Acquisition, analys t traitmnt d signaux : bruit t msurs Rédaction du cours t travail xpérimntal associé : Jan-Baptist Dsmoulins (P.R.A.G.) mail : dsmouli@physiqu.ns-cachan.fr Notions fondamntals abordés lors d ctt séanc : - Mis n œuvr d la macro d acquisition sous Igor t ds macros d traitmnt associés. - Notion d taill d mémoir à l acquisition t ss conséquncs sur l xploitation qui suit. - Caractéristiqus d un bruit gaussin. - Définition d la msur d un grandur n scincs xpérimntals t xmpl d mis n œuvr pratiqu. - Princip t limits d la détction synchron, mis n œuvr pratiqu pour xtrair un signal d un bruit. - Obtntion d un fonction d transfrt par transformé d Fourir d la répons impulsionnll. Présntation : Dans c TP, nous allons abordr différnts problèms qui n ont pas tous un lin dirct ntr ux En rvanch, chaqu xpérinc, donnra liu à un acquisition d donnés numérisés sur un oscilloscop ainsi qu à un analys t/ou un traitmnt. Par aillurs, c sujt donn liu à la mis n œuvr d un détction synchron, un outil important n instrumntation. I. Etud d un bruit gaussin : xmpl du bruit synthétisé par un génératur Agilnt 33A. Dans ctt parti, nous allons étudir ls caractéristiqus du bruit produit par un génératur 33A (bouton d form d signal «nois»). Nous allons rchrchr ss caractéristiqus ssntills : dnsité spctral d puissanc t son évolution avc la fréqunc, valur fficac, valur maximal n ssayant d précisr c qu signifint cs grandurs. I. 1. Notion d bruit gaussin : On n put pas abordr ls signaux aléatoirs t n particulir ls bruits avc ls mêms outils d rprésntation qu ls signaux périodiqus. Nous allons voir qull démarch adoptr n présnc d tls signaux. I.1.1. Outils d rprésntation d un bruit. Nous allons supposr qu l bruit avc lqul nous allons travaillr sont rgodiqus, c'st-à-dir qu l'évolution d c signal aléatoir au cours du tmps apport la mêm information qu'un nsmbl d réalisations. Par xmpl, la valur moynn d un bruit sra égal à la moynn obtnu à partir d la pris d un nombr suffisant d échantillons. I.1.1.1 Qulqus définitions : - La valur moynn d un signal a(t) st donné par a (t) = lim T - La valur fficac A ff d c mêm signal st donné par A ff = lim T 1 T 1 T T T s s(t).dt (t). dt Ctt façon d définir la valur fficac n st pas forcémnt la plus pratiqu dans la msur où l signal n st connu qu sur un duré limité. Nous vrrons, par la suit, qu il st parfois possibl d définir un valur fficac à partir d l écart-typ ds valurs priss par l bruit. 1
Approch spctral : - La dnsité spctral D a (f) d c signal st défini par A ff = D (f ). df L intérêt d la dnsité spctral d puissanc, c st qu ll n dépnd qu du bruit considéré, alors qu la valur fficac dépnd égalmnt d la band passant d l apparil qui donn sa valur. Par aillurs, la dnsité spctral d puissanc d un signal a(t) st la transformé d Fourir d sa fonction d autocorrélation (théorèm d Winr-Kinchin), ctt drnièr étant défini par C aa T a ( τ) = lim a(t).a(t τ) dt T I.11.. Comportmnt spctral du bruit. On put souvnt dir qu l bruit, sur la plag d fréqunc sur laqull on travaill, présnt un spctr constant. On va alors souvnt supposr qu il st constant qull qu soit la fréqunc. On parl alors d bruit blanc (par analogi avc la lumièr blanch). Il xist égalmnt ds bruits dont la dnsité spctral fluctu avc la fréqunc. Globalmnt, ls bruits vont avoir n général un dnsité qui évolu continûmnt avc la fréqunc. Nous allons voir qu pour d tls signaux, il faut commncr par s dmandr c qu l on a intérêt à rprésntr : spctr d amplitud ou dnsité spctral d puissanc? Sur un analysur d spctr à balayag, comm sur un analysur FFT, l nivau d spctr obtnu dépnd ds caractéristiqus d l apparil : filtr d résolution sur l analysur à balayag t transformé d Fourir d la fnêtr d troncation pour l analysur FFT. L résultat obtnu n st donc pas