) Vocabulaire : a) Divisible / Multiple : Plus Grad Diviseur Commu. Soit a et b deux ombres etiers aturels différets de zéro : dire que a est divisible par b sigifie que a k b =, avec k ombre etier aturel. Or : Si a = k, alors a = kb, ce qui se traduit par «a est u multiple de b». ( Et aussi de k ) b b) Critères de divisibilité : Par Critère Exemple 2 Le chiffre des uités est pair 02. 4 Le ombre formé par les chiffres dizaie+uité est das la table de 4. (00 coviet égalemet) 680 ; 44, 36. 3 La somme des chiffres du ombre est das la table de 3. 4 ; 02 ; 44. 5 Le chiffre des uités est 0 ou 5. 305 ; 50. 9 La somme des chiffres du ombre est das la table de 9. 44 ; 684 ; 6 669 0 Le chiffre des uités vaut 0. 3 250 c) Diviseurs d u ombre : Les diviseurs d u ombre sot ceux par lequel il est divisible. Pour trouver tous les diviseurs d u ombre, il suffit le décomposer e produit de 2 facteurs etiers et de trouver la liste complète de ces produits. Exemple : Recherche des diviseurs de 20. 20 = 20 = 2 60 = 3 40 = 4 30 = 5 24 = 6 20 = 8 5 = 0 2 les diviseurs de 20 sot : ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 0 ; 2 ; 5 ; 24 ; 30 ; 40 ; 60 et 20. 2) Divisio euclidiee : a) La divisio euclidiee est la divisio avec reste et quotiet etier. Soit a et b deux ombres etiers aturels tels que 0 < b < a. Alors il existe u seul couple de ombre etier Q. et. R tels que : a = Q b + R.. avec..0 r < b Q est le quotiet, R est le reste de la divisio euclidiee de a par b. ( Nous admettros l existece et l uicité d ue telle décompositio.) b) Les calculatrices possèdet ue touche permettat d afficher le quotiet et le reste. c) Exemple : 27 3 0 9 27 = 9 3+ 0
3) P.G.C.D. : Plus grad diviseur commu. a) Le P.G.C.D de deux ombres est le plus grad etier aturel qui divise les deux ombres. Exemple : Recherchos les diviseurs de 78 et de 208. 78 = 78 78 = 2 39 78 = 3 26 78 = 6 3 208 = 208 208 = 2 04 208 = 4 52 208 = 8 26 208 = 3 6 Les diviseurs de 78 sot : ; 2 ; 3 ; 6 ; 3 ; 26 ; 39 ; 78. Ceux de 208 sot : ; 2 ; 4 ; 8 ; 3 ; 26 ; 52 ; 04 ; 208. ; 2 ; 3 et 26 sot les diviseurs commus de 78 et 208. Le plus grad de ces diviseurs commus est 26 : 26 est le plus grad commu diviseur de 78 et de 208. Le P.G.C.D. de 78 et de 208 est égal à 26 b) Utilité : La coaissace du P.G.C.D. d u couple de ombre etier permet de simplifier e ue fractio irréductible ue fractio dot ils sot les umérateur et déomiateurs. E effet : o simplifie ue fractio par u ombre k e divisat umérateur et déomiateur par u même ombre, k est doc forcémet u diviseur commu. Pour avoir la fractio irréductible, il faut diviser par le plus grad ombre possible : il faut doc diviser par le P.G.C.D. Exemple : 78 26 3 3 = = 208 26 8 8 c) Nombres premiers etre eux : Cherchos le P.G.C.D. de 40 et de 297. 40 = 40 40 = 2 70 40 = 4 35 40 = 5 28 40 = 7 20 40 = 0 4 297 = 297 297 = 3 99 297 = 9 33 297 = 27 Diviseurs de 40 : ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 0 ; 4 ; 20 ; 28 ; 35 ; 70 ; 40. Diviseurs de 297 : ; 3 ; 9 ; ; 27 ; 33 ; 99 ; 297. 40 et 297 ot pour seul diviseur commu, qui est doc leur P.G.C.D. O dit que 40 et 297 sot premiers etre eux.
