Classes de première générale et technologique STATISTIQUES ET PROBABILITÉS

Classes de première géérale et techologique STATISTIQUES ET PROBABILITÉS

Sommaire I. Itroductio...4 II. Statistique descriptive, aalyse de doées...4 III. Variables aléatoires discrètes...6 IV. Utilisatio des arbres podérés...8 A Exemple d expériece aléatoire à deux épreuves... 8 B Justificatio de l arbre des probabilités... 0 C Gééralisatio et exploitatio e Première... V. Loi géométrique troquée...3 A Étude de la loi géométrique troquée... 3 Approche de la loi géométrique troquée... 3 Défiitio de la loi géométrique troquée... 4 Expressio de la loi géométrique troquée... 4 Algorithme de simulatio... 4 Représetatio graphique... 6 Espérace de la loi géométrique troquée... 7 B Exemples d activités... 8 Limitatio des aissaces... 8 Le paradoxe de Sait-Pétersbourg... 0 VI. Loi biomiale... A Défiitios... Approche de la loi biomiale... Défiitio de la loi biomiale... 3 Coefficiets biomiaux... 4 B Propriétés... 5 Expressio de la loi biomiale... 5 Propriétés des coefficiets biomiaux... 5 Représetatio graphique... 6 Espérace et écart-type... 7 C Exemples d activités... 9 Avec la loi de probabilité... 9 Avec l espérace mathématique... 30 VII. Échatilloage et prise de décisio...3 A Itervalle de fluctuatio avec la loi biomiale... 3 B Aspect gééral de la prise de décisio avec la loi biomiale... 33 C Détermiatio de l itervalle de fluctuatio à l aide d u algorithme... 33 D Exemples d activités... 35 E Lie avec l itervalle de fluctuatio exploité e classe de Secode... 38 Aexe...40 Couple d idicateurs et problèmes de miimisatio... 40 Aexe...4 Loi faible des grads ombres... 4 Aexe 3...43 Espérace de la loi géométrique troquée : approches expérimetales... 43 /63

Aexe 4...45 Loi géométrique... 45 Aexe 5...47 Quelques outils de calcul avec la loi biomiale... 47 Aexe 6...50 Coefficiets biomiaux et quadrillage... 50 Aexe 7...55 Complémets sur la prise de décisio... 55 A L affaire Wobur... 55 B Radioactivité ou bruit de fod?... 60 C Cartes de cotrôle... 6 3/63

I. Itroductio La place des probabilités et des statistiques das l eseigemet des mathématiques e collège et e lycée s est cosidérablemet accrue depuis ces derières aées. Pour les élèves etrat e classe de première, l appretissage des probabilités débute désormais dès la classe de troisième. Au collège, l objectif de cet eseigemet est de développer ue réflexio sur l aléatoire e gééral et de sesibiliser les élèves au fait que les situatios aléatoires peuvet faire l objet d u traitemet mathématique. U vocabulaire spécifique est itroduit et quelques règles du calcul des probabilités sot mises e place. La Secode est l occasio pour l élève d approfodir la formalisatio de ces otios e dégageat otammet la otio de modèle probabiliste, et d être sesibilisé, à travers des situatios de prise de décisio ou d estimatio d ue proportio, aux premiers élémets de statistique iféretielle comme la otio d itervalle de fluctuatio et celle d itervalle de cofiace, itroduites sous des coditios de validité qui les redet rapidemet opératioelles. Avec la otio de variable aléatoire et la découverte de la loi biomiale, le programme de Première fourit les outils mathématiques qui permettet, e preat appui sur la réflexio iitiée e Secode autour de la prise de décisio, de costruire u itervalle de fluctuatio et d établir ue démarche de prise de décisio valables e toute gééralité pour ue proportio et ue taille d échatillo quelcoques. Ce thème se prête e particulier à la mise e œuvre d algorithmes et de raisoemets logiques et, au-delà, à ue adaptatio de ces raisoemets au domaie de l aléatoire et de l icertai. E Termiale, la problématique de prise de décisio sera travaillée à ouveau, et la réflexio iitiée e Secode sur l estimatio sera approfodie avec l itroductio d outils mathématiques supplémetaires. Das ce documet ressource, le professeur trouvera des complémets théoriques et u esemble de situatios développées das le cadre du programme officiel. L accet est surtout mis sur les otios ouvelles par rapport aux précédets programmes de Première : répétitio d expérieces idetiques et idépedates, loi géométrique troquée, loi biomiale, échatilloage et prise de décisio avec la loi biomiale. Les exemples d applicatio ot été choisis pour motrer la variété, la richesse et l actualité des applicatios possibles des probabilités et de la statistique. Ils e prétedet pas à l exhaustivité et e sot pas coçus comme des activités pédagogiques «clé e mai», tout comme le pla adopté pour les exposer e se veut pas ue progressio pédagogique. Ces situatios viset plutôt à ouvrir des pistes de travail susceptibles d être exploitées par le professeur ; c est pourquoi elles sot traitées de faço suffisammet détaillée afi de permettre au professeur de s e ispirer pour élaborer, à partir de la coaissace de sa classe et de sa pratique professioelle, des activités pédagogiques ajustées au iveau de ses élèves. Efi les poits présetés das les aexes du documet e sot pas des attedus du programme. Ils doivet être cosidérés comme des complémets d iformatio à l attetio du professeur sur les otios itroduites. Ils permettet de mieux situer le cadre mathématique plus gééral das lequel s iscrivet les otios au programme. II. Statistique descriptive, aalyse de doées L étude et la comparaiso de séries statistiques meées e classe de secode se poursuivet avec la mise e place de ouveaux outils. Das u premier temps, les caractéristiques de dispersio (variace, écart-type) sot détermiées à l aide de la calculatrice ou d u tableur. Afi d utiliser de faço appropriée les deux couples d idicateurs usuels (moyee/écart-type et médiae/écart iterquartile) qui permettet de résumer ue série statistique, il semble utile de rappeler le lie etre ces couples (positio/dispersio) et u problème de miimisatio (voir aexe ). Il coviet aussi de rappeler que l utilisateur d u outil statistique doit predre e compte la situatio réelle et les objectifs visés pour effectuer le choix des idicateurs de faço pertiete. Les exemples de séries statistiques amèet à utiliser l u des deux couples à otre dispositio. Ils suscitet ue réflexio sur le choix d u résumé statistique. Das les exemples proposés e classe, il est importat de faire remarquer que deux séries de même écart-type (et de même moyee et médiae) peuvet avoir ue 4/63

0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 0 bb(000 b ; 0,03) et b( bb 000 ; 0,05) 0 5 0 5 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 distributio très différete. C est alors l occasio de rappeler l itérêt d u graphique, qui peut être plus «parlat» qu u simple résumé umérique. Il existe pas de règle (au ses mathématique) qui idiquerait quel type d idicateur statistique utiliser par rapport à ue situatio doée. Le choix des idicateurs déped de ce qu o veut e faire et de la réalité de la situatio. O peut juste proposer quelques remarques qui coduiset à privilégier tel couple plus que tel autre. Le couple (médiae, écart iterquartile), sas apporter les mêmes reseigemets que le couple (moyee, écart-type), est peu sesible aux valeurs extrêmes. Das de ombreux domaies il est privilégié et souvet associé à ue représetatio graphique e boîte à moustaches. De maière géérale, la moyee arithmétique est peu sigificative quad l ifluece des valeurs extrêmes est trop forte. Quat à la médiae, elle e se prête pas aux calculs algébriques, c est pourquoi, das le cas où la série statistique est formée de divers sous-esembles homogèes, o lui préfère la moyee. Le diagramme e boîte (ou boîte à moustaches) est ue représetatio graphique qui permet d avoir ue boe visio d ue série statistique. E effet, beaucoup d iformatios sot dispoibles sur ce diagramme (médiae, écart iterquartile et valeurs extrêmes), ce qui e fait u très bo outil pour comparer deux séries statistiques. Il faut oter qu il existe pas de défiitio commue (au ses mathématiques du terme) du diagramme e boîte, mais il semble assez répadu d utiliser les covetios suivates : la «boîte» est u rectagle limité par le premier et le troisième quartile où figure la médiae ; les «moustaches» e revache peuvet s achever aux valeurs extrêmes (le miimum et le maximum de la série) ou aux premier et euvième déciles. D autres covetios sot quelquefois utilisées. O obtiet alors u diagramme comme suit : x mi Q Me Q 3 5 % 50 % 75 % Au-delà de la réalisatio d u diagramme e boîte, il est surtout importat de savoir iterpréter et d utiliser ces diagrammes pour des comparaisos pertietes de deux séries statistiques. Défiitio du décile D k : pour k de l à 9, le k e décile oté D k est la plus petite valeur d ue série statistique telle qu au mois (k 0) % des valeurs de la série sot iférieures ou égales à D k. 5/63

III. Variables aléatoires discrètes Afi d iterpréter l espérace comme la valeur moyee das le cas d u grad ombre de répétitios, o cosidère l expériece aléatoire cosistat à lacer u dé supposé équilibré à six faces et à oter le uméro observé. O cosidère esuite la variable aléatoire discrète otée X qui pred la valeur si o observe, la valeur si o observe, 3 ou 4 et efi la valeur 4 si o observe 5 ou 6. So espérace est E( X ) = P( X = ) + P( X = ) + 4 P( X = 4) = / 6 + (/ 6 + / 6 + / 6) + 4 (/ 6 + / 6) = 5 / 6, soit E ( X ) =, 5. À l aide d ue simulatio, o répète u grad ombre de fois cette expériece aléatoire à l idetique et o peut aisi observer u grad ombre de réalisatios de la variable aléatoire X. Le graphique suivat motre l évolutio de la moyee observée e foctio du ombre de répétitios. 3,40 Moyee observée et espérace de X 3,0 3,00,80,60,40,0,00,80 0 00 400 600 800 000 Valeur de O remarque que les moyees observées se stabiliset autour de l espérace mathématique de la variable aléatoire X. O peut aussi représeter l évolutio de la variace des observatios et remarquer que lorsque le ombre de lacers augmete, la variace observée se stabilise vers la variace de la variable aléatoire X qui vaut,5. 6/63

,80 Variace observée et variace de X,60,40,0,00 0,80 0,60 0 00 400 600 800 000 Valeur de Ces observatios costituet ue approche heuristique de la loi des grads ombres. Celle-ci permet de justifier le phéomèe de stabilisatio des fréqueces autour de la probabilité d u évéemet. Plus gééralemet, o se place das u modèle probabiliste ; o cosidère u évéemet A de probabilité P(A) et la variable aléatoire X qui pred la valeur si o observe A et 0 sio. La variable aléatoire X suit la loi de Beroulli de paramètre p qui est égale à P(A). Ue simulatio permet d observer le phéomèe de stabilisatio de la suite des fréqueces 3 observées f de réalisatio de l évéemet A, lors de répétitios de la même expériece aléatoire, vers l espérace de X qui est égale à P(A). La simulatio qui a doé le graphique suivat a été réalisée pour u évéemet A de probabilité p=/3. 0,50 Fréquece observée et probabilité de A 0,40 0,30 0,0 0,0 0 00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 Valeur de U éocé et ue preuve de la loi faible des grads ombres sot proposés das l aexe. 3 Ces fréqueces peuvet être iterprétées comme des moyees, c est-à-dire la moyee des valeurs observées. 7/63

