TD2 : Miois, dioptes et lentilles minces sphéiques dans l'appoximation de Gauss Le but d'un instument d'optique est de fome des images à pati d'objets... 1 Quelques dénitions Dans la suite on désignea pa SO un système optique quelconque de évolution autou d'un axe qu'on notea Oz. 1.1 Comment distingue-t-on un objet A o d'une image A i? A quelle condition sont-ils éels, vituels? On fea alos un schéma epésentant le système optique, l'axe Oz et les espaces objet/image, éel/vituel, associés au système optique considéé. 1.2 Que signient les 3 assetions équivalentes suivantes : i A i est l'image de A o pa le système optique, ii A i et A o sont conjugués pa le système optique, iii le système optique est stigmatique pou le couple A o, A i? On considèea ce qui se passe en teme de ayons et de chemin optique. Bien souvent, les objets ne sont pas ponctuels mais situés dans un plan objet P o et, de même, on eçoit la lumièe su un plan image P i. 1.3 Comment appelle-t-on un système optique qui à tout point du plan objet fait coesponde un point du plan image? 1.4 Comment appelle-t-on les systèmes optiques fomés de dioptes uniquement? de dioptes et de miois? Dans la suite, nous ne considèeons que des systèmes optiques dont tous les éléments sont de évolution autou de l'axe Oz ; comment les appelle-t-on? Connaissez-vous des contes-exemples?... C'est donc un système optique qui doit ête stigmatique pou un cetain nombe de couples de points. Pou un couple de points donné, on monte qu'il existe une famille de sufaces telles que le diopte fomé soit igoueusement stigmatique pou ce couple de points 1. Mais ceci soulève deux poblèmes. Le pemie est d'ode théoique : le diopte touvé n'est pas focément stigmatique pou des couples de points voisins, o, on l'a vu plus haut, on veut généalement fome des images ayant une cetaine étendue. Le second est d'ode technique : la suface touvée peut ête dicile à usine et ce n'est que écemment que l'on a pu éalise de tels systèmes asphéiques 2. Dans la patique, les instuments d'optique sont souvent utilisés dans le cade de l'appoximation de Gauss. O toute suface de évolution non-singulièe au sommet peut-ête appochée pa une sphèe au voisinage du sommet. De fait, on n'utilise pesque que des dioptes sphéiques, qui sont faciles à usine et s'avèent convenablement stigmatiques dans l'appoximation de Gauss. 2 Miois sphéiques dans l'appoximation de Gauss On considèe un mioi sphéique de cente C et de sommet S. On note R = SC son ayon de coubue algébique compté dans le sens de la lumièe incidente. L'axe Oz passant pa S et C est bien sû axe de évolution du poblème epésente la diection moyenne de la lumièe incidente su le mioi. Les milieux objet et image sont identiques et ont pou indice n o = n i = n. 2.1 Pécisez la convention d'oientation de l'axe optique que vous utilisez 3. 1cf. ellipsoïde miois de pompage de cetains lases, paaboloïde mioi pimaie de télescopes, points de Weiestass objectif à immesion de micoscope... 2éalisés en plastique moulé, ils équipent aujoud'hui les appaeils photo jetables! 3los de la eection su le mioi, la diection moyenne de popagation est consevée mais pas son sens; il y a donc deux choix possibles : l'oientation de l'axe une fois pou toute comme le sens moyen de la lumièe incidente ou un changement d'oientation pou les ayons échis de sote que les longueu soient toujous comptées positivement le long de la popagation d'un ayon éel.