Défiitio : Deux ombres etiers sot premiers etre eux quad leur P.G.C.D est égal à. O e déduit que la fractio 40 est ue fractio irréductible, puisque seul divise 40 et 297. 297 Or : 40 = 40 et 297 = 297, et simplifier par e modifie i le umérateur i le déomiateur! 4) Recherche méthodique du P.G.C.D a) Première méthode : Par soustractios successives. (Algorithme des soustractios) Propriété utilisée : Si u ombre k divise u ombre a et u ombre b, alors il divise d office leur différece. Exemple : 8 est u diviseur commu à 88 et 64. 88-64 =24, et 8 est bie u diviseur de 24. * Démostratio de cette propriété : Soit k u ombre etier positif o ul, diviseur commu de a et de b, deux ombres etiers positifs o uls, avec a > b. ( k, a et b différets de zéro.) Alors il existe a et b, etiers aturels tels que : a = ka ' et b = kb ' Posos la différece a-b : a b = ka ' kb ' = k( a ' b ') Coclusio : a b est bie u multiple de k, k est bie u diviseur de la différece de a et de b. * Exemple N : Cherchos les diviseurs commus de 2 993 et de 3723 3723-2993 = 730 2993-730 = 2263 2263-730 = 533 533-730 = 803 803-730 = 73 730-73 = 657 657-73 = 584 584-73 = 5 5-73 = 438 438-73 = 365 365-73 = 292 292-73 = 29 29-73 = 46 46-73 = 73 73-73 = 0 U diviseur commu de 3 723 et de 2 993 divisera aussi leur différece, soit 730. Comme il sera commu aux trois ombres, il le sera aussi avec la différece de 2 993 et de 730, soit 2 663. Mais doc aussi avec la différece de 2 663 et de 730, etc Au bout du compte, o cherche les diviseurs de 73! Mais au fait, quel est le plus grad diviseur de 73? 73, bie sûr!
Fialemet, le P.G.C.D est la derière différece o-ulle! (L algorithme aboutir toujours à 0.) Das le cas ci-dessus : comme le P.G.C.D est différet de, o e déduit que les ombres 3 723 et 2 993 e sot pas premiers etre eux et que la fractio 3723 est pas ue fractio irréductible. 993 Pour la simplifier, il suffit d utiliser le P.G.C.D : 3723 73 5 5 = = 2993 73 4 4 * Remarque / exercice : U élève de 6 ème exécute à la calculatrice la divisio suivate : 588 28 et sa calculatrice affiche la fractio 47. Commet e déduire le P.G.C.D. des ombres 588 et 28? 32 b) Secode méthode : par divisios euclidiees successives. (Algorithme d Euclide). * Propriété utilisée : Si u ombre etier positif est u diviseur commu à deux ombres etiers positifs a et b (O supposera 0 < b < a), alors il est aussi u diviseur du reste das la divisio euclidiee de a par b. Exemple : 9 est u diviseur de 459 et de 7. La divisio euclidiee de 459 par 7 doe : 459 7 7 2 soit la décompositio suivate : 459 = 2 7+ 7. Et 9 est bie u diviseur de 7. (Voir critère de divisibilité). Démostratio de cette propriété : Hypothèse : k, etier o ul, est u diviseur commu de a et de b. Alors il existe a et b, etiers aturels tels que : a = ka ' et b = kb ' Soit la décompositio issue de la divisio euclidiee de a par b : a = Qb +R Alors : R = a Qb = ka Qkb = k( a Qb ) : R est u multiple de k, k est u diviseur de R. * Utilisatio de cette propriété pour la recherche du P.G. C.D : Les diviseurs de 459 et de 7 sot doc aussi diviseurs de 459, 7 et 7. E particulier de 7 et de 7, doc du reste das la divisio euclidiee de 7 par 7. O pose alors ue ouvelle divisio : 7 7 54 7 = 7 + 54 Puis : 7 54 9 2 7 = 2 54 + 9 et efi : 54 9 0 6 54 = 9 6 + 0
Le travail de divisio est fii. Le P.G.C.D de 459 et de 7 est doc u aussi u diviseur de 7 ; A = 48 B = 228 Autre exemple : P.G.C.D. de 48 et de 228. 48 = 228 x + 90 228 = 90 x + 38 P.G.C.D. = 38 90 = 38 x 5 + 0 54 et 9, le derier reste o-ul. Or : quel est le plus grad diviseur de 9? Evidemmet 9! Das l algorithme d Euclide, le P.G.C.D. est le derier reste o-ul! 5) Exercices.. Recopier le tableau et cocher les cellules si le ombre e tête de lige est divisible par le ombre e tête de coloe. 245 29 2 0 20 05 962 555 666 23 456 2 3 5 9 0 2. Le tableau ci-dessous représete le compteur kilométrique d u véhicule. 2 chiffres sot illisibles.? 4 3 6? O sait cepedat que le ombre de kilomètre, oté k, est tel que : k 20.000 tout e état u multiple de 5 et aussi de 3. Que peut valoir k? 3. Soit u ombre etier aturel. Si est pair, c est qu il existe u ombre etier k uique tel que = 2k Réciproquemet, si u ombre etier peut s écrire sous la forme = 2k, alors est pair.