Aisi le phéomèe de stabilisatio (expressio du registre du lagage courat pour dire qu ue suite de réels coverge) est l illustratio de la loi des grads ombres et ce «phéomèe» est justifiable que lorsque le modèle probabiliste est doé. IV. Utilisatio des arbres podérés A Exemple d expériece aléatoire à deux épreuves O se doe : ue ure coteat quatre boules idistiguables au toucher dot trois boules bleues, otées b, b et b 3, portat respectivemet les uméros, et 3, et ue boule rouge uique, otée r. u jeu de six cartes idetiques portat chacue u chiffre e couleur : ue carte avec u chiffre e vert, ue carte avec u chiffre e rouge, ue carte avec u chiffre e bleu, ue carte avec u chiffre e vert, ue carte avec u chiffre 3 e rouge, ue carte avec u chiffre 3 e bleu. O cosidère l expériece aléatoire suivate : o prélève de faço équiprobable ue boule das l ure puis ue carte du jeu. O ote, das l ordre, la couleur de la boule extraite et le uméro iscrit sur la carte. O rappelle qu u modèle associé à cette expériece aléatoire est défii par la doée : de l esemble Ω de toutes les issues possibles de l expériece ; d ue probabilité P détermiée par ses valeurs pour chacu des évéemets élémetaires défiis par ces issues. La liste de toutes les issues possibles peut être trouvée e utilisat l arbre des possibles ci-dessous. Les issues possibles pour cette expériece aléatoires sot les couples (R,) ; (R,) ; (R,3) ; (B,) ; (B,) ; (B,3) où B désige la couleur «Bleu» et R la couleur «Rouge». R 3 (R, ) (R, ) (R, 3) B 3 (B, ) (B, ) (B, 3) Figure Ue fois les issues toutes idetifiées, il s agit de trouver la probabilité des évéemets élémetaires détermiés par chacue des issues. Il est clair que l équiprobabilité est pas ue répose possible. E effet, o a des raisos de peser que la couleur «Bleu» sera plus probable que la couleur «Rouge» et que le chiffre a plus de chaces de sortir que les autres ; e coséquece, l issue (B,) a plus de chaces de sortir que l issue (R,). Pour affecter ue probabilité à chacue des issues, ous allos cosidérer u autre modèle (qualifié par la suite de modèle itermédiaire) qui pred e compte, pour la boule extraite, sa couleur et aussi so uméro évetuel, et pour la carte, le chiffre metioé mais aussi sa couleur. O peut receser tous les résultats par l arbre représetat les issues possibles ci-après. 8/63

r b b b 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (r, ) (r, ) (r, ) (r, ) (r, 3) (r, 3) (b, ) (b, ) (b, ) (b, ) (b, 3) (b, 3) (b, ) (b, ) (b, ) (b, ) (b, 3) (b, 3) (b 3, ) (b 3, ) (b 3, ) (b 3, ) (b 3, 3) (b 3, 3) Figure O obtiet 4 6 résultats possibles. O peut les oter de la faço suivate : (r,) ; (r,) ; (r,) ; (r,) ; (r,3) ; (r,3) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b,3) ; ( b,3) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b,3) ; ( b,3) ; ( b 3,) ; ( b 3,) ; ( b 3,) ; ( b 3,) ; ( b 3,3) ; ( b 3,3). Chaque brache de l arbre représete ue issue, et compte teu des coditios du tirage équiprobable de la boule, puis du tirage équiprobable de la carte, il y a pas de raiso de peser qu ue brache de l arbre ait plus de chaces d être parcourue qu ue autre. O peut doc cosidérer que chacue des issues précédetes a la même probabilité, égale à, d être réalisée. 4 Das le modèle itermédiaire, par exemple, l évéemet «Tirer ue boule bleue puis ue carte portat le chiffre» se représete mathématiquemet par le sous-esemble des issues {( b,) ; ( b,) ; ( b,) ; 9 ( b,) ; ( b,) ; ( b,) ; ( b 3,) ; ( b 3,) ; ( b 3,)}. Par suite, la probabilité de cet évéemet sera égale à. 4 Reveat alors au premier modèle où l évéemet «Tirer ue boule bleue puis ue carte portat le chiffre 9» se représete mathématiquemet par l évéemet élémetaire {(B,)}, o predra pour la 4 probabilité d obteir l issue (B,). O peut faire de même pour les ciq autres issues : (R,) ; (R,3) ; (B,) ; (B,) ; (B,3). Ce qui coduit au tableau ci-dessous doat les probabilités affectées à chaque issue du premier modèle : ω P({ω}) (R,) (R,) (R,3) (B,) (B,) (B,3) 3 3 9 6 4 4 4 4 4 4 9/63

B Justificatio de l arbre des probabilités Si o reviet à l arbre (cf. figure ) utilisé pour trouver toutes les issues possibles du modèle itermédiaire, o costate que cet arbre est très fastidieux à dessier. Das la mesure où o e s itéresse qu à la couleur de la boule et au chiffre iscrit sur la carte, o peut alléger sa costructio, moyeat quelques covetios de lecture, pour retrouver l arbre (cf. figure ) des issues possibles du premier modèle podéré par les probabilités et justifier la règle des produits de la faço suivate : Étape Partat de l arbre de la figure, das la mesure où o e s itéresse qu à la couleur de la boule (et o à so uméro évetuel) et qu au chiffre iscrit sur la carte (et o à sa couleur) o peut coveir de représeter chaque brache de l arbre de la figure aboutissat à la même couleur de boule, par ue seule brache compreat autat de traits parallèles qu il y a de boules physiques de cette même couleur. O procède de même e représetat chaque brache de l arbre de la figure aboutissat à u même chiffre de carte, par ue seule brache compreat autat de traits parallèles qu il y a de cartes physiques avec ce même chiffre iscrit avec des couleurs différetes. O obtiet aisi l arbre plus simple de la figure 3 ci-après qui cotiet cepedat autat de braches que celui de la figure tout se rapprochat de l allure de l arbre de la figure. (R, ) R (R, ) 3 (R, 3) (B, ) B (B, ) 3 (B, 3) Figure 3 Étape O peut alors simplifier davatage l arbre de la figure 3, e représetat chaque brache par u seul trait podéré par le ombre de traits composat la brache correspodate das l arbre de la figure 3. O obtiet alors l arbre podéré de la figure 4 qui suit : (R, ) R 3 3 (R, ) (R, 3) 3 3 (B, ) 3 B 3 (B, ) 3 3 3 (B, 3) 3 Figure 4 0/63

O remarque alors que le produit des ombres recotrés le log d u chemi représetat ue issue du premier modèle est égal au ombre de chemis de l arbre de la figure qui réaliset l évéemet correspodat das le modèle itermédiaire. Aisi, pour l évéemet «Tirer ue boule bleue puis ue carte portat le chiffre», c est-à-dire (B, ), le produit 3 3 est égal au ombre de chemis das le modèle itermédiaire, soit 9. Étape 3 Cette étape cosiste à podérer chaque brache de l arbre, o plus avec le ombre de traits composat la brache correspodate das l arbre de la figure 3, mais avec le quotiet de ce ombre par le ombre total de braches d u même iveau. O obtiet aisi l arbre podéré suivat : 4 3 4 R B 6 6 6 6 3 6 3 6 3 3 (R, ) (R, ) (R, 3) (B, ) (B, ) (B, 3) = 4 6 4 3 3 = 4 6 4 = 4 6 4 3 3 = 4 6 4 3 3 9 = 4 6 4 3 6 = 4 6 4 Figure 5 O remarque alors que le produit des quotiets affectés aux diverses braches d u chemi aboutissat à ue 3 3 issue doée du premier modèle, par exemple pour (B,) le produit, est égal à la probabilité, das cet 4 6 9 exemple, que cette issue se réalise. Cette remarque est valable pour toutes les braches de l arbre. Au 4 fial, o peut costater que l arbre de la figure 5 est rie d autre que l arbre de probabilités associé à l arbre des possibles de la figure. C Gééralisatio et exploitatio e Première La méthode utilisée plus haut peut se gééraliser aisémet au cas de la successio de expérieces aléatoires. Cosidéros expérieces aléatoires, E, E, E 3,, E, comportat chacue u ombre fii d issues (o écessairemet le même pour chaque expériece). Cosidéros l expériece aléatoire E obteue par la réalisatio successive (das cet ordre) de ces expérieces aléatoires. O peut alors dessier l arbre de probabilités de l expériece E dot chaque chemi représete ue issue 4 (idiquée e bout de brache) de l expériece E. La probabilité qu ue issue se réalise est égale au produit des probabilités recotrées le log du chemi représetat cette issue. E classe de Troisième et de Secode, o s est itéressé à la successio de deux expérieces (évetuellemet trois), pas écessairemet idetiques. Ces activités ot permis à l élève de se familiariser avec les arbres de probabilités costruits itégralemet. E Première, o s itéresse surtout à la répétitio d ue même expériece aléatoire, u certai ombre de fois. Cotrairemet aux classes précédetes, ce ombre peut alors être évetuellemet grad, otammet lorsqu il s agit de réivestir les arbres de probabilités das le cadre de la loi biomiale. 4 Ue issue de l expériece E est ue suite ( ω, ω,, ω k,, ω ) où ω k est ue issue de l expériece E k. /63

U exemple d activité sur la répétitio d ue même expériece aléatoire à trois issues est proposé ci-dessous. Il permettra à l élève de réivestir ses coaissaces acquises das les classes précédetes et de le préparer à maipuler des arbres de probabilités, o écessairemet costruits itégralemet du fait du grad ombre de répétitios de la même expériece aléatoire, lorsqu il abordera l étude des propriétés des coefficiets biomiaux. La justificatio proposée précédemmet pour les règles de calcul sur les arbres e foctioe que pour des valeurs ratioelles des probabilités et l o admet que ces règles restet valables pour des valeurs réelles quelcoques. Exemple : répétitio d ue expériece à trois issues O fait tourer la roue de loterie présetée ci-cotre : o obtiet la couleur «Rouge» bleu avec la probabilité 0,5, la couleur «Bleu» avec la probabilité 0,5 et la couleur «Blac» avec la probabilité 0,5. Esuite, o fait tourer ue deuxième fois, puis ue troisième fois la même roue das des coditios idetiques, et o ote les couleurs rouge obteues. ) U joueur est gagat lorsqu il obtiet das cet ordre les couleurs «Bleu», «Blac», «Rouge». Quelle est la probabilité de gager à ce jeu? ) Quelle est la probabilité que le joueur obtiee das le désordre les couleurs «Bleu», «Blac», «Rouge»? La réalisatio d u arbre podéré permet de visualiser les calculs de probabilité demadés. Pour la première questio, il suffit de cosidérer le seul chemi Bleu-Blac-Rouge qui a doc pour probabilité 0,5 0,5 0,5. Pour la deuxième questio, il reste à cosidérer les 5 chemis qui comportet les trois couleurs das le désordre. La probabilité de chaque chemi est 0,5 0,5 0,5 doc la répose est 5 0,5 0,5 0,5. À travers cette activité o recotre aisi des chemis de même probabilité, situatio qui sera reprise au momet de l itroductio de la loi biomiale. /63

