Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude de la covergece par les relatios de comparaiso, comparaiso à ue série géométrique, à ue série de Riema Sommatio des relatios de prépodérace et d équivalece pour les séries covergetes et divergetes Comparaiso d ue série et d ue itégrale, cas des séries de Riema Critères de Cauchy pour les séries à termes réels ou complexes Covergece absolue Covergece d ue série alterée dot le terme gééral décroît vers 0 e valeur absolue, sige et majoratio du reste Exemples d emploi de la trasformatio d Abel Exemples d emploi d u développemet asymptotique du terme gééral Opératios sur les séries Produit de Cauchy de deux séries absolumet covergetes Leços traitat des séries umériques : 202 : Séries à termes réels positifs Applicatios 203 : Séries à termes réels ou complexes : covergece absolue, semi covergece (les résultats relatifs aux séries à termes réels positifs état supposés cous) 25 : Comparaiso d ue série et d ue itégrale Applicatios 402 : Exemples d étude de suites ou de séries divergetes 404 : Exemples d étude de la covergece de séries umériques 405 : Exemples de calcul exact de la somme d ue série umérique 407 : Exemples d évaluatio asymptotique de restes de séries covergetes, de sommes partielles de séries divergetes 408 : Exemples d étude de séries réelles ou complexes o absolumet covergetes 49 : Exemples d utilisatio d itégrales pour l étude de suites et de séries 2 Rappels de cours Soit ( ) ue suite complexe O ote U = k=0 u k et o dit que 0 coverge et a pour somme S(u) si et seulemet si la suite (U ) coverge vers S(u) La théorie des séries umériques est développée das tous les recueils d aalyse du premier cycle Citos cepedat le livre d ATissier et JNMialet, Aalyse à ue variable réelle 2 Gééralités sur les séries Détermiatio directe de la somme Les cas où elle est possible sot assez peombreux Citos le cas où = ϕ() ϕ( + ), avec ϕ : N C
Si 0 coverge, alors lim = 0 Applicatio : = ( ) et v = s où R(s) 0 sot les termes gééraux de séries divergetes La réciproque est fausse : la série de terme gééral ( = l + ) ( ) + = l = l( + ) l() est divergete Critère de Cauchy C est u critère peu maiable e pratique O le réservera à des exercices théoriques et à quelques situatios particulières Il permet cepedat de prouver que la série harmoique est divergete La covergece absolue O dit que la série a coverge absolumet si a est covergete O ote l l espace des séries absolumet covergete C est u espace complet La covergece absolue implique la covergece C est équivalet au fait que l espace (ici R ou C) est complet 22 Séries à termes positifs O suppose ici que 0 0 coverge si et seulemet si la suite (U ) est borée La propriété est fausse si les e sot pas tous positifs Cosidérer par exemple = e i Comparaiso Soiet 0 et 0 v deux séries à termes positifs O ote (S (u)) (resp (S (v))) la suite des sommes partielles associée à u (resp à v) Si les séries coverget, o ote (R (u)) (resp (R (v))) la suite des restes associée à u (resp à v) Supposos que v Si 0 v coverge, alors 0 coverge Si 0 diverge, alors 0 v diverge Si v, les séries 0 et 0 v sot de même ature Aisi les séries 0, 0 + et 0 l( + ) sot de même ature D autre part, e cas de covergece R (u) R (v) et e cas de divergece S (u) S (v) Supposos v = O( ) (resp v = o( )) Si 0 coverge alors 0 v coverge et R (v) = O(R (u)) (resp R (v) = o(r (u))) Si 0 v diverge alors 0 diverge et S (v) = O(S (u)) (resp S (v) = o(s (u))) 2
