 004 48 70 35 249 9 277 452 48 26 2 60 2 546 2 644 4 457 4 330 4 522 5 438 4 327 3 052 3 874 3 248 4 040 27 545 7 472 3 208 4 260 4 744 5 084 9 824 9 792 9 75 8 440 6 64 69 708 28 474 4 47 6 687 9 89 3 395 3 967 6 228 23 369 24 865 25 30 2 999 52 520 29 494 550 552 2 229 629 2 039 672 233 894 365 954 5 6 30 67 704 929 920 033 2 324 335 52 2 3 6 380 34 6 903 20 844 29 936 29 979 34 79 3 546 8 34 4 030 2 707 932 235 7 426 35 676 4 5 507 6 452 7 39 6 993 0 382 0 722 734 0 66 3 590 78 923 36 49 27 2 33 3 423 3 768 3 377 3 629 5 469 5 553 6 044 7 04 42 044 38 2 22 364 235 69 228 336 428 256 76 25 2 242 79 45 0 920 3 0 970 TOTAL 202 649 328 6 36 437 38 404 395 23 4 90 46 266 458 538 45 508 404 504 257 227 4 068 097 c] Ventlaton des règlements par année de survenance et par année d'nventare 994 995 996 997 998 999 2000 200 2002 2003 2004 Total 994 202 649 3 855 32 72 6 993 2 390 0 994 6 885 6 46 4 29 2 974 4 402 43 995 995 96 305 27 374 3 62 3 544 9 989 4 628 7 688 8 639 6 06 99 407 426 996 20 89 35 54 3 037 4 38 733 2 303 0 784 9 50 4 35 43 045 997 98 095 27 644 27 6 7 97 48 8 694 9 374 3 868 404 683 998 20 599 37 358 32 228 7 782 4 74 2 577 4 405 429 663 999 20 920 43 749 38 052 22 87 7 858 8 856 442 25 2000 99 27 49 564 40 025 26 58 9 400 424 696 200 25 206 45 094 36 03 6 843 43 74 2002 96 522 7 942 9 486 333 949 2003 65 55 7 973 237 524 2004 690 690 Total 202 649 328 6 36 437 38 404 395 23 4 90 46 266 458 538 45 508 404 504 257 227 4 068 097 Le détal des montants de règlements, par catégores mnstérelles, fgure en annexe. III.2 Outls. Les prncpaux outls nformatques à notre dsposton sont de 2 types : - un tableur : Excel - un logcel statstque : SAS Notre outl prncpal sera plus partculèrement SAS car de par sa pussance et ses fonctonnaltés dverses, l nous permet d effectuer tous types de calculs sur un volume de données mportant.
PARTIE II : FONDEMENTS THEORIQUES I. LES METHODES DE CALCUL DES PROVISIONS. Les trangles de lqudaton, qu se présentent ans : Année de Année de développement survenance 0 j n 0 X,j n permettent de décrre comment la charge de snstres X,j de chaque année de survenance (en lgnes) se lqude dans le temps, par année de développement j (en colonnes). La parte grsée correspond à la parte déjà observée. Notre objectf est alors de remplr complètement le tableau : la parte non grsée correspondant aux flux non encore observés. On suppose qu après n années de développement, le snstre est entèrement réglé. La valeur X,n est appelée ultme et notée X, ou X Remarque : on peut de la même façon construre des trangles de : - Prmes acquses = P,j - Règlements = C,j (ces montants peuvent être des flux annuels ou des montants cumulés depus l orgne) - Provsons = S,j Il exste dfférentes méthodes de calcul de provsons. La lttérature étant abondante sur le sujet, nous nous lmterons à la descrpton des méthodes classques que nous mettrons en œuvre dans ce mémore : la méthode Chan-Ladder qu est une méthode détermnste, le modèle de Mack qu correspond à l extenson du modèle Chan-Ladder en stochastque et les modélsatons GLM. 2
I.. Méthode Chan-Ladder C est la méthode de calcul des provsons la plus classque. Elle servra donc de référence tout au long de notre étude. Les hypothèses de cette méthode sont : les années de survenance sont ndépendantes entre elles les années de développement sont les varables explcatves du comportement des snstres futurs Pour chaque année de développement, on défnt le facteur de développement : F n j C = = 0 j n j C = 0, j, j Ce calcul s appue donc sur les données cumulées. L hypothèse sous-jacente est donc que ces ratos sont ndépendants de l année d orgne. Exemple pour les règlements Dommages Auto : 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 994 00 763 3 698 33 265 33 776 33 862 33 992 34 76 34 26 34 225 34 242 34 256 995 93 848 23 463 24 47 24 824 24 894 25 030 25 3 25 255 25 275 25 282 996 89 894 6 949 7 864 8 232 8 379 8 529 8 642 8 732 8 76 997 92 430 9 257 20 32 2 255 2 584 2 802 22 056 22 03 998 0 802 32 598 34 536 35 293 35 835 36 93 36 239 999 02 08 4 776 44 90 44 96 45 544 45 823 2000 04 973 50 70 53 480 54 425 54 724 200 8 255 62 696 65 867 66 606 66 98 2002 09 579 44 28 45 909 2003 95 895 7 343 2004 66 336 F j,328,03,005,002,002,00,00,000,000,000 Ans : F 3 =,005 = colonne j = 3 encadrée = colonne j 2 encadrée On peut alors détermner C = F C,j j,j Exemple : C =,002 66 606 66 98 200,4 = 3