Soit A o un point de l'axe et un ayon issu de A o faisant un angle α o avec l'axe. Il fappe le mioi au point I. On notea i o l'angle d'incidence de ce ayon su le mioi et θ l'angle ŜCI. Le ayon ééchi coupe l'axe en A i et dénit un angle α i pa appot à l'axe. L'angle de éection du ayon sea noté i i. Soient enn H le pojetté othogonal de I su l'axe et h = HI. 2.2 faites un dessin en penant R < 0. Expimez alos i o en fonction de α o et θ puis i i en fonction de α i et ce même θ. Enn eliez i o et i i au moyen des elations de Snell-Descates. 2.3 Rappelle les conditions de l'appoximation de Gauss. Comment se taduisent-elles pou les angles et les distances HI et HS? Quelle est la epésentation schématique de ce mioi? 2.4 En déduie la elation de conjugaison, dite de Descates des points A o et A i. La quantité V = 2n R s'appelle la vegence du mioi. Quel point cucial de la démonstation pemet d'ame que cette elation est la condition de stigmatisme appoché des points A o et A i? 2.5 Aplanétisme. En considéant la symétie du système pa otation autou de C, monte que le système est aplanétique dans les plans fontaux passant pa A o et A i moyennant une appoximation que l'on pécisea. En considéant un ayon passant pa le sommet du mioi, donnez une expession du gandissement tansvesal γ t. 2.6 On considèe un faisceau incident paallèle à l'axe. Quel est l'objet dont il est issu? Comment s'appelle son image F i et où se situe-t-elle pou des miois concave et convexe? Mêmes questions pou le point objet F o dont l'image est à l'inni su l'axe. Comment se nomment les plans othogonaux à l'axe qui contiennent ces points paticulies. Lequel des miois est convegent et l'aute divegent? Quelle est l'expession des longueus focales objet et image? Lien avec le signe de la vegence. Quelle est la vegence d'un mioi plan? 2.7 Constuie le faisceau issu d'un point quelconque du plan focal objet et l'image d'un faisceau paalèlle incliné pa appot à l'axe. 2.8 On considèe un objet A o B o quelconque pependiculaie à l'axe. Dessine son image A i B i? Établissez la elation de conjugaison de Newton qui fait inteveni natuellement σ o = F o A o et σ i = F i A i. On expimea avec pot le gandissement tansvesal de deux façons. 2.9 On considèe un objet A o B o pependiculaie à l'axe et tel que A o soit confondu avec C. Quelle est son image A i B i? Quel est le gandissement γ associé? Il s'agit du fameux montage 2f 2f... Remaque que tout ayon incident pa C émege paallèlement à lui-même c'est à die que C est son pope conjugué de gandissement angulaie +1. 2.10 Mêmes questions si A o est confondu avec S. En déduie que le plan tangeant au mioi est son pope conjugué de gandissement tansvesal +1. 3 Application : Hubble Space telescope Le téléscope spatial Hubble mis en obite en 1990 est un téléscope de type Cassegain de diamète D = 2, 4m. Le mioi pimaie Mp de l'objectif, de sommet S p est assimilé à un mioi sphéique concave de ayon R p = 11, 04m. Le mioi secondaie M s est assimilé à un mioi sphéique convexe de ayon R s = 1, 358m, de sommet S s situé à une distance d = 4, 906m de S p. 3.1 La montue Cassegain est à symétie de évolution et nécéssite de pece le mioi pimaie en son cente. Faie un dessin éaliste sinon à l'échelle. Connaissez-vous un aute type de montue? 3.2 Quelles sont les vegences et longueus focales de chacun des miois? Situe les foyes F p et F s. 3.3 Où se situent les images des étoiles? Quelle est l'image de F p pa M s? En déduie la position du foye F c de l'objectif du télescope c'est à die du système optique fomé pa M p et M s. 3.4 Quelle est la vegence, ou la longueu focale, de l'objectif? 3.5 Quelle est la distance à l'axe de l'image d'une étoile située à une distance angulaie α o de l'axe de évolution du système? En déduie la longueu focale d'un mioi unique qui donneait la même image? Inteêt?