Critère de d Alembert, Cauchy et Raabe-Duhamel D Alembert : Soit 0 ue série à termes > 0 Si lim sup + <, la série 0 coverge Si lim if + >, la série 0 diverge Cauchy : Soit 0 ue série à termes 0 Si lim sup <, la série 0 coverge Si lim if >, la série 0 diverge Raabe et Duhamel : Soit 0 ue série à termes > 0 O suppose que + = α +o ( ) Alors 0 coverge si α > et diverge si α < Ces critères sot utiles pour les séries dot le terme gééral s apparete à celui d ue série géométrique Remarquos que si + l quad alors l mais la réciproque est fausse Il suffit e effet de cosidérer la suite défiie par u 2 = a b et u 2+ = a + b où a, b > 0 Alors 0 coverge si ab < ce que permet d établir le critère de Cauchy mais pas celui de d Alembert Reteir que les critères de d Alembert et de Cauchy e permettet pas de traiter les séries de Riema La règle de Raabe-Duhamel permet de les traiter mais la démostratio de ce critère utilise le critère de Riema! 23 Comparaiso série et itégrale O suppose das cette partie que le terme gééral de la série s exprime sous ue forme explicite = f() où f est ue foctio cotiue sur [0, + [ Si la foctio f chage trop etre deux valeurs etières cosécutives, il y a pas de raiso qu il y ait de lie etre la série 0 et l itégrale + f(t)dt O devra faire des hypothèses sur f pour pouvoir comparer la série et 0 l itégrale Soit f : R + R + ue foctio mootoe Alors la série 0 f() et + 0 f(t)dt sot de même ature Ce résultat permet de traiter le cas des séries de Riema et des séries de Bertrad Si f est ue foctio réelle, défiie sur [0, + [, cotiue, décroissate, de limite ulle e +, et itégrable, alors la série 0 f() coverge et + + f(t)dt R (u) + f(t)dt Si f est ue foctio réelle, défiie sur [0, + [, cotiue, décroissate alors la suite ( ) défiie par 0, = f(k) k=0 + 0 f(t)dt croît et coverge das R + E coséquece, si la série 0 diverge, o a : R (u) 0 f(t)dt Soit f : [a, + [ R ue foctio cotiue où a N, (a ) ue suite de [a, + [ strictemet croissate et tedat vers + et, pour tout a, = a + a f(t)dt 3
Si + f(t)dt est covergete, alors la série a a est covergete et S(u) = + f(t)dt a La réciproque du résultat précédet est fausse e gééral Elle est cepedat vraie das les cas suivats : La foctio f est positive La foctio f est de sige costat sur chaque [a, a + ] La foctio f est ted vers 0 e + et la suite (a + a ) est borée 24 Associativité et commutativité de la somme d ue série Sommatio par paquets Soiet 0 ue série, ϕ : N N ue applicatio strictemet croissate O défiit v 0 = U ϕ(0) et pour tout, v = U ϕ() U ϕ( ) La série 0 v est dite obteue à partir de la série 0 par regroupemet des termes (o parle aussi de sommatio par paquets) Si la série 0 coverge alors la série 0 v coverge et S(u) = S(v) La réciproque du résultat précédet est fausse e gééral Cosidérer la série de terme gééral ( ) et ϕ : N N, 2 (cela cosiste à regrouper les termes de la série par paquets de deux termes) La réciproque est cepedat vraie das les cas suivats : Les paquets sot de sige costat La suite ( ) ted vers 0 et la taille des paquets est borée Séries commutativemet covergetes Soit 0 ue série et σ : N N ue permutatio O cosidère la série 0 vσ de terme gééral v σ = u σ() O dit que la série 0 est commutativemet covergete si la série 0 vσ est covergete quelque soit la permutatio σ Ue série 0 est commutativemet covergete si et seulemet si elle est absolumet covergete O a alors, pour tout σ S N, 0 = 0 u σ(), la série 0 u σ() état absolumet covergete Soit 0 ue série semi-covergete réelle et S u réel Alors il existe ue permutatio σ : N N telle que 0 u σ() = S Plus gééralemet, pour importe quel itervalle fermé o vide I de R, il existe ue permutatio σ de N telle que la suite des sommes partielles associée à 0 u σ() admette I comme esemble de valeurs d adhérece 25 Séries semi-covergetes Rappelos que l étude d ue série à termes quelcoques doit toujours débuter par l étude de la covergece absolue O appelle séri semi-covergete ue série covergete et o absolumet covergete Cas des séries alterées Ue série alterée dot le terme gééral décroit e valeur absolue à partir d u certai rag et ted vers 0 est covergete 4