4 En applquant de manère récursve cette formule, on en dédut le montant des règlements cumulés après k années de développement pour chacune des années de survenance : Ans que l ultme : La réserve pour la survenance s exprme comme n n C C R + =,, et la réserve totale pour le rsque consdéré est égale à = = n R R. I.2 Extenson du Chan-Ladder en stochastque : le modèle de Mack Le but recherché est de pouvor quantfer la varablté des réserves estmées, et ce afn de construre des ntervalles de confance sur les estmatons fates. Le modèle stochastque de Mack repose sur 3 hypothèses : (), ),..., (,,,, = + + n j n pour F C C C C E j j j j (2) { } { } j pour ndépendants sont C C C C n j j n,,,,,...,,,..., (3), ),..., ( 2,,,, = + n j n pour C C C C Var j j j j σ Sous les hypothèses () et (2), les estmateurs j Fˆ de F j sont non basés et non corrélés. Sous ces 3 hypothèses, le modèle stochastque de Mack fournt exactement les mêmes réserves que la méthode orgnale de Chan-Ladder. On peut exprmer l erreur carrée moyenne de Rˆ : = = + = = + = + = 2 2 2 3 4 2 2 2,,, 2,, 2 2 2, ˆ, ˆ ˆ mn ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ n n n n j n j j j j j j n k j k j n n j j j n et F C C C j n où C C F C mse(r ^ σ σ σ σ σ σ ans que l erreur commse sur la réserve totale estmée Rˆ : = + = = + = + = n n n j j n k j k j j n k n k n C F C C mse(r ^ mse(r ^ 2, 2 2,, ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ) ˆ ˆ) σ F C C l k k l,k-,k * Π+ = = F C C C l n n l,n-, * Π+ = = =
I.3 Modèles GLM. (Generalzed Lnear Models) Ces modèles correspondent à une généralsaton du modèle lnéare classque, ce sont des modèles statstques du type «varable à explquer / varables explcatves». Cette famlle de modèles permet donc d étuder la lason entre une varable dépendante Y et un ensemble de varables explcatves X X k. Ils ont été ntroduts par J. Nelder et R. Wedderburn en 972. Parm les ouvrages de référence auxquels on pourra se rapporter pour plus d nformatons, le plus classque est celu de Mc Cullagh et Nelder (989). Les modèles lnéares généralsés sont formés de 3 composantes : une composante aléatore Y à laquelle est assocée une lo de probablté f(y,θ,ϕ,ω ), cette lo appartenant à la famlle des exponentelles une composante détermnste combnason lnéare des X X k appelée prédcteur lnéare : η = β 0 + β X + + β k X k une foncton de len g entre la composante aléatore Y et la composante détermnste η, spécfant comment l espérance mathématque de Y : E(Y)=μ est lée au prédcteur lnéare η: g(μ) = η On a alors : () f yθ b( θ ) y, θ, ϕ, ω ) = exp ω + c( y, ϕ, ω ) a( ϕ) ( (2) g(μ) = β 0 + β X + + β k X k = η La foncton a est une foncton non nulle défne sur les réels La foncton b est une foncton défne sur les réels et deux fos dérvable La foncton c est une foncton défne sur R² θ est un paramètre réel appelé paramètre canonque ou paramètre de la moyenne ϕ est un paramètre réel appelé paramètre de dsperson On a μ = E Y ) = b'( θ ) et on peut donc exprmer θ en foncton de β 0 + β X + + β k X k : ( θ = ( b') E( Y ) = g ( E( Y )) = T ( E( Y )) ( β + β X 0 +... + β X k k ) 0 Et donc, (3) {,..., k}, θ = T ( E( Y )) = ( T g )( β + β X +... + β X ) k k Le paramètre de dsperson ϕ est supposé connu. Dans le cas contrare, l est estmé. Les paramètres β 0, β,, β k (et éventuellement ϕ) sont estmés par la méthode du maxmum de vrasemblance en remplaçant dans la vrasemblance (), θ,, θ n par leur expresson donnée dans (3). 5