sulmnt un caractéristiqu du signal, mais dépnd aussi d la méthod t ds caractéristiqus du procssus mployé. Alors qu pour un signal présntant un spctr d rais, il st intérssant d rprésntr la valur fficac n fonction d la fréqunc, ctt rprésntation n st plus intérssant dans l cas d un bruit. Dans c cas, il st plus judiciux d rprésntr la dnsité spctral d puissanc. L apparil voit un valur fficac d bruit global donné dans sa band passant. Ctt valur fficac va s répartir sur un band d fréqunc donné avc un dnsité qui caractéris l signal. La valur d ctt dnsité sra obtnu n rnormalisant la valur du spctr obtnu à partir d la band équivalnt d bruit du filtr d un analysur à balayag ou à partir ds caractéristiqus d la fnêtr d troncation. I.1.1. 3. Efft d un filtr sur du bruit. Dans l cas où l on considèr un bruit blanc comm signal d ntré du filtr linéair d fonction d transfrt F(f), d gain maximal G o alors, on put écrir qu n sorti, on a un bruit d valur fficac b ff tll qu + + F(f ) b ff = F(f ).D.df = G o.d..df = G o.d. Bq G o où B q st la band équivalnt d bruit. En utilisant ct intrmédiair, on a transformé notr filtr linéair d gain maximum G o, n un filtr coupant abruptmnt, d gain maximum G o sur un band d largur B q. Ls apparils qui prmttnt d obtnir un valur fficac d bruit ont un band passant t font donc intrvnir ds phénomèns d filtrag linéair. Ainsi, l résultat affiché par l apparil n donnra pas dirctmnt la valur fficac du bruit d ntré. Il sra alors nécssair d corrigr l résultat obtnu n fonction ds caractéristiqus d l apparil mployé. I.1.. Bruit gaussin : On n put pas prévoir qull sra la valur d un bruit à un instant donné. En rvanch, on put souvnt stimr la probabilité d voir c signal prndr un crtain valur autour d sa moynn. Lorsqu un bruit résult d l action indépndant d différnts facturs physiqus, on va pouvoir l considérr comm gaussin (théorèm cntral-limit). Dans c cas ctt probabilité évolu suivant un gaussinn. Pour un tl bruit dont la valur moynn st null t l écart-typ égal à σ, l xprssion d la probabilité pour trouvr un valur du bruit égal à x st donné par 1 x. σ 1 P(x) =. σ.. π Dans c cas, l écart-typ ds valurs du bruit va nous donnr d nombruss indications : - La valur fficac du bruit sra égal à l écart-typ σ. - L intrvall d largur σ cntré sur zéro contint nviron 68% ds valurs priss par l bruit, l intrvall d largur 4σ contint nviron 95% ds valurs priss par l bruit t l intrvall d largur 6σ contint nviron 99% ds valurs priss par l bruit.
C st pourquoi, on put dir qu la valur crêt à crêt du bruit qu l on obsrv put êtr considéré comm égal à 6σ nviron. Si on prnd un apparil affichant 51 points, 5 points sulmnt sortiront d la band d valur d largur 6σ. A l œil, cs points sront pu visibls. Ctt façon d obtnir la valur fficac d bruit n st bin ntndu pas très précis ni très rigourus, mais ll prmt d avoir un ordr d grandur assz rapidmnt. En pratiqu, ls bruits n sont jamais parfaitmnt gaussins, mais on supposra malgré tout qu lur comportmnt rst assz proch d un bruit gaussin pour pouvoir adoptr ctt rprésntation. Rmarqu : Il xist ds bruits tls qu la loi d distribution ds valurs st différnt d la distribution gaussinn. Par xmpl, on put citr l bruit d photons. Quand on considèr l arrivé d un faiscau luminux monochromatiqu d fréqunc ν d puissanc moynn constant P opt, l nombr moyn d photons rçus pndant t st N tl qu Popt.t N = h. ν Pourtant, l flux d énrgi étant un succssion d quanta, l nombr d photons rçus par unité d tmps fluctu autour d N. L nombr ffctif d photons rçus sra n. La probabilité d avoir n photons st donné par C st un loi d Poisson d moynn N. n N P(n) = n!. N I.. Travail xpérimntal. Nous allons fair l acquisition du signal d bruit par un génératur Agilnt 33A (généré touch d signal «nois»). L constructur indiqu