V. Loi géométrique troquée Les situatios de répétitio d ue même expériece aléatoire, reproduite das des coditios idetiques costituet u élémet fort du programme de Première. L itroductio de la loi géométrique troquée présete de ombreux avatages : travailler des répétitios d ue expériece de Beroulli ; evisager ces répétitios sous l agle algorithmique ; préseter ue situatio d arbre pour lequel tous les chemis ot pas la même logueur ; exploiter hors de l aalyse les propriétés des suites géométriques ; exploiter hors du cadre habituel des résultats relatifs à la dérivatio ; travailler les variables aléatoires. A Étude de la loi géométrique troquée Approche de la loi géométrique troquée La probabilité qu u atome se désitègre par uité de temps est 0,07. O décide d observer cette désitégratio e limitat le temps d attete à 00 uités de temps, et l o coviet de oter 0 lorsque, après 00 uités de temps, l atome est pas ecore désitégré. O distigue aisi cette situatio de la désitégratio lors de la 00 e uité de temps. O peut cocevoir u algorithme qui affiche ue série de 00 temps d attete avat la désitégratio, aisi que le temps moye d attete calculé à partir de ces 00 valeurs. O costate que les temps d attete avat désitégratio sot, idividuellemet, extrêmemet imprévisibles. E revache, la moyee sur 00 expérieces est relativemet stable avec des valeurs autour de 3, 4 ou 5. Il est doc sas doute itéressat d étudier de plus près la loi de la variable aléatoire «temps d attete». O 00 00 motre que l espérace de cette variable aléatoire vaut [ 8 0,93 ], soit eviro 4,. 7 O a relevé ci-dessous, sur tableur, 0 séries de 00 temps d attete. La moyee et l écart-type de chaque série sot affichés. Cela permet de costater combie la dispersio des valeurs idividuelles est grade alors que celle des moyees est petite. 3/63

p E p E p E p E Défiitio de la loi géométrique troquée Soit p u réel de l itervalle ],[ 0 et u etier aturel o ul. O cosidère l expériece aléatoire qui cosiste à répéter das des coditios idetiques ue expériece de Beroulli de paramètre p avec au maximum répétitios et arrêt du processus au premier succès. O appelle loi géométrique troquée de paramètres et p la loi de la variable aléatoire X défiie par : - X = 0 5 si aucu succès a été obteu ; - pour k, X = k si le premier succès est obteu à l étape k. p E EEEE p E p p E S p p ES E S p S EES EEES p S S Expressio de la loi géométrique troquée L arbre permet de détermier la loi de la variable aléatoire X décrite ci-dessus, c est-à-dire la loi géométrique 0,. troquée de paramètres et p, où u etier aturel o ul et p u réel de l itervalle ] [ - si aucu succès a été obteu, X = 0 et P ( X = 0) = ( p) ; - pour k, le premier succès est obteu à l étape k pour le chemi qui présete das l ordre k échecs et u succès, d où : k P( X = k) = ( p) p. O vérifie facilemet que P( X = k) = (exploitatio des sommes de suites géométriques). k= 0 Algorithme de simulatio Le processus lié à la loi géométrique troquée est aisé à mettre e œuvre avec u algorithme. Il suffit de remarquer que l istructio et(nbraléat + p) géère u ombre aléatoire etier qui vaut avec la probabilité p, et 0 avec la probabilité p. 5 La covetio, X = 0 si aucu succès a été obteu, permet d assurer les mêmes valeurs pour P ( X = k) et P ( Y = k) pour k [, ] si X suit la loi géométrique troquée de paramètres et p, Y la loi géométrique troquée de paramètres et p, avec <. 4/63

E lagage aturel Etrées : valeur de valeur de p Iitialisatios : a pred la valeur 0 k pred la valeur 0 Traitemet : Tat que a = 0 et k < a pred la valeur et(nbraléat + p) k pred la valeur k + Fi de la boucle "tat que" Sortie : Si a = 0 Alors afficher message "X = " valeur de a Sio afficher message "X = " valeur de k Fi de l istructio coditioelle Avec ue calculatrice (modèle TI 84+) L istructio "et" se trouve das le catalogue. Avec le logiciel Algobox 5/63

Avec le logiciel Scilab Il est possible de modifier cet algorithme pour obteir ue série de valeurs de la variable X (voir aexe 3). Grâce à ces doées, o peut alors visualiser ue représetatio graphique de la distributio de la loi géométrique troquée. Représetatio graphique Les diagrammes ci-dessous sot obteus pour des séries de 000 valeurs avec d ue part p = 0,3 et d autre part p = 0,8. Il est frappat de oter que lorsque deviet grad les histogrammes ot des allures semblables. L étude de l expressio de la loi géométrique troquée va permettre d expliquer e partie ces observatios. 6/63

k La suite de terme gééral p ( p) est décroissate, doc l allure géérale des diagrammes (hormis le bâto correspodat à k = 0 ) se trouve cofirmée. Pour p = 0, 3, o obtiet e foctio de : P ( X = 0) = (0,7) et pour k, P ( X = k) = 0,3 (0,7). Il est facile de vérifier avec ue calculatrice que : k ( 0,7) < 0,005 pour > 4 et 0,3 (0,7) < 0, 005 pour k >. Aisi, pour les diagrammes correspodat aux valeurs = 30 et = 60, il est pas surpreat de e voir figurer aucue réalisatio de la valeur 0. De même, les bâtos correspodat aux valeurs de k supérieures ou égales à 3 ot ue hauteur pratiquemet ulle. Pour p = 0, 8, o obtiet e foctio de : P ( X = 0) = (0,) et pour k, ( 0,) < 0,00 pour > 3 k k P ( X = k) = 0,8 (0,). k < et 0,8 (0,) 0, 0005 pour k > 5. Les diagrammes correspodats sot compatibles avec ces valeurs seuil. E particulier, pour = 5, o observe pas de réalisatio de la valeur 0. Espérace de la loi géométrique troquée Au iveau de la classe de Première, la détermiatio de l espérace de la loi géométrique troquée de paramètres et p mobilise à la fois les suites géométriques et la dérivatio. Sas être exigible, cette activité peut faire l objet d u travail de recherche. Activité : Pour tout l exercice, X désige ue variable aléatoire de loi géométrique troquée de paramètres et p. O pose : q = p. k k. Motrer que ( X ) = p k( p) = p kq = p [ + q + 3q + + q ] E. k= k =. Soit f la foctio défiie sur l itervalle ] 0,[ par : a. Pour tout réel x de l itervalle ],[ f ( x) = + x + x + + x. 0, écrire f (x) sous la forme d u quotiet. b. Vérifier que la foctio f est dérivable sur l itervalle ] 0,[ et calculer deux expressios différetes de f (x) pour tout réel x élémet de l itervalle ] 0,[. c. E déduire le calcul de la somme + + + + k x 3x x = k x pour tout réel x de l itervalle ] 0,[. 3. Prouver l égalité E ( X ) [ ( + p)( p) ] =. p 4. Utiliser u outil umérique ou graphique pour émettre ue cojecture sur la limite de E (X ) lorsque ted vers l ifii. k = 7/63

Remarque : La limite de E (X ) semble être égale à (voir les illustratios e aexe 3). p Pour démotrer ce résultat, la pricipale difficulté est de calculer la limite e gééral u = ( p). + de la suite u ) de terme ( Pour cela, o peut cosidérer la suite ( v ) défiie par v u + =. Elle coverge vers p u qui est strictemet iférieur à. O obtiet la limite de la suite ( u ) par comparaiso avec ue suite géométrique de limite ulle. B Exemples d activités Limitatio des aissaces (D après Claudie ROBERT, Cotes et décomptes de la statistique, Éd. Vuibert. Voir aussi le documet ressource de 000 rédigé par Claudie ROBERT.) Éocé Pour limiter le ombre de filles das u pays (imagiaire?), o décide que : - chaque famille aura au maximum 4 efats ; - chaque famille arrêtera de procréer après la aissace d u garço. O cosidère que chaque efat a ue chace sur deux d être u garço ou ue fille et que, pour chaque couple de parets, le sexe d u efat est idépedat du sexe des précédets. Ce choix a-t-il la coséquece attedue, à savoir de dimiuer le ombre de filles das la populatio? Il est pas iitéressat de solliciter d abord ue répose a priori, c est ue faço d etrer das le problème et de motiver so étude. Simulatio de l expériece sur u tableur Les aissaces d ue famille se simulet sur ue lige. O passe facilemet à la simulatio pour 000 familles e recopiat les formules. O etre e A4 : =ENT(ALEA()+0,5) et e B4 : =SI(OU(A4=;A4="");"";A4+ENT(ALEA()+0,5)), que l o recopie jusqu à D4. O décompte le ombre d efats e E4 : =NB(A4:D4) et le ombre de garços e F4 : =NB.SI(A4:D4;). Il reste à recopier les formules de la lige 4 jusqu à la lige 003. Le calcul de N, G et P est alors immédiat. 8/63

La simulatio motre clairemet que la proportio de garços semble bie rester voisie de 0,5. La politique ataliste mise e place aurait doc aucu effet sur la modificatio de cette proportio. O observerait la même chose lorsque la probabilité de aissace d u garço est égale à p. Représetatio à l aide d u arbre Le traitemet mathématique à l aide de l arbre permet de valider les cojectures émises avec le tableur. Nombre total d efats N Nombre total de garços G Probabilité / F famille FFFF 4 0 /6 / / F G / / / F / G famille G F / G famille FG G famille FFFG famille FFG 4 /6 3 /8 /4 / 5 E ( N) =, 8 5 E( G ) =, doc 6 E( G) = E( N). Cette situatio peut se prêter à ue différeciatio pédagogique selo que l o evisage la valeur p = 0, 5 ou p quelcoque, selo que l o s e tiee à 4 efats au plus ou que l o gééralise à efats au plus. Gééralisatio O cosidère l expériece aléatoire qui cosiste à répéter das des coditios idetiques ue expériece de Beroulli de paramètre p avec au maximum répétitios et arrêt du processus au premier succès. O ote toujours X la variable aléatoire qui représete le rag du er succès et qui vaut 0 si aucu succès a été obteu. La variable aléatoire X suit la loi géométrique troquée de paramètres et p. O cosidère les variables aléatoires A, ombre de succès et B, ombre d étapes du processus aléatoire. La loi de la variable aléatoire A est très simple, elle e pred que deux valeurs 0 et avec : P ( A = 0) = P( X = 0) = ( p) k P ( A = ) = = P( X = k) = ( p) = k L espérace de la variable aléatoire A est doc : E ( A) = ( p). La variable aléatoire B pred des valeurs etre et avec : k - pour k, P( B = k) = P( X = k) = ( p) p ; - pour k =, P( B = ) = P( X = 0) + P( X = ) = ( p) + ( p) p. L espérace de la variable aléatoire B est doc : = k = k k = soit E ( B) k p( p) + ( p), ou ecore k [ p( p) + ( p) ] E ( B) = k p( p) +, O obtiet après simplificatio E ( B) [ ( p) ] =. p E ( B) = E( X ) + ( p). 9/63