Si est impair, c est qu il existe u ombre uique k tel que = 2k +. Réciproquemet, si u ombre etier peut s écrire sous la forme = 2k +, alors est impair. a ) Démotre que la somme de 2 ombres impairs est toujours u ombre pair. b) Démotre que le produit de 2 ombres impairs est toujours u ombre impair. c) Démotre que pour tout ombre etier relatif : + 2 est toujours u ombre etier. 4. Exercice brevet 203 : L affirmatio ci-dessous est-t-elle vraie? 2 2 Pour importe quel ombre etier, ( ) ( ) 5. O doe a = 237 et b = 47 + est u multiple de 4. a) Détermier leur P.G.C.D e utilisat les deux algorithmes. (Soustractio et divisio) b) Sot-ils premiers etre-eux? c) Si possible, simplifier la fractio b e faisat apparaître votre démarche. a 6. O doe a = 3737 et b = 666 Même questio que l exercice 5. 7. Soit la fractio 2748 8453 Peut-o la simplifier? Justifier. 8. U carreleur doit recouvrir ue pièce rectagulaire de 7,92 m sur 6 m de carreaux carrés tous idetiques et les plus grads possibles. (O égligera la largeur des joits etre les carreaux.) a) Quelle est la mesure du côté d u carreau? b) Combie de carreaux sot écessaires pour ce chatier? 9. U fleuriste a e stock 306 tulipes et 70 iris. Il veut utiliser toutes les fleurs e cofectioat le plus grad ombre possible de bouquets tous idetiques. La tulipe est vedue,45 et l iris est vedu,95. a) Combie de bouquets peut-il cofectioer? Explique ta démarche. b) Quel est le prix d u bouquet? 0. Preds ue feuille format 4 A. (20 mm sur 297 mm). Dessie à l itérieur u pavage (toute la feuille doit être occupée, aucu vide!) de rectagles tous idetiques, les plus petits possibles, sachat que :
a) Ces rectagles sot des réductios à ue échelle e = où k est u ombre etier. k b) Les dimesios de ces petits rectagles sot des ombres etiers de mm. Explique ta démarche. Les pages suivates sot ouvertes à tout élève curieux des mathématiques. D où sortet les critères de divisibilités par 3 et par 9?. Décompositio d u ombre etier. Tout ombre etier aturel m 0 possède ue décompositio uique de la forme : m = a 0 + a 0 + a 0 +... + a 0 + a 0 + a 0 2 2 0 2 2 0 avec a ; a ;... a ; a ; a { 0,,2,3, 4,5,6,7,8,9} sauf pour a supposé différet de 0. 2 0 Nous supposeros m différet de zéro. E coséquece, au mois u chiffre a i sera différet de zéro. C est forcemet le chiffre de la puissace de 0 la plus grade, car si o suppose a = 0, alors : m = a 0 + a 0 + a 0 +... + a 0 + a 0 + a 0 2 2 0 2 2 0 m = 0 0 + a 0 + a 0 +... + a 0 + a 0 + a 0 2 2 0 2 2 0 m = a 0 + a 0 +... + a 0 + a 0 + a 0 2 2 0 2 2 0 Ce qui sigifierait que a = 0 serait u zéro iutile. Exemple : 5 4 3 2 0 320.784 = 3 0 + 2 0 + 0 0 + 7 0 + 8 0 + 4 0 2. Démotros que pour tout etier aturel : 0 est u multiple de 3. E effet : 2 3 0 = 0 = 9 = 3 3...0 = 00 = 99 = 3 33...0 = 000 = 999 = 3 333 Pour cela, ous allos faire ce que l o appelle ue démostratio par récurrece, c'est-à-dire que ous allos démotré que si 0 est u multiple de 3, alors obligatoiremet 0 + est u multiple de 3.