Plus gééralemet : règle d Abel Soit ue série umérique 0 v où ( ) 0 et (v ) 0 sot deux suites umériques O ote U = k=0 u k O suppose que la suite (U ) 0 est borée (), que la suite (v ) 0 ted vers 0 (2) et que la série de terme gééral v + v coverge (3) Alors la série 0 v est covergete La coditio (3) peut être remplacée par (v ) est ue suite réelle décroissate Recherche de développemets limités U développemet limité permet souvet de décomposer le terme gééral d ue série comme somme de plusieurs termes faciles à étudier Sommatio par paquets Le théorème sur la sommatio par paquet permet d étudier certaies séries o absolumet covergetes 26 Produit de séries Soiet u = 0 et v = 0 v deux séries O appelle produit de ces deux séries la série de terme gééral w = k=0 u kv k et o le ote u v Produit de séries absolumet covergetes Soiet 0 et 0 v deux séries absolumet covergetes Alors leur produit est ue série absolumet covergete et l o a 0 w = 0 u 0 v Les autres cas Soiet 0 et 0 v deux séries covergetes Si leur produit est ue série covergete, ce qui est pas toujours le cas, alors 0 w = 0 u 0 v Théorème de Mertes Soiet 0 ue série absolumet covergete et 0 v ue série covergete Alors leur produit est ue série covergete et l o a 0 w = 0 u 0 v 27 Calcul approché de la somme d ue série covergete Problématique : Soit S = 0 ue série covergete O ote S la somme partielle d ordre État doé ɛ > 0, o cherche à détermier u etier (le plus petit possible) à partir duquel R = S S < ɛ Ce paragraphe est tiré de [Au-Ga] Cas des séries alterées : Soit (a ) ue suite positive, décroissate de limite ulle Alors la série S = 0 ( ) a est covergete et l o a, pour tout etier, R a + Cas des séries relevat de la règle de Cauchy : Si lim <, alors il existe α ]0, [ tel que α à partir d u certai rag 0 O aura alors, pour tout 0, R k=+ α k = α+ α 5
Cas des séries relevat de la règle de D Alembert : Si lim + <, alors il existe α ]0, [ tel que p 0, +p α p à partir d u certai rag 0 O a alors, pour tout 0, R + α k = + α u α α k=0 Cas des séries comparable à des itégrales impropres : Si f est ue foctio réelle, défiie sur [0, + [, cotiue, décroissate, de limite ulle e +, et itégrable, alors la série 0 f() coverge et 3 Exercices + + f(t)dt R + 3 Détermiatio directe [Fl] p56 et p57 Calculer 3 f(t)dt 2 3 4 et 2 + 2i 2 0 32 Détermiatio directe [Fl] p58 Calculer 0 ( ) arcta + + 2 et ( ) arcta 2 2 33 Comparaiso à ue série géométrique [Fl] p Etudier la série de terme gééral = a 2 2 où a et b sot deux réels strictemet positifs + b 34 Comparaiso à ue série géométrique [Fl] p2 Etudier les séries de termes gééraux : = α ( + a)( + a 2 ) ( + a ) (a > 0, α R), v =! si x si x 2 si x (x > 0) 35 Utilisatio de développemets limités [Ti,Mi] p99 a Détermier la ature de la série où = ( ) +( ) b Soit 0 < t < π Détermier la ature de la série où = si(t) cos(t) 6