qu c bruit st gaussin t qu la band équivalnt d bruit st voisin d 1 MHz. Nous allons vérifir qu c st l cas n faisant un histogramm ds valurs d l échantillon acquis t n calculant sa dnsité spctral d puissanc. Pour qu ctt xpérinc donn ds résultats satisfaisants, il va cpndant falloir réfléchir aux conditions dans lsqulls fair l acquisition (duré t nombr d point) t égalmnt réfléchir à la façon d construir l histogramm. I..1. Acquisition du signal. L acquisition sra fait n utilisant la macro Igor prmttant d récupérr ls points numérisés sur ds oscilloscops DSO61A ou DSO51A via un intrfac GPIB-USB. Pour plus d informations sur c point, rportz vous à la notic d utilisation d ctt macro. I..1.1. L choix du nombr d points. L programm d macro prmt d récupérr l signal avc simplmnt 1 points ou avc qulqus cntains d millirs n utilisant un sous programm particulir. Vous allz fair ls dux typs d acquisitions afin d voir nsuit ls ffts du nombr d points sur ls analyss qui sront faits nsuits. I..1.. L choix d la bas d tmps (t donc d la largur d plag spctral étudié). Pour l analys spctral, nous allons avoir un bruit dont la dnsité spctral chut après 1 MHz nviron. Il nous faut donc un fnêtr d analys (égal à la moitié d la fréqunc d échantillonnag) supériur à ctt valur. On choisira un plag d analys d 5 MHz. Connaissant la rlation ntr l nombr d points acquis, la bas d tmps t la fréqunc d échantillonnag, on n déduit la duré d bas d tmps utilisr. 3
Expérinc : - Générr un bruit d V fficac avc l génératur 33A t obsrvr c signal à l oscilloscop avc un duré d bas d tmps déduit d la discussion précédnt (valur différnt suivant l nombr d points). Notz la msur donné par la fonction d msur «sdv» d l oscilloscop. Comparr à la valur fficac indiqué par l génératur. - En fair l acquisition avc 1 points puis qulqus cntains d millirs t récupérr ls dux wavs corrspondants sous Igor. On fra n sort d n gardr qu un voi d l oscilloscop activ. Qu s pass-t-il si ls dux vois sont activs? En utilisant la command WavStats, rlvr, pour chaqu acquisition, l écarttyp d la séqunc acquis. Comparr à la valur fficac affiché par l génératur. I... Analys ds donnés acquiss : Nous allons commncr par vérifir qu la distribution ds valurs st bin gaussinn t qu ls valurs obtnus sont bin clls attndus. Ensuit, nous nous intérssrons à la dnsité spctral d puissanc du bruit. Expérinc : - Calculr l histogramm ds dux séris d valurs, ntr -8V t +8V avc un pas d,5v. Commnt faiton l choix d cs paramètrs pour l histogramm? Fair un ajustmnt par un gaussinn d l histogramm obtnu. Put-on dir qu la distribution ds valurs du bruit sur ls dux séquncs étudiés st gaussinn? Déduir l écart-typ d l ajustmnt (attntion, la fonction gaussinn d fit d Igor n donn pas dirctmnt l écart-typ). Notz la valur maximal indiqué par l génératur pour la valur fficac d V. Put-on donnr l rapport ntr cs dux grandurs sans précisions supplémntairs? Pourquoi? Qu signifi «valur maximal» pour un bruit gaussin? - Rfair l histogramm avc un pas plus faibl d.5v. Qu constat-t-on? Expliqur commnt stimr la limit minimum du pas qui prmt d évitr c problèm. Rfair un histogramm just au-dssus d ctt limit. - Calculr la dnsité spctral d puissanc avc l bouton d la macro prmttant l acquisition sur l plus grand nombr d points possibl. Lissr ctt dnsité spctral avc la macro corrspondant ajouté à Igor (Cf notic d la macro Igor). La rlation ntr la valur fficac, la band d fréqunc dans laqull s distribu l bruit t la dnsité spctral obtnu pour ls plus basss fréquncs st-ll cohérnt? II. Obtntion d la fonction d transfrt d un diapason par transformé d Fourir d sa répons impulsionnll : intérêt d un translation d fréqunc Dans ctt parti, nous allons rchrchr la fonction d transfrt d un diapason. Il n st pas qustion, dans c cas, d passr par