+ 0 = 0 0 0 + 9 + 0 = 0 0 0 + 9 + 0 = 0 0 + 9 Si 0 est u multiple de 3 : alors il existe u ombre etier aturel k tel que 0 = 3k, et + 0 = 0 0 + 9 + 0 = 3k + 3 3 ( k ) + 0 = 3 + 3 Nous veos de démotrer que si0 est u multiple de 3, alors il existe u ombre etier K = 3 + k tel que 0 + = 3K. Autremet dit, 0 + est u multiple de 3. Comme ous avos vu que otre hypothèse de divisibilité par trois était vérifiée pour0, elle l est forcemet pour tout exposat Coclusio : pour tout ombre etier aturel : 0 est u multiple de 3. 2 2 0 3. Retour à m = a 0 + a 0 + a 0 +... + a 0 + a 0 + a 0. 2 2 0 Amusos-ous à trasformer l écriture de chaque terme de la somme de la décompositio de m. a 0 = a 0 a + a = a 0 + a a 0 = a 0 a + a = a 0 + a a 0 = a 0 a + a = a 0 + a : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 0 = a 0 a + a = a 0 + a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 0 = a 0 + a Aisi 2 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )... ( 0 ) ( 0 ) 2 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )... ( 0 ) ( 0 )... m = a + a + a + a + a + a + + a + a + a + a + a 2 2 2 2 0 m = a + a + a + + a + a + a + a + a + + a + a 2 2 2 0 Or : Tous les ( 0 i ) sot des multiples de 3. Si o multiplie u multiple de 3 par u ombre etier, o a toujours u multiple de 3. Doc tous les a ( 0 i i ) sot des multiples de 3. Si o additioe des multiples de 3, ue factorisatio par 3 permet d affirmer que la somme est toujours u multiple de 3. Doc :
( 0 ) ( ) ( 2 ) ( 0 2 0... 2 0 0 ) a + a + a + + a + a est u multiple de 3. ' Il existe doc u ombre etier aturel K tel que 0 0 0 a + a + a +... + a 0 + a 0 = 3K 2 2 2 ' Notre ombre m peut doc s écrire sous la forme : m = K + a + a + a + + a + a ' 3 2... 0 4. Somme des chiffres qui composet le ombre m. Cette somme vaut : s = a + a + a 2 +... + a + a0 Si cette somme est u multiple de 3, alors il existe u ombre etier aturel q tel que s = a + a + a +... + a + a = 3q 2 0 Doc si cette somme est u multiple de 3, m peut s écrire sous la forme : m = K + a + a + a + + a + a ' 3 2... 0 m = 3 K ' + 3q m = 3 K ' + q où K ' + q est u ombre etier. Coclusio : Si la somme des chiffres qui composet u ombre est u multiple de 3, le ombre e questio est luimême u multiple de trois. C.Q.F.D. 5. Pour le critère de divisibilité par 9 : La démostratio est idetique. Il suffit de démotrer que 0 est u multiple de 9 pour toute valeur de. Supposos 0 est u multiple de 9 : alors il existe u ombre etier aturel k tel que 0 = 9k O aurait doc 0 = 9k +. E coséquece, o aurait : ( k ) + 0 = 0 9 + + 0 = 90k + 0 k k k + 0 = 90 + 9 = 9 0 + 9 = 9 0 + 0 + serait d office u multiple de 9. Comme 0 = 9 est u multiple de 9, 0 est u multiple de 9 pour tout et. La suite de la démostratio est rigoureusemet idetique : ( 0 ) ( ) ( 2 ) ( 0 2 0... 2 0 0 ) a + a + a + + a + a est u multiple de 9. ( ) ( ) ( 2 ) 2 a 0 + a 0 + a 0 +... + a 0 + a 0 = 9K 2 '
' Notre ombre m peut doc s écrire sous la forme : m = 9 K + a + a + a +... + a + a 2 0 s = a + a + a +... + a + a = 3q 2 0 Si cette somme est u multiple de 9, m peut s écrire sous la forme: m = K + a + a + a + + a + a ' 9 2... 0 m = 9 K ' + 9q m = 9 K ' + q Quod erat demostradum!