Coclusio : si l o répète u grad ombre de fois ce processus de étapes au maximum (ceci quelle que soit la valeur de l etier ), o obtiet e moyee u ombre de succès égal à ( p) pour u ombre moye d étapes égal à [ ( p) ]. Aisi, e moyee, la proportio de succès est égale à p. Il est p remarquable de retrouver cette probabilité de succès, quel que soit le ombre maximal d étapes du processus. Le paradoxe de Sait-Pétersbourg Formulé par Nicolas Beroulli e 73, ce problème a été approfodi par so cousi Daiel Beroulli das l ouvrage Les trasactios de l Académie de Sait-Pétersbourg, ce qui lui a valu so om. Éocé U joueur joue cotre la baque au jeu de «pile ou face», e misat toujours sur «face». Il adopte la stratégie suivate : il mise u euro au premier coup, et s il perd, double la mise au coup suivat, tat que «face» e sort pas. S il gage, il récupère sa mise augmetée d ue somme équivalete à cette mise. Le joueur dispose d ue fortue limitée, qui lui permet de perdre au maximum coups cosécutifs et, si «pile» sort fois de suite, le joueur e peut plus miser et arrête le jeu. La fortue de la baque, elle, est pas limitée. Ue partie cosiste pour le joueur à jouer, si sa fortue le lui permet, jusqu à ce que «face» sorte. Il s agit de détermier la probabilité qu a le joueur de gager ue partie, so gai algébrique moye par partie, et d aalyser l itérêt pour le joueur de jouer à ce jeu. Traitemet mathématique Pour modéliser la situatio, o suppose que le joueur lace la pièce fois : si «face» sort avat le -ième coup, le joueur e mise rie les coups suivats. Lorsqu il joue fois de suite à «pile ou face», o ote : A l évéemet «le joueur obtiet piles» ; G = A l évéemet : «le joueur gage la partie» ; X la variable aléatoire qui comptabilise le rag de la première face, et l o coviet que ce rag est égal à 0 si «face» e sort pas ; Y la variable aléatoire qui doe le gai algébrique du joueur. O evisage d abord le cas où le joueur dispose d ue fortue limitée, par exemple à 000. Le joueur double sa mise tat qu il perd. Sa fortue lui permet de teir coups, où il mise successivemet (e euro),,,,, tat que + +... + 000. La formule sommatoire sur les suites géométriques simplifie cette iégalité e : 000. D où = 9. O obtiet P ( A 9) = 0, 00, d où P ( G) = P( A ) 0, 998 9 9 =. 9 La variable aléatoire X suit la loi géométrique troquée de paramètres 9 et. Elle pred les valeurs etières de 0 à 9, avec P ( X = 0) = P( A 9) = et, pour k compris etre et 9 : 9 9 O vérifie bie que P( X = k) = + +... + 9 + = 9 k = 0. P( X ) = k = k = k. Détermios les valeurs de Y. Si «face» sort pour la première fois au k-ième coup (avec k ), le joueur a misé au total ue somme e euro égale à + +... + k, il gage le double de sa derière mise, soit k. So gai algébrique est k k doc égal à ( + +... + ), c est-à-dire. 8 9 Si «face» e sort pas, le joueur a perdu toutes ses mises, soit (e euro) + +... + = = 5. O e tire la loi de la variable aléatoire Y et so espérace mathématique : 0/63

Valeurs de Y + Probabilités 9 9 ( ) ( ) 9 9 E Y = ( ) 0 9 =. 9 Simulatio de 000 parties e 9 coups au plus sur u tableur O code la sortie de «face» par, celle de «pile» par «0». O place e A la formule =ENT(*ALEA()), puis e B la formule =SI(OU(A=;A="");"";ENT(*ALEA())), que l o recopie jusqu e I ; efi o place e K la formule =SI(SOMME(A:I)=0;"PERDU";"GAGNE"). Les formules précédetes sot recopiées jusqu à la lige 000. Il reste alors e décompter e M le ombre de parties perdues, avec la formule : =NB.SI(K:K000;"PERDU"). Quoique faible, la probabilité de perdre est pas égligeable. Sur la simulatio précédete, o s aperçoit que le joueur perd effectivemet 6 parties sur 000. Il perd doc six fois 5, soit 3066. Il a gagé 994 parties qui lui rapportet chacue, soit u gai total de 994. Il a doc perdu 97 euros sur 000 parties, soit eviro 3 euros par partie e moyee. Coclusios de l étude : deux paradoxes Chaque partie gagée rapporte au joueur. Si sa fortue était illimitée (ou simplemet très grade), la probabilité de gager, égale à, aurait pour limite, et permettrait au joueur de gager chaque partie. Il semble doc que la stratégie du joueur costitue ue «martigale» ifaillible. Le jeu semble favorable au joueur. Cepedat, puisque E ( Y ) = 0, le jeu est hoête. La stratégie mise e place doe ue espérace de gai idetique à celle du simple jeu de pile ou face. C est u premier paradoxe. Par ailleurs, ce problème motre la limite de la otio d espérace pour juger si u jeu est favorable. E effet, la simulatio précédete a révélé que la perte est importate, et qu elle se produit plusieurs fois sur 000 parties. Peu de joueurs s avetureraiet das u jeu pourtat hoête où l o risque de perdre gros, même si ce risque est faible, alors que l o gage peu. C est là le deuxième paradoxe. /63

La otio de risque, liée à celle de la dispersio de la variable aléatoire «gai», est u élémet décisif d appréciatio d u jeu. Le paradoxe de Sait-Pétersbourg est l u des problèmes ayat doé aissace à la théorie de la décisio e écoomie. Das cette théorie, o formalise e particulier la otio de foctio d utilité, qui mesure le degré de satisfactio d u cosommateur. VI. Loi biomiale A Défiitios Approche de la loi biomiale Les exemples suivats proposet, e s appuyat sur les outils déjà dispoibles, ue découverte de la loi biomiale avat sa formalisatio mathématique. Ces activités sot coçues de faço à faciliter ue formalisatio progressive de ces otios. Exemple mise e place du vocabulaire O fait tourer la roue de loterie présetée ci-cotre : o obtiet la couleur «rouge» avec la probabilité 0,75 et la couleur «bleu» avec la probabilité 0,5. Le joueur est gagat lorsque la flèche s arrête sur la zoe bleue comme sur la figure cicotre. rouge bleu O décide de oter S (comme succès) cette évetualité et de oter E (comme échec) l évetualité cotraire c est-à-dire «la flèche tombe sur la zoe rouge». Ue expériece à deux issues, succès ou échec, est appelée «épreuve de Beroulli». La loi de Beroulli de paramètre p est la loi de la variable aléatoire qui pred la valeur e cas de succès et 0 e cas d échec, où p désige la probabilité du succès. Cosige aux élèves : o joue trois fois de suite das des coditios idetiques et o désige par X la variable aléatoire qui doe le ombre de succès obteus. Réaliser u arbre podéré représetat cette situatio et e déduire la loi de la variable aléatoire X puis so espérace mathématique. O parlera de «schéma de Beroulli» lorsqu o effectue ue répétitio d épreuves de Beroulli idetiques et idépedates. Exemple schéma de Beroulli pour u paramètre p quelcoque O fait maiteat tourer la roue de loterie présetée ci-cotre : o obtiet la couleur «Bleu» avec ue probabilité qui déped de l agle idiqué sur la figure et qui est otée p. O obtiet doc la couleur «Rouge» avec ue probabilité de p. O décide ecore de oter S (comme succès) cette évetualité et de oter E (comme échec) l évetualité cotraire c est-à-dire «la flèche tombe sur la zoe rouge». ) O répète quatre fois cette épreuve de Beroulli de paramètre p. Représeter cette répétitio par u arbre podéré à quatre iveaux. ) O défiit alors la variable aléatoire X égale au ombre de succès obteus à l issue des quatre répétitios. E utilisat l arbre, détermier la probabilité des évéemets suivats : = 0 = 4 = X =. { X } { X } { X } { } rouge bleu /63

Il faut observer que les probabilités P ( X =) et P ( X = ) s obtieet e comptat les chemis qui coduiset respectivemet à et à succès. 4 O ote et o lit «parmi 4» le ombre de chemis qui coduiset à succès exactemet. Ici, 4 = 4. 4 O ote et o lit «parmi 4» le ombre de chemis qui coduiset à succès exactemet. Ici, 4 = 6. S E S E S E S E S E S E S E S E S E S E S E S E S E S E S E Exemple 3 utiliser ue représetatio metale de l arbre podéré O décide maiteat de répéter ciq fois cette épreuve de Beroulli et o ote toujours X le ombre de succès obteus à l issue des ciq répétitios. La réalisatio de l arbre podéré deviet fastidieuse. ) Sas réaliser l arbre, mais e s ispirat de ce qui a déjà été fait, détermier la probabilité des évéemets { X = 0} et { X = 5}. ) O s itéresse da s cette questio à la probabilité de l évéemet { X = }. a) Quelle est la probabilité d u chemi coduisat à exactemet deux succès? 5 b) O ote et o lit «parmi 5» le ombre de chemis qui coduiset à succès. Détermier ce ombre e utilisat l arbre déjà réalisé pour 4 répétitios. Il y a deux faços d obteir succès selo qu à la derière étape o obtiet u succès ou u échec. - Si la derière étape doe u échec, il faut compter les chemis qui au iveau précédet coduisaiet déjà à succès. Avec l arbre déjà réalisé, o sait que 6 chemis sot das ce cas. - Si la derière étape doe u succès, il faut compter les chemis qui au iveau précédet coduisaiet à u seul succès. Avec l arbre déjà réalisé, o sait que 4 chemis sot das ce cas. E coclusio, 6 + 4 = 0 chemis de l arbre des 5 répétitios coduiset à succès, soit avec les otatios 5 4 4 itroduites : = +. Efi la répose attedue est : P( X = ) = 0 p ( p) 3 5 ou P( X = ) = p ( p) 3. Défiitio de la loi biomiale O cosidère ue épreuve de Beroulli de paramètre p. U schéma de Beroulli associé à répétitios de cette épreuve peut être représeté par u arbre podéré qui comporte iveaux. Par défiitio, la loi biomiale de paramètres et p, otée b(, p), est la loi de la variable aléatoire X qui doe le ombre de succès das la répétitio de épreuves de Beroulli de paramètre p. 3/63

Quelques cas particuliers Calcul de P ( X = 0) et de P ( X = ) L évéemet { = 0} X est réalisé sur l uique chemi de l arbre qui e comporte que des échecs, c est-à-dire le derier chemi de l arbre qui est costitué de braches qui ot toutes la probabilité p. D où le résultat : P ( X = 0) = ( p). L évéemet { X = } est réalisé sur l uique chemi de l arbre qui e comporte que des succès, c est-à-dire le premier chemi de l arbre qui est costitué de braches qui ot toutes la probabilité p. D où le résultat : P ( X = ) = p. Calcul de P ( X =) et de P ( X = ) L évéemet { =} X est réalisé sur les chemis de l arbre qui comportet exactemet u succès et échecs. La probabilité de chacu de ces chemis est : p ( p). Il reste à détermier combie de chemis de ce type figuret das l arbre podéré. Cette questio est assez simple das la mesure où il suffit de repérer à quel iveau de l arbre figure l uique succès. Il y a doc X =. possibilités et aisi chemis qui réaliset l évéemet { } D où le résultat : L évéemet { = } P ( X = ) = p ( p). X est réalisé sur les chemis de l arbre qui comportet exactemet succès et p échec. La probabilité de chacu de ces chemis est : ( p). Il reste à détermier combie de chemis de ce type figuret das l arbre podéré. Comme précédemmet, il suffit de repérer à quel iveau de l arbre figure l uique échec. Il y a doc ecore possibilités et aisi X =. chemis qui réaliset l évéemet { } D où le résultat : P( X = ) = p ( p). Coefficiets biomiaux Pour détermier par exemple, P ( X = ) o procèderait de la même faço : la probabilité de chaque chemi qui réalise exactemet deux succès est : ( ) p p. Il faut esuite multiplier cette probabilité par le ombre de chemis qui présetet exactemet deux succès. Ce ombre est oté et o lit «parmi». Il peut être obteu avec ue calculatrice ou avec u tableur. Plus gééralemet : Si est u etier aturel et si k est u etier compris etre 0 et, o ote et o lit «k parmi» le k ombre de chemis qui réaliset exactemet k succès das l arbre à iveaux, associé à u schéma de Beroulli. Ces ombres sot appelés coefficiets biomiaux. Ces ombres sot par costructio des etiers et l étude précédete ous fourit quelques valeurs : k - quel que soit, etier aturel : 0 = ; =, - quel que soit, etier aturel o ul : = ; =, - 4 = 4 ; 4 = 6 ; 5 = 0. 4/63