l rlvé classiqu d un diagramm d Bod pour ds qustions tchniqus. Aussi va-t-on rlvr la répons impulsionnll du systèm avant d n calculr la transformé d Fourir. L résultat st dirctmnt la fonction d transfrt. Quand l acquisition put s fair sur un nombr d points important, la transformé d Fourir prmt d calculr un nombr d points suffisant dans plag d fréqunc étroit dans laqull l systèm répond. Si l acquisition s fait sur un nombr d points plus limité (typiqumnt 1 à 5 points pour ds oscilloscops d ntré d gamm), ls ordrs d grandur conduisnt par transformé d Fourir à un résultat qui n st pas intrprétabl. On put cpndant parvnir au résultat n réalisant un translation d fréqunc. C st c qu nous xpliqurons à la fin d ctt parti. II.1. Qulqus précisions sur l princip d l xpérinc. Nous allons commncr par calculr l ordr d grandur du nombr d points qu il faudra acquérir pour obtnir un résultat convnabl, ainsi qu sur la duré d analys à utilisr suivant l factur d qualité. Suivant l nombr d points disponibls sur l systèm d acquisition, nous vrrons qull stratégi choisir. II.1.1. Fonction d transfrt t transformé d Fourir d la répons impulsionnll. On considèr un signal impulsionnl (t) = A.δ(t). Sa transformé d Fourir st E(f)=A. On appliqu c signal n ntré d un systèm linéair d fonction d transfrt F(f). Alors, n sorti d c drnir, on récupèr un signal d sorti s(t) dont la transformé d Fourir st S(f)=A.F(f). L spctr du signal d sorti corrspond donc, un à factur multiplicatif rél près, à la fonction d transfrt du systèm linéair. II.1.. Nombr d points nécssairs pour obtnir dirctmnt la fonction d transfrt par transformé d Fourir d la répons impulsionnll. II.1..1. Rlations important dans l analys FFT : On fait l acquisition d un signal pndant un duré T o, à la fréqunc d échantillonnag F c qui nous prmt d récupérr N points. Avc l oscilloscop, N st imposé (il vari néanmoins avc la bas d tmps si on 4
intrrog tout la profondur mémoir d l apparil sur ls apparils dont la profondur st d qulqus cntains d millirs d points). On règl T o c qui fix implicitmnt F. On a évidmmnt N=T o.f La transformé d Fourir st calculé sur N/ points sur un plag d calcul allant d à F /. L pas d calcul n fréqunc st donc F=(F /)/(N/)=F /N=1/T o soit F=1/T o. II.1... Caractéristiqus du diapason t choix ds paramètrs d la FFT : L diapason st un filtr pass band. On supposra qu sa fréqunc cntral vaut f c t qu son factur d qualité vaut Q. Pour qu la transformé d Fourir d la répons impulsionnll qui donn la fonction d transfrt soit satisfaisant, il faut calculr suffisammnt d points dans la band passant f du filtr qui vaut f=f c /Q Pour qu la transformé d Fourir nous convinn, il faut donc qu F << f ou ncor 1/T o << f c /Q (1) Par aillurs, il faut rspctr l critèr d Shannon, c qui signifi qu l spctr doit êtr calculé avc F / > f c () AN : Supposons qu f c = 44 Hz ; Q = 5 () impos qu F >.44Hz =88Hz. On s imposra F > 1 Hz. Il faudra donc prndr assz d points dans ls psudo-périods du signal obsrvé. (1) impos qu 1/T o << 44/5 c qui signifi qu il nous faut 1/T o << 1/1 nviron. On prndra T o >> 1s. Ctt rlation signifi qu il faudra obsrvr l signal assz longtmps pour pouvoir jugr corrctmnt la décroissanc d l amplitud ds psudo-oscillations. En rgroupant ls dux inégalités précédnts, on trouv qu la FFT sra corrct à condition d disposr d un nombr N d points tl qu N >> 1 (3) Pour obtnir dirctmnt l résultat par transformé d Fourir d la répons impulsionnll, il faut donc disposr d un oscilloscop avc un profondur mémoir supériur à c qu ls apparils d ntré d gamm fournissnt (1 points pour un HP546, 5 pour un TDS1, ). On put, par xmpl utilisr ds oscilloscops DSO51A (jusqu à 1Mpts sur un voi) ou DSO61A (avc l xtnsion 8M soit jusqu à 8 Mpts sur un voi). Dans l cas où la profondur mémoir ds