La prédcton de l observaton Y est défne comme l estmateur du maxmum de vrasemblance E(Y ) : ˆ Y ( ˆ ˆ... ˆ = g β 0 + βx + + βk X k ) = On montre que Var( Y ) = ϕ b''( θ ) = ϕ b''([ b' ( μ)] ϕv ( μ) Cette foncton V, qu est donc égale à V ( μ) = b"( θ ) = b"([ b' ( )]) est appelée foncton varance de la dstrbuton. μ Lo de Posson sur-dspersée et lo Bnomale Négatve: Ces 2 los n appartennent pas à la famlle des los exponentelles car elles dépendent d un paramètre de dsperson aléatore, elles ne devraent donc pas être possbles dans le cadre d une modélsaton GLM. Famlle exponentelle des los de Posson : Cette famlle est consttuée de los de probabltés p, de support égal à N, assocée chacune de manère njectve à un paramètre canonque θ R par la relaton : p( x, θ ) = exp( xθ e x! θ ) On a λ = exp( θ ) = + x= 0 xp( x, θ ) et λ = + x= 0 ( x λ) 2 p( x, θ ) L égalté entre la moyenne et la varance d une lo de Posson exprmée par les expressons c-dessus caractérse la famlle des los de Posson parm les famlles exponentelles de los de probabltés. Lorsque le modèle possonnen n est pas appropré, l est courant de chercher des famlles alternatves de los de probabltés en se fondant sur la poston du rapport φ = varance relatvement à : moyenne - lorsque ce rapport est sgnfcatvement supéreur à, la stuaton est qualfée de sur-dsperson - s par contre ce rapport est nféreur à, on est en stuaton de sous-dsperson On a souvent recours à la lo bnomale négatve comme alternatve à la lo de Posson lorsqu l s avère que la varablté observée dans les données est sgnfcatvement supéreure à celle que prévot le modèle possonnen. Prse en compte de ces los dans les modèles GLM : r La lo Bnomale Négatve BN (, r ) à deux paramètres r et μ n'appartent pas au type exponentel des r + μ GLM. r x Γ( r + x) r μ On a en effet P( X = x) = Γ( r) x! r+ x ( r + μ) que l on peut écrre μ μ P( X = x) = exp xln + r ln + c( x, r) r + μ r + μ Cependant s r est donné, on récupère une dstrbuton de type exponentel avec 2 μ μ θ = ln, ϕ =, E( X ) = μ, V ( μ) = μ + r + μ r 6
Remarque : ce paramètre r est égal à /k, k étant le paramètre de «dsperson» de la lo bnomale négatve, fourn par SAS dans la procédure Genmod. Malgré son nom, l faut toutefos prendre garde au fat que ce paramètre k ne correspond pas au paramètre ϕ de dsperson d un modèle GLM. En effet, ce paramètre ϕ pour une bnomale négatve est égal à. Ce paramètre r (ou k) est donc un paramètre addtonnel dont la valeur dot être fxée ou estmée par maxmum de vrasemblance. De la même façon, dans le cas d une lo de Posson sur-dspersée, le domane de varaton de X dépendant de φ, cette dstrbuton n est pas du type exponentel. Mas, en le fxant, on récupère une dstrbuton de type exponentel. Ce paramètre φ n apparassant pas dans la foncton de densté, on ne peut l estmer par la méthode du maxmum de vrasemblance. On travallera alors sur des modèles de quas-vrasemblance. Foncton de len canonque et foncton varance: Les fonctons de len classques sont les suvantes : Foncton dentté Foncton logarthme Foncton nverse Foncton Logt Foncton Probt g(z) = z g(z) = Log (z) g(z) = / z g(z) = Log ( z / (-z)) g(z) = Φ(z) Où Φ désgne la foncton de répartton de la lo normale N(0,). Lorsque la foncton de len utlsée est la foncton dentté, on parle de modèle addtf. Lorsque la foncton de len utlsée est la foncton logarthme, on parle de modèle multplcatf. A toute lo de probablté de la composante aléatore est assocée une foncton spécfque de l espérance appelée paramètre canonque : θ = g c (μ ) = η. La foncton de len qu utlse le paramètre canonque dans la famlle des modèles lnéares généralsés est appelée la foncton de len canonque, elle correspond donc à la foncton T (égale à la foncton nverse de b ) décrte auparavant. En pratque, dans de nombreux cas les modèles lnéares généralsés sont construts en utlsant la foncton de len canonque. Dstrbuton Foncton de len canonque g(μ) Foncton Varance V(μ) Normale N(μ,σ²) μ Posson P(μ) Log μ μ Gamma G(μ,ν) - / μ μ² Bnomale Négatve Log ( kμ / (+ kμ) ) μ+kμ² 7