B Propriétés Expressio de la loi biomiale k k La probabilité de chacu des chemis qui réaliset exactemet k succès est p ( p) Soiet u etier aturel et u réel p de l itervalle [ 0, ]. O obtiet doc : La variable aléatoire X égale au ombre de succès das la répétitio de épreuves de Beroulli de paramètre p suit la loi biomiale b(, p), avec pour tout etier k compris etre 0 et : k k P( X = k) = p p k ( ) Remarque : les coefficiets biomiaux itervieet comme coefficiets das la formule géérale cidessus, mais aussi das la formule du biôme de Newto qui doe le développemet de ( a + b) pour tous k réels a et b. Propriétés des coefficiets biomiaux Symétrie Le ombre de chemis réalisat k succès est aussi le ombre de chemis réalisat k échecs. Par symétrie, o obtiet autat de chemis réalisat k succès que de chemis réalisat k échecs. Si est u etier aturel et si k est u etier compris etre 0 et, alors =. k k Formule de Pascal Il s agit ici de calculer u coefficiet biomial associé à + répétitios à partir des coefficiets calculés sur l arbre réalisé au iveau. + Le coefficiet biomial doe le ombre de chemis qui réaliset exactemet k + succès. k + Il y a deux faços d obteir k + succès suivat qu à la derière étape o obtiet u succès ou u échec. - Si la derière étape doe u échec, il faut compter les chemis qui au iveau précédet coduisaiet déjà à k + succès. O sait que chemis sot das ce cas. k + - Si la derière étape doe u succès, il faut compter les chemis qui au iveau précédet coduisaiet à exactemet k succès. O sait que chemis sot das ce cas. k E coclusio, + chemis de l arbre des + répétitios coduiset à k + succès, d où le k k + résultat : + Si est u etier aturel et si k est u etier compris etre 0 et, alors = +. k + k k + 5/63

Deux faços d obteir k + succès e + étapes chemis k premières étapes k succès ( + )-ième étape Succès chemis k + k + succès Échec Somme des coefficiets biomiaux E ajoutat tous les coefficiets biomiaux obteus sur u arbre de répétitios, o obtiet le ombre total de chemis de l arbre. Or cet arbre comporte iveaux et à chaque iveau o multiplie le ombre de chemis existats par. Le ombre total de chemis est doc. O obtiet la relatio : + = k 0 k = 0 +. = O pourra se reporter à l aexe 5 pour l utilisatio de quelques outils de calcul avec la loi biomiale. Représetatio graphique Das ce documet, o parle de «grade biomiale» si 5 et 0, < p < 0, 8 - coditios éocées das le programme de Secode, et das le cas cotraire, o parle de «petite biomiale». Petites biomiales Grades biomiales =0 ; p = 0, 5 = 5 ; p = 0, 85 = 40 ; p = 0, 5 = 80 ; p = 0, 85 6/63

L observatio des différetes représetatios graphiques permet de costater les comportemets suivats : - déplacemet vers la droite du diagramme à fixé e foctio de la croissace de p ; costatatio aalogue si p est fixé et augmete ; - allure symétrique «e cloche» des grades biomiales ; il est facile de démotrer l exacte symétrie de la représetatio lorsque p = 0, 5 ; - dispersio maximale lorsque p = 0, 5. Espérace et écart-type Il s agit ici de proposer ue activité coduisat à ue cojecture sur l expressio de l espérace et de l écarttype d ue loi biomiale. O utilisera le tableur pour calculer, à l aide de l istructio SOMMEPROD, l espérace et la variace de la loi b(, p) pour différetes valeurs de et p. La variace est obteue à partir de la relatio V ( X ) = E( X ) E( X ) (cette formule est pas u attedu du programme). Pour la copie d écra ci-dessous la valeur de p est 0, et les valeurs de vot de 5 à 50 avec u pas de 5 uités. La feuille de calcul est coçue pour admettre des valeurs de etre 0 et 00. Das les cellules de B3 à K3 o a saisi : =$B. Das la cellule B7 o a saisi : =SI($A7<=B$4;LOI.BINOMIALE($A7;B$4;B$3;0);" ") pour demader X = k, uiquemet lorsque k et ue cellule vide das l autre l affichage de la probabilité de { } alterative. Das la cellule B0 o a saisi : =SOMMEPROD($A7:$A07;B7:B07) pour obteir l espérace de la variable aléatoire X de loi biomiale de paramètres et p. L adressage absolu sur la première coloe autorise la recopie vers la droite de cette formule. Das la cellule B o a saisi : =SOMMEPROD(($A7:$A07)^;B7:B07) pour obteir l espérace de la variable X. La variace s obtiet alors e B6 avec la formule =B-B3. O peut aussi obteir la variace de X comme espérace de ( X E(X )) e saisissat das la cellule B6 la formule : =SOMMEPROD(($A7:$A07 B0)^;B7:B07). 7/63

Observatios pour p fixé : E (X ) e foctio de pour p = 0, 3,5 3,5,5 0,5 0 0 4 6 8 0 4 6 V (X ) e foctio de pour p = 0, 3,5,5 0,5 0 0 4 6 8 0 4 6 E (X ) e foctio de pour p = 0,7 0 8 6 4 0 0 4 6 8 0 4 6 V (X ) e foctio de pour p = 0,7 3,5 3,5,5 0,5 0 0 4 6 8 0 4 6 Lorsque la valeur de p est fixée, o observe que l espérace de la loi biomiale, aussi bie que sa variace, semblet être des foctios liéaires de. Observatios pour fixé : E (X ) e foctio de p pour =5 6 4 0 8 6 4 0 0 0, 0,4 0,6 0,8, V (X ) e foctio de p pour =5 4 3,5 3,5,5 0,5 0 0 0, 0,4 0,6 0,8, 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0 E (X ) e foctio de p pour = 80 0 0, 0,4 0,6 0,8, V (X ) e foctio de p pour = 80 5 0 5 0 5 0 0 0, 0,4 0,6 0,8, Lorsque la valeur de est fixée, o observe que l espérace de la loi biomiale semble aussi être ue foctio liéaire de p. De plus, o peut oter que la valeur obteue avec le cas particulier p = correspod à la valeur de qui a été fixée. D où la cojecture E ( X ) = p que le professeur validera das le cours. 8/63

E revache, la variace se comporte comme ue foctio du secod degré e p. O peut oter aussi que la variace semble bie être maximale pour p = 0, 5 comme l observatio des représetatios graphiques le laissait prévoir. U réivestissemet des otios d aalyse permet, par exemple, de détermier les foctios polyômes du secod degré qui sot maximales e 0,5 et qui s aulet e 0 et. La liéarité selo la variable icite à chercher u coefficiet «multiple» de et quelques essais permettet d aboutir à l expressio V ( X ) = p( p) que le professeur validera das le cours. C Exemples d activités Avec la loi de probabilité. Appariemet O a représeté ci-dessous la distributio de probabilité de quatre variables aléatoires suivat les lois biomiales b (30 ; 0,), b (30 ; 0,5), b (30 ; 0,9), b (9 ; 0,5). Associer chaque loi à so graphique.. Le quorum Ue associatio compreat 30 adhérets orgaise chaque aée ue assemblée géérale. Les statistiques motret que chaque adhéret assiste à l assemblée avec la probabilité 80 %. Les décisios prises par l assemblée ot de valeur légale que lorsque plus de la moitié des adhérets assiste à l assemblée. Quelle est la probabilité que, lors de la prochaie assemblée, le quorum soit atteit? 3. Paradoxe? Paul affirme : «Avec u dé régulier, o a autat de chace d obteir au mois u six e 4 lacers que d obteir au mois deux six avec 8 lacers». Sara objecte : «Pas du tout. Das le premier cas, la probabilité est supérieure à 0,5, das le deuxième cas, elle est iférieure à 0,5.». Qui a raiso? 9/63

4. Le tir à l arc À chaque tir, u archer atteit sa cible avec ue probabilité égale à 0,7. Combie de tirs doit-il effectuer pour que, avec ue probabilité supérieure ou égale 0,99, il atteige la cible au mois deux fois? Au mois trois fois? 5. Lacers de pièce O lace ue pièce équilibrée fois. O s itéresse à la probabilité d obteir «face» das 60 % des cas ou plus. Evisager les cas = 0, puis = 00, puis = 000. Doer d abord, sas calcul, ue estimatio spotaée du résultat, puis solliciter la calculatrice ( = 0 ) ou u algorithme de calcul ( = 00 et = 000 ). Avec l espérace mathématique. Cotrôle de productio Ue etreprise fabrique chaque jour 0 000 composats électroiques. Chaque composat présete u défaut avec la probabilité 0,00. Si le composat est repéré comme état défectueux, il est détruit par l etreprise, et chaque composat détruit fait perdre à l etreprise. a) Les composats sot cotrôlés u à u, et chaque cotrôle coûte 0,. Quel est le coût moye jouralier pour l etreprise (cotrôles et destructio des composats défectueux)? b) Les composats sot regroupés par lots de 0, et o effectue u uique cotrôle automatique de chaque lot, qui coûte lui aussi 0,. À l issue de ce cotrôle, le lot est accepté si tous les composats sot sais, et globalemet détruit si l u au mois des 0 composats présete u défaut. Quel est le coût moye jouralier pour l etreprise de ce ouveau dispositif (cotrôles et destructio des composats défectueux)?. Le QCM U QCM comporte 0 questios. Pour chaque questio, quatre réposes sot proposées dot ue seule est juste. Chaque répose juste rapporte u poit et il y a pas de péalité pour ue répose fausse. U cadidat répod au hasard à chaque questio. Quel ombre total de poits peut-il espérer? Quelle péalité doit-o attribuer à ue répose fausse pour que le total espéré, e répodat etièremet au hasard, soit égal à sur 0? 3. Correctio de fautes U texte cotiet erreurs. Lors d ue relecture, o cosidère que chaque erreur a 80 % de chaces d être corrigée. Peut-o prévoir, e moyee, le ombre d erreurs restates après ue relecture,, après k relectures, k état u etier supérieur à? 30/63