oscilloscops disponibls n st pas suffisant, il va falloir réalisr un traitmnt analogiqu préalabl à l acquisition. Nous allons détaillr ctt tchniqu dans l paragraph suivant. II.1.3. Traitmnt à mttr n œuvr quand l nombr d points acquis n st pas assz important. II.1.3.1. Approch analogiqu. Supposons qu l on dispos d un signal sinusoïdal dont on contrôl précisémnt la valur d fréqunc noté f d. Si on multipli la répons impulsionnll du diapason par la sinusoïd à f d, n applant f c la fréqunc d résonanc du diapason, l spctr du produit présntra un comportmnt d typ pass-band autour d f c -f d t f c +f d. En filtrant avc un filtr pass-bas qui élimin au miux f c +f d, on trouv la fonction d transfrt du diapason translaté n fréqunc d f d vrs la gauch. Il suffit d fair n sort qu f c -f d soit baucoup plus faibl qu f c +f d afin d rndr l filtrag l plus simpl possibl à réalisr tout n s assurant qu f c -f d >> f, band passant du diapason. 5
Il n rst plus qu à fair l acquisition du signal n sorti du filtr t à n calculr la transformé d Fourir. Pour qu la transformé d Fourir nous convinn, il faut donc qu F << f ou ncor 1/T o << f c /Q (1) (inchangé) Par aillurs, il faut rspctr l critèr d Shannon, c qui signifi qu l spctr doit êtr calculé avc F / > f c -f d (3) On va donc pouvoir s prmttr d travaillr avc un fréqunc d échantillonnag baucoup plus faibl qu précédmmnt. Si on prnd f d = 438Hz, on doit avoir F > 4Hz t T o >>1s. Ctt fois, il nous faut N >> 4 points. Ctt condition st satisfait pour tous ls oscilloscops numériqus. II.1.3.. Approch numériqu. On put égalmnt procédr d façon purmnt numériqu. On commnc par fair un translation d fréqunc. Pour ça, si x(k.t ) st la valur d du k ièm échantillon, on transform ctt valur d façon à obtnir x d (k.t ) tl qu :.j. π.fd.k.t x d (k.t ) = x(k.t ). = x(k.t ).[ cos(. π.f d.k.t ) j. sin(. π.f d.k.t )] Si on calcul la FFT à partir d cs nouvaux échantillons, on obtint n X d ( N.T Soit ) = N 1 k= x d (k.t ). k.n.j. π. N = N 1 k= x d (k.t )..j. π.k.t n n X ( ) = X( N.T N.T C qui rvint bin à décalr l spctr vrs la gauch d f d. n N.T d + f = d N 1 k= ) x(k.t )..j. π.f.k.t d..j. π.k.t n N.T Ensuit, on filtr numériqumnt afin d supprimr touts ls composants qu la translation d fréqunc à fait apparaîtr dans la plag d analys. Si l acquisition prmt d avoir un fréqunc d échantillonnag assz faibl pour disposr d suffisammnt d points du spctr calculé dans la zon intérssant, on put nvisagr d xploitr la figur obtnu d la mêm façon qu pour l approch dirct quand on dispos d un acquisition avc un nombr d points assz important. Rmarqu : ctt tchniqu st utilisé dans ls analysurs d spctr numériqus pour réalisr un zoom numériqu. On réalis la translation d fréqunc d un pas connu très précisémnt. On réalis nsuit un filtrag numériqu pour supprimr ls composants d fréqunc d rplimnt qui apparaissnt dans la plag d analys à caus d la translation. Ensuit, on réalis un sous échantillonnag du signal translaté n fréqunc t filtré afin d diminur la fréqunc d échantillonnag F t donc la largur d la fnêtr d analys égal à F/. Il suffit pour ça d n prndr qu un point tous ls m parmi cux calculr, c qui rvint à divisr la plag d analys par m. En parallèl, on fra l acquisition sur un duré multiplié par m. L nombr d points du spctr calculés st donc inchangé, mais ls points sont calculés sur un plag d fréqunc baucoup plus étroit, t donc avc un pas d calcul plus faibl c qui prmt d davantag détaillr l spctr, autour d un fréqunc choisi par la translation. II.. Travail xpérimntal. On réalis l montag suivant : 6