Résdus du modèle: Ils sont de 3 types : () les résdus lgnes : c est la noton classque des résdus c est-à-dre la dfférence entre valeur observée et valeur estmée r = y μˆ La valeur de E(r ) dot être proche de 0 car les μˆ sont des estmateurs asymptotquement sans bas de μ. Graphquement, les nuages de ponts de r foncton de, p ou Y dovent se répartr autour de l axe des abscsses. (2) les résdus de Pearson : qu sont en fat les résdus lgnes «standardsés» rp = y ˆ μ V ( ˆ μ ) La valeur de E( ) dot elle auss être proche de 0, les nuages de ponts de r p forme cylndrque. rp devant de plus avor une (3) et enfn les résdus de la dévance : = d sgne y ˆ μ ) où d représente la contrbuton de l observaton à la dévance D rd ( Rappel : défnton de la dévance normalsée On note b l estmaton du maxmum de vrasemblance de β. On note b max l estmaton des paramètres β du modèle saturé (c est à dre le modèle ayant la même lo de probablté et la même foncton de len mas contenant autant de paramètres que d observatons) alors la dévance normalsée D * * compare le logarthme de la vrasemblance de ces 2 modèles : D = [ l( b; y) l( b ; y) ] La dévance D s exprme alors comme * D = ϕ D 2 max Remarque : s ϕ est nconnu, D * n est pas une statstque. Dstrbuton ϕ Dévance Normale σ² ( μ ) Bnomale Négatve 2 y y + / k y log( y / μ ) ( y + / k) log μ + / k Posson 2 [ y log( y / μ ) ( y μ )] Gamma / ν 2 log( y 2 y / μ ) + μ μ 8
Adéquaton du modèle: On utlse couramment deux statstques pour détermner l adéquaton du modèle aux données : - la dévance normalsée (scaled devance) D * défne c-dessus. Lorsque le modèle étudé est exact, on consdère que D * sut approxmatvement une lo du ch-deux à n-k degrés de lberté. Selon Nelder et Mac Cullagh, cette approxmaton n est pas justfée dans le cas général. Par contre son résultat est exact dans le cas normal. 2 - la statstque du Ch-deux de Pearson : χ = y ˆ μ ) / V ( ˆ μ ). De même que pour la dévance, s le ( 2 modèle est exact, cette statstque est dstrbuée approxmatvement selon une lo du Ch-deux à n-k degrés de lberté. Lorsque le paramètre de dsperson ϕ est nconnu, on peut utlser ces statstques pour l estmer, on a ans : A partr de la dévance : ϕˆ = D n K χ A partr du Ch-deux de Pearson : ˆ ϕ = n K 2 Remarques : Dans les cas de los bnomale ou de Posson, pour lesquelles ce paramètre ϕ est supposé égal à, s la dévance normalsée ou le Ch-deux de Pearson normalsé sont nettement supéreurs à, on parle de sur-dsperson. Dans ce cas, on modfe la foncton V(μ) en la multplant par ϕ. La sur-dsperson n ntervent pas au nveau de l estmaton de β. La matrce de varance-covarance est quant à elle multplée par ϕ, alors que la dévance normalsée et la log-vrasemblance sont dvsées par ϕ. Le modèle est d autant meux ajusté aux données que ces ndcateurs, D et χ 2, prennent de fables valeurs. Cependant ces statstques ne permettent la comparason drecte de modèles que s ls sont ssus d une même composante aléatore (mêmes fonctons varance V et, éventuellement, ϕ). Nelder a alors ntrodut la noton de quas-vrasemblance étendue q + de modèles GLM, afn de permettre une totale comparason j + j n + j n [ 2π V ( x ] + 2q ( x, μ ) = d + ln ϕ j ) ϕ Avec xj xj u D = d j la quas-dévance et dj = 2 du μ V ( u) + j n j La statstque q +, à maxmser, permet de comparer des modèles à structures (V, ϕ, g) dfférentes. Remarque : Il est équvalent de mnmser 2q +. 9
Estmaton de la moyenne: On a μ = E( Y ) = g ( xβ ) ' Pour obtenr l ntervalle de confance de μ, on utlsera l ntervalle de confance de x β : la varance de x β étant estmée par x J - x (où J désgne la matrce d nformaton), l ntervalle de confance de μ d ordre -α est donné par la formule : ' ' g x ± z x J x α 2 avec z = le fractle d ordre -α/2 d une lo normale rédute. α 2 Estmaton de la varance: ' On a V ( Y ) = ϕ b"[ b ( μ )] = ϕv ( μ ) Et μ = g ( η ) L expresson de la varance des provsons estmées par exercce de survenance s écrt : V n n n [ Eˆ( R )] = V ( ˆ μ j ) + cov ( ˆ μj, ˆ μ ) pour j j2 j2 j= n + j= n + j2= n + Et celle des provsons estmées totales : V [ ˆ n n n n n n E( R) ] = V ( ˆ μ j ) + cov ( ˆ μj, ˆ μ ) pour j2 2 = j= n + = 2= j= n + j2 = n2 2+ Le calcul de V ˆ μ ) ans que des covarances Cov( ˆ μ, ˆ μ ) est complexe à obtenr. ( j j 2 j2 Par le bas de la méthode Delta, nous pouvons par contre obtenr des expressons asymptotques : Vas( ˆ μ) = ' 2 2 [( g ) ( η) ] σ as ( ˆ η) 2 Avec as ˆ 2 σ ( η) = σ as ( ˆ β) + cov ˆ ˆ as( β, β j ) j Remarque : Nous nous lmterons volontarement à la varance des μˆ j, qu nous sera ndspensable dans la sute de notre étude. Un autre moyen d estmer cette varance est d utlser la technque du Bootstrap. 20