VII. Échatilloage et prise de décisio La prise de décisio apparaît pour la première fois das le programme de Secode. La démarche s appuie sur la otio d itervalle de fluctuatio dot ue défiitio est doée et ue expressio proposée sous réserve de satisfaire aux coditios de validité, > 5 et 0, < p < 0, 8 ( est la taille de l échatillo prélevé et p est la proportio das la populatio du caractère étudié). Avec la otio de variable aléatoire et la découverte de la loi biomiale, le programme de Première fourit les premiers outils qui permettet, e preat appui sur la réflexio iitiée e Secode autour de la prise de décisio, de costruire l itervalle de fluctuatio détermié à l aide de la loi biomiale, et ue démarche de prise de décisio, valable e toute gééralité pour ue proportio p et ue taille d échatillo. La partie A sythétise les défiitios, la partie B présete la problématique de la prise de décisio. La partie C développe ue approche possible e classe. A Itervalle de fluctuatio avec la loi biomiale L itervalle de fluctuatio d ue fréquece au seuil de 95% a été défii das le programme de Secode de la faço suivate : «L itervalle de fluctuatio au seuil de 95%, relatif aux échatillos de taille, est l itervalle cetré autour de p, proportio du caractère das la populatio, où se situe, avec ue probabilité égale à 0,95, la fréquece observée das u échatillo de taille.» La loi biomiale permet de calculer très exactemet les probabilités des différetes fréqueces observables k das u échatillo de taille, à savoir les valeurs, avec 0 k, probabilités qui peuvet être représetées à l aide d u diagramme e bâtos. O peut égalemet calculer, à l aide d u tableur, les probabilités (cumulées) des évéemets suivats : «La fréquece observée das l échatillo prélevé de k k taille est comprise etre 0 et», évéemet qu o peut aussi écrire 0 F, si F désige la variable aléatoire qui à tout échatillo de taille associe la fréquece observée das l échatillo prélevé. E faisat varier les paramètres et p, o observe que le diagramme est pas toujours symétrique, et o exactemet cetré sur p. Par ailleurs, le caractère discret de la loi biomiale fait qu il est pas possible de détermier précisémet u itervalle où la fréquece observée se situe avec ue probabilité égale à 0,95. La défiitio doée e secode pour l itervalle de fluctuatio suppose e effet, de maière implicite, que la fréquece suit ue loi cotiue. Pour ces différetes raisos, o est ameé à costruire u itervalle qui approxime l itervalle de fluctuatio défii plus haut e adoptat la défiitio suivate : L itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % d ue fréquece F, correspodat à la réalisatio, sur u échatillo aléatoire de taille, de la variable aléatoire X égale à F et de loi biomiale de paramètres a b et p, est l itervalle, défii par le système de coditios suivat : a est le plus grad etier tel que P(X < a) 0,05, b est le plus petit etier tel que P(X > b) 0,05. ou ecore par le système de coditios équivalet : a est le plus petit etier tel que P(X a) > 0,05, b est le plus petit etier tel que P(X b) 0,975. 3/63

Détermiatio de a Il existe ue valeur k de X telle que P( X k) = 0,05 P( X k) < 0,05 et P( X k + ) > 0, 05,5 % k a a = k +,5 % k a a = k + Valeurs etières croissates prises par X Valeurs etières croissates prises par X Détermiatio de b Il existe ue valeur k de X telle que P( X k) = 0,975 a P( X k) < 0,975 et P( X k + ) > 0, 975 a 97,5 % k 97,5 % k b b = k b = k + Valeurs etières croissates de X Valeurs etières croissates de X Remarques :. Ce jeu sur les iégalités strictes est dû au caractère discret de la variable aléatoire X cosidérée (o pourra s e covaicre das la partie C).. Les etiers a et b dépedet de la taille de l échatillo. La coaissace de la loi biomiale de la variable aléatoire X red maiteat possible le calcul de la a b probabilité P F = P( a X b). a b O remarque que l itervalle, est quasimet cetré sur p dès que est «assez grad» et que a b l itervalle, est «quasimet» le même que l itervalle p, p + doé das le programme de secode pour les «grades biomiales» ( > 5 et 0, < p < 0, 8 où est la taille de l échatillo prélevé et p est la proportio das la populatio du caractère étudié, coditios éocées das le programme de secode). O trouvera des exemples das le sous-paragraphe C ci-après. 3/63

a b L itérêt de l itervalle,, calculé à partir de la loi biomiale, est de fourir u itervalle coveable pour toutes les valeurs de et de p, alors que l itervalle p, p + est pas adapté pour les «petites biomiales». B Aspect gééral de la prise de décisio avec la loi biomiale O cosidère ue populatio das laquelle o suppose que la proportio d u certai caractère est p. Pour juger de cette hypothèse, o y prélève, au hasard et avec remise, u échatillo de taille sur lequel o observe ue fréquece f du caractère. O rejette l hypothèse selo laquelle la proportio das la populatio est p lorsque la fréquece f observée est trop éloigée de p, das u ses ou das l autre. O choisit de fixer le seuil à 95 % de sorte que la probabilité de rejeter l hypothèse, alors qu elle est vraie, soit iférieure à 5 %. Hypothèse : la proportio est p. Échatillo taille Observatio : fréquece f Lorsque la proportio das la populatio vaut p, la variable aléatoire X correspodat au ombre de fois où le caractère est observé das u échatillo aléatoire de taille, suit la loi biomiale de paramètres et p. La règle de décisio adoptée est la suivate : a b si la fréquece observée f appartiet à l itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %,, o cosidère que l hypothèse selo laquelle la proportio est p das la populatio est pas remise e questio et o l accepte ; sio, o rejette l hypothèse selo laquelle cette proportio vaut p. Cette prise de décisio repose sur le raisoemet suivat : si la proportio vaut p o a, e gros, au mois 95 % de chaces que le prélèvemet d u échatillo de taille coduise à ue fréquece f du caractère das a b cet échatillo située das,. O sait bie que das ce cas, compte teu du hasard, la fréquece réellemet observée f est pas écessairemet égale à p, mais qu elle fluctue das u voisiage de p, appelé justemet itervalle de fluctuatio. U itervalle de fluctuatio est doc u itervalle où l o «s atted» à trouver la fréquece observée f, si l hypothèse que la proportio est p est la boe. E coséquece, si la proportio vaut p, il y a très peu de chaces (eviro au plus 5% des échatillos) que a b cette fréquece observée f soit hors de l itervalle de fluctuatio,. Doc si elle est à l extérieur de a b l itervalle,, il est cohéret de peser que ce est plus le seul fait du hasard cette fois-ci, mais que c est bie plutôt le sige que l hypothèse que la proportio est p est pas la boe. C Détermiatio de l itervalle de fluctuatio à l aide d u algorithme Cosidéros l exemple suivat. U médeci de saté publique veut savoir si, das sa régio, le pourcetage d habitats atteits d hypertesio artérielle est égal à la valeur de 6 % récemmet publiée pour des populatios semblables. E otat p la proportio d hypertedus das la populatio de sa régio, le médeci formule l hypothèse p = 0,6. Pour vérifier cette hypothèse, le médeci costituera u échatillo de = 00 habitats de la régio ; il détermiera la fréquece f d hypertedus (l échatillo est prélevé au hasard et la populatio est suffisammet importate pour cosidérer qu il s agit de tirages avec remise). 33/63

Lorsque la proportio das la populatio vaut p = 0,6, la variable aléatoire X correspodat au ombre d hypertedus observé das u échatillo aléatoire de taille = 00, suit la loi biomiale de paramètres =00 et p = 0, 6. O cherche à partager l itervalle [ ;00] [ +,00] 0, où X pred ses valeurs, e trois itervalles [ 0, a ], [ b] a, et b de sorte que la variable aléatoire X pree ses valeurs das chacu des itervalles extrêmes avec ue probabilité proche de 0,05, sas dépasser cette valeur. O recherche doc le plus grad etier a tel que P ( X < a) 0,05 et le plus petit etier b tel que P ( X > b) 0, 05. X suit la loi b(00 ; 0,6) 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0,0 0 Itervalle de fluctuatio : au mois 95 % 0 5 0 5 0 5 30 35 40 Zoe de rejet à gauche : au plus,5 % a b Zoe de rejet à droite : au plus,5 % D u poit de vue algorithmique, il est plus efficace de travailler avec les probabilités cumulées croissates, que la calculatrice ou le tableur fourisset facilemet. E tabulat les probabilités cumulées P( X k), pour k allat de 0 à 00, il suffit de détermier le plus petit etier a tel que P( X a) > 0, 05 et le plus petit etier b tel que P(X b) 0,975. a b Le calcul, à l aide de la loi biomiale, de l itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %,,, de la fréquece des échatillos aléatoires de taille, correspodat à la zoe d acceptatio d ue hypothèse sur ue proportio, peut aisi faire l objet d ue recherche d algorithme. O peut, par exemple, procéder sur u tableur comme le motre l image d écra. La cellule B3 cotiet la valeur de, taille de l échatillo. La cellule D3 cotiet la valeur de p, proportio supposée das la populatio. O a etré e B6 la formule =SI(A6<=B$3;LOI.BINOMIALE(A6;B$3;D$3;VRAI);"") pour tabuler les probabilités P(X k) lorsque X suit la loi biomiale de paramètres et p. O a etré e C6 la formule =SI(B6>0,05;A6/B$3;"") pour afficher les valeurs de k telles que P(X k) dépasse strictemet 0,05. O a etré e D6 la formule =SI(B6>=0,975;A6/B$3;"") pour afficher les valeurs de k telles que P(X k) égale ou dépasse 0,975. Ces trois formules ot été ici recopiées vers le bas jusqu à la lige 006 (l algorithme foctioe pour ue valeur maximale de égale à 000, mais o peut, e cas de besoi, recopier plus bas). 34/63

L itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % est affiché e cellules F8 et G8 coteat les formules =MIN(C6:C006) et =MIN(D6:D006). a b Das le cas de l exemple choisi, o a = 00 et p = 0,6. L algorithme fourit = 0, 09 et = 0, 3. La règle de décisio, pour le médeci, sera la suivate : si la fréquece observée f appartiet à l itervalle de fluctuatio [0,09 ; 0,3], o cosidère que l hypothèse selo laquelle la proportio d hypertedus das la populatio est p = 0,6 est pas remise e questio et o l accepte ; sio, o rejette l hypothèse selo laquelle cette proportio vaut p = 0,6. D Exemples d activités Exemple : politique das u pays loitai Mosieur Z, chef du gouveremet d u pays loitai, affirme que 5 % des électeurs lui fot cofiace. O iterroge 00 électeurs au hasard (la populatio est suffisammet grade pour cosidérer qu il s agit de tirages avec remise) et o souhaite savoir à partir de quelles fréqueces, au seuil de 95 %, o peut mettre e doute le pourcetage aocé par Mosieur Z, das u ses, ou das l autre.. O fait l hypothèse que Mosieur Z dit vrai et que la proportio des électeurs qui lui fot cofiace das la populatio est 0,5. Motrer que la variable aléatoire X, correspodat au ombre d électeurs lui faisat cofiace das u échatillo de 00 électeurs, suit la loi biomiale de paramètres = 00 et p = 0,5.. O doe ci-cotre u extrait de la table des probabilités cumulées P(X k) où X suit la loi biomiale de paramètres = 00 et p = 0,5. k P(X k) 40 0,006 4 0,077 4 0,086 43 0,0444...... 6 0,979 6 0,987 63 0,9897 64 0,994 a. Détermier a et b tels que : a est le plus petit etier tel que P(X a) > 0,05 ; b est le plus petit etier tel que P(X b) 0,975. a b b. Comparer l itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %,,, aisi obteu grâce à la loi biomiale, avec l itervalle p, p +. 3. Éocer la règle décisio permettat de rejeter ou o l hypothèse que la proportio des électeurs qui fot cofiace à Mosieur Z das la populatio est 0,5, selo la valeur de la fréquece f des électeurs favorables à Mosieur Z obteue sur l échatillo. 4. Sur les 00 électeurs iterrogés au hasard, 43 déclaret avoir cofiace e Mosieur Z. Peut-o cosidérer, au seuil de 95 %, l affirmatio de Mosieur Z comme exacte? Élémets de répose. a. O lit a = 4 et b = 6. b. Les itervalles sot idetiques. 3. Si f appartiet à l itervalle [0,4 ; 0,6], l hypothèse que la proportio des électeurs qui fot cofiace à Mosieur Z das la populatio est 0,5 est acceptable, sio, l hypothèse est rejetée, au seuil de 95 %. 35/63