On villra a ajustr l amplitud du coup d martau sur la bras du diapason afin d évitr d fair saturr la sorti d l amplificatur associé au microphon. Ls donnés sont numérisés par l oscilloscop, transmis à un ordinatur via un intrfac GPIB/USB t analysés sous Igor. Rmarqu : Il xist plusiurs typs d microphons. Cux qui sont amplifiés puvnt êtr nvoyés dirctmnt sur l systèm d acquisition. Ls autrs doivnt êtr amplifiés n tnsion afin d délivrr un nivau d signal suffisant. II..1. Acquisition avc plusiurs cntains d millirs d points (DSO51A ou DSO61A). Avc un oscilloscop DSO51A ou DSO61A, on fait l acquisition d la répons impulsionnll du diapason obsrvé avc l microphon. Pour ça, on choisira un duré d bas d tmps raisonnabl (calculr l ordr d grandur avant). Msurs : - Calculr l nombr d points nécssairs lors d l acquisition du signal tmporl pour qu la TF d la répons impulsionnll soit calculé pour un nombr d points satisfaisant dans la plag d fréqunc dans laqull l diapason répond. Cci étant fait, choisir la bas d tmps qui prmt d nvisagr d obtnir un résultat intrprétabl, puis fair l acquisition avc ctt bas d tmps au moyn d la macro prmttant d récupérr tous ls points acquis (t non pas sulmnt 1 points). On travaillra n mod monocoup t on fra n sort qu l début d la monté d la répons soit l plus à gauch possibl d l écran. Notr l nombr d points récupéré. Est-c suffisant? - Calculr la transformé d Fourir d la répons impulsionnll qu l on vint d acquérir. Choisir un échll d fréqunc qui prmt d bin visualisr la parti util d la fonction d transfrt du diapason. Fair l ajustmnt d la répons par l modul d la fonction d transfrt d un filtr pass-band du prmir ordr donné par la formul suivant G O F(f ) = 1+ Q.(f fo fo f ) En déduir un ncadrmnt pour l factur d qualité t la fréqunc cntral du diapason. Commntr ls résultats. Pour l ajustmnt, on pnsra à n ajustr qu sur ls points situés dans la plag d fréqunc dans laqull l diapason répond (utilisr ls cursurs disponibls dans «Graph/Show info»). Pourquoi l ajustmnt n convrg-t-il pas corrctmnt si on ssai d ajustr sur tous ls points calculés? II... Translation d fréqunc t filtrag avant acquisition (par xmpl avc un TDS1). On nrgistr la répons impulsionnll du diapason qu l on multipli analogiqumnt par un signal sinusoïdal d fréqunc 44Hz t d amplitud 1V crêt. L multipliur utilisé st d typ AD633. On fra n sort d placr un suivur ntr l microphon t l multipliur. On réalis nsuit un filtrag analogiqu du produit au moyn d un filtr pass-bas du prmir ordr d fréqunc d coupur Hz nviron. Msurs pour l approch analogiqu: - L filtr pass-bas st d typ RC avc R=1MΩ t C=1nF. En mod monocoup, fair l acquisition du signal récupéré n sorti du filtr pass-bas n faisant n sort qu l début d la répons soit l plus à gauch possibl d l écran. On travaill ctt fois avc un acquisition sur 1 points pour un oscilloscop DSO51A ou DSO61A (on n chrch pas à récupérr tout sa mémoir!). - Calculr la transformé d Fourir du signal acquis t n obsrvant ctt transformé autour d Hz, n déduir, par un ajustmnt sur un filtr pass-band du prmir ordr l factur d qualité du diapason ainsi qu un ncadrmnt d la fréqunc cntral du diapason. Ls résultats obtnus sont-ils cohérnts avc cux obtnus par la méthod dirct quand on dispos du nombr d points suffisant n mémoir. 7
Msurs pour l approch purmnt numériqu: A suivr III. Mis n œuvr d un détction synchron : acquisition d la sorti analogiqu afin d obtnir un grandur d sorti défini l plus rigourusmnt possibl La détction synchron st un procédé d traitmnt analogiqu qui prmt d obtnir la valur fficac d un harmoniqu d un signal pour un rapport signal sur bruit très défavorabl à la msur. Dans ctt parti, nous allons ssayr d msurr la valur fficac d un signal sinusoïdal d mv noyé dans un bruit gaussin d V fficac. Nous vrrons ls différnts options offrts par la détction pour obtnir un résultat corrct t nous ssairons d définir l plus rigourusmnt possibl l résultat obtnu n faisant un acquisition sur un grand nombr d points t sur un longu duré