II. DEPENDANCE ENTRE BRANCHES. II. Corrélaton a] Notons de corrélaton Corrélaton et dépendance Par abus de langage, on parle souvent de corrélaton en leu et place de dépendance. La corrélaton (souvent appelée corrélaton lnéare), permet de rendre compte d une dépendance exstant entre 2 varables lnéarement lées. La dépendance englobe ce type de lason, mas auss les lasons non lnéares. Ce mémore a pour but de quantfer et comparer dfférentes méthodes de prse en compte de la dépendance sur le nveau de provsonnement et sa varablté. Il faut donc entendre, dans le ttre «Provsonnement et corrélaton entre branches» non pas l étude d une smple corrélaton lnéare, mas celle de la dépendance. Cet abus de langage, pratqué par un certan nombre de personnes y comprs les pratcens, est de plus entretenue par les défntons qu en sont données dans de nombreux ouvrages. Défnton générale «La corrélaton est la dépendance récproque de deux phénomènes qu varent smultanément, qu sont foncton l un de l autre ou qu manfestent un len de cause à effet.» Il faut toutefos prendre garde de ne pas confondre corrélaton et causalté. Ans, deux éléments peuvent être corrélés car nfluencés par un trosème élément sans présenter pour autant un len de cause à effet entre eux. De plus, comme précsé dans le paragraphe précédent, la non-corrélaton n est pas nécessarement l ndépendance. Un exemple classque de dépendance pour lequel le coeffcent de corrélaton lnéare est nul sera donné ultéreurement lorsque nous traterons du coeffcent de corrélaton lnéare de Pearson. L ndépendance entre 2 varables X et Y se caractérse par l équaton suvante : F X,Y (x,y) = F X (x). F Y (y) qu sgnfe que la foncton de répartton jonte est égale au produt des fonctons de répartton margnales. En statstque En statstque, le coeffcent de corrélaton est un ndce mesurant le degré de lason entre deux varables. On dt qu l y a corrélaton entre deux varables X et Y s l y a dépendance en moyenne : A X=x fxé, la moyenne E(Y) est foncton de x. Lorsque la lason exstant entre X et Y est lnéare, on se trouve dans le cas de la corrélaton lnéare. Lorsque l on étude la corrélaton exstant entre varables numérques, le coeffcent le plus utlsé est le coeffcent de corrélaton lnéare dt de «Bravas-Pearson» qu mesure le caractère plus ou mons lnéare de la lason. Lorsque l on étude la lason entre varables ordnales, on étude la corrélaton des rangs par le bas des coeffcents de Spearman et de Kendall. 2
b] Coeffcents de corrélaton coeffcent de Danels S l on consdère, pour toute pare d observatons et j, deux ndces a j et b j assocé respectvement à X et à Y, le coeffcent de Danels s exprme comme : ajbj 2 2 ( aj )( bj ) Ce coeffcent vare entre et : les valeurs négatves ndquant une corrélaton négatve (X et Y varent en sens nverse) et les valeurs postves une corrélaton postve (X et Y varent dans le même sens), et s ce coeffcent est égal à 0, X et Y sont non-corrélées (mas pas forcément ndépendantes). coeffcent de corrélaton lnéare (de Pearson) Le coeffcent de corrélaton lnéare ρ (X,Y) entre deux varables aléatores X et Y est : ρ( X, Y ) = Cov( X, Y ) Var( X ) Var( Y ) Il correspond au coeffcent de Danels dans le cas où a j = x x j et b j = y y j. Ce coeffcent est très sensble aux valeurs extrêmes. Voc l exemple classque où le coeffcent de corrélaton est nul mas X et Y sont dépendantes : X Nor(0,) et Y=X². Les 2 coeffcents suvants, basés sur la corrélaton des rangs, sont en fat des coeffcents de dépendance monotone