4. O cosidère que l affirmatio de Mosieur Z est exacte. X suit la loi b(00 ; 0,5) 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 0 Itervalle de fluctuatio : au mois 95 % 5 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 Zoe de rejet à gauche : au plus,5 % a = 4 b = 6 Zoe de rejet à droite : au plus,5 % Remarque : la recherche de l itervalle de fluctuatio peut-être illustrée par le diagramme e bâtos de la loi biomiale de paramètres = 00 et p = 0,5. Exemple : discrimiatio (d après le documet ressource mathématiques pour les baccalauréats professioels) E Novembre 976 das u comté du sud du Texas, Rodrigo Partida est codamé à huit as de priso. Il attaque ce jugemet au motif que la désigatio des jurés de ce comté est, selo lui, discrimiate à l égard des Américais d origie mexicaie. Alors que 80 % de la populatio du comté est d origie mexicaie, sur les 870 persoes covoquées pour être jurés lors des aées précédetes, il y a eu que 339 persoes d origie mexicaie. Devat la Cour Suprême, u expert statisticie produit des argumets pour covaicre du bie fodé de la requête de l accusé. E vous situat das le rôle de cet expert, pouvez-vous décider si les Américais d origie mexicaie sot sous-représetés das les jurys de ce comté? Élémets de répose O suppose que les 870 jurés sot tirés au sort das la populatio du comté (la populatio état très importate, o peut cosidérer qu il s agit de tirages avec remise). Sous cette hypothèse, la variable aléatoire X correspodat au ombre de jurés d origie mexicaie suit la loi biomiale de paramètres = 870 et p = 0, 8. O peut alors rechercher, e utilisat la loi biomiale, l itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % correspodat. Ue tabulatio de la loi biomiale de paramètres = 870 et p = 0, 8 fourit les résultats suivats : P fréquece k / 67 0,045 0,77 673 0,096 0,774......... 78 0,9733 0,85 79 0,9783 0,86 k ( X k ) L itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % de la fréquece des jurés d origie mexicaie est : 0,774; 0,86. [ ] 36/63

339 La fréquece observée est f = 0, 39. Cette valeur e se situe pas das l itervalle de fluctuatio. La 870 différece est sigificative au seuil de 95 % et l hypothèse p = 0,8, avec u titrage aléatoire des jurés, est rejetée. De fait, l accusé a obteu gai de cause et a été rejugé par u autre jury. Exemple 3 : sécurité au carrefour U groupe de citoyes demade à la muicipalité d ue ville la modificatio d u carrefour e affirmat que 40 % des automobilistes touret e utilisat ue mauvaise file. U officier de police costate que sur 500 voitures prises au hasard, 90 preet ue mauvaise file.. Détermier, e utilisat la loi biomiale sous l hypothèse p = 0,4, l itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %.. D après l échatillo, peut-o cosidérer, au seuil de 95 %, comme exacte l affirmatio du groupe de citoyes? Élémets de répose. [0,358 ; 0,444].. f = 0,38. L affirmatio est cosidérée comme exacte. Exemple 4 : gauchers Das le mode, la proportio de gauchers est %. Soit le ombre d élèves das votre classe.. Détermier, à l aide de la loi biomiale, l itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % de la fréquece des gauchers sur u échatillo aléatoire de taille.. Votre classe est-elle «représetative» de la proportio de gauchers das le mode? Élémets de répose. E preat = 30, l itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % est [0,033 ; 0,33] (etre et 7 gauchers). E preat = 5, l itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % est [0 ; 0,4] (etre 0 et 6 gauchers).. Cela reviet à situer la fréquece observée das la classe par rapport à l itervalle de fluctuatio. Exemple 5 : ségrégatio sexiste à l embauche (d après documet ressource pour la classe de Secode. Ce problème peut être revisité à l aide de la loi biomiale.) Deux etreprises recrutet leur persoel das u vivier comportat autat d hommes que de femmes. Voici la répartitio etre hommes et femmes das ces deux etreprises : Hommes Femmes Total Etreprise A 57 43 00 Etreprise B 350 (54%) 50 (46 %) 500 Peut-o suspecter l ue des deux de e pas respecter la parité hommes-femmes à l embauche? Exemple 6 : géérateur de ombres aléatoires. Sur u tableur, o etre das la cellule A la formule = ENT(ALEA()*), que l o recopie vers le bas jusqu e A00. O déombre alors que le ombre apparaît 58 fois das la plage de cellules A : A00. Au seuil de 95 %, peut-o rejeter l hypothèse selo laquelle le géérateur de ombres aléatoires du tableur foctioe bie?. Même questio si l o recopie la formule vers le bas jusqu e A000, et que l o déombre 580 occurreces du ombre das la plage de cellules A : A000. 37/63

E Lie avec l itervalle de fluctuatio exploité e classe de Secode O cosidère ue populatio où la proportio d u caractère est p, das laquelle o prélève, au hasard et avec remise, u échatillo de taille. La variable aléatoire X correspodat au ombre d observatios du caractère sur u échatillo suit la loi biomiale de paramètres et p. O peut calculer à l aide de la loi biomiale, otammet à l aide de l algorithme du paragraphe VII-C-, a l itervalle b, de fluctuatio au seuil de 95 % de la fréquece observée sur u échatillo de taille, où a est le plus petit etier tel que P ( X a ) > 0, 05 et b est le plus petit etier tel que P X b 0,. ( ) 975 a La otatio b, reteue ici rappelle que les etiers a et b dépedet de l etier. Les programmes demadet de comparer, pour ue taille de l échatillo importate, cet itervalle avec l itervalle de fluctuatio p, p + exploité e classe de secode. Ce derier itervalle, plus facilemet calculable, résulte d approximatios 6, alors que la loi biomiale est la loi exacte correspodat à la situatio. E fixat différetes valeurs de, il est possible de calculer les deux types d itervalles pour p variat de 0 à. Les graphiques suivats ot été réalisés pour = 30, = 00 et = 000, e faisat varier, das chaque cas, p de 0 à avec u pas de 0,05. 0,9 Itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % pour des échatillos de taille 30 Fréquece f observée 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Proportio p das la populatio a/ b/ p - /rac(30) p + /rac(30) 6 Voir l aexe 8. 38/63

Itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % pour des échatillos de taille 00 Fréquece f observée 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Proportio p das la populatio a/ b/ p - /rac(00) p + /rac(00) Itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % pour des échatillos de taille 000 Fréquece f observée 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Proportio p das la populatio a/ b/ p - /rac(000) p + /rac(000) O observe que l itervalle de fluctuatio a b, est sesiblemet le même que l itervalle p, p + lorsque est assez grad et p i trop petit i trop grad : pour = 30, c est le cas lorsque p est compris etre 0,3 et 0,7 ; pour = 00, c est le cas lorsque p est compris etre 0, et 0,8 ; pour = 000, c est le cas lorsque p est compris etre 0,05 et 0,95. 39/63

Aexe Couple d idicateurs et problèmes de miimisatio Le but de cette aexe est de préseter le lie etre u idicateur de positio et u idicateur de dispersio qui lui est associé. Positio du problème O se doe ue série statistique quatitative x, x,, x, que l o veut «résumer» par u couple d idicateurs doat u reseigemet sur la positio et sur la dispersio de la série. Supposos d abord que = pour dégager l idée. La série costituée de deux valeurs est idetifiée au poit A( x, x) du pla mui d u repère. O s itéresse au poit M de la droite d équatio y = x qui est le plus proche de A, si toutefois ce poit existe. Si est quelcoque, o idetifie la série au poit A( x,..., x ) de R et o s itéresse, de la même maière, au poit M ( x,..., x ) qui est le plus proche de A. Ce poit M, s il existe, réalise la plus courte distace de A à la droite (O, R u ), avec u (,...,). M ( x, x ) y = x A( x, x ) Si le poit M ( x,..., x ) précédemmet décrit existe, ous coveos de ommer idicateur de positio de la série le ombre x, et idicateur de dispersio associé la distace d( A, M ). Il existe plusieurs distaces das R. Recherchos les couples d idicateurs correspodat à trois distaces classiques : d( A, M ) = x i x, d ( A, M ) = ( x i x), d ( A, M ) = max xi x. i= i=,, i= Ces trois expressios dépedet uiquemet de la variable réelle x. Das la suite, ous les otos plus simplemet d ( ), d ( ) et d (x). x x Étude des trois foctios d, d et d Commeços par étudier la foctio d. Si x désige la moyee arithmétique des valeurs alors o a : x,, x, x, ( x x) ( xi x) ) = ( x x)(xi x x) = ( x x) 0 d ( x) d ( x) = Doc d x) d ( x) 0. ( i= i. i= Aisi pour tout x, d ( x) d ( x). La valeur miimale de la foctio d est atteite e x = x et est égale à la variace σ de la série statistique. La moyee x est doc associée assez aturellemet à l écart-type via cette propriété. O aurait pu aussi étudier les variatios de la foctio d et motrer qu elle admet u uique miimum au poit x = x. Coclusio : avec la distace d, le couple d idicateurs associé à la série est le couple (moyee, écarttype). 40/63

Le cas de la foctio d est mois courat das la littérature. O commece par ordoer par ordre croissat les observatios, et o suppose doc désormais que x x x. U calcul u peu plus fastidieux amèe à distiguer deux cas : si est impair (égal à p + ), d a u uique miimum atteit e x = x p+ ; si est pair (égal à p ), d admet tout poit de l itervalle [ x p ; x p+ ] comme miimum. Das les deux cas, ue valeur qui miimise d est ue médiae Me de la série statistique. Comme o l avait déjà oté das les classes du collège, das le cas d ue série comportat u ombre pair d observatios, ue médiae est pas défiie de maière uivoque et il appartiet doc de choisir ue covetio si o veut défiir "la" médiae. Néamois, o peut remarquer que la valeur miimale de d obteue est d( Me) = x i Me qui est l écart absolu moye à la médiae. Aisi ue médiae est associée i= aturellemet à cet écart moye. Bie etedu, cet idicateur de dispersio est bie mois utilisé que l écart iterquartile Q3 Q. Coclusio : avec la distace d, le couple d idicateurs associé à la série est le couple (médiae, écart moye à la médiae). La foctio d admet u uique miimum e x = ( x + x ), milieu des deux valeurs extrêmes. C est u idicateur de positio qui est pas répadu, mais il est associé à u paramètre de dispersio qui, lui, est plus cou : la valeur miimale de d obteue e x est égale à la moitié de l étedue x x. Coclusio : avec la distace extrêmes, demi-étedue). d, le couple d idicateurs associé à la série est le couple (milieu des 4/63