d la sorti analogiqu du systèm d msur. III.1. Présntation d la détction synchron. III.1.1. Princip. On considèr un signal élctriqu sinusoïdal s(t) noyé dans du bruit. On chrch à n xtrair la valur fficac. Pour ça, on va multiplir notr signal par un sinusoïd r(t) strictmnt d mêm fréqunc (valur fficac V), puis, on va filtrr au moyn d un filtr pass-bas (ou d un intégratur). III.1.. Mis n œuvr d la détction synchron utilisé avc un signal pu bruité. Nous allons chrchr à msurr la valur fficac d un signal dont nous connaissons ls caractéristiqus avc un détction synchron. Pour cla, nous allons choisir un signal s(t) sinusoïdal qu nous considérrons pu bruité. On not s(t) = S.. cos( ω.t + ϕ) A priori, ϕ n st pas connu. On injct un signal d référnc r(t) qu l on not r(t) = R. cos( ω.t) Pour la référnc, dux ntrés sont possibls sur la détction: «AC input» prmt d injctr n import qull form d signal, pourvu qu il y ait dux passags par zéro sur chaqu périod t qu l amplitud dépass 1mVpic à pic. «TTL input» put êtr utilisé quand la référnc st un signal n crénaux avc un nivau bas défini ntr t,4v t un nivau haut défini ntr,5v t 5V. Nous allons choisir AC Input dans nos msurs, c qui signifi qu l déphasag affiché sur la détction n prmttra plus d connaîtr précisémnt l déphasag ntr la composant à msurr t la référnc mais sulmnt l déphasag introduit sur la référnc (la détction s fait quand la référnc attint 1mV n amplitud). III.1..1. Qu obtint-on n sorti? Pour intrprétr la valur affiché, il faut savoir qu 1 corrspond à la valur maximal d la gamm choisi. Il xist donc un rapport K ntr c qu l apparil affich t la tnsion qu il récupèr, rapport qui vari avc la gamm d tnsion sur laqull on travaill. Ainsi, sur la gamm 1V, un affichag d 1 corrspond à 1V, alors qu sur la gamm 3mV, un affichag d 1 corrspond à 3 mv. La détction va nous affichr priori un tnsion K.S.cosϕ. On n put donc pas ncor connaîtr S puisqu on n connaît pas ϕ. III.1.. action sur la phas d la détction pour détctr la valur fficac. La détction synchron prmt d fair fluctur d ϕ l déphasag ntr l signal d ntré t la référnc. C st n faisant varir c paramètr qu on pourra détrminr la valur fficac S rchrché, ainsi qu ϕ si c paramètr nous intérss. Pour fair un msur précis, on va rchrchr l état d déphasag à appliqur pour qu la détction synchron affich un résultat l plus proch d zéro possibl. On st alors n quadratur d phas ntr signal t la référnc. C st l état qu l on put rpérr l plus précisémnt possibl, car c st la zon où l indication d l apparil vari l plus brutalmnt avc ϕ. On put alors fair un saut d phas avc un pas d 9 au moyn d un bouton spécial sur l apparil, jusqu à obtnir un valur positiv. Si l rpérag d l annulation a été 8
initialmnt corrctmnt rpéré, on put vérifir qu on s situ alors au maximum d l indication d l apparil quand on fait varir ϕ. La valur affiché corrspond alors à K.V t ϕ prmt d rmontr à ϕ. III.1.. 3. Choix du filtr : Efft sur la qualité d la msur t sur l tmps d répons. Pour obtnir un résultat pu prturbé par l bruit, il st nécssair d travaillr avc un filtr présntant un fréqunc d coupur f c la plus ptit possibl. Diminur f c prmt n fft d augmntr l rapport signal sur bruit n sorti du systèm n diminuant la plag d fréqunc sur laqull l bruit sra obsrvé, c qui prmt d n réduir notablmnt la valur fficac. Cpndant, travaillr avc un fréqunc d coupur bass rnd la répons d la détction plus lnt. C st c compromis ntr vitss d analys t qualité d msur qu nous allons mttr n évidnc dans c paragraph. III.. Travail xpérimntal. Nous allons commncr par mttr n œuvr la détction synchron dans l cas l plus simpl, clui d un signal à étudir non bruité. Nous ssairons nsuit d fair la mêm msur dans l cas d un rapport signal sur bruit très défavorabl, n sommant au signal précédnt un nivau