et contrarement au coeffcent de Pearson, ls sont robustes car non-sensbles aux valeurs extrêmes. Coeffcent de corrélaton de Kendall Le τ de Kendall entre 2 varables aléatores X et Y est : τ(x,y) = P[ (X-X )(Y-Y ) >0 ] - P[ (X-X )(Y-Y ) <0 ]c où (X,Y ) est un vecteur aléatore dentque à (X,Y) P[ (X-X )(Y-Y ) >0 ] est la probablté de concordance (probablté que X et Y vare dans le même sens) P[ (X-X )(Y-Y ) <0 ] est la probablté de dscordance (probablté que X et Y vare en sens contrare) Il correspond au coeffcent de Danels dans le cas où a j = sgne de (x x j ) et b j = sgne de (y y j ) : aj = x x j x x j et bj = y y j y y j 22
Coeffcent de corrélaton de Spearman Le ρ s de Spearman entre 2 varables aléatores X et Y est : ρ s = 3 ( P[ (X-X )(Y-Y*)>0 ] - P[ (X-X )(Y-Y*)<0 ] )c où (X,Y ) et (X*,Y*) sont des vecteurs aléatores dentques à (X,Y) On peut auss l exprmer comme ρ s = ρ ( F X (X), F Y (Y) )c Il est donc égal au coeffcent de corrélaton lnéare de Pearson applqué aux fonctons de répartton de X et Y. Il correspond au coeffcent de Danels dans le cas où a j = r r j et b j = s s j où r et s sont les rangs de classement selon X et Y. c] Notons de dépendance Dépendance Postve (resp. Négatve) par Quadrant : On dt que X=(X,X 2 ) de foncton de répartton F X est Dépendante Postvement par Quadrant (DPQ) lorsque F X ( x x x2) F ( x ). F2 ( x2) pour tout x, 2 R On a alors Pr [ X 2 x 2 X x ] Pr [X 2 x 2 ] et ρ (X,X 2 ) 0, ρ s (X,X 2 ) 0 et τ (X,X 2 ) 0. Remarque : s X et Y sont DPQ, alors cov(x,y) 0. On dt que X=(X,X 2 ) de foncton de répartton F X est Dépendante Négatvement par Quadrant (DNQ) lorsque F X ( x x2) F ( x ). F2 ( x2) pour tout x, x2 R Dépendance Parfate : On parle de dépendance parfate lorsque deux rsques peuvent s écrre comme des fonctons crossantes ou décrossantes d une même varable aléatore sous-jacente. La comonotone est le cas de Dépendance Totale Postve : On dt que X=(X,X 2 ) de foncton de répartton F X est Comonotone s g et g 2 des fonctons non décrossantes et Z une varable aléatore telles que X = lo (g (Z),g 2 (Z)). On a alors ρ s (X,X 2 ) = et τ (X,X 2 ) =. L antmonotone est le cas de Dépendance Totale Négatve : On dt que X=(X,X 2 ) de foncton de répartton F X est Antmonotone s g une foncton non-décrossante, g 2 une foncton non-crossante et Z une varable aléatore telles que X = lo (g (Z),g 2 (Z)). On a alors ρ s (X,X 2 ) = - et τ (X,X 2 ) = -. 23
Dépendance de queue : Introdusons la noton de mesures de dépendance quantle-quantle : λ ( ) = Pr > ( ) > ( ) U α X 2 F2 α X F α et λ = < < L ( α ) Pr X 2 F2 ( α ) X F ( α ) Alors, on parle de Upper Tal Dependence quand λ = lm λ ( α) > 0. Il s agt de la probablté que X 2 sot U U α extrême sachant que X est extrême, ce qu justfe son appellaton de dépendance dans les valeurs extrêmes. Et on parle de Lower Tal Dependence quand λ = lm λ ( α) > 0. Il s agt alors de la probablté que X 2 sot L + α 0 pett sachant que X est pett, ce qu justfe c son appellaton de dépendance dans les valeurs pettes. L d] Approches retenues Une fos la dépendance étable entre varables, le problème sera de détermner l nfluence de cette dépendance dans les calculs effectués. Tradtonnellement, 2 approches exstent pour prendre en compte cette dépendance : L approche Top-down : C est l approche standard, elle consste en la donnée drecte de la lo jonte F X,Y : l s agt donc de la constructon de modèles bvarés Top F X,Y Lo jonte Down F X F Y Structure de dépendance L approche Bottom-up: Dans cette approche, on part des margnales et de la structure de dépendance pour obtenr la lo bvarée : Up F X,Y Lo jonte Bottom F X F Y Structure de dépendance Partant des mêmes éléments de départ (données et hypothèses), nous avons décdé de mettre en œuvre tros technques pour prendre en compte la dépendance : - la premère consstera à utlser la technque du Bootstrap, pour laquelle la connassance de la foncton de dstrbuton conjonte et de la corrélaton exstante n est pas utle - la seconde se placera dans le cadre du modèle à chocs communs (approche Top-Down) - la trosème utlsera le concept de copule (approche Bottom-Up) Nous comparerons ensute les résultats obtenus selon ces tros technques, notamment en terme de Value-at- Rsk. 24