Pour ue suite ( k ) k commue m et comme variace Aexe Loi faible des grads ombres X de variables aléatoires idépedates et de même loi admettat comme espérace probabilité que la moyee empirique l ifii, ce qui s écrit formellemet : σ, la loi faible des grads ombres établit que pour tout ε > 0, la X k k= s écarte de m d au mois ε ted vers 0 quad ted vers ε > 0, lim P = 0 X k m ε. k= O propose de motrer ce résultat das le cas particulier d u schéma de Beroulli et o ote S la variable aléatoire comptat le ombre de succès. La variable aléatoire S suit la loi biomiale b(, p) où p est la probabilité d obteir u succès. O se doe ε > 0 et o majore : P k = X k m ε = P S P k = p ε = P X k ( S p ε ) = P( S E( S ) ε ) Var( S m ε ε ) E = [( S E( S )) ] ε où S = X k k = où o a utilisé l iégalité de Tchebychev qui stipule que pour ue variable aléatoire Z admettat ue Var( Z) variace, o a pour tout ombre réel a > 0 : P( Z E( Z) a ). a Comme la variace d ue loi biomiale de paramètres et p est égale à p( p) et que so espérace est p, o e déduit que : O dit aussi que X k k= ( ) lim lim = 0 p p P X k p ε k = ε. coverge e probabilité 7 vers p quad ted vers l ifii. Ceci prouve la loi faible des grads ombres das le schéma de Beroulli. La preuve du cas gééral pour ue suite quelcoque de variables aléatoires idépedates et de même loi se fait de maière aalogue e utilisat le fait que la variace d ue somme de variables aléatoires idépedates est égale à la somme des variaces. Le théorème cetral-limit (termiologie aglo-saxoe) ou théorème de la limite cetrée doe des précisios sur la covergece de la moyee empirique X k k= vers la moyee commue m. Ce théorème idique commet se comporte, lorsque ted vers l ifii, la probabilité que l erreur appartiee à u itervalle [ a, b] quelcoque. k= X k m 7 Il existe ue loi forte qui correspod à u autre type de covergece, la covergece presque sûre. 4/63

Aexe 3 Espérace de la loi géométrique troquée : approches expérimetales Calculatrice Algorithme modifié sur Algobox O peut faire établir l égalité E ( X ) [ ( + p)( p) ] =, puis utiliser u outil umérique ou graphique p pour émettre ue cojecture sur la limite de E (X ) lorsque ted vers l ifii. 43/63

Poit de vue umérique : o costruit ue feuille de calcul doat les valeurs de E (X ) pour ue valeur de p, e foctio de. Poit de vue graphique : o costruit (ici sur géopla) la représetatio graphique de la suite défiie par u = [ ( + p)( p) ] et o observe ue stabilisatio pour de grades valeurs de. p Pour p = 0, par exemple, il semble que les valeurs se stabiliset autour de 5, d où l idée de tracer la droite d équatio y =. p p = 0,5 p = 0, 5 44/63

Aexe 4 Loi géométrique O répète das des coditios idetiques ue épreuve de Beroulli de paramètre p et o arrête le processus au premier succès obteu. La loi géométrique de paramètre p est par défiitio la loi de la variable aléatoire X, rag du premier succès. Quelques propriétés de la loi géométrique La variable X pred ses valeurs das N* et pour tout etier aturel k o ul : O vérifie facilemet que : P ( X = k) = (somme d ue série géométrique) k O motre que : E( X ) = (e utilisat la dérivée d ue série géométrique) et que p utilisat etre autre la dérivée secode d ue série géométrique). k P( X = k) = ( p) p. p V ( X ) = (e p Il est à oter que l espérace de la loi géométrique de paramètre p est la limite de l espérace de la loi géométrique troquée de paramètres et p. Précautios e classe de Première La variable X pred toutes les valeurs etières sauf 0. L uivers associé est doc pas fii et e figure pas aux programmes du lycée. Ue approche à l aide de l algorithmique Le processus au cours duquel o répète das des coditios idetiques ue épreuve de Beroulli de paramètre p et que l o arrête au premier succès obteu, est très facile à mettre e œuvre avec u algorithme. L istructio et(nbraléat + p) géère u ombre aléatoire etier qui vaut avec ue fréquece de p et 0 avec ue fréquece de ( p). O otera que, das la pratique, le programme correspodat s arrête toujours. Lagage aturel Etrée : valeur de p Iitialisatio : X pred la valeur 0 k pred la valeur 0 Traitemet : tat que k = 0 k pred la valeur et(nbraléat p) X pred la valeur X + Fi du "while" Sortie : valeur de X Sur calculatrice modèle TI 84+ 45/63

Sous Algobox Sous Scilab 46/63

Aexe 5 Quelques outils de calcul avec la loi biomiale Tableur La sytaxe LOI.BINOMIALE(k ; ; p ; FAUX) ou LOI.BINOMIALE(k ; ; p ; 0) revoie la probabilité P ( X = k), pour ue variable aléatoire X de loi biomiale de paramètres et p. La sytaxe LOI.BINOMIALE(k ; ; p ; VRAI) ou LOI.BINOMIALE(k ; ; p ; ) revoie la probabilité cumulée P( X k). La sytaxe COMBIN(; k) doe la valeur du coefficiet biomial. k U logiciel : Scilab Calcul des coefficiets biomiaux L algorithme ci-dessus affiche les coefficiets pour k compris etre 0 et, la valeur de état celle k itroduite au départ. (Les coloes d ue matrice sot repérées à partir de, ce qui explique la présece du + ). 47/63

L algorithme ci-après affiche le triagle de Pascal. Deux modèles de calculatrice Modèles TI (84, mais aussi 83 et 8 avec des modificatios mieures) Calcul de probabilités avec ue loi biomiale - Probabilité de l évéemet { X = k } Istructio DISTR (touches ND VARS ) puis sélectioer.biomfdp(. Sytaxe : (ombre d essais, probabilité de succès, valeur désirée pour la probabilité). - Probabilité de l évéemet { X k } Istructio DISTR (touches ND VARS ) puis sélectioer.biomfrép(. Sytaxe : (ombre d essais, probabilité de succès, valeur désirée pour la probabilité). Valeur des coefficiets biomiaux Touche MATH puis PRB et istructio Combiaiso.. Sytaxe «, combiaiso, k». 48/63

Modèle Casio (graph 35+) Calcul de probabilités das le cadre d ue loi biomiale - Probabilité de l évéemet { X = k } Icôe STAT, choisir DIST (touche F5 ) et BINM (touche F5 ). Efi, Bpd (touche F ) et Var (touche F ). Reseiger la boîte de dialogue : Data : variable ; x : valeur désirée pour la probabilité ; Numtrial : ombre d essais ; p : probabilité de succès - Probabilité de l évéemet { X k } Icôe STAT puis saisir das la liste les valeurs prises par k : 0,,,. Choisir DIST (touche F5 ) et BINM (touche F5 ). Efi, Bcd (touche F ). Reseiger la boîte de dialogue : Data : List ; x : List ; Numtrial : ombre d essais ; p : probabilité de succès Pour chaque valeur de k, la valeur de la probabilité de l évéemet { X k } est affichée das ue liste. Valeur des coefficiets biomiaux Touche OPTN puis PRB et istructio Cr.. Sytaxe : «Cr k». 49/63

Aexe 6 Coefficiets biomiaux et quadrillage L objectif est de doer ue représetatio des coefficiets biomiaux à partir des trajets sur u quadrillage. Ce travail peut être u sujet d étude pour la série S. De l arbre au quadrillage O lace trois fois ue pièce de moaie équilibrée. Il est d usage de schématiser les huit issues de cette expériece aléatoire par les huit trajets das u arbre tel que celui représeté ci-cotre. Sur le schéma, et pour chaque lacer, o a codé «P» pour «pile» et «F» pour «face». O peut coveir d orieter la brache de l arbre vers le ord-est pour chaque résultat «pile», vers le sudest pour chaque résultat «face». sud-est ord-est P F P F P F P F P F P F P F O peut evisager ue simplificatio, toujours avec la même covetio : chaque déplacemet vers le ord-est schématise u résultat «pile», chaque déplacemet vers le sud-est schématise u résultat «face». ord-est 3 piles face, piles L arbre obteu pour la même expériece aléatoire a plus que 4 termiaisos au lieu de 8. Toutes les issues doat le même ombre de «pile» et de «face» correspodet e effet à plusieurs trajets qui aboutisset à ue uique termiaiso. O retrouve aisi, par exemple, qu il y a trois trajets doat «face» et «pile», les trajets état limités aux deux directios précédetes. sud-est faces, pile 3 faces Gééralisos cela à lacers ( ). La variable X qui comptabilise le ombre de «face» suit ue loi biomiale de paramètres et 0,5. L arbre correspodat aura + termiaisos correspodat au résultat «k faces, k piles», c est-à-dire à X = k, pour tout k tel que 0 k. l évéemet { } O sait que pour 0 k P( X = k) = k et que chaque trajet a pour probabilité, le ombre de trajets aboutissat à la termiaiso { k } X = est égal à. k. Il e résulte que, 50/63

- 0 face, piles : = trajet 0 Pile face, piles : = trajets - k 0 k faces, k piles : k trajets Face k faces, pile : = trajets - faces, 0 pile : = trajet Faisos tourer la figure de 45 das le ses trigoométrique : les œuds du schéma précédet devieet des poits à coordoées etières das u repère orthogoal «aturel». = trajet 0 = trajets - k trajets - k = trajets 0 k - = trajet Les trajets cosidérés sot ceux partat de l origie et aboutissat aux poits de coordoées ( k, k), e suivat toujours les directios vers la droite ou vers le haut (l u d etre eux est représeté sur la figure). 5/63

Iterprétatio des coefficiets biomiaux Reteos le résultat suivat : Le ombre représete le ombre de trajets k reliat l origie au poit de coordoées ( k, k), e suivat toujours les directios vers la droite ou vers le haut. L u de ces trajets est représeté ci-cotre. - k k 0 k Formule de Pascal Cette iterprétatio fourit ue démostratio géométrique simple de la formule de Pascal. k k - k - k - k 0 k - k Supposos que k. Les trajets joigat l origie au poit de coordoées ( k, k) se subdiviset e deux catégories : - ceux passat par le poit de coordoées ( k, k ), qui sot au ombre de ; k - ceux passat par le poit de coordoées ( k, k), qui sot au ombre de. k O e déduit que, pour k : = + k k k (formule de Pascal). Remarque Cette iterprétatio des coefficiets biomiaux permet l obtetio de plusieurs formules sommatoires classiques. Le développemet de ce poit de vue est pas u objectif du programme. Applicatio : le problème des pilules Arga se croit malade, il doit predre pilules das la jourée. Il dispose de deux boîtes idetiques A et B et, chaque mati, il place pilules das chacue de ses deux boîtes. À chaque prise, il choisit ue des deux boîtes de faço équiprobable, puis pred tat que c est possible ue pilule das la boîte choisie. Au bout d u certai temps l ue des boîtes est vide. Combie l autre boîte cotiet-elle de pilules e moyee à ce momet-là? 5/63

Simulatio de l expériece sur Algobox Voici u algorithme simulat 000 expérieces, avec = 0. Traitemet mathématique O peut d abord evisager u traitemet exhaustif pour ue petite valeur de ( = 3 par exemple). Pour ue valeur plus élevée ( = 0 ), il est itéressat de visualiser chaque expériece comme ue marche aléatoire sur u carré. U bord est atteit (à droite ou e haut) lorsqu ue boîte est vide. Aisi ue expériece pour laquelle il e reste plus aucue pilule das la boîte A et 0 pilules das la boîte B correspod à l uique marche aléatoire aboutissat au poit de coordoées (0, 0). Si k 9, ue expériece pour laquelle il e reste plus aucue pilule das la boîte A et 0 k pilules das la boîte B correspod à ue marche aboutissat au poit de coordoées (0, k), sas passer par le poit de coordoées (0, k ). Nombre de trajets : 0 + k 0 (0, k) Nombre de trajets : 9 + k 0 C est l occasio de réivestir l iterprétatio géométrique des coefficiets biomiaux. Pour k 9, le ombre de chemis allat de l origie au poit de coordoées (0, k) sas passer par le poit de coordoées (0, k ) est égal à Pascal. 0 + k 9 + k, soit ecore 0 0 9 + k 9 d après la formule de 53/63