3.6 On place dans le plan focal de l'objectif un capteu CCD dont la taille du pixel ɛ est de l'ode de 10µm. En déduie la ésolution angulaie théoique du système. La compae à la limite de diaction. 4 diopte sphéique Soit un diopte sphéique de cente C, sépaant deux milieux d'indices n o et n i. Soit A o un point quelconque de l'axe optique dont on cheche le point conjugué A i. On utilisea les mêmes notations qu'au paagaphe pécédent et qui sont appellées su la gue suivante : I A o α o C i i + i o h θ H S A i α i Oz Remaque : su la gue n 1 > n 2 et R = SC < 0. 4.1 Repende les questions du paagaphe pécédent et établi la elation de conjuguaison de Descates du diopte sphéique. Quelle est sa vegence V? Justiez qu'elle dépende de n i n o. 4.2 examine le cas des ayons passant pa C et S avant d'établi la elation de conjugaison de Newton. Pou le dessin on penda n o = 1, n i = 1.5 et R = SC > 0. 4.3 On considèe un bâton à demi immegé dans une mae faisant un angle θ avec la veticale. Quelle est l'image du bâton pou un obsevateu situé au bod? Même question si il est sous l'eau... 5 lentille mince Une lentille est constituée d'un matéiau d'indice n dénissant de deux dioptes que nous supposeons sphéiques de centes C 1 et C 2 et de sommets S 1 et S 2. Elle est dite mince si son épaisseu e = S 1 S 2 est négligeable. Les espaces objet et image ont pou indice n o et n i. 5.1 En considéant les images d'un objet pa chaque diopte succéssivement, établissez la elation de conjugaison de Descates d'une lentille mince. Que vaut sa vegence? Dans quels cas est-elle nulle? Dans l'ai, montez qu'une lentille biconvexe est convegente et qu'une biconcave est divegente. Quels sont leu epésentations schématiques? 5.2 Dans le cas où la vegence n'est pas nulle, en déduie la position des foyes. Montez que si n o = n i ils sont symétiques pa appot au cente S = S 1 = S 2 de la lentille. Comment est alos le ayon qui passe pa S? Ce point joue donc ici un ôle manifestement singulie et on intoduit f o = SF o et f i = SF i les longueus focales objet et image de cette lentille. Les elie à la vegence. Cas paticulie n o = n i = 1 : lentille mince dans l'ai. 5.3 Montez que la démonstation de la elation de Newton est stictement identique à celle pou le diopte si ce n'est que S joue cette fois le ôle de C pou le diopte. Pa appot au mioi et au diopte, le cente de la lentille S combine les popiétés optiques d'ête son pope conjugué le plan de la lentille est auto-conjugué de gandissement +1 et de ne pas dévie les ayons : on pale pafois de cente optique pou ce point qui possède de façon exceptionnelle ces deux popiétés. Nous avons vu su les tois paagaphes pécédents qu'en généal ces popiétés étaient distinctes.
6 Eléments cadinaux : foyes, plan pincipaux, distances focales, vegence, elations de conjugaison. De façon généale, on monte que, dans les conditions de Gauss, il existe deux gandes familles de systèmes optiques : les systèmes afocaux et les systèmes focaux. Dans un systèmes afocal, tout faisceau incident paalèlle émege en un faisceau paalèlle. Il n'y a donc pas, comme leu nom l'indique de foye et les constuctions et elations de conjugaison qui leu sont associées sont spéciques cf. execice de la mae et TD suivant. Pa conte, tout système focal, c'est à die tel que les ayons povenant de l'inni convegent en un point dénisant ainsi le plan focal image, possède, oute un plan focal objet dont l'image est à l'inni, un couple de plans conjugués de gandissement unité. Ces plans s'appellent les plans pincipaux du système. Leus intesections avec l'axe optique dénissent les points pincipaux objet et image notés H o et H i. Il existe de plus, deux points de l'axe optique N o et N i, les points nodaux tels que tout ayon passant pa l'un passe pa l'aute avec un gandissement angulaie égal à +1 c'est à die que les deux ayons sont paalèlles. Les foyes, points pincipaux et nodaux constituent ce que l'on appelle les éléments cadinaux du système optique. On monte en eet qu'ils susent 4 à caactéise entièement le système et, en paticulie à constuie l'image de n'impote quel objet. 