d bruit important. L bruit sra généré par un génératur 33A, clui qu nous avons étudié lors d la prmièr parti d c travail. Ctt xpérinc sra l occasion d réfléchir à un bonn définition du résultat d sorti. Nous allons rchrchr un intrvall d confianc associé à un probabilité. Nous n profitrons pour établir l rapport signal sur bruit pour lqul c résultat st obtnu. III..1 travail xpérimntal préliminair On commnc par réalisr l xpérinc suivant : L état d phas initial ds dux génératurs st aléatoir. La synchronisation ds apparils garantit un mêm fréqunc si on affich par xmpl 1 khz sur ls dux, n rvanch, l état d phas st inconnu t sra différnt si on rmont l xpérinc. L signal à caractérisr sra pris égal à mv crêt t d fréqunc 1 khz. Msurs : - Rlvr l indication d l apparil n fonction du déphasag ϕ appliqué au signal d référnc. Pour ls msurs, prndr un constant d tmps du filtr d.1s t un atténuation d 1 db. L signal étant pu bruité, c choix suffit pour obtnir un résultat d bonn qualité avc un tmps d analys assz brf. Fair n sort d annulr l indication d l apparil. Puis fair un saut d phas d 9. En déduir la valur fficac rchrché. Pourquoi n pas avoir chrché dirctmnt l maximum? III.. Rchrch d la valur fficac d un signal noyé dans du bruit. L signal à msurr st délivré par un génératur 33A. Son amplitud st d mv t sa fréqunc d 1kHz. Ctt valur st connu très précisémnt. C sra ctt valur d référnc qu l on chrchra à xtrair du bruit au moyn d la détction synchron. Au signal util s(t), on va ajoutr au moyn d un circuit sommatur à amplificatur opérationnl un bruit b(t) d valur fficac V délivré par un génératur 33A. C st la somm d cs dux signaux, s b (t) qu nous allons avoir à étudir. Afin d obtnir un référnc d bonn qualité t d nivau suffisant, on va synchronisr un troisièm génératur 33A sur la sourc d signal t lui dmandr d délivrr un signal strictmnt à la mêm fréqunc t injcté sur l ntré d référnc «AC Input» d la détction synchron. Globalmnt, l xpérinc s présnt d la façon suivant : 9
On récupèrra l résultat soit dirctmnt sur l affichur, soit sur la sorti analogiqu d la détction synchron («Output») nvoyé sur l un ds vois d un oscilloscop DSO51A ou DSO61A. Msurs : -Un fois ls signaux générés (vérifir ls valurs t ls fréquncs), associr ls différnts élémnts du circuit. Comm pour l xpérinc précédnt, jour sur l déphasag appliqué à la référnc afin d obtnir un résultat affiché nul. Fair alors un saut d phas d 9 t notr la valur donné par l affichur. Est-c bin l résultat attndu? Notz l incidnc ds caractéristiqus du filtr (ordr t tmps caractéristiqu) sur la duré nécssair pour obtnir un résultat final t sur la stabilité d c résultat. L résultat qu l on consrvra sra clui qui conduit au résultat final l plus stabl à l affichur. - Un fois l résultat final stabilisé, fair l acquisition d la sorti analogiqu d la détction synchron («Output») avc un filtr d tmps caractéristiqu «3s» t «.1s» n prnant un bas d tmps d 5s par carrau (chaqu acquisition dur donc 5s soit plus d 8 minuts), n mod monocoup («singl»). Commntz ls évolutions tmporlls puis fair un histogramm ds valurs obtnus. Ajustr chaqu histogramm par un gaussinn dont on xtrait l écart-typ. Comparr à l écart-typ obtnu dirctmnt. Déduir d la distribution ds valurs un valur scintifiqumnt corrct (un intrvall d confianc avc un probabilité). 1
Annx : Brochag ds composants AD633. La rlation ntr ls différnts ntrés t la sorti st tll qu ( X1 X )(. Y1 Y ) W = + Z 1V En pratiqu, on mttra X t Y à la mass t s contntra d X 1 t d Y 1 comm ntré. L ntré Z sra ll aussi mis à la mass si on chrch à fair un simpl produit (n surtout pas laissr X,Y t Z «n l air») La répons n fréqunc d c composant commnc à s dégradr au-dlà d 1 khz. Il faut fair attntion aux saturations si ls tnsions d ntré dvinnnt trop importants 11