36 Produit de Cauchy [Ti,Mi] p200 O cosidère pour tout s > 0 la série a s = 0 ( ) (+) s a Motrer que pour tout s ]0, [, la série a s est semi-covergete b Motrer que si r + s, le produit a s a r est grossièremet diverget 37 Regroupemet de termes [Fl] p27 Soit = pour le terme gééral de la série harmoique O cosidère la série de terme gééral v défiie par v = si e cotiet pas 0 das so écriture décimale et 0 sio Etudier la covergece de la série v Idicatio : Regrouper les termes suivat la logueur de leur développemet décimal 38 Regroupemet de termes Détermier la somme de la série : ( ) ( ) 2 39 Série des ombres premiers [Mo,Ve] p7 O ote (p ) la suite des ombres premiers classée das l ordre croissat : p = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, a Motrer que p α coverge pour tout α > b Soit ( ) ue suite à valeur das [0, ] Motrer que les séries suivates sot de même ature : u, l( + ), l( ) et + O ote π = k= ( p k ) c E utilisat la décompositio e série etière de ( x) et l uicité de la décompositio d u etier e produit de facteurs premiers, motrer que π + 2 + + d E déduire la ature de π, l( p ) et p 30 Séries à terme gééral décroissat Soit ( ) ue suite décroissate a [Ti,Mi] p68 et [Fl] p30 O suppose que la série coverge Motrer que ( ) coverge vers 0 b [Fl] p26 Si ( ) est positive, motrer que les séries 0 et 0 2 u 2 sot de même ature c Etudier la ature des séries de terme gééral suivat pour s > 0 :, s (l ), s (l ), s l (l(l )), s l l(l())(l(l(l ))) s 7
3 Comparaiso logarithmique [Ti,Mi] p69 Soit ( ) 0 et (v ) 0 deux suites à termes strictemet positifs a Motrer que si à partir d u certai rag + v + v alors, la covergece de v etraîe la covergece de et la divergece de etraîe la covergece de v b Applicatio : Retrouver le critère de d Alembert : si + r et si r < motrer que la série u coverge e preat pour v ue série géométrique de raiso ρ avec r < ρ < De même motrer que diverge si r > c Applicatio : Retrouver le critère de Duhamel : soit λ R O suppose que + = λ +o ( ) Motrer que si λ >, coverge et si λ <, diverge Pour cela, cosidérer v = s, s > 0 et vérifier qu alors v + v = s + s(s+) + o ( ) 2 2 2 d Applicatio : Retrouver le critère de Gauss : Soit c R O suppose que + o ( ) Alors 2 u diverge (cosidérer v = ( + a) ) e O suppose que + = s s < (cosidérer v = /( l s ())) f O suppose que + l() + o ( l() = + c 2 + ) Alors coverge si s > et diverge si = s + ε avec ɛ qui coverge Motrer que l ( u+ ) = s + w avec w qui coverge E déduire qu il existe A > 0 tel que A s E déduire la ature de la série g Etudier la ature des séries de terme gééral suivat : ( ) 2 47 (3 2) ; ( ) 369 (3) 32 Equivalet [Go] p22 a(a ) (a + ), a R;! Soit f : R + R + ue foctio de classe C vérifiat : f (x) lim x f(x) = ( ) 2 35 (2 ) ; 468 (2) (2 e /k ) Motrer que la série f() coverge et doer u équivalet, lorsque ted vers + de la suite (R ) des restes d ordre Remarque : Vous trouverez des développemets sur le même thème das [Di] aux pages 0, 02 et 03 33 Modificatio de l ordre des termes [Fl] p46 O forme ue ouvelle série, à partir de ( ) + 8 k=
e écrivat les termes das l ordre suivat : p termes positifs, puis q termes égatifs, etc où (p, q) N 2 fixé, l ordre relatif des termes positifs est pas chagé, i l ordre relatif des termes égatifs Motrer que la série obteue est ecore covergete et détermier sa somme 34 Développemet Etudier la série ( ) E( ) 4 Bibliographie α où α R [Au-Ca] Auliac G et Caby JY, ANALYSE pour le CAPES et l agrégatio Itere, ellipses [Do-Si] Doukha P et Sifre JC, Cours d aalyse, Aalyse réelle et itégratio, Duod [Fl] Flory G, Topologie et aalyse, tome 4, Vuibert [Go] XGourdo, les maths e tête, Aalyse, Ellipse [Ti,Mi] Tissier A, Mialet JN, Aalyse à ue variable réelle, Bréal [Fl] Dieudoé J, Calcul ifiitésimal, Herma [Mo,Ve] Moisa J, Verotte A, Topologie et séries, Ellipse 9