6.1 Identiez les points pincipaux et les points nodaux des miois, dioptes et lentilles minces sphéiques. En généal toutefois, ces points ne sont pas deux à deux confondus : H o H i et N o N i et on ne chechea pas à utilise les points nodaux dans la suite. Un système optique généal se epésente donc comme suit : où l'ode des points cadinaux a été choisi an de facilite l'étude. On a epésenté de plus deux ayons, l'un paalèlle à l'axe, l'aute passant pa F o, issus de B o dont les polongements inteceptent les plans pincipaux en I o et J o. 6.2 Quelles sont les images I i et J i de I o et J o. En déduie les ayons émegeant de ces deux points et constuie l'image A i B i. 6.3 Montez alos que pa constuction A o B o = H o I o et A i B i = H i J i et que les tiangles F o A o B o et F o H o J o sont semblables. Identiez les tiangles coespondants dans l'espace image. 6.4 Compae alos la gue avec celles faites pou établi la démonstation de la elation de Newton et en conclue qu'elles sont identiques si ce n'est que cette fois-ci le point S est emplacé pa les deux points pincipaux distincts. 6.5 Conclue que toutes les démonstations faites aux paagaphes pécédents estent vaies dans le cas généal des systèmes focaux à condition de déni les longueus focales pa f i = H i F i et f o = H o F o et de epée la position des objets et images pa appot aux plans pincipaux dans les fomules de Descates : SA o p o = H o A o et SA i p i = H i A i. En déduie la elation de Descates dans le cas généal. Nb : en fait, c'est un peu dangeueux de se donne les plans pincipaux et les foyes, il vaut mieux se donne les plans pincipaux et la vegence. En eet, elle pemet de calcule les longueus focales f i = n i /V et f o = n o /V et comme tès souvent n o = n i = 1, f o = f i : les foyes sont situés à égale distance des plans pincipaux et du côté opposé dans ce cas tès couant! 4En fait, seulement deux couples sont nécéssaies et souvent on ne n'intoduit pas les points nodaux cf. constuctions pou les lentilles
7 optique maticielle La pésentation pécédente de l'optique pésente deux dicultés : pemièement elle dissimule complètement la natue de l'appoximation de Gauss qui est la linéaisation des lois de la popagation. On obtient en eet des lois de Newton ou de Descates homogaphiques. Elle conduit apidement à des calculs louds où il faut beaucoup d'astuce c'est à die de vision géométique. Ainsi, et c'est le deuxième point, elle se laisse peu systématise. L'idée de base de l'optique maticielle est de pati diectement des lois de Snell-Descates et de les linéaise appoximation de Gauss : n o α o = n i α i. On voit que la quantité que l'on appelle angle optique est consevée. Aussi un ayon est-il caactéisé pa sa distance à l'axe et sa diection c'est à die son angle optique. Le ayon est alos epésenté pa le vecteu dont on cheche l'évolution dans le système. 7.1 La popagation dans un milieu homogène modie la distance à l'axe du ayon mais pas sa diection. Montez que pou une distance d pacouue dans un milieu d'indice n, le ayon de sotie s'écit : = T n d e avec T n d = 1 d n 0 1. 7.2 Invesement, la tavesée d'un diopte sphéique de ayon R, depuis un milieu d'indice n 1 ves un milieu d'indice n 2 ne modie pas la distance à l'axe mais change la diection du ayon. Montez que pou ce diopte sphéique de vegence V = n 2 n 1, le ayon de sotie s'écit : = RV avec R RV = 1 0 V 1. s L'avantage est dès los que tout système optique centé dans le cade des conditions de Gauss se ésume à une succession de popagation dans des milieux homogènes et de tavesée de dioptes. Le calcul de la popagation est alos entièement algébisé et se amène à un poduit de matices tès facile à pogamme!. On en déduit alos aisément les éléments cadinaux du système et c'est comme ça qu'on démonte leu existance que l'on a admise au paagaphe pécédent. De même, à pati de mesues simples des dives gandissements, on peut détemine expéimentalement la matice de tansfet d'un système optique. Cependant, ce que l'on a gagné en puissance, on le ped en capacité de visualisation le tout n'étant plus que du calcul... e s