II.2 Bootstrap a] Idée fondatrce On cherche à trouver des technques permettant d obtenr des notons de varance afn de détermner des ntervalles de confance dès que la théore ne s applque pas. La technque du Bootstrap, dont l dée est due à Efron, est une méthode de ré-échantllonnage utlsée pour estmer, de manère robuste, la varablté d un paramètre. Elle consste à effectuer n trages avec remses au sen d un même échantllon de n valeurs. On parvent ans à smuler la varablté du phénomène dans le but d approcher les los des caractérstques lées à l échantllon. L dée est que s n est grand, la dstrbuton emprque sera une bonne approxmaton de la lo suve. On substtue donc à des calculs complexes l'usage du prncpe de substtuton et de smulatons de Monte-Carlo à partr de l'échantllon orgnel. Ans, s on a un n-échantllon..d (Y,, Y n ) d une varable aléatore Y de foncton de répartton F, et y = (y,, y n ) une réalsaton. Sot π (F) un paramètre d ntérêt. On recherche alors la dstrbuton de π (F). S F est nconnue ou trop complexe, on smulera, par la technque du Bootstrap, une dstrbuton proche de F et on utlsera alors la foncton de répartton des valeurs observées : F n F b] Méthode du Bootstrap Prncpe de substtuton S on note : F la foncton de répartton nconnue, F n la foncton de répartton emprque de l échantllon, π (F) le paramètre que l on cherche à estmer et T n un estmateur de ce paramètre, alors les espérance et varance de cet estmateur ont pour expresson : E( T ) = n V ( T ) = n... T ( y,..., y ) df( y )... df( y... [ T ( y,..., ) ( ) ] yn E Tn n 2 n ) df( y )... df( y n ) On utlse alors le théorème de Glvenko, qu énonce que la foncton de répartton emprque d un échantllon d converge unformément vers la foncton de répartton de ce même échantllon. On remplace donc F par F n. Ce qu nous condut aux expressons des estmateurs de E(T n ) et V(T n ) appelés Espérance Bootstrap et Varance Bootstrap de T n : E V Boot Boot ( T ) = n ( T ) = n... T ( y,..., y n ) df ( y )... df ( y... [ T ( y,..., ) ( ) ] yn EBoot Tn n n 2 n ) df ( y )... df ( y n n n L expresson de la varance Bootstrap étant ben souvent trop complexe à décrre de manère analytque, on la détermne en ayant recours aux méthodes de Monte-Carlo. ) 25
Smulaton de Monte-Carlo On tre B échantllons ndépendants de F n. b Pour chaque b=,,b, on obtent T n * une valeur Bootstrap de T n. La varance emprque obtenue s exprme alors par V B ( B) * b * 2 * Boot = ( Tn Tn ) où Tn B b= = B B b= T * b n Et d après la lo des grands nombres, V P ( B) Boot V B + Boot ( B) * b * b On approxmera ensute MSE(T n ) par MSEBoot = [ T ( Y,..., Yn ) π ( Fn )] B 2 Dans le cadre de cette étude, le Bootstrap va nous ader à estmer la varance dans nos modèles. Nous connassons en effet déjà les los margnales suves car nous allons partr des modélsatons GLM effectuées auparavant. Nous avons vu lors de ces modélsatons que la varance état dffcle à calculer et nous avons déjà évoqué à ce moment-là l usage du Bootstrap pour en avor une estmaton de manère asée. c] Smulaton de Monte-Carlo Les méthodes de Monte-Carlo vsent à smuler une varable aléatore n fos de façon ndépendante afn de détermner les paramètres d un modèle dont le calcul explcte serat trop complexe, elles consstent donc en une approxmaton numérque de ces calculs. Elles peuvent servr pour : - le calcul d ntégrale ou d espérance de varable aléatore - la résoluton d équaton aux dérvées partelles - la résoluton de système lnéare - la résoluton de problème d optmsaton Elles reposent sur la lo forte des grands nombres : Sot X,, une sute de varables aléatores ndépendantes suvant toutes la même lo que X, avec E ( X ) < + Alors pour ω une réalsaton de X, E ( X ) = lm + n + n ( X ( ω) +... X ( ω) ) n 2 S de plus E ( X ) < + alors, d après le Théorème Central-Lmt, on a n 2 E( X ) ( E( X )) ε n Normale(0,) 2 lo X +... + X n avec ε n = E( X ) l erreur n 26
Méthode d nverson (ou de la foncton de répartton): Sot X une varable aléatore réelle et F(x) sa foncton de répartton : F(x) = P [ X x ], F est donc une foncton crossante et contnue à drote. On défnt la foncton pseudo-nverse de F sur [0,] par F - (u) = nf {y R, F(y) u} Par défnton {F - (u) x} {u F(x)} De plus, on sat que s U sut une lo unforme sur [0,], la varable F - (U) sut une lo de foncton de répartton F. Donc P [ F - (U) x ] = P [ U F(x) ] = F(x) = P [ X x ] et par-là même F - (U) et X ont même lo car même foncton de répartton. D où la méthode de smulaton de X : (s F - (u) s exprme de façon explcte) - on calcule F - - on smule (U,, U n ) un échantllon de varables de lo unforme sur [0,] - ( F - (U ),, F - (U n ) ) donne un échantllon selon la lo de X Méthode de rejet : On veut smuler une varable aléatore de lo de densté f. On sat smuler une varable aléatore de lo de densté g avec f(x) k g(x) où k est une constante réelle. f ( x) On appelle α ( x ) =. k g( x) Alors, s X est une varable aléatore de densté g et U une lo unforme sur [0,] ndépendante de X, la lo condtonnelle de X sachant U < α (x) a pour densté f. La méthode de rejet de Von Neumann consste alors : - à smuler une sute (Y, ) de varables aléatores..d de lo de densté g - à smuler une sute (U, ) de varables aléatores..d de lo unforme sur [0,] ndépendantes des (Y, ) - à trer Y selon la lo de densté g jusqu à ce que U p α (Y p ), alors X = Y p. p est alors le nombre d essas nécessares pour obtenr la condton d acceptaton de la valeur de Y, et on peut n= écrre X sous la forme X = Y n { p= n} La probablté d acceptaton de Y est de k, on a donc ntérêt à prendre la plus pette valeur possble de k, pour que cette probablté d acceptaton sot la plus grande possble. Ce sera notamment le cas lorsque les courbes de f et de kg sont tangentes. 27
d] Dans le cadre d un modèle lnéare Il exste deux approches alternatves pour pratquer le Bootstrap dans le cadre d un modèle lnéare : le Bootstrap sur les observatons (Data resamplng) le Bootstrap sur les résdus (Resdual resamplng) En effet, dans la théore, le Bootstrap dot s applquer sur des données ndépendantes, dentquement dstrbuées (d). Or dans le cadre de modèles lnéares, les données sont ndépendantes mas non dentquement dstrbuées. Il est alors préférable de travaller sur les résdus. Pratquer un Bootstrap sur les observatons ou sur les résdus n est pas équvalent pour les petts échantllons mas l est asymptotquement. L nconvénent est que le Bootstrap sur les résdus nécesste une modélsaton, et que ce modèle sot appropré. De plus, les varables explcatves dovent être certanes et les résdus d. En revanche, l avantage de cette méthode est de conserver l nformaton des varables explcatves. Le problème est alors de détermner sur quels résdus pratquer le Bootstrap. e] Prse en compte de la corrélaton dans le Bootstrap ère approche possble : Ne connassant pas la corrélaton exstant entre deux rsques, une technque de prse en compte de cette corrélaton dans le cadre du Bootstrap serat de retenr, pour une même smulaton b, sur le rsque B le paramètre de varablté ayant même année de survenance et même année de développement que celu tré aléatorement pour le rsque A. Ans, par exemple : Rsque A : (A,A) (A,2A) (A,3A) (2A,A) (2A,2A) (3A,A) Ré échantllonnage aléatore (2A,2A) (3A,A) (A,A) (A,3A) (2A,A) (A,2A) Rsque B : Rééch. aléatore non corrélé Rééch. aléatore corrélé (B,B) (B,2B) (B,3B) (2B,B) (2B,2B) (3B,B) (3B,B) (B,2B) (2B,B) (2B,2B) (B,B) (B,3B) (2B,2B) (3B,B) (B,B) (B,3B) (2B,B) (B,2B) 2 ème approche possble : Cette approche, nsprée des travaux de Krschner, suggère une méthode en 2 étapes pour ntégrer la corrélaton dans le calcul des réserves. Cette procédure consste d une part en la génératon de N smulatons des réserves à estmer (va la technque du Bootstrap par exemple) et d autre part à la prse en compte d une matrce de